Movimento no Plano e no Espaço - Cap 5 fund mec ufmg

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Capítulo 5
Movimento no plano e no espaço
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Descrição vetorial do movimento
Sua velocidade média será
t
ttt
t ∆
−∆+
≡
∆
∆
≡
)()( rrr
v
A velocidade da partícula em qualquer 
instante se alinha com a tangente da 
trajetória no ponto ocupado
Uma partícula movendo-se sobre uma curva. 
Suas posições nos instantes t e t + ∆t são respectivamente r(t) e r(t + ∆t). 
r(t) r(t+∆t)
Seu deslocamento no intervalo de tempo ∆t é ∆r=r(t + ∆t) - r(t),
∆r Sua velocidade no instante t será
t
ttt
td
d
t
t ∆
−∆+
≡≡
→∆
)()(lim)(
0
rrr
v
v(t)
A aceleração média da partícula será
( ) ( )t t t
t t
∆ + ∆ −
≡ ≡
∆ ∆
v v v
a
Sua aceleração no instante t será
0
( ) ( )( ) lim
t
d t t t
t
dt t∆ →
+ ∆ −
≡ ≡
∆
v v v
a
Calcular v(t) e r(t) a partir de a(t)
d
dt
=
v
a d dt⇒ =v a
0 0
t
d dt⇒ =∫ ∫
v
v
v a 0 0
t
dt⇒ − = ∫v v a 0 0( ) ( )
t
t t dt⇒ = + ∫v v a
d
dt
=
r
v d dt⇒ =r v
0 0
t
d dt⇒ =∫ ∫
r
r
r v 0 0
t
dt⇒ − = ∫r r v 0 0( ) ( )
t
t t dt⇒ = + ∫r r v
Informação completa: 0 0( ), ,ta v r
0
( ) ( )( ) lim
t
d t t t
t
dt t∆ →
+ ∆ −
≡ ≡
∆
r r r
v MRU: a=0
0 00
( ) ( ) ( )tt t dt t= + ⇒ =∫v v a v v
0 0 0 00
( ) ( )tt dt t t= + ⇒ − =∫r r v r r v
MUV: a= constante
0 00
( ) ( )tt dt t t= + ⇒ = +∫v v a v v a
0 00
( ) ( )tt t dt= + +∫r r v a
2
0 0
1( )
2
t t t⇒ − = +r r v a
O vetor posição pode ser decomposto em suas componentes
r = xi + yj + zk
A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e os unitários (i, j, k) 
são constantes que não se alteram no tempo. Logo, tem-se que
kjikjiv zyxtd
zd
td
yd
td
dx
vvv ++++++++====++++++++====
kjikjiva zyxzyx aaatd
d
td
d
td
d
td
d
++++++++====++++++++========
vvv
O movimento em 3D pode ser imaginado como a superposição de três 
movimentos unidimensionais independentes
x(t), vx(t), ax(t)
y(t), vy(t), ay(t)
z(t), vz(t), az(t)
d
dt
=
r
v ⇒
Movimento circular uniforme (MCU)
Uma partícula percorre a circunferência de raio R, com velocidade v de 
módulo constante.
( ) [ sen ( ) cos ( ) ],d dt R t t
dt dt
ϕ ϕ ϕ= = ⋅ − +rv i j
A velocidade da partícula será
Sendo sua velocidade angular,d
dt
ϕ
ω =
Sua posição r(t) será completamente 
definida pelo ângulo ϕ
( ) [cos ( ) sen ( ) ]t R t t= +r i jϕ ϕ
y
x
R
r
ϕ
( ) [ sen ( ) cos ( ) ]t R t tω ϕ ϕ= − +v i j
v
Rcosϕi
Rsenϕj
2 ( sen cos cos sen )Rω ϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = − +v r
0⋅ = ⇒ ⊥v r v r
( ) [ cos ( ) sen ( ) ]d dt R t t
dt dt
ϕ
ω ϕ ϕ= = − −va i j
A aceleração da partícula será
( ) [cos ( ) sen ( ) ]t R t t= +r i jϕ ϕ
De forma compacta
ˆ( ) ,t R=r r ˆ( ) ,t Rω=v v 2 ˆ( )t Rω= −a r
y
xR
r
ϕ
( ) [ sen ( ) cos ( ) ]t R t tω ϕ ϕ= − +v i j v
Logo
2( ) [cos ( ) sen ( ) ]t R t tω ϕ ϕ= − +a i j
a
v
v
v
aa
a ˆ( ) ,t R=r r
ˆ( ) ,t Rω=v v
2
ˆ( )t Rω= −a r
a(t) aponta para o centro do círculo em qualquer ponto da trajetória.
a(t)=ac(t) é chamada de aceleração centrípeta. Seu módulo é
2
2
ca RR
= =ω
v
Movimento circular não uniforme 
Uma partícula percorre a circunferência de raio R, com velocidade v de 
módulo variável
r
ϕ
x
y
R
v Sua posição r(t) será completamente 
definida pelo ângulo ϕ
