C04 Interpolacao v02

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ENG-D01: Métodos 
Computacionais na Engenharia
fProfa. Karen Pontes
Ajuste de curvas x InterpolaçãoAjuste de curvas x Interpolação
D d i t i j t d t di t Dados experimentais: conjunto de pontos discretos
Aj t d Ajuste de curvas
 Equação que melhor se ajusta aos pontos obtidos
 Determinação de parâmetros Determinação de parâmetros
 Dados apresentando erros experimentais
 Ex: modelo cinético
 Estimativa entre os pontos medidos: interpolaçãop p ç
 Predição fora do intervalo: extrapolação 
 Polinômio passa precisamente pelos pontos e fornece uma boa 
ti ti d l t lestimativa dos valores entre eles
Ajuste de curvas x InterpolaçãoAjuste de curvas x Interpolação
Ajuste: função potência Interpolação por partes
Interpolação usando um único polinômioInterpolação usando um único polinômio
P t li ô i d d 1 Para n pontos, polinômio de ordem n-1
Interpolação usando um único polinômioInterpolação usando um único polinômio
G d d t d d li ô i d l d Grande numero de pontos: ordem do polinômio deve ser elevada
 Polinômio passa: por todos os pontos, mas pode apresentar desvio 
significativo fora delesg
16 pontos
 Melhores resultados: interpolação por partes (splines)
 Diferentes polinômios de ordem inferior são usados na interpolação de 
diferentes pontos pertencentes a um mesmo conjunto de dadosdiferentes pontos pertencentes a um mesmo conjunto de dados.
Interpolação usando um único polinômioInterpolação usando um único polinômio
F d ã d li ô i d d Forma padrão de um polinômio de ordem m:
1
1 1 0( ) ...
m m
m mf x a x a x a x a

    1 1 0m m
 Substituição dos n pontos no polinômio  SEAL
 Polinômio de ordem elevada  sistemas mal condicionados
 Polinômios de Lagrange e de Newton
Polinômios interpoladores de LagrangePolinômios interpoladores de Lagrange
P d i t ( ) ( ) li ô i d Para dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), o polinômio de 
Lagrange tem a forma
Substituindo os pontos (x y ) e (x y ):
1 2 2 1( ) ( ) ( )f x y a x x a x x    
 Substituindo os pontos (x1, y1) e (x2, y2):
1 2y y 2 1( ) ( )x x x x 1 2
1 2
1 2 2 1
 
( ) ( )
y ya a
x x x x
  
2 1
1 2
1 2 2 1
( ) ( )( )
( ) ( )
x x x xf x y y
x x x x
  
 Observe que se x=x1, f(x)=y1 e em x=x2, f(x)=y2
Polinômios interpoladores de LagrangePolinômios interpoladores de Lagrange
P t ê t Para três pontos:
1 2 3 2 1 3 3 1 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x y a x x x x a x x x x a x x x x         1 2 3 2 1 3 3 1 2( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f y
 Determinando os coeficientes, obtem-se:
2 3 1 3 1 2( )( ) ( )( ) ( )( )( ) x x x x x x x x x x x xf x y y y       1 2 3
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
f x y y y
x x x x x x x x x x x x
       
 Função quadrática de x
Polinômios interpoladores de LagrangePolinômios interpoladores de Lagrange
Fó l l d li ô i d d 1 Fórmula geral do polinômio de ordem n-1:
( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 3 1 3
1 2
1 2 1 3 1 2 1 2 3 2
( )( )...( ) ( )( )...( )( )
( )( )...( ) ( )( )...( )
( )( ) ( )( )( )
n n
n n
x x x x x x x x x x x xf x y y
x x x x x x x x x x x x
            
1 2 1 1
1 2 1 1
( )( )...( )( )( ) ... ...
( )( )...( )( )( )
i i n
i
i i i i i i i n
x x x x x x x x x x y
x x x x x x x x x x
 
 
          
( )( ) ( ) 1 2 1
1 2 1
( )( )...( ) 
( )( )...( )
n
n
i i i n
x x x x x x y
x x x x x x


  
  
