Interpolação Polinomial

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Cálculo Numérico
Prof.: Gerson Farion Cavalcante
Interpolação Polinomial
Ajuste de Curvas (Parte I)
UTP/FACET/ENG. CIVIL
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Cálculo Numérico
Parte I
Interpolação Polinomial
3
� A necessidade de obter um valor intermediário que 
não consta de uma tabela ocorre comumente.
� Dados experimentais, tabelas estatísticas e de 
funções complexas são exemplos desta situação.
� Solução: uso de métodos numéricos -
Interpolação. 
Interpolação Polinomial
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� Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na 
tabela abaixo:
� Como obter o valor de f(x) para um valor de x que 
não tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ?
� Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x
intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1,
pode-se usar as técnicas da interpolação.
Interpolação Polinomial
0,0570,0460,0280,0160,001f(xi)
6,04,53,01,50xi
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� A interpolação consiste em determinar uma função, que 
assume valores conhecidos em certos pontos (nós de 
interpolação). 
� A classe de funções escolhida para a interpolação é a 
priori arbitrária, e deve ser adequada às características 
que pretendemos que a função possua. 
� Função a ser considerada: 
� Polinômios ⇒⇒⇒⇒ Interpolação Polinomial
Interpolação Polinomial
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� Métodos de interpolação polinomial são utilizados 
para aproximar uma função f(x), principalmente nas 
seguintes situações: 
� conhece-se apenas valores de f(x) em apenas 
pontos discretos x0, x1 , x2 , ...
� f(x) é extremamente complicada e de difícil 
manejo,
� f(x) não é conhecida explicitamente.
Interpolação Polinomial
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7
� O problema geral da interpolação por meio de 
polinômios consiste em: 
� Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados 
{xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem 
conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma 
função analítica aos dados.
Interpolação Polinomial
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� Interpolação polinomial consiste em se obter um 
polinômio p(x) que passe por todos os pontos do 
conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é: 
p(x0)=f(x0)
p(x1)=f(x1)
…
p(xn)=f(xn)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão.
(Equação 1)
Interpolação Polinomial
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� Polinômio p(x) - polinômio interpolador.
� Pode-se demonstrar que existe um único polinômio 
p(x) de grau menor ou igual a n que passa por 
todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)}
� Portanto, pode-se escrever:
Interpolação Polinomial
( ) ( )p x a a x a x a x f x
n n
n
0 0 1 0 2 0
2
0 0
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =...
( ) ( )p x a a x a x a x f x
n n
n
1 0 1 1 2 1
2
1 1
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =...
( ) ( )p x a a x a x a x f x
n n n n n n
n
n
= + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
0 1 2
2 ...
...
10
Interpolação Polinomial
� O conjunto de equações corresponde a um sistema 
linear de n+1 equações e n+1 variáveis.
� Quais são as variáveis independentes?
� ai ou xi ?
� Poderia ser resolvido diretamente (módulo 5).
� Essa é uma das formas de se obter o polinômio 
interpolador.
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� Interpolação linear
Interpolação Polinomial
 
xx
xx
yyyxP
 
y
y
 
a
a
 x
 x
 
yxaa
yxaa
yxP
yxP
xaaxPxf
)()(
1
1
)(
)(
)()(
0
01
01
01
1
0
1
0
1
0
1110
0010
111
001
101
−
−
−
+=






=











⇔



=+
=+
=
=
+=≈
 
Polinômio interpolador
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� A mesma metodologia pode ser empregada para a 
Interpolação Quadrática ou superior.
� A determinação dos coeficientes do polinômio 
interpolador por meio da resolução de um sistema de 
equações lineares, apesar de ser conceitualmente 
simples, requer um certo esforço computacional.
� Deve-se procurar metodologia alternativa de modo a 
evitar a solução de sistemas de equações lineares.
� Outras formas:
� a forma de Lagrange
� a forma de Newton
Interpolação Polinomial
3
13
� Forma de Lagrange
� Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar 
um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a 
condição (1), isto é, passe por todos os pontos.
Interpolação Polinomial
p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ + + ⋅0 0 1 1 ...
Lk(x) são polinômios tais que:
( )L xk i ki= δ (Eq. 2) e sendo que:
δki
se k i
se k i
=
≠
=



