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Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Cieˆncias Exatas e Biolo´gicas - Departamento de Matema´tica Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear - MTM112-77 1o. Semestre de 2013 – Segunda Avaliac¸a˜o Leia atentamente cada questa˜o. Resolva-as de forma clara e organizada. RESPOSTAS SEM JUSTI- FICATIVAS NA˜O SERA˜O CONSIDERADAS. Boa avaliac¸a˜o e sucesso na carreira escolhida. Questa˜o 1: Resolva os itens abaixo: a) Determine k para que os vetores (6, 2) e (k,−7) sejam L.I. Qual deve ser o valor de k para que esses vetores sejam L.D? b) Exiba uma transformac¸a˜o linear T : R2 → R3 tal que T (3, 4) = (5, 5,−1) e T (4, 3) = (1, 4, 4). Calcule T (1, 0). Questa˜o 2: Considere a matriz A = 4 2 02 4 0 0 0 4 e a transformac¸a˜o linear de TA : R3 → R3 induzida por A, cuja expressa˜o e´ TA(X) = A ·X, sendo X = [x y z]t. Considere tambe´m a transformac¸a˜o linear I(X) = I3 ·X, induzida pela matriz identidade I3. Encontre os valores de λ ∈ R tais que a transformac¸a˜o linear Tλ definida por Tλ(X) = TA(X)− λI(X) seja tal que ker(Tλ) possua vetores na˜o-nulos. Questa˜o 3: Resolva os itens abaixo: a) O conjunto das matrizes antissime´tricas1 2× 2 e´ um subespac¸o vetorial de M2×2(R)? b) Os vetores (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0,−1, 1) e (3, 1,−1, 3) fornecem uma base para R4? Questa˜o 4: Um exemplo interessante do uso transformac¸o˜es lineares e´ o acontece quando trabalhamos com o CPF (Cadastro de Pessoas F´ısicas). O nu´mero de inscric¸a˜o do CPF e´ constitu´ıdo de nove d´ıgitos agrupados de treˆs em treˆs, mais dois d´ıgitos verificadores, por exemplo: 104.042.089−XY. Os d´ıgitos verificadores X e Y teˆm por finalidade comprovar a validade do nu´mero do CPF informado. Tais d´ıgitos sa˜o obtidos por uso de transformac¸o˜es lineares conforme descrito a seguir • O Ca´lculo do primeiro d´ıgito verificador. Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R9 → R cuja expressa˜o e´ f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9) = 10x1 + 9x2 + 8x3 + 7x4 + 6x5 + 5x6 + 4x7 + 3x8 + 2x9 construindo um vetor u = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9) ∈ R9 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos d´ıgitos do CPF na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(u) tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(u) pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o primeiro d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o primeiro d´ıgito verificador sera´ 11-resto. • O Ca´lculo do segundo d´ıgito verificador. Consideramos a transformac¸a˜o linear f : R10 → R cuja expressa˜o e´ f(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10) = 11x1 + 10x2 + 9x3 + 8x4 + 7x5 + 6x6 + 5x7 + 4x8 + 3x9 + 2x10 construindo um vetor v = (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8, y9, y10) ∈ R10 cujas coordenadas sa˜o constitu´ıdas dos d´ıgitos do CPF, mais o primeiro d´ıgito verificador na ordem em que eles aparecem e, apo´s o ca´lculo de f(v) tomamos o resto da divisa˜o inteira de f(v) pelo nu´mero 11. Se o resto for 0 ou 1 o segundo d´ıgito verificador sera´ 0. Caso contra´rio (resto entre 2 e 10) o segundo d´ıgito verificador sera´ 11-resto. Encontre os d´ıgitos verificadores do CPF. 104.042.089−XY. 1A e´ antissime´trica se At = −A
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