1 1 1
( )
( ) ( )
( )
nn n
j
i i i
i i j i j
x x
f x y L x y
x x  
     ( )j i j
j i
Exemplo: Polinômio interpolador de LagrangeExemplo: Polinômio interpolador de Lagrange
1 2 4 5 7x 1 2 4 5 7
y 52 5 -5 -40 10
 Polinômio de Lagrange de 4a ordem?
 Valor interpolado em x=3 ?
( 2)( 4)( 5)( 7) ( 1)( 4)( 5)( 7)( ) 52 5
(1 2)(1 4)(1 5)(1 7) (2 1)(2 4)(2 5)(2 7)
x x x x x x x xf x                 (1 2)(1 4)(1 5)(1 7) (2 1)(2 4)(2 5)(2 7)
( 1)( 1)( 5)( 7) ( 1)( 2)( 4)( 7) ( 5) ( 40)
(4 1)(4 2)(4 5)(4 7) (5 1)(5 2)(5 4)(5 7)
x x x x x x x x                 
 ( 1)( 2)( 4)( 5) 10
(7 1)(7 2)(7 4)(7 5)
x x x x   
   
 Substituindo x=3, f(3)=6.
Algoritmo: Polinômio interpolador de LagrangeAlgoritmo: Polinômio interpolador de Lagrange
function Yint = LagrangeINT(x,y,Xint)
% LagrangeINT ajusta um polinômio de Lagrange a um conjunto de pontos e
% usa o polinômio para determiner o valor interpolado em um ponto.
% Variaveis de entrada:% Variaveis de entrada:
% x Vetor com as coordenadas x dos pontos dados.
% y Vetor com as coordenadas y nos pontos dados.
% Xint A coordenada x do ponto a ser interpolado.
% Variavel de saida:
% Yint O valor interpolado em Xint.
n = length(x);
for i = 1:nfor i 1:n
L(i) = 1;
for j = 1:n
if j ~= i
L(i)= L(i)*(Xint-x(j))/(x(i)-x(j));
end
end
endend
Yint = sum(y.*L);
Polinômio interpolador de LagrangePolinômio interpolador de Lagrange
Ob õOb õ Observações:Observações:
O t t t õ j t d d d O espaçamento entre os pontos que compõem o conjunto de dados 
não precisa ser igual
 Para um dado conjunto de dados, deve-se calcular a expressão 
completa do polinômio interpolador para cada valor de x
 Se um conjunto de dados for ampliado, todos os termos do 
polinômio de Lagrange devem ser calculados novamentep g g
Polinômios interpoladores de NewtonPolinômios interpoladores de Newton
F l d li ô i d N t d d 1 Forma geral do polinômio de Newton de ordem n-1:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f    1 2 1 3 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )...( )n nf x a a x x a x x x x a x x x x x x           
 Os pontos do conjunto de dados não precisam estar 
ordenados
 Mais pontos podem ser adicionados ao conjunto de 
dados após a determinação de n coeficientes Édados após a determinação de n coeficientes. É 
necessário apenas determinar os coeficientes 
adicionais. 
Polinômios interpoladores de NewtonPolinômios interpoladores de Newton
P d i t ( ) ( ) ( ) ( )f Para dois pontos (x1, y1) e (x2, y2):
S b tit i d t
1 2 1( ) ( )f x a a x x  
y y Substituindo os pontos: 1 1a y 2 12
2 1
y ya
x x
 
 Para três pontos (x1, y1), (x2, y2) e (x3, y3):
1 2 1 3 1 2( ) ( ) ( )( )f x a a x x a x x x x     
1 1a y 2 12 y ya 
3 2 2 1
3 2 2 1
3
y y y y
x x x xa
  2
2 1x x 3 3 1x x
Polinômios interpoladores de NewtonPolinômios interpoladores de Newton
P t t Para quatro pontos:
1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )f x a a x x a x x x x a x x x x x x         1 2 1 3 1 2 4 1 2 3( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )f
4 3 3 2 3 2 2 1y y y y y y y y          
4 3 3 2 3 2 2 1
4 2 3 1
4
( ) ( )
( )
x x x x x x x x
x x x xa
          
4 1( )x x
j iy y Definindo diferença dividida: [ , ] j ij i
j i
y y
f x x
x x
 
Polinômios interpoladores de NewtonPolinômios interpoladores de Newton
G li d li ô i i t l d d N t Generalizando o polinômio interpolador de Newton 
através das diferenças divididas:
2 2 1[ , ]a f x x 3 2 2 13 3 2 1
3 1
[ , ] [ , ] [ , , ]f x x f x xa f x x x
x x
 
   4 3 3 2 3 2 2 1
4 2 3 1 4 3 2 3 2 1
[ , ] [ , ] [ , ] [ , ]
( ) ( ) [ , , ] [ , , ] [ ]
f x x f x x f x x f x x
x x x x f x x x f x x xa f x x x x
   4 2 3 1 4 3 2 3 2 1
4 4 3 2 1
4 1 4 1
[ , , , ]
( ) ( )
a f x x x x
x x x x
   
