Livro Matematica_Financeira

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Universidade do Sul de Santa Catarina
Palhoça
UnisulVirtual
2009
Matemática Financeira
Disciplina na modalidade a distância
6ª edição revista e atualizada
Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual - Educação Superior a Distância
Campus UnisulVirtual 
Avenida dos Lagos, 41 - Cidade 
Universitária Pedra Branca 
Palhoça – SC - 88137-100 
Fone/fax: (48) 3279-1242 e 
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Reitor Unisul
Ailton Nazareno Soares
Vice-Reitor
Sebastião Salésio Heerdt 
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Campus Sul 
Diretora: Milene Pacheco 
Kindermann
Campus Norte 
Diretor: Hércules Nunes de Araújo
Campus UnisulVirtual
Diretor: João Vianney 
Diretora Adjunta: Jucimara Roesler 
Equipe UnisulVirtual 
Gerência Acadêmica 
Márcia Luz de Oliveira 
Gerência Administrativa 
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Marcelo Fraiberg Machado
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Gerência de Ensino, Pesquisa e 
Extensão
Moacir Heerdt
Clarissa Carneiro Mussi
Gerência Financeira
Fabiano Ceretta
Gerência de Produção 
e Logística
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Gerência Serviço de Atenção 
Integral ao Acadêmico
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Avaliação Institucional 
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Capacitação e Assessoria ao 
Docente
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(Coordenadora)
Adriana Silveira
Caroline Batista 
Cláudia Behr Valente
Elaine Surian
Patrícia Meneghel 
Simone Perroni da Silva Zigunovas 
Coordenação dos Cursos
Adriana Ramme
Adriano Sérgio da Cunha 
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Ana Luisa Mülbert 
Ana Paula Reusing Pacheco 
Bernardino José da Silva
Charles Cesconetto 
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Fabiana Lange Patrício (auxiliar) 
Fabiano Ceretta 
Itamar Pedro Bevilaqua
Jairo Afonso Henkes 
Janete Elza Felisbino 
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Jorge Alexandre Nogared Cardoso
José Carlos Noronha de Oliveira
Jucimara Roesler 
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Luiz Guilherme Buchmann 
Figueiredo 
Luiz Otávio Botelho Lento 
Marciel Evangelista Catâneo
Maria da Graça Poyer 
Maria de Fátima Martins (auxiliar) 
Mauro Faccioni Filho
Moacir Fogaça 
Moacir Heerdt 
Nazareno Marcineiro
Nélio Herzmann 
Onei Tadeu Dutra 
Patrícia Alberton 
Raulino Jacó Brüning 
Rose Clér Estivalete Beche
Rodrigo Nunes Lunardelli
 
