lista retas e planos

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Universidade Federal Rural do Semi-A´rido
Disciplina: Geometria Anal´ıtica
Professor: Luan Sousa
Lista - Retas e Planos
1)Escreva as equac¸o˜es parame´tricas e sime´tricas da reta que passa pelos pontos A =
(−1, 0, 4) e B = (−1, 2, 0). Os pontos C = (−1, 1
2
, 0) e D = (0, 0, 1) pertencem a essa
reta?
2) Determine o valor de β para que seja de 30◦ o aˆngulo entre as retas
r1 :
x− 2
4
=
y
5
=
z
3
e r2 :
{
βx− y + 5 = 0
2x− z − 2 = 0
3) Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto A = (2, 2,−1) e
e´ ortogonal a`s retas
r1 :

x = 3t
y = 1− t
z = 2 + t
e r2 :
{
y = −x
z = x+ 3
4) Determine as posic¸o˜es relativas, intersec¸o˜es (se existir) e aˆngulos entre os pares de
retas abaixo. No caso de retas coplanares, determine a equac¸a˜o cartesiana do plano
que as conte´m.
a)
r1 :

x = 3 + t
y = 1 + 2t
z = 2− t
e r2 :

x = 5 + 3h
y = −3− 2h
z = 4 + h
b)
r1 :
−x− 2
−2 =
y − 1
−6 =
z
4
e r2 :
{
3x+ y − 2 = 0
2x− z − 5 = 0
c)
r1 :

x = −tt
y = 4− t
z = 2 + 2t
e r2 :
{
2x− y − 3 = 0
x+ z = 0
5) Determine as posic¸o˜es relativas, intersec¸o˜es (se existir) e aˆngulos entre as retas e
planos abaixo.
1
a)
r1 :

x = 3 + t
y = 1 + 2t
z = 2− t
e pi1 :

x = 5 + 3p+ q
y = −3− 2p− q
z = 4− 2p− 2q
b)
r1 :
x
2
=
y − 1
2
=
z
1
e pi1 : −3x− y − z = 0
6) Determine as posic¸o˜es relativas, intersec¸o˜es (se existir) e aˆngulos entre os pares de
planos abaixo.
a)
1 :

x = 3 + p+ q
y = 1 + 2p
z = 2− q
e pi2 :

x = 5 + 3s+ t
y = −3− 2s− t
z = 4 + s− 2t
b
pi1 : 3x+ y + z − 2 = 0 e pi2 : −3x− y − z = 0
7) Encontre a equac¸a˜o do plano paralelo ao plano 2x− y+ 5z− 3 = 0 e que passa pelo
ponto A = (1,−2, 1).
8) Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto A = (2, 1, 0) e e´ perpendi-
cular aos planos pi1 : x+ 2y − 3z + 2 = 0 e pi2 : 2x− y + 4z − 1 = 0
9) Encontre a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto Q = (1, 2, 1) e e´ perpendicu-
lar ao plano x− y + 2z − 1 = 0.
10) Ache as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto A = (1, 0, 1) e e´
paralela aos planos pi1 : 2x+ 3y + z + 1 = 0 e pi2 : x− y + z = 0.
11) Seja r a reta determinada pela intersec¸a˜o dos planos pi1 : x + y − z = 0 e pi2 :
2x − y + 3z − 1 = 0. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa por A = (1, 0,−1) e
conte´m a reta r.
12) Sejam as retas (x, y, z) = t(1, 2,−3) e (x, y, z) = (0, 1, 2) + s(2, 4,−6). En-
contre a equac¸a˜o geral do plano que conte´m estas duas retas.
Boa prova!
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