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1 Cálculo Aplicado: Semana 02 Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem: Uma equação diferencial de segunda ordem será chamada de equação diferencial linear de segunda ordem se puder ser escritas na forma: P (t)y′′ +Q(t) y′ +R(t) y = g(t) Uma equação diferencial de segunda ordem será chamada de equação diferencial linear de segunda ordem homogênea se puder ser escritas na forma: P (t)y′′ +Q(t) y′ +R(t) y = 0 Se em uma equação diferencial de linear de segunda ordem as funções P , Q e R forem constantes (ou seja, P (t) = a ∈ R, Q(t) = b ∈ R e R(t) = c ∈ R) então a equação é chamada equação diferencial de linear de segunda ordem com coe�cientes constantes: a y′′ + b y′ + c y = g(t) Se em uma equação diferencial de linear de segunda ordem homogênea as funções P , Q e R forem constantes (ou seja, P (t) = a ∈ R, Q(t) = b ∈ R e R(t) = c ∈ R) então a equação é chamada equação diferencial de linear de segunda ordem homogênea com coe�cientes constantes: a y′′ + b y′ + c y = 0 Começamos nosso estudo coma as equações diferenciais de segunda ordem mais simples: as equações diferenciais lineares de segunda ordem homegêneas com coe�cientes constantes, depois usaremos os resultados obtidos nesse caso para o estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coe�cientes constantes (não homogêneas). Equação Diferencial Linear de 2 a Ordem com coe�cientes constantes homogênea: Dada uma EDO Linear 2 a Ordem com coe�cientes constantes homogênea : a y′′ + b y′ + c y = 0 (1), associamos a equação algébrica de segundo grau: aλ2 + b λ+ c = 0 (2), que é chamada equação característica associada à (1). A equação característica pode ter: duas raizes reais distintas se ∆ = b2 − 4ac > 0 ou duas raízes reais iguais se ∆ = b2 − 4ac = 0 ou duas complexas se ∆ = b2 − 4ac < 0. Vamos estudar cada caso: a y′′ + b y′ + c y = 0 aλ2 + b λ+ c = 0 ∆ = b2 − 4ac e r = −b± √ ∆ 2a • Se ∆ > 0 então r1 = −b+ √ ∆ 2a e r2 = −b−√∆ 2a Solução geral da EDO: yG(t) = C1 e r1 t + C2 e r2 t 2 • Se ∆ = 0 então r = r1 = r2 = −b 2a Solução geral da EDO: yG(t) = C1 e r t + C2 t e r t • Se ∆ < 0 então r1 = −b+ √ |∆| i 2a e r2 = −b−√ |∆| i 2a r1 = −b 2a︸︷︷︸ α + √ |∆| 2a︸ ︷︷ ︸ β i e r2 = −b 2a︸︷︷︸ α − √ |∆| 2a︸ ︷︷ ︸ β i r1 = α+ β i e r2 = α− β i Solução geral da EDO: yG(t) = e α t [ C1 sen (β t) + C2 cos (β t) ] Resumindo: EDO: a y′′ + b y′ + c y = 0 ⇒ equação característica associada: aλ2 + b λ+ c = 0 • Se ∆ > 0 temos r1, r2 ∈ R com r1 6= r2 e a solução da EDO é: yG(t) = C1 er1 t + C2 er2 t • Se ∆ = 0 temos r1 = r2 = r ∈ R e a solução da EDO é: yG(t) = C1 er t + C2 t er t • Se ∆ < 0 temos r1 = α+ β i e r2 = α− β i e a solução da EDO é: yG(t) = eα t [ C1 sen (β t) + C2 cos (β t) ] Exercícios: 1. Resolva as equações diferenciais: (a) y′′ − 2y′ + y = 0 (b) y′′ − 2y′ + 2y = 0 (c) y′′ + 2y′ − 8y = 0 (d) y′′ + 2y′ + 2y = 0 (e) y′′ + 6y′ + 13y = 0 (f) 4y′′ + 9y = 0 (g) 4y′′ + 8y′ + y = 0 (h) 9y′′ + 9y′ − 4y = 0 (i) 4y′′ + 4y′ + y = 0 (j) 4y′′ + 16y′ + 25y = 0 (k) 9y′′ + 2y′ = 0 (l) 4y′′ + y = 0 2. Resolva o problema de valor inicial, (♦o esboce o grá�co da solução) e determine o comportamento da solução quando t→ +∞ : (a) y′′ + y′ − 2y = 0, y(0)=1, y'(0)=1. (b) y′′ + 4y′ + 3y = 0 y(0)=2, y'(0)=-1. (c) 6y′′ − 5y′ + y = 0 y(0)=4, y'(0)=0. (d) y′′ + 3y′ = 0 y(0)=-2, y'(0)=3. (e) y′′ + 5y′ + 3y = 0 y(0)=1, y'(0)=0. (f) 2y′′ + y′ − 4y = 0 y(0)=0, y'(0)=1. (g) y′′ + 8y′ +−9y = 0 y(1)=1, y'(1)=0. (h) 4y′′ − y = 0 y(-2)=1, y'(-2)=-1.
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