Criação e Reconhecimento de 
Cursos
Diane Dal Mago 
Vanderlei Brasil 
Desenho Educacional 
Carolina Hoeller da Silva Boeing 
(Coordenadora)
Design Instrucional
Ana Cláudia Taú
Carmen Maria Cipriani Pandini 
Cristina Klipp de Oliveira
Daniela Erani Monteiro Will
Flávia Lumi Matuzawa 
Karla Leonora Dahse Nunes 
Lucésia Pereira
Luiz Henrique Milani Queriquelli
Márcia Loch
Marcelo Mendes de Souza
Marina Cabeda Egger Moellwald
Michele Correa
Nagila Cristina Hinckel
Silvana Souza da Cruz 
Viviane Bastos 
Acessibilidade 
Vanessa de Andrade Manoel 
Avaliação da Aprendizagem
Márcia Loch (Coordenadora) 
Eloísa Machado Seemann
Gabriella Araújo Souza Esteves
Lis Airê Fogolari
Simone Soares Haas Carminatti
Design Visual 
Pedro Paulo Alves Teixeira 
(Coordenador) 
Adriana Ferreira dos Santos 
Alex Sandro Xavier
Alice Demaria Silva 
Anne Cristyne Pereira
Diogo Rafael da Silva
Edison Rodrigo Valim
Elusa Cristina Sousa
Fernando Roberto Dias Zimmermann 
Higor Ghisi Luciano
Vilson Martins Filho
Multimídia 
Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro
Fernando Gustav Soares Lima 
Portal
Rafael Pessi 
Disciplinas a Distância 
Enzo de Oliveira Moreira 
(Coordenador)
Franciele Arruda Rampelotti 
(auxiliar)
Luiz Fernando Meneghel
Gestão Documental
Lamuniê Souza (Coordenadora) 
Janaina Stuart da Costa
Josiane Leal
Juliana Dias Ângelo
Roberta Melo Platt
Logística de Encontros 
Presenciais 
Graciele Marinês Lindenmayr 
(Coordenadora) 
Aracelli Araldi Hackbarth
Daiana Cristina Bortolotti
Douglas Fabiani da Cruz 
Edésio Medeiros Martins Filho
Fabiana Pereira
Fernando Steimbach 
Letícia Cristina Barbosa 
Marcelo Faria
Marcelo Jair Ramos
Rodrigo Lino da Silva
Formatura e Eventos 
Jackson Schuelter Wiggers 
Logística de Materiais 
Jeferson Cassiano Almeida da Costa 
(Coordenador) 
Carlos Eduardo Damiani da Silva
Geanluca Uliana 
Guilherme Lentz
Luiz Felipe Buchmann Figueiredo
José Carlos Teixeira 
Rubens Amorim
Monitoria e Suporte 
Rafael da Cunha Lara (Coordenador)
Andréia Drewes 
Anderson da Silveira 
Bruno Augusto Zunino 
Claudia Noemi Nascimento 
Cristiano Dalazen 
Débora Cristina Silveira 
Ednéia Araujo Alberto 
Fernanda Farias 
Jonatas Collaço de Souza 
Karla Fernanda W. Desengrini 
Maria Eugênia Ferreira Celeghin 
Maria Isabel Aragon 
Maria Lina Moratelli Prado 
Mayara de Oliveira Bastos 
Poliana Morgana Simão 
Priscila Machado 
Priscilla Geovana Pagani 
Tatiane Silva
Produção Industrial
Francisco Asp (coordenador)
Ana Paula Pereira 
Marcelo Bittencourt
Relacionamento com o 
Mercado 
Walter Félix Cardoso Júnior 
Secretaria de Ensino a Distância 
Karine Augusta Zanoni Albuquerque 
(Secretária de ensino) 
Andréa Luci Mandira 
Andrei Rodrigues
Djeime Sammer Bortolotti 
Fylippy Margino dos Santos
Jenniffer Camargo 
Liana Pamplona
Luana Tarsila Hellmann 
Marcelo José Soares
Micheli Maria Lino de Medeiros
Rafael Back
Rosângela Mara Siegel 
Silvana Henrique Silva 
Vanilda Liordina Heerdt 
Vilmar Isaurino Vidal 
Secretária Executiva 
Viviane Schalata Martins
Tenille Nunes Catarina (Recepção) 
Tecnologia 
Osmar de Oliveira Braz Júnior 
(Coordenador) 
André Luis Leal Cardoso Júnior
Felipe Jacson de Freitas
Jefferson Amorin Oliveira
José Olímpio Schmidt 
Marcelo Neri da Silva 
Phelipe Luiz Winter da Silva
Rodrigo Battistotti Pimpão
Apresentação
Este livro didático corresponde à disciplina Matemática 
Financeira.
O material foi elaborado, visando a uma aprendizagem 
autônoma. Com este objetivo, aborda conteúdos especialmente 
selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar 
uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar-lhe 
o estudo a distância, proporcionando condições favoráveis às 
múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz.
Lembre-se de que sua caminhada nesta disciplina será 
acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema 
Tutorial da UnisulVirtual. A indicação ‘a distância’ caracteriza 
tão-somente a modalidade de ensino por que você optou para a 
sua formação.
E, nesta relação de aprendizagem, professores e instituição 
estarão continuamente em conexão com você.
Então, sempre que sentir necessidade, entre em contato. 
Você tem à sua disposição diversas ferramentas e canais de 
acesso, tais como telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de 
Aprendizagem, este que é o canal mais recomendado, pois tudo o 
que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle 
e comodidade. Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior 
prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal 
objetivo.
Bom estudo e sucesso!
Equipe UnisulVirtual.
Maurici José Dutra
Palhoça
UnisulVirtual
2009
Matemática Financeira
Livro didático 
Design instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Leandro Kingeski Pacheco
6ª edição revista e atualizada
Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul
513.93 
D97 Dutra, Maurici José 
 Matemática financeira : livro didático / Maurici José Dutra ; design 
 instrucional Daniela Erani Monteiro Will, Leandro Kingeski Pacheco, 
 [Carolina Hoeller da Silva Boeing ; assistente pedagógicoSilvana 
 Souza da Cruz, Michele Antunes Corrêa]. – 6. ed. rev. – Palhoça : 
 UnisulVirtual, 2009.
 215 p. : il. ; 28 cm. 
 
 Inclui bibliografia. 
 ISBN 978-85-7817-110-0
1. Matemática financeira. I. Will, Daniela Erani Monteiro. II. 
Pacheco, Leandro Kingeski. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva. 
IV. Cruz, Silvana Souza da. V. Título. 
Edição – Livro Didático
Professor Conteudista
Maurici José Dutra 
Design Instrucional
Daniela Erani Monteiro Will
Leandro Kingeski Pacheco
Carolina Hoeller da Silva Boeing 
(4ª edição revista e atualizada)
Assistente Pedagógico
Silvana Souza da Cruz
(5ª edição revista e atualizada)
Michele Antunes Corrêa 
(6ª edição revista)
ISBN 978-85-7817-110-0
Projeto Gráfico e Capa
Equipe UnisulVirtual
Diagramação
Adriana Ferreira dos Santos
Diogo Rafael da Silva
(5ª edição revista e atualizada)
Adriana Ferreira dos Santos
(6ª edição revista e atualizada)
Revisão de conteúdo
Orlando da Silva Filho
Revisão ortográfica e gramatical
B2B 
Copyright © UnisulVirtual 2009
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição. 
Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
UNIDADE 1 – Fundamentos de matemática financeira . . . . . . . . . . . . . . . . 15
UNIDADE 2 – Juros simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
UNIDADE 3 – Descontos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
UNIDADE 4 – Juros compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
UNIDADE 5 – Taxas de juros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
UNIDADE 6 – Descontos compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
UNIDADE 7 – Equivalência de capitais a juros compostos . . . . . . . . . . . . 95
UNIDADE 8 – Sequência de capitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
UNIDADE 9 – Depreciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
UNIDADE 10 – Amortização de empréstimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
UNIDADE 11 – Inflação e correção monetária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
UNIDADE 12 – Operações práticas com o uso da calculadora
HP-12C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Sobre o professor conteudista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Respostas e comentários das atividades de autoavaliação . . . . . . . . . . . . . 193
Sumário
Palavras do professor
Caro aluno (a),
Gostaria de parabenizá-lo(a) pela sua escolha em fazer 
este curso. Certamente você terá condições de aprender 
tudo o que for necessário para o melhor aprimoramento 
em sua vida profissional.
A disciplina Matemática Financeira, na modalidade 
a distância, foi desenvolvida especialmente para você, 
levando em consideração os aspectos particulares da 
formação a distância. 
O material didático apresenta aspectos teóricos e cálculos 
financeiros dentre os quais destacamos: regimes de 
capitalização, descontos, depreciação, inflação e correção 
monetária e as diversas modalidades de empréstimos que 
são ferramentas fundamentais na gestão financeira de 
qualquer empresa ou pessoa.
Quanto ao seu rendimento e produtividade, sugerimos 
que antes de iniciar seus estudos, elabore um cronograma 
pessoal para que não se perca no tempo que irá despender 
com esta matéria.
Lembramos que você não está sozinho nesta caminhada, 
pois estaremos sempre à disposição para ajudá-lo.
Desejamos êxito na disciplina.
Bom estudo! 
 
