I LISTA DE EXERCÍCIOS

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SERVIC¸O PU´BLICO FEDERAL
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARA´
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E NATURAIS
CURSO DE VERA˜O - 2018
Prof. Dr. Renato Fabr´ıcio Costa Lobato
- 1a Lista de Exerc´ıcios do Curso de Vera˜o em Ana´lise Real -
1a Questa˜o: Para todo x 6= 0 em R, prove que:
(1 + x)2n > 1 + 2nx
2a Questa˜o: Prove por induc¸a˜o, que dados x1, ..., xn em R, tem-se:
|x1 + ...+ xn| ≤ |x1|+ ...+ |xn| e |x1.x2...xn| = |x1|.|x2|...|xn|
3a Questa˜o: Para elementos arbitra´rios x, y e z de R. Mostre que valem as relac¸o˜es:
|x| − |y| ≤ ||x| − |y|| ≤ |x− y| e |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|
4a Questa˜o: Sejam a e b reais positivos, tais que a < b. Prove que
√
a <
√
b.
5a Questa˜o: Se
a1
b1
, ...,
an
bn
pertencem ao intervalo (α, β) e b1, ..., bn, t1, ..., tn sa˜o reais posi-
tivos. Prove que:
t1a1 + ...+ tnan
t1b1 + ...+ tnbn
∈ (α, β)
6a Questa˜o: Demonstre a “Desigualdade de Cauchy Schwarz”: Sejam x1, ...xn e y1, ...yn
nu´meros reais. Enta˜o vale: (
n∑
i=1
xiyi
)2
≤
(
n∑
i=1
x2
i
)(
n∑
i=1
y2
i
)
7a Questa˜o: Mostre que o conjunto (R−Q) dos nu´meros irracionais e´ denso em R.
8a Questa˜o: Se r 6= 0 e´ um nu´mero racional, prove que r√2 e´ irracional.
9a Questa˜o: Dado qualquer nu´mero ε > 0, prove que existe um nu´mero irracional α, tal
que 0 < α < ε.
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10a Questa˜o: Seja X = (a, b) um intervalo aberto da reta real. Mostre que:
inf X = a e supX = b
11a Questa˜o: Diz-se que uma func¸a˜o f : Ω ⊂ R −→ R e´ limitada superiormente, quando
sua imagem f(Ω) = {f(x)/x ∈ Ω} e´ um conjunto limitado superiormente. Enta˜o po˜em-se
sup f =: sup{f(x)/x ∈ Ω}.
Sejam f, g : Ω ⊂ R −→ R+ func¸o˜es limitadas superiormente. Mostre que:
sup(f 2) = (sup f)2
12a Questa˜o: Seja f : R −→ R uma func¸a˜o crescente, tal que, para todo x racional, vale
f(x) = ax + b (com a, b ∈ R constantes). Prove que se tem tambe´m f(x) = ax + b com x
irracional.
13a Questa˜o: Considere todos os intervalos da forma:
[
0,
1
n
]
. Existe um nu´mero comum a
todos esses intervalos? Justifique com argumentos de Ana´lise Real!
14a Questa˜o: Mostre que o conjunto N dos nu´meros inteiros positivos, na˜o tem cota supe-
rior.
15a Questa˜o: Considere o conjunto: Y = {y ∈ Q; y > 0 e y2 > 2}. Mostre que o conjunto
Y na˜o possui elemento m´ınimo!
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