( ) [cos ( ) sen ( ) ]t R t t= +r i jϕ ϕ
( ) [ sen ( ) cos ( ) ],d dt R t t
dt dt
ϕ ϕ ϕ= = ⋅ − +rv i j
A velocidade da partícula será
Sendo sua velocidade angular,( ) dt
dt
ϕ
ω =
( ) ( ) [ sen ( ) cos ( ) ]t t R t tω ϕ ϕ= − +v i j
( ) [cos ( ) sen ( ) ]t R t t= +r i jϕ ϕ
y
xR
r
ϕ( ) ( ) [ sen ( ) cos ( ) ]t t R t tω ϕ ϕ= − +v i j
v
A aceleração da partícula será
( ) dt
dt
=
v
a
De forma compacta
ˆ( ) ,t R=r r ˆ( ) ,t Rω=v v 2 vˆ ˆ( ) dt R
dt
ω= − +a r v
2( ) [cos ( ) sen ( ) ] [ sen ( ) cos ( ) ]dt R t t R t t
dt
ω
ω ϕ ϕ ϕ ϕ= − + + ⋅ − +a i j i j
ac
ata
( ) [ cos ( ) sen ( ) ] [ sen ( ) cos ( ) ]d dt R t t R t t
dt dt
ϕ ω
ω ϕ ϕ ϕ ϕ= − − + ⋅ − +a i j i j
ˆ( ) ,t R=r r
ˆ( ) ,t Rω=v v
2 v
ˆ ˆ( ) dt R
dt
ω= − +a r v
x
y
a
at
ac
A expressão para a(t) permanece válida para uma trajetória qualquer se R for 
tomado como o raio de curvatura local da curva.
No movimento circular não-uniforme, a aceleração a tem duas 
componentes, a aceleração centrípeta ac e a aceleração tangencial at
2
ˆ( )c t Rω= −a r
v
ˆ( )t
d
t
dt
=a v
( ) ( ) ( )c tt t t= +a a a
Movimento de um projétil
Todo corpo movendo-se próximo à superfície da Terra tem uma aceleração 
constante que aponta para o centro da Terra, cujo módulo é g, a aceleração da 
gravidade.
2
TGMg
r
= Próximo à superfície da Terra, r = RT e g = 9,8 m/s2.
v0
θ0
x
yUma partícula é lançada com velocidade v0
de módulo v0 fazendo um ângulo θ0 com a 
horizontal:
0 0 0 0 0 0 0v v v cos v senx y θ θ= + = +v i j i j
v0cosθ0i
v0senθ0j
A aceleracão da partícula será
ja g−−−−====
Logo
0xa =
ya g= −
v 0xd
dt
⇒ =
vyd g
dt
⇒ = −
Integrando as equações acima tem-se
0v vx x= Em x: MRU
0v vy y gt= − Em y: MUV
A aceleração da gravidade não afeta a velocidade horizontal do projétil.
A aceleração da gravidade não é afetada pelo valor da velocidade horizontal.
0
v
v
v 0x
x
xd⇒ =∫
0
v
v 0
v
y
y
t
yd g dt⇒ = −∫ ∫
Duas bolas são soltas do mesmo ponto. Uma delas tem velocidade inicial 
nula e a outra tem velocidade inicial na horizontal.
Em cada instante as duas bolas estão na mesma altura, ou seja, a
velocidade horizontal da bola não afeta seu movimento na vertical.
Filme queda das duas bolas
0v x
dx
dt
⇒ =
0v y
dy gt
dt
⇒ = −
Sendo x0= 0 a posição inicial da partícula tem-se
0v xx t= (1)
Usando (1) e (2) podemos eliminar t e obter a equação da trajetória de um projétil.
De (1) 
0v x
x
t = (3)
(3) em (2)
0 2
0 2
0
v 1
v 2 v
y
x ox
gy y x x= + − A trajetória de um projétil é uma parábola.
0v vx x=
0
00
v
x t
x
x
dx dt⇒ =∫ ∫
0v vy y gt= −
0 0
(v )y t oyy dy gt dt⇒ = −∫ ∫
(2)20 0
1
v
2y
y y t gt= + −e
0 0v xx x t⇒ − =
2
0
1
v
2oy
y y t gt⇒ − = −
0 2
0 2
0
v 1
v 2 v
y
x ox
gy y x x= + −
0v v ,x x= 0v vy y gt= −
θo
vo
vox
voy
vx
vx
vx
vx
vx
vy
vy
vy
vy
x
y
v v
v
v
v
t = gvoy/
Tempo de subida de um projétil (ts)
Na altura máxima do projétil, vy= 0 e t = ts
0v vy y gt= −
00 v y sgt= −
Alcance de um projétil (R)
Desprezando a resistência do ar, o tempo de subida do projétil é igual ao tempo 
de descida. Assim o alcance na horizontal corresponde ao instante t=2ts.
θo
vo
x
y
h
0
0
R
ts
2ts
Altura máxima de um projétil (h)
y = h quando t = ts
2
0
1
v
2y
y t gt= −
2
0 0
0
v v1
v
2
y y
yh gg g
 