Professor Maurici José Dutra
Plano de estudo
O plano de estudo visa a orientá-lo(a) no 
desenvolvimento da disciplina. Possui elementos que 
o(a) ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a 
organizar o seu tempo de estudos. 
O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual 
leva em conta instrumentos que se articulam e se 
complementam, portanto a construção de competências 
se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das 
diversas formas de ação/mediação.
São elementos desse processo:
 „ o livro didático;
 „ o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem 
(EVA);
 „ as atividades de avaliação (a distância, presenciais 
e de autoavaliação); 
 „ o Sistema Tutorial.
Ementa
Juros simples e compostos. Descontos simples e 
compostos. Equivalência de capitais. Taxa: nominal, 
efetiva e equivalente. Empréstimos de curto e de 
longo prazo. Sistemas de dívidas. Correção monetária, 
amortização e depreciação. Equivalência de fluxo de 
caixa. 
Carga horária
4 créditos - 60 horas
12
Universidade do Sul de Santa Catarina
Objetivos da disciplina
Desenvolver os conceitos fundamentais e práticos da Matemática 
Financeira, fornecendo aos alunos um embasamento que servirá 
como pré-requisito para as futuras disciplinas nesta área.
Conteúdo programático/objetivos
Veja, a seguir, as unidades que compõem o livro didático desta 
disciplina e os seus respectivos objetivos. Estes se referem aos 
resultados que você deverá alcançar ao final de uma etapa de 
estudo. Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de 
conhecimentos que você deverá possuir para o desenvolvimento 
de habilidades e competências necessárias à sua formação. 
Agenda de atividades/ Cronograma
 „ Verifique com atenção o EVA, organize-se para acessar 
periodicamente o espaço da disciplina. O sucesso nos seus 
estudos depende da priorização do tempo para a leitura; 
da realização de análises e sínteses do conteúdo e da 
interação com os seus colegas e professor. 
 „ Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço 
a seguir as datas, com base no cronograma da disciplina 
disponibilizado no EVA.
 „ Use o quadro para agendar e programar as atividades 
relativas ao desenvolvimento da disciplina.
13
Matemática Financeira
Atividades obrigatórias 
Demais atividades (registro pessoal)
UNIDADE 1
Fundamentos de matemática 
financeira
Objetivos de aprendizagem
„ Compreender os conceitos fundamentais de matemática 
financeira.
„ Classificar e identificar os regimes de capitalização.
Seções de estudo
Seção 1 O que é porcentagem?
Seção 2 Regimes de formação dos juros
Seção 3 Fluxo de caixa
1
16
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Caro aluno, para você estudar a disciplina matemática financeira, 
é necessário que você fique familiarizado com o significado 
de alguns termos comumente usados no desenvolvimento da 
mesma. Nesta unidade, você estudará conceitos dos conteúdos 
relativos aos fundamentos da matemática financeira, tais como 
porcentagem, regime de capitalização e fluxo de caixa, bem como 
realizará atividades pertinentes ao assunto. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - O que é porcentagem?
Nesta seção, você estudará basicamente porcentagem e também 
conhecerá alguns outros conceitos fundamentais de matemática 
financeira, como capital, juros,prazo, montante e taxa de juros. 
Porcentagem (percentagem)
A expressão por cento é usada para indicar uma fração cujo 
denominador é 100 (razão centesimal). Outra representação das 
razões centesimais, muito usada no meio econômico financeiro, é 
substituir o denominador 100 pelo símbolo %.
1. 
30
100
30= % (Trinta por cento).
2. 
5
100
5= % (Cinco por cento).
3. Transformação da forma porcentual para a forma 
unitária.
17
Matemática Financeira
Unidade 1
Forma porcentual Transformação Forma unitária
30%
30 
100 0,30
5%
5 
100 0,05
12,2%
122 
100 0,122
Como se calcula a porcentagem de uma quantia?
Quando estamos resolvendo um problema que envolva 
porcentagem, estamos, na verdade, efetuando um cálculo de 
proporção.
1. Qual é o valor de 35% de 70?
35
100 70
35 70
100
24 5
=
= =
x
x . ,
(Aqui usando a forma porcentual)
 