0
1
,
,
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� Forma de Lagrange
� Portanto,
Interpolação Polinomial
p x L x f x L x f x L x f x
p x f x f x f x
p x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1
0 0
1 0 0
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
...
...
e
p x L x f x L x f x L x f x
p x f x f x f x
p x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1
1 1
0 1 0
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
=
...
...
Ou seja: p x f xi i( ) ( )= ( p(x) passa sobre os pontos {xi,f(xi)} )
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� Forma de Lagrange
� Temos que encontrar os polinômios Lk(x), que 
satisfaçam (2). Uma solução é:
Interpolação Polinomial
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
k
k k n
k k k ki k ki k n
( ) =
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
− +
− +
0 1 1 1
0 1 1 1
... ...
... ...
( )
( )
L x e
L x se i k
k k
k i
=
= ≠
1
0 ,
Pois:
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Interpolação Polinomial
� Forma de Lagrange Compacta
� Igual à anterior (notação diferente):
( ) ( ) ( )p x L x f xn i i
i
n
= ⋅
=
∑
0
e
( )
( )
( )L x
x x
x x
i
j
j
j i
n
i j
j
j i
n=
−
−
=
≠
=
≠
∏
∏
0
0
(3)
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Interpolação Polinomial
� Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas 
(n=1) (Interpolação Linear)
f(x1)f(x0)f(xi)
x1x0xi
De (3):
∑
=
+==
1
0
1100 )().()().()().()(
i
ii xfxLxfxLxfxLxp
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Interpolação Polinomial
� Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas 
(n=1)
As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0
L0 (x1) =0 L1 (x1) =1
As funções:
10
1
0 )(
xx
xx
xL
−
−
=
01
0
1 )(
xx
xx
xL
−
−
=e satisfazem
4
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Interpolação Polinomial
� Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas 
(n=1)
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp ⋅





−
−
+⋅





−
−
=
20
Interpolação Polinomial
� Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas 
(n=2) (Interpolação quadrática)
De (3):
f(x2)f(x1)f(x0)f(xi)
x2x1x0xi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )221100
2
0
xfLxfLxfLxfLxp
i
ii ⋅+⋅+⋅=⋅=∑
=
21
Interpolação Polinomial
� Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas 
(n=2)
As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:
As funções:
satisfazem
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0
L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 
L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1
( ) ( )
( ) ( )2010
21
0
xxxx
xxxxL
−⋅−
−⋅−
=
( ) ( )
( ) ( )2101
20
1
xxxx
xxxx
L
−⋅−
−⋅−
=
( ) ( )
( ) ( )1202
10
2
xxxx
xxxx
L
−⋅−
−⋅−
=
22
Interpolação Polinomial
� Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas 
(n=2)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )21202
10
1
2101
20
0
2010
21)( xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xp ⋅
−⋅−
−⋅−
+⋅
−⋅−
−⋅−
+⋅
−⋅−
−⋅−
=
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Interpolação Polinomial
� Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)):
� (2; 3,1) e (4; 5,6)
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1 xf
xx
xx
xf
xx
xx
xp ⋅





−
−
+⋅




−
−
= (vide slide 12)
( ) ( ) ( )28.2455.16.5
24
21.3
42
4
−⋅+−⋅−=⋅





−
−
+⋅





−
−
= xx
xx
xp
( ) 6.025.1 +⋅= xxp
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Interpolação Polinomial - Exercício
A tabela informa o número de carros (x mil) que passam por 
um determinado pedágio em um determinado dia:
a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual 
a tendência da curva.
b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, 
usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio
interpolador p(x) que estima o número de carros em função do 
tempo. Use uma reta como função interpoladora.
c) Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola 
como polinômio interpolador.
2,441,491,041,091,642,69No. Carros
12:3012:0011:3011:0010:3010:00Horário