Lista de Exercícios Romildo

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1a Lista de Exercícios - Cálculo I
1: Seja f a função definida por f(x) = x2−x. Encontre f(−2), f(0), f(1), f(x−1), f(f(x))
e f(x2 − f(x)).
2: Encontre o domínio das funções definidas abaixo.
(a) f(x) = x2 − 2x (b) g(x) = √x− 2
(c) h(x) = √3− 2x (d) r(x) = x− 2
1− x2
(e) m(x) = 1 + 23x− 4 (f) n(x) =
√
x− 2 +√5− x
Definição: Sejam f uma função e p ∈ R. Dizemos que p é uma raiz de f quando f(p) = 0.
3: Encontre, em existindo, as raízes das funções definidas abaixo.
(a) f(x) = x2 − 4 (b) g(x) = 2x− 3
(c) h(x) = 9− x2
x2 + 1
(d) q(x) = x2 − 9
x− 3
(e) p(s) = s2 − 5s+ 6 (f) x(f) = 3f 2 − 5f − 2
(g) r(x) = x2 − 42x− 4 (h) s(x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8
4: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3, é uma bijeção e encontre
sua função inversa.
5: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3x, não é uma bijeção.
6: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 − 3x2 + 3x, é uma bijeção e
encontre sua função inversa.
7: Sejam a,b,c e d números reais, com c 6= 0 ou d 6= 0, e f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
ax+ b
cx+ d
.
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e condições necessárias e suficientes
sobre as constantes a,b,c e d, de modo que f seja uma função injetiva. Sendo f injetiva,
encontre sua função inversa.
8: Seja f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
1
(x− 1)3 .
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e mostre que f é uma função injetiva.
Encontre sua função inversa.
9: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =
{
x2 − 2x se x < −1,
1 + 2x2 se − 1 ≤ x.
Encontre f(−2), f(−1), f(0), f(1− π) e f(1−√2).
Encontre, em existindo,
lim
x→−2
f(x), lim
x→−1
f(x), lim
x→0
f(x), lim
x→1
f(x), e lim
x→pi
f(x).
10: Encontre, caso exista, cada um dos limites abaixo.
(a) limx→−1 x
2 − 1
x+ 1 (b) limx→2
x2 − 4
x3 − 8
(c) limx→−1 x
2 + 1
x4 + 1
(d) limx→8
3
√
x− 2
x− 8
(e) lims→3
√
s+ 6− 3
s− 3 (f) limt→1 t
2 − 1√
t− 1
(g) limx→0 x
2 − x
x (h) limx→1 x
5 − 1
x4 − 1
11: Seja f a função definida por f(x) = x− x2. Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→1
f(x)− f(1)
x− 1 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p ∈ R
12: Seja f a função definida por f(x) = 1
x2
. Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→1
f(x)− f(1)
x− 1 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p 6= 0
13: Seja f a função definida por f(x) = 1x− 1 . Encontre, em existindo, os limites abaixo.
limx→2
f(x)− f(2)
x− 2 limx→p
f(x)− f(p)
x− p para p 6= 1
14: Sejam f e g as funções definidas respectivamente por f(x) = x3 e g(x) = x2. Simplifique
a expressão
f(a)− f(b)
g(a)− g(b) · (a+ b) para a 6= ±b.
15: Encontre o domínio da função f definida abaixo.
f(x) =
√
x2 − 4 +√5− x
16: Encontre, em existindo, as raízes da função f definida abaixo.
f(x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8
17: Mostre que a função f : R −→ R, definida por f(x) = x3 + 3, é uma bijeção e encontre
sua função inversa.
18: Esboce o gráfico da função g definida abaixo e encontre suas raízes.
g(x) =
{
x+ 2 se x < −1,
1− x se x ≥ −1.
19: Seja f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
1 + x
1− x.
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e mostre que f é uma função injetiva.
Encontre sua função inversa.
20: Encontre o domínio da função f definida abaixo.
f(x) =
√
x2 − 4
5− x2
21: Seja f : Df −→ If a função definida por
f(x) =
1 + 3x
1− 3x.
Encontre o domínio de f (Df ), a imagem de f (If ) e mostre que f é uma função injetiva.
Encontre sua função inversa.
22: Encontre o limite abaixo.
lim
s→2
3
√
s+ 6− 2
s− 2
23: Seja f a função definida por f(x) = 1√
x− 2 . Encontre, em existindo, o limite abaixo.
lim
x→p
f(x)− f(p)
x− p para p > 2
24: Seja g : R −→ R a função definida por
g(x) =
{
x2 − 4x se x > 0,
−x se x < 0.
A função g é contínua?
Existe o limite
lim
x→0
g(x)− g(0)
x− 0 ?
25: Esboce o gráfico da função g definida no exercício anterior.
26: Encontre o domínio da função f definida abaixo.
f(x) =
√
x2 − 4 +√5− x
27: Encontre o limite abaixo.
lim
x→2
x3 − 8
x3 − 2x2 + 4x− 8
28: Encontre os pontos nos quais a função g, abaixo definida, é contínua.
g(x) =