 
 
2. Quantos por cento de R$ 160,00 correspondem à 
quantia de R$ 40,00?
160
40
1
40
160
0 25 25
=
= = =
x
x , %
(Agora usando a forma
 unitária) 
 
 
3. Em um colégio da rede estadual 35% dos alunos 
são meninas. O total de alunos é de 1.600. Quantos 
são os meninos? (Usando a forma unitária e não mais 
escrevendo a proporção)
x
x meninos
=
=
0 65 1600
1040
, .
18
Universidade do Sul de Santa Catarina
Termos importantes usados na matemática financeira
Observe estes termos próprios da matemática financeira, abaixo, 
e a utilização destes, na sequência.
Capital (C) Quantia em dinheiro disponível no mercado em uma determinada data.
Juros (J) Remuneração obtida pelo uso de um capital por um intervalo de tempo.
Prazo (n) Número de períodos que compõem o intervalo de tempo utilizado.
Montante (M) Soma do capital aplicado mais os juros. M C J= +
Taxa de juros (i)
É o coeficiente resultante da razão entre o juro e o capital. A 
cada taxa, deverá vir anexado o período a que ela se refere.
i J
C
=
Um aplicador obteve rendimento de R$ 4.500,00 em 
uma aplicação de R$ 60.000,00 por 2 meses. Qual a 
taxa de juros do período?
 
 J
C
n meses
i a p ou a b
=
=
=
= = =
4500
60000
2
4 500
60 000
0 075 7 5 7 5
.
.
, , % . . , % . ..
 
 
 
Atenção!
Comparações simples de operações aritméticas com 
quantias que estejam em datas diferentes ficam 
inviáveis, quando estudamos matemática financeira.
19
Matemática Financeira
Unidade 1
SEÇÃO 2 - Regimes de formação dos juros
Nesta seção você estudará o regime de formação de juros. Se 
aplicarmos um capital durante vários períodos a uma taxa 
preestabelecida por período, este capital se transformará em um 
valor chamado montante de acordo com duas convenções:
 „ Regime de juros simples.
 „ Regime de juros compostos.
Regime de juros simples
No regime de juros simples, os juros são calculados por períodos 
levando sempre em conta somente o capital inicial (principal).
Regime de juros compostos
Neste caso, os juros gerados em um período são incorporados 
ao capital inicial, formando um novo capital que participará da 
geração de juros no próximo período.
Atenção!
Os juros são capitalizados a cada período. Assim, o 
regime de juros compostos passa a denominar-se 
regime de capitalização composta.
20
Universidade do Sul de Santa Catarina
Exemplo
Ao aplicarmos um capital de R$ 3.000,00 por 4 anos, a uma taxa 
de juros de 12% a.a. no regime de juros simples ou compostos, 
obtemos os seguintes resultados:
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0 - 3.000,00 - 3.000,00
1 360,00 3.360,00 360,00 3.360,00
2 360,00 3.720,00 403,20 3.763,20
3 360,00 4.080,00 451,58 4.214,78
4 360,00 4.440,00 505,77 4.720,56
SEÇÃO 3 - Fluxo de caixa
Você estudará agora o fluxo de caixa. O fluxo de caixa de uma 
operação financeira é representado por um eixo horizontal no 
qual marcamos o tempo em ano, mês ou dia a partir de um 
instante inicial (origem).
As entradas de dinheiro são representadas por setas orientadas 
para cima, perpendiculares ao eixo horizontal. As saídas são 
representadas da mesma forma, porém as setas serão colocadas 
para baixo.
Modelo Simplificado 
(+) entrada
0 tempo (n)
(-) saída
21
Matemática Financeira
Unidade 1
Um investidor aplicou R$ 30.000,00 em uma entidade 
bancária e recebeu R$ 3.200,00 de juros após 6 meses. 
Apresente o fluxo de caixa na visão do aplicador e do 
captador.
Visão do aplicador
33.200
0 6
30.000
Visão do captador
 
Atividades de autoavaliação
Agora que você já estudou toda a unidade 1, realize as atividades de 
autoavaliação propostas.
1) Converta para a forma porcentual:
0,36 - ...................
1,25 - ...................
2) Converta para a forma unitária:
12% - ....................
212% - ..................
22
Universidade do Sul de Santa Catarina
3) Uma pessoa aplica R$ 2.500,00 em um banco e recebe R$ 430,00 de 
juros 6 meses depois. Qual a taxa semestral de juros da operação na 
forma porcentual? 
 
4) Preencha a planilha a seguir calculando os juros e os seus respectivos 
montantes gerados por um capital de R$ 2.000,00, durante 4 meses a 
uma taxa de 5% a.m., nos regimes de capitalização simples e composta.
 