1 2 1 1 3 2 1 1 2
1 2 1 1 2 1
( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )
[ ] ( )( ) ( )
f x y f x x x x f x x x x x x x
f x x x x a x x x x x x
      
    1 2 1 1 2 1 ... [ , ,..., , ] ( )( )...( )n n n nf x x x x a x x x x x x  
Interpolação por partes (splines)Interpolação porpartes (splines)
G d d t it li ô i d b i d Grande numero de pontos  muitos polinômios de baixa ordem
 Cada polinômio de baixa ordem é valido em um intervalo entre dois Cada polinômio de baixa ordem é valido em um intervalo entre dois 
ou vários pontos. Tipicamente, todos os polinômios utilizados têm a 
mesma ordem, mas os coeficientes são diferentes em cada 
intervalo.
Q d li ô i d i i d ã d li h t Quando polinômios de primeira ordem são usados, linhas retas 
conectam os pontos. Para polinômios de segunda e terceira ordem, 
os pontos são conectados por curvasp p
interpolação por partes ou splineinterpolação por partes ou spline
Interpolação por partes (splines)Interpolação por partes (splines)
S li li Splines lineares
Interpolação por partes (splines)Interpolação por partes (splines)
S li d áti Splines quadráticas
Interpolação por partes (splines)Interpolação por partes (splines)
S li úbi Splines cúbicas
Exercício 1 Polinômio de LagrangeExercício 1 – Polinômio de Lagrange
I l t M tl b l it d li ô i i t l d Implemente em Matlab o algoritmo do polinômio interpolador 
de Lagrange
 Trace em um gráfico y versus x experimental.
 No mesmo gráfico acima, trace a curva do polinômio de 
Lagrange.
 Use diferentes polinômios, inclusive a interpolação por partes 
lt d li ô i d Le compare o resultado com o polinômio de Lagrange e os 
dados experimentais. Qual o melhor método?
Exercício 2 Volume de um gásExercício 2 – Volume de um gás
Dispõe-se dos dados experimentais PVT para o SO2 (Himmelblau, D.
M., Process Analysis by Statistical Methods, John Wiley & Sons, New
York, 1970), mostrados na tabela a seguir. Deseja-se saber, dentre
outras coisas, qual o volume ocupado por 1 mol de SO2 a 110oC e 10, q p p 2
atmosferas. São dados os pesos moleculares de S (32,060) e O
(15,999) e a constante dos gases ideais R = 0.08205 ata.L/(mol.K).
Pede-se para elaborar um algoritmo em Matlab para:
 Trace um gráfico P*V versus T. Obtém-se uma reta?Trace um gráfico P V versus T. Obtém se uma reta?
 Para T=125oC, trace o gráfico V versus P.
 Para T=25oC calcule o volume ocupado pelo gás para 10 pontos Para T 25 C, calcule o volume ocupado pelo gás para 10 pontos
entre P = 4,651 atm e P = 7,118 atm (incluindo os extremos). Trace
um gráfico V versus P.
Exercício adaptado denotas de aula do Prof. Kalid, 2009
Exercício 2 Volume de um gásExercício 2 – Volume de um gás
Pede-se para elaborar um algoritmo em Matlab para (continuação):
 Como ficaria o gráfico se os dados fossem ajustados a um
polinômio? Qual a diferença em relação ao item anterior?
 Calcule o volume para um dado T e P dentro do intervalo dado. Por
exemplo, qual o volume em T = 170oC e P = 30atm?
 Use o interp1 do Matlab!
 Adicionalmente, aproveite para pesquisar e aprender os seguintes
comandos do Matlab:
 interp2
 griddata
 polyfit
 polyval
Exercício 2 Volume de um gásExercício 2 – Volume de um gás
V (cm3/g) P (atm) Massa do 
gás(g)
T (oC)
g (g)
67.81 4.651 0.2948 50
50.882 6.338 0.2948 50
45.28 7.118 0.2948 50
72 946 4 767 0 2948 7572.946 4.767 0.2948 75
49.603 7.237 0.2948 75
23.331 14.71 0.2948 75
80.17 4.699 0.2948 10
45.664 8.676 0.2948 10
25.284 15.345 0.2948 10
15.285 23.401 0.2948 10
84.581 4.812 0.2948 125
42.675 10.12 0.2948 125
23.48 18.017 0.2948 125
14.735 26.921 0.2948 125
23 913 19 314 1 9533 15023.913 19.314 1.9533 150
18.241 24.695 1.9533 150
7.2937 50.022 1.9533 150
4.6577 62.73 1.9533 150
20 685 25 617 1 9533 20020.685 25.617 1.9533 200
10.595 46.498 1.9533 200
5.8481 73.19 1.9533 200