⇒ = −  
 
2
0v
2
yh
g
⇒ =
0v xx t= 0v 2x sR t⇒ =
2
0v sen 2R
g
θ
⇒ =00
v
v 2 yxR g
⇒ =
2
02v sen cosR
g
θ θ
⇒ =
0v y
st g
⇒ =
2 2
0 0v sen
2
h
g
θ
⇒ =
válido somente se as alturas inicial e final forem iguais
2
0v sen 2R
g
θ
=
2
0
sen 2
v
Rgθ =
Alcance máximo: sen 2θ = 1, então 2θ = 90o e θ = 45o
Com exceção do alcance máximo (2θ = 90o), cada alcance pode ser atingido por 
dois ângulos diferentes.
2θ
2θ
Exemplo
sen 2 0,5θ =
2 30 ou 2 180 30 150o o o oθ θ⇒ = = − =
15 ou 75o oθ θ⇒ = =
Alcance de um projétil
Exemplo 5.2 – Um carro está num ponto de uma estrada onde a raio de 
curvatura éde 500 m. Sua velocidade é de 30 m/s e aumenta a uma taxa de 2,0 
m/s2. Calcule o módulo da aceleração do carro.
c t= +a a a
2v
ca R
=
2 2
c ta a a⇒ = +
22,0 m/sta =
2
230
 m/s
500
=
21,8 m/s=
2 2 2 2 2 21,8 2,0 m/s 2,7 m/sc ta a a⇒ = + = + =
Soma vetorial e ac perpendicular a at
R
ac
at
a
Exemplo 5.3 - Um menino rola uma bolinha sobre uma mesa, e esta cai, de 
uma altura H (ver Figura abaixo). Se a velocidade inicial da bolinha é v0 , a que 
distância D da projeção da borda da mesa ela atinge o piso?
H
D
y
x
0 0v 0, y y H= =
0vx t= (2)
21
2
y H gt⇒ = − (1)
De (2) tem-se 
0
.
v
x
t =
Quando x = D, y = 0
2
2
0
0
2v
gDH⇒ = − 0
2
v
HD
g
⇒ =
Substituindo este valor de t em (1): 
2
2
0
1
2 v
xy H g= −
v0 2
0 0
1
v
2y
y y gt= + −Em y, MUV:
Em x, MRU: 0+ vxx x t=
0 0v = v , 0x x =
Exemplo 5.5 - A pedra acerta o mico? Um menino vê um mico pendurado em 
uma árvore e lhe atira uma pedra usando seu estilingue. Exatamente no instante 
em que a pedra é atirada, o mico solta-se do galho pretendendo cair ao solo e 
depois escapar da perseguição. Ficará o mico livre de ser atingido pela pedra ?
x
y
h
d
vo
O menino mira o mico 0tg
h
d
θ⇒ = 0
0
v
v
y
x
=
θ0
As coordenadas da pedra são
0vp xx t=
2
0
1
v
2p y
y t gt= −
A coordenada do mico é
2
0 0
1
v
2m m ym
y y t gt= + − 21
2
h gt= −
A pedra atinge xp=d em
0v
d
x
d
t =
2
0
0 0
v 1
v 2 v
y
p
x x
dy d g
 