Período
Juros Simples Juros Compostos
Juros Montante Juros Montante
0
1
2
3
4
 
5) Um cliente aplica em uma instituição bancária R$ 5.000,00 a uma taxa 
de 8% a.a. durante 3 anos, recebendo de juros R$ 1.298,56. Apresente o 
fluxo de caixa na ótica do investidor e do captador. 
23
Matemática Financeira
Unidade 1
Síntese
Ao finalizar esta unidade, você deve ter compreendido os 
conceitos e regras apresentados, pois serão muito úteis na 
continuação da disciplina.
Você aprendeu alguns fundamentos da matemática financeira, 
como a porcentagem e certos termos importantes como capital, 
juros, prazo, montante e taxa de juros; o regime de formação de 
juros (juros simples e juros compostos); e o fluxo de caixa e sua 
representação gráfica.
Na próxima unidade você estudará mais profundamente cada 
regime de capitalização. Até lá!
24
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Para você aprimorar ainda mais seus conhecimentos acerca dos 
temas estudados nesta unidade, consulte os seguintes livros:
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 
2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco, GOMES, José Maria. 
Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 1993.
UNIDADE 2
Juros simples
Objetivos de aprendizagem
„ Resolver problemas envolvendo juros simples e 
montante.
„ Distinguir e calcular os tipos de juros simples (juros 
exatos e comerciais).
„ Converter taxas de juros.
„ Entender o conceito de valor atual e valor nominal e 
calculá-los.
Seções de estudo
Seção 1 Juros simples
Seção 2 Montante
Seção 3 Taxas proporcionais
Seção 4 Juros simples exatos e comerciais ou 
bancários
Seção 5 Valor nominal e valor atual
Seção 6 Equivalência de capitais a juros simples
2
26
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Uma vez que você já se habituou aos termos básicos desta 
disciplina, em função do estudo da unidade anterior, agora você 
está pronto para aprofundá-los. Nesta unidade, você desenvolverá 
um estudo simplificado do regime de juro simples, considerando 
um formulário para calcular juros simples, comerciais e exatos, 
montante e valor atual e nominal.
SEÇÃO 1 - Juros simples
Na unidade anterior,quando você estudou o regime de juros 
simples, ficou estabelecido que: 
 „ O juro é produzido unicamente pelo capital inicial 
(principal).
 „ O juro é igual em todos os períodos (constantes).
Conheça, agora, como se calcula os juros simples.
Esta é a fórmula para o cálculo dos juros simples 
27
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Uma pessoa aplica R$ 15.000,00 em uma instituição 
bancária por 10 meses a uma taxa de juros simples de 
2,4% a.m. Qual o juro auferido?
 
C
i a m
n meses
J C i n
J R
=
= =
=
=
= =
15000
2 4 0 024
10
15000 0 024 10 3
, % , .
. .
. , . $ 6600 00,
2. Qual é o rendimento de uma aplicação de R$ 
50.000,00 durante 3 anos à taxa de 6% a.t.?
C
i a t
n anos trimestres
J C i n
J
=
= =
= =
=
=
50000
6 0 06
3 12
50000 0 0
% , . .
. .
. , 66 12 36 000 00. $ . ,= R
3. Calcular o capital inicial aplicado a juros simples, 
sabendo-se que o rendimento obtido na operação 
será de R$ 2.400,00 e que a taxa utilizada no contrato 
é de 2% a.m. durante 2 anos.
C
J
i a m
n anos meses
J C i n
C J
i n
C
=
=
= =
= =
=
=
=
?
% , .
. .
.
,
2400
2 0 02
2 24
2400
0 022 24
5000 00
.
$ ,= R
28
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
 „ Nos cálculos de juros é necessário que a taxa seja 
colocada na forma unitária.
 „ A taxa de juros e o número de períodos (n) devem 
estar sempre na mesma unidade de tempo.
 „ Quando a taxa e o prazo estão em unidades de 
tempo diferentes, sugerimos que se altere sempre 
o prazo.
 „ Nada muda na forma de calcular os juros simples 
quando o período for fracionário.
SEÇÃO 2 - Montante
Nesta seção, você estudará o que é montante. Você sabe o que é 
montante? Montante é uma quantia gerada pela aplicação de um 
capital inicial por determinado tempo, acrescido dos respectivos 
juros.
Esta é a fórmula para o cálculo do montante no regime de 
juros simples 
 
M C J
como
J C i n
ent„o
M C C i n
M C i n
= +
=
= +
= +( )
:
. .
:
. .
.1
29
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Um capital de R$ 18.000,00 foi aplicado a juros 
simples durante 3 anos a taxa de 6% a.a. Qual é o 
montante adquirido?
 
2. Se aplicarmos R$ 4.000,00 a juros simples, à taxa 
de 5% a.m. o montante a receber será de R$ 7.000,00. 
Determine o prazo da aplicação.
30
Universidade do Sul de Santa Catarina
Observe como podemos resolver este problema por 
outra forma: 
 
SEÇÃO 3 - Taxas proporcionais
Nesta seção, você estudará as taxas de juros proporcionais. Você 
sabe quando duas taxas são proporcionais?
Atenção!
Duas taxas são ditas proporcionais a juros simples 
quando 
1. Em juros simples, qual a taxa mensal proporcional a 
24% a.a.?
 