x2 − 3x se x > 2,
3
√
2x2 − 4 se − 2 ≤ x ≤ 2,
x2 − 2x se x < −2.
29: Encontre o valor de a ∈ R de modo que a função abaixo definida seja contínua.
f(x) =
{
a2x2 + ax+ 2 se x ≥ 1,
3
√
x− ax se x < 1.
30: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =
{
x2 − 2x se x < −1,
1 + 2x2 se x ≥ −1.
(a) Encontre o valor de f(−2), f(−1) e de f(1).
(b) Encontre limx→−2 f(x).
(c) Encontre limx→−1 f(x).
(d) Responda: limx→−1 f(x) = f(−1)?
31: Encontre, caso exista, o limite abaixo.
lim
x→2
x2 − 4
x3 − 8
32: Encontre, caso exista, o limite abaixo.
lim
x→1
x5 − 1
x4 − 1
33: Encontre, caso exista, o limite abaixo.
lim
s→3
√
s+ 6− 3
s− 3
34: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =


x+ 1 se x < −1,
x2 − 1 se − 1 ≤ x ≥ 2,
2x− 1 se x > 1.
Responda justificando:
•f é contínua em x = −1?
•f é diferenciável em x = −1?
•f é contínua em x = 2?
•f é diferenciável em x = 2?
35: Seja f a função definida por
f(x) = x2 − 1
x2
.
Encontre o domínio da função f e a equação da reta tangente ao gráfico da função f no
ponto de abscissa x = 1.
36: Encontre, caso exista, o limite
lim
x→−∞
1 + 3x− 2x2 + 3x3
4
√
x12 + 2x4 + 3x− 1 .
37: Sejam f uma função definida em (p,+∞) para algum número real p e a, b ∈ R tais que
lim
x→+∞
(f(x)− ax− b) = 0.
Mostre que exite limx→+∞(f(x)− ax), b = limx→+∞(f(x)− ax), existe limx→+∞ f(x)x e
a = limx→+∞
f(x)
x .
38: Sejam f uma função e a ∈ Df . Negue a proposição:
“Para cada ǫ > 0 existe δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ é condição suficiente para
|f(x)− 2| < ǫ.”
39: Encontre, caso exista, o limite
lim
x→2
√
x−
√
2√
x+ 8−
√
10
.
40: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =
{
x+ 3 se |x| < 1,
x2 + 1 se |x| ≥ 1.
•f é contínua em x = 0?
•f é contínua em x = 1?
•f é contínua em x = −1?
Justifique as suas respostas.
41: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f , definida por
f(x) = x2 − 1√
x
,
no ponto de abscissa x = 2.
42: Sejam h : R −→ R uma função e f : R −→ R a função definida por
f(x) =
{
3xh( 1x) se x 6= 0,
0 se x = 0.
Mostre que f é diferenciável em 0 e encontre f ′(0) para qualquer função h tal que
lim
x→−∞
h(x) = 2 e lim
x→+∞
h(x) = 2
43: Negue a proposição:
P : “ n21 + n < n para todo n ∈ N”.
Determine o valor de P .
44: Encontre, caso exista, o limite
lim
x→3
√
6 + x− 3
x− 3 .
45: Seja f : R −→ R a função definida por
f(x) =


x2 + 1x− 1 se |x| < 1,
1
x2 + 1
se |x| ≥ 1.
•f é contínua em x = 0?
•f é contínua em x = 1?
•f é contínua em x = −1?
•f é contínua em R \ {1}?
46: Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f , definida por
f(x) = x4 +
1
3
√
x
,
no ponto de abscissa x = 1.
47: Encontre, caso exista, o limite
lim
x→−∞
3x3 + 2x√
x6 − 4x.