⇒ = −  
 
Quando t = td
2
0
1
2 vp x
dy h g
 
⇒ = −  
 
2
0
1
2 vm x
dy h g
 
= −  
 
ym=yp, então o mico é atingido!
Problema 5.6 – Um avião pretende lançar equipamento de salvamento para um 
náufrago. O avião voa à altitude de 200 m, numa linha horizontal que passa sobre o 
náufrago, com velocidade de 300 km/h. O náufrago é observado por uma luneta que 
faz um ângulo θ com a horizontal. A que ângulo θ de visão o equipamento deve ser 
solto, para que ele caia próximo do náufrago?
.
v0
y
x
θ
θ
h
R
v0 = v0x , x0 = 0 m, y0 = h
Calcular R, ou seja, x quando y=0
0 0v xx x t= + 0vx t⇒ =
2
0 0
1
v
2y
y y t gt= + −
21
2
y h gt⇒ = −
(1)
(2)
De (1)
0v
x
t = em (2)
2
2
0
1
2 v
xy h g= −
Quando y= 0, x=R
2
2
0
10
2 v
Rh g⇒ = −
2
2 02 vhR
g
⇒ = 0
2
v
hR
g
⇒ = 532,4 m=
tg h
R
θ = 0,376= 20,6θ⇒ = o
tg h
R
θ =
Em x, MRU
Em y, MUV:
Problema 5.8 – Um projétil é lançado com velocidade v0=20 m/s fazendo um ângulo 
de 60o com a horizontal. Ele atinge um ponto em um plano elevado de uma altura H 
em relação ao ponto de lançamento. Sua trajetória final faz um ângulo de 45o com o 
plano. (a) Calcule o módulo da velocidade final do projétil. (b) Determine H.
θ0
v0 θfvfH
a) Calcular vf
0v vfx x⇒ = 0 0v cosθ=
v v cosfx f fθ=
Em x, MRU (vx é constante)
0 0v cos v cosf fθ θ⇒ =
0
0
cos
v v
cos
f
f
θ
θ
⇒ = 14,1 m/s=
Mas
b) Calcular H
2
0 0
1
+v
2y
y y t gt= −
Em y, MUV
y
x
y0= 0 m. Quando y=H, t=tf
2
0 0
1
v sen
2f f
H t gtθ⇒ = −
Obter tf
0v vy y gt= − 0 0v sen v senf f fgtθ θ⇒ − = −
0 0v sen v senf f
ft g
θ θ+
⇒ = 2,78 s=
(1)
(2) em (1), H = 10,3 m
(2)
Movimento relativo no espaço
Consideremos duas partículas cujas posições no instante t sejam r1(t) e r2(t).
A posição da partícula 2 em relação à partícula 1 é definida pelo vetor
)()()( 12 ttt rrR −−−−====
A velocidade e a aceleração da partícula 2 em relação à partícula 1 são 
dt
d
dt
d
dt
d 12 rrRV −−−−========
2
1
2
2
2
2
2
2
dt
d
dt
d
dt
d rrRA −−−−========
2 1⇒ = −V v v
2 1⇒ = −A a a
Exemplo 5.7 - No cruzamento de duas ruas, uma na direção Leste-Oeste e a 
outra na direção Norte-Sul, há um sinal luminoso. Um carro, indo para o Norte, 
passa pelo cruzamento com velocidade de 70 km/h, a qual é mantida constante. 
10 s depois, o sinal abre para a outra rua e outro carro, indo para o Leste, arranca 
com aceleração constante de 5,0 (km/h)/s. Calcule a posição, velocidade e 
aceleração do segundo carro em relação ao primeiro 15 s após a arrancada do 
carro.
y
x
r1
r2
R = r2 - r1
1 01v=v j
2 02 2(v )a t= +v i 2 a t= i
2 2a=a i1 0=a
2 1 2a⇒ = − =A a a i
2 1 2 01 va t⇒ = − = −V v v i j
1 01 01t= +r r v
2
2 02 02 2
1
2
t t= + +r r v a
2 1= −R r r
Escolhendo t = 0 o instante em 
que o segundo carro arranca:
01 01( v ) r t= + j
2
2
1
 
2
a t= i
2
2 01 01
1
 ( v )
2
a t r t= − +i j
Outro jeito:
d
dt
=
RV
2
d
a
dt
= =
VA i
2 01 va t= −i j
Exemplo 5.8 - Um menino, viajando na carroceria de uma caminhonete que se 
move em uma pista horizontal, tenta descobrir em que direção tem de jogar uma 
pedra para cima para que ela caia de volta em suas mãos. Depois de algumas 
tentativas, descobre que tem de jogá-la na direção que lhe parece ser a vertical. 
Demonstre esse resultado.
vom
voy vc
vcvc
vc x
vc