Em certas literaturas especializadas 
utiliza-se a nomenclatura taxas 
proporcionais ou equivalentes a 
juros simples. 
31
Matemática Financeira
Unidade 2
2. Em juros simples qual a taxa anual proporcional a 
2% a.m.?
 
 
i
i a a
a
a
2
12
1
2 12 24
%
% . % .
=
= =
SEÇÃO 4 - Juros simples exatos e comerciais ou 
 bancários
Nesta seção, nós apresentamos os juros simples exatos e os juros 
simples comerciais ou bancários.
Juros simples exatos
Os juros simples exatos (Je) apóiam-se nas seguintes 
características:
 „ o prazo é contado em dias.
 „ mês = número real de dias conforme calendário.
 „ ano civil = 365 dias ou 366 (ano bissexto).
Você sabe como se deve contar os dias entre 
duas datas?
Para determinarmos o número de dias entre 
duas datas, devemos subtrair o número de dias 
correspondente à data posterior do número de dias 
da data anterior. No caso dos anos bissextos, devemos 
acrescentar 1 (um) ao resultado encontrado, quando 
o final do mês de fevereiro estiver envolvido no 
prazo da aplicação. Sempre que o exercício exigir, 
comentaremos se o ano for bissexto.
32
Universidade do Sul de Santa Catarina
Tabela 1 - Contagem de dias entre duas datas
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
33
Matemática Financeira
Unidade 2
1. Ache os juros simples auferidos em uma aplicação 
de R$ 15.000,00 a uma taxa de 16% a.a., de 20 de abril 
de 2003 à 1ª de julho de 2003.
Usando a tabela temos: 
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ
1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335
2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336
3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337
4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338
5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339
6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340
7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341
8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342
9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343
10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344
11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345
12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346
13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347
14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348
15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349
16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350
17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351
18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352
19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353
20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354
21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355
22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356
23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357
24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358
25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359
26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360
27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361
28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362
29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363
30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364
31 90 151 212 243 304 365
 
n
n
= −
=
182 110
72
 
 
 
 
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
15000 0 16
72
365
473 42
34
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Determine o juro simples exato obtido em uma 
aplicação R$13.300,00 durante 146 dias a uma taxa de 
9% a.a. 
 
 
J C i n
J
J R
e
e
=
=
=
. .
. , .
$ ,
13300 0 09
146
365
478 80
Juros simples comercial
Os juros simples comercial apóiam-se nas seguintes 
características:
 „ mês = 30 dias. 
 „ ano civil = 360 dias.
Daqui para frente, com exceção dos casos indicados, 
usaremos os juros comerciais.
1. Qual o juro simples comercial de uma aplicação deR$ 66.000,00 durante 1 ano e 2 meses à taxa de 2,2% 
a.m?
 
C
i a m a m
n ano e meses meses
J C i n
J
=
= =
= =
=
=
66000
2 2 0 022
1 2 14
660
, % . , .
. .
000 0 022 14
20328 00
. , .
$ ,J R= 
35
Matemática Financeira
Unidade 2
2. Qual o valor do capital que aplicado durante 1 ano e 
3 meses à taxa de 3% a.m., rendeu R$ 900,00?
J
i a m a m
n ano e meses meses
J C i n
C J
i n
C
=
= =
= =
=
=
=
900
3 0 03
1 3 15
9
% . , . .
. .
.
000
0 03 15
2000 00
, .
$ ,C R=
SEÇÃO 5 - Valor nominal e valor atual
Esta seção aborda o valor nominal e valor atual de um 
compromisso financeiro.
Valor nominal
O valor nominal (N) (ou de face) é definido como o valor do 
compromisso financeiro na data de seu vencimento.
Valor atual
O valor atual (V) é definido como o valor do compromisso 
financeiro em uma data anterior a de seu vencimento.
Fluxo de caixa
O seguinte gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o 
valor nominal e o valor atual.
36
Universidade do Sul de Santa Catarina
N
V 0 n
Esta é a fórmula para o cálculo do valor nominal e do atual 
no regime de juros simples 
 
 
 
N V J
N V V i n
N V i n
= +
= +
= +( )
. .
.1
V N
i n
=
+1 .
1. Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 10 meses. 
Considerando uma taxa de juros simples de 2% a.m., 
calcule o seu valor atual nas seguintes datas:
a) hoje;
b) 2 meses antes do vencimento;
c) daqui a 3 meses. 
a) Hoje 
 
 
48000
V=? 0
10
 
 
 
 
 
 
 
V N
i n
V
V R
=
+
=
+
= =
1
48000
1 0 02 10
48000
1 2
40000 00
.
, .
,
$ ,
37
Matemática Financeira
Unidade 2
b) Dois meses antes do vencimento 
 
 
48000
V=? 8
10
 
 
 
 
V N
i n
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 2
46153 85
.
, .
$ ,
 
 
c) Daqui a 3 meses
 
 
 
48000
V=? 3 10
 
 
 
