cálculo 4 - Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

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Cálculo Aplicado:
Semana 02
Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem:
Uma equação diferencial de segunda ordem será chamada de equação diferencial linear de segunda ordem
se puder ser escritas na forma:
P (t)y′′ +Q(t) y′ +R(t) y = g(t)
Uma equação diferencial de segunda ordem será chamada de equação diferencial linear de segunda ordem
homogênea se puder ser escritas na forma:
P (t)y′′ +Q(t) y′ +R(t) y = 0
Se em uma equação diferencial de linear de segunda ordem as funções P , Q e R forem constantes (ou seja,
P (t) = a ∈ R, Q(t) = b ∈ R e R(t) = c ∈ R) então a equação é chamada equação diferencial de linear de
segunda ordem com coe�cientes constantes:
a y′′ + b y′ + c y = g(t)
Se em uma equação diferencial de linear de segunda ordem homogênea as funções P , Q e R forem constantes (ou
seja, P (t) = a ∈ R, Q(t) = b ∈ R e R(t) = c ∈ R) então a equação é chamada equação diferencial de linear de
segunda ordem homogênea com coe�cientes constantes:
a y′′ + b y′ + c y = 0
Começamos nosso estudo coma as equações diferenciais de segunda ordem mais simples: as equações diferenciais
lineares de segunda ordem homegêneas com coe�cientes constantes, depois usaremos os resultados obtidos nesse caso
para o estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coe�cientes constantes (não homogêneas).
Equação Diferencial Linear de 2
a
Ordem com coe�cientes constantes homogênea:
Dada uma EDO Linear 2
a
Ordem com coe�cientes constantes homogênea : a y′′ + b y′ + c y = 0 (1), associamos a
equação algébrica de segundo grau: aλ2 + b λ+ c = 0 (2), que é chamada equação característica associada à (1).
A equação característica pode ter: duas raizes reais distintas se ∆ = b2 − 4ac > 0 ou duas raízes reais iguais se
∆ = b2 − 4ac = 0 ou duas complexas se ∆ = b2 − 4ac < 0. Vamos estudar cada caso:
a y′′ + b y′ + c y = 0
aλ2 + b λ+ c = 0 ∆ = b2 − 4ac e r = −b±
√
∆
2a
• Se ∆ > 0 então r1 = −b+
√
∆
2a
e r2 =
−b−√∆
2a
Solução geral da EDO: yG(t) = C1 e
r1 t + C2 e
r2 t
2
• Se ∆ = 0 então r = r1 = r2 = −b
2a
Solução geral da EDO: yG(t) = C1 e
r t + C2 t e
r t
• Se ∆ < 0 então r1 = −b+
√ |∆| i
2a
e r2 =
−b−√ |∆| i
2a
r1 =
−b
2a︸︷︷︸
α
+
√ |∆|
2a︸ ︷︷ ︸
β
i e r2 =
−b
2a︸︷︷︸
α
−
√ |∆|
2a︸ ︷︷ ︸
β
i
r1 = α+ β i e r2 = α− β i
Solução geral da EDO: yG(t) = e
α t
[
C1 sen (β t) + C2 cos (β t)
]
Resumindo:
EDO: a y′′ + b y′ + c y = 0 ⇒ equação característica associada: aλ2 + b λ+ c = 0
• Se ∆ > 0 temos r1, r2 ∈ R com r1 6= r2 e a solução da EDO é: yG(t) = C1 er1 t + C2 er2 t
• Se ∆ = 0 temos r1 = r2 = r ∈ R e a solução da EDO é: yG(t) = C1 er t + C2 t er t
• Se ∆ < 0 temos r1 = α+ β i e r2 = α− β i e a solução da EDO é: yG(t) = eα t
[
C1 sen (β t) + C2 cos (β t)
]
Exercícios:
1. Resolva as equações diferenciais:
(a) y′′ − 2y′ + y = 0 (b) y′′ − 2y′ + 2y = 0 (c) y′′ + 2y′ − 8y = 0
(d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 (e) y′′ + 6y′ + 13y = 0 (f) 4y′′ + 9y = 0
(g) 4y′′ + 8y′ + y = 0 (h) 9y′′ + 9y′ − 4y = 0 (i) 4y′′ + 4y′ + y = 0
(j) 4y′′ + 16y′ + 25y = 0 (k) 9y′′ + 2y′ = 0 (l) 4y′′ + y = 0
2. Resolva o problema de valor inicial, (♦o esboce o grá�co da solução) e determine o comportamento da solução
quando t→ +∞ :
(a) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0)=1, y'(0)=1. (b) y′′ + 4y′ + 3y = 0 y(0)=2, y'(0)=-1.
(c) 6y′′ − 5y′ + y = 0 y(0)=4, y'(0)=0. (d) y′′ + 3y′ = 0 y(0)=-2, y'(0)=3.
(e) y′′ + 5y′ + 3y = 0 y(0)=1, y'(0)=0. (f) 2y′′ + y′ − 4y = 0 y(0)=0, y'(0)=1.
(g) y′′ + 8y′ +−9y = 0 y(1)=1, y'(1)=0. (h) 4y′′ − y = 0 y(-2)=1, y'(-2)=-1.