 
V N
i n
V R
=
+
=
+
=
1
48000
1 0 02 7
42105 26
.
, .
$ ,
 
2. Um aplicador comprou uma duplicata no valor 
nominal de R$ 18.000,00 com vencimento para daqui 
a 6 meses por R$ 16.000,00. Qual a taxa mensal de 
rentabilidade do aplicador? 
 N
V
n meses
N V i n
i
i
=
=
=
= +( )
= +( )
+ =
18000
16000
6
1
18000 16000 1 6
1 6
18
.
.
.
0000
16000
1 6 1 125
6 1 125 1
6 0 125
0 125
6
0 0208 2 08
+ =
= −
=
= = =
i
i
i
i
,
,
,
,
, , % aa m.
N
V
n meses
N V i n
i
i
=
=
=
= +( )
= +( )
+ =
18000
16000
6
1
18000 16000 1 6
1 6
18
.
.
.
0000
16000
1 6 1 125
6 1 125 1
6 0 125
0 125
6
0 0208 2 08
+ =
= −
=
= = =
i
i
i
i
,
,
,
,
, , % aa m.
38
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 6 - Equivalência de capitais a juros simples
Sejam os seguintes conjuntos de capitais e . 
Dizemos que dois conjuntos de capitais são equivalentes a juros 
simples numa mesma data focal, a uma mesma taxa de juros, 
quando apresentam valores atuais iguais.
Fluxo de caixa
Atenção! Se mudarmos a data focal, a equivalência 
dos conjuntos de capitais não será mantida.
39
Matemática Financeira
Unidade 2
1) Um empresário tem os seguintes compromissos a 
pagar:
 „ R$ 3.000,00 daqui a 4 meses
 „ R$ 5.000,00 daqui a 8 meses
 „ R$ 12.000,00 daqui a 12 meses
O empresário propõe trocar esses débitos por dois 
pagamentos iguais, um para daqui a 6 meses e outro 
para daqui a 9 meses. Considerando a taxa de juros 
simples de 5% a.m. e a data focal no 270° dia, calcular 
o valor de cada pagamento.
Fluxo de caixa
40
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
A partir de seus estudos, leia com atenção e resolva as atividades 
programadas para a sua autoavaliação.
1) Qual o rendimento que obtemos ao aplicarmos um capital de R$ 
10.000,00 a uma taxa de juros simples de 5% a.a., durante 3 anos? 
2) Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 5.800,00 aplicado 
a uma taxa de juros simples de 2% a.m. gere um montante de R$ 
6.728,00? 
3) Em um regime de capitalização simples, qual é o montante que se 
obtém quando aplicamos um capital de R$ 2.000,00 a uma taxa 6% a.a. 
durante 24 meses? 
 
41
Matemática Financeira
Unidade 2
4) Ao aplicarmos R$ 3.800,00 por um período de 8 meses obtemos em 
regime de juros simples um montante de R$ 5.200,00. Qual é a taxa 
mensal obtida na aplicação?
 
5) Uma quantia de R$ 62.000,00 foi aplicada em uma operação financeira 
no dia 20 de Setembro de 2003 e resgatada no dia 21 de Dezembro 
de 2003 a uma taxa de 12,5% a.a. Quais os juros simples exatos e 
comerciais da operação?
 
6) Calcule os juros simples exatos e comerciais nas seguintes condições:
•	 R$	6.000,00	aplicados	por	180	dias	a	12%	a.a.
•	 R$	5.200,00	aplicados	por	230	dias	a	15%	a.a.
 
42
Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Uma duplicata foi resgatada por R$ 4.500,00 em uma instituição 
bancária, 4 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de juros 
simples de 2% a.m. Qual o valor de face da duplicata?
 
8) Quanto receberei ao aplicar no Banco “A” a quantia de R$ 3.520,00, do 
dia 05 de janeiro de 2006 até o dia 22 de março de 2006, no regime de 
juros simples exatos e comerciais, sabendo que o banco opera com 
uma taxa de 16% a.a.?
 
9) Hoje um comerciante tem duas dívidas: uma de R$ 6.000,00 com 
vencimento para daqui a 35 dias e outra de R$ 10.000,00 que vence em 
48 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais com 
prazo de 60 e 120 dias, respectivamente. Considerando juros simples de 
12% a.a e a data focal de (120° dia), calcule o valor de cada pagamento.
43
Matemática Financeira
Unidade 2
10) Uma empresa deve a uma instituição financeira as seguintes quantias:
 ƒ R$ 6.500,00 daqui a 3 meses
 ƒ R$ 8.000,00 daqui a 8 meses
Calcule o valor dessas dívidas considerando a taxa de juros simples de 
18% a.a. e a data focal (180° dia).
Síntese
Nesta unidade, você estudou com profundidade os diversos 
tipos de juros simples, os juros simples exatos e comerciais, bem 
como montante, equivalência de taxas além de valor atual e valor 
nominal. 
Você também aprendeu a calcular juros simples, exatos e 
comerciais, e a converter taxas de juros. Você ainda estudou a 
distinção entre valor atual e valor nominal e como calculá-los.
Na unidade seguinte, você estudará os diversos tipos de descontos 
simples. Bom estudo!
44
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Para você aprofundar-se ainda mais nos temas estudados na 
unidade, consulte as bibliografias:
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 
2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
 „ ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e 
suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.
UNIDADE 3
Descontos simples
Objetivos de aprendizagem
„ Compreender o conceito de desconto simples.
„ Diferenciar e calcular os tipos de descontos simples 
(comercial e racional).
„ Relacionar os tipos de descontos simples.
„ Diferenciar taxas de desconto comercial e de juros 
simples.
Seções de estudo
Seção 1 Descontos
Seção 2 Relação entre desconto simples racional e 
desconto simples bancário (comercial)
3
46
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início deestudo 
Prezado aluno, nesta unidade você estudará os diversos tipos de 
desconto simples, a relação entre os descontos simples racional 
e desconto simples bancário ou comercial, além das taxas de 
desconto simples e de juros simples.
SEÇÃO 1 - Descontos
Nesta seção, você estudará os descontos simples, tanto o desconto 
simples racional (por dentro) quanto o desconto simples bancário 
ou comercial (por fora). 
Descontos Simples
Desconto é o abatimento obtido no pagamento de uma 
dívida quando ela é efetivada de forma antecipada (antes do 
vencimento).
Nas operações financeiras serão utilizados títulos de 
créditos tais como:
 „ Nota promissória
 „ Duplicata
 „ Letra de câmbio
 
d N V= −
onde: d = Desconto
 N = Valor nominal (no vencimento)
 V = Valor atual (antes do vencimento)
47
Matemática Financeira
Unidade 3
Desconto simples racional (por dentro)
O desconto simples racional (dr) é o valor equivalente ao juro 
simples gerado pelo valor atual.
O cálculo para o desconto racional apresenta a seguinte fórmula:
d V i n
como N V i n V N
i n
d N V
d N N
i n
d N
i
r
r
r
r
=
= +( ) =
+
= −
= −
+
= −
+
. .
: .
.
.
1
1
1
1
1
1 ..
. .
.
n
d N i n
i nr
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
+1
1. Qual o valor do desconto racional simples de 
uma duplicata com valor nominal de R$ 24.000,00 
descontada 120 dias antes do vencimento, à taxa de 
30% a.a.?
N
i a a a a
n dias do ano
d N i n
ir
=
= =
= = =
=
+
24000
30 0 3
120
120
360
1
3
1
% . . , .
. .
..
. , .
, .
$ ,
n
d Rr
( )
=
+
=
24000 0 3
1
3
1 0 3
1
3
2181 82
48
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Um título de R$ 12.000,00 foi descontado em um 
banco 2 meses antes do vencimento. Sabendo-se que 
o valor líquido recebido foi de R$ 11.214,95, qual é a 
taxa mensal de desconto racional simples utilizada 
pelo banco?
N
V
n meses
N V i n
i n N
V
i n N
V
i
N
V
=
=
=
= +( )
+ = −
= −
=
−
12000
11214 95
2
1
1 1
1
,
.
.
.
11
12000
11214 95
1
2
0 035 3 5
n
i
i a m
=
−
= =
,
, , % .
Desconto simples bancário ou comercial (por fora)
O desconto simples bancário ou comercial (db) é o desconto mais 
utilizado pelos bancos na remuneração do capital.
Atenção!
O desconto bancário ou comercial (por fora) é o juro 
simples calculado sobre o valor nominal.
49
Matemática Financeira
Unidade 3
Esta é a regra para o cálculo do desconto simples bancário 
ou comercial: 
d N i nb b= . . 
Onde:
N = valor nominal
b
i = taxa de desconto simples bancário
n = prazo
 
1. Uma duplicata de R$ 15.000,00, com vencimento 
no dia 03/04/2005, foi descontada em um banco 
em 08/01/2005 a uma taxa de 2,5% a.m.. Qual é o 
desconto simples bancário da operação? 
N
i a m a m
n dias meses
d N i n
d
c
b b
b
=
= =
= =
=
=
15000
2 5 0 025
85
85
30
1
, % . . , .
. .
55000 0 025
85
30
1062 50
. , .
$ ,d Rb =
E esta é a fórmula para o cálculo do valor atual ou de resgate:
 
 
 
d N V
V N d N N i n
V N i n
b
b b
b
= −
= − = −
= −( )
. .
.1
50
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma empresa descontou um título com valor de 
face de R$ 14.500,00, 3 meses e 15 dias antes do 
vencimento com uma taxa de desconto bancário 
simples de 2,4% a.m.. Quanto a empresa recebeu 
líquido na operação? 
V
N
i a m a m
n meses e dias meses
V N
b
=
=
= =
= =
=
?
, % . , . .
,
.
14500
2 4 0 024
3 15 3 5
11
14500 1 0 024 3 5
13282 00
−( )
= −( )
=
i n
V
V R
b .
, . ,
$ ,
A relação entre desconto simples racional e desconto simples bancário 
(comercial) é assim representada:
 
d V i n
d N i n
i n
d N i n
d
d
N i n
i n
N i n
d
d i
r
r
b
r
b
r
b
=
=
+
=
=
+
=
+
. .
. .
.
. .
. .
.
. .
1
1
1
1 ..
.
n
d d i nb r= +( )1
51
Matemática Financeira
Unidade 3
1. Uma duplicata de R$ 48.000,00 foi descontada 6 
meses antes de seu vencimento em uma instituição 
financeira que trabalha com uma taxa de desconto 
simples de 3,2% a.m.. Determine:
a) O valor do desconto simples bancário
b) O valor do desconto simples racional 
a)
N
i a m a m
n
d
d R
b
b
=
= =
=
=
=
48000
3 2 0 032
6
48000 0 032 6
9216 00
, % . , .
. , .
$ ,
b) 
 
 
 
 
 
d d
i n
d
d R
r
b
r
r
=
+
=
+
=
1
9216
1 0 032 6
7731 54
.
, .
$ ,
SEÇÃO 2 - Relação entre desconto simples racional e 
 desconto simples bancário (comercial)
Nesta seção, você estudará a relação entre a taxa de desconto 
simples e a taxa de juros simples. 
A relação entre a taxa de desconto simples e a taxa de juros simples 
é formulada do seguinte modo:
52
Universidade do Sul de Santa Catarina
iB = taxa de desconto simples
i = taxa de Juros Simples
J N V
V i n N V
i n N V
V
i n N
V
i n N
N d
i n
N N d
N d
C
b
b
b
= −
= −
=
−
= −
=
−
−
=
− −( )
−
. .
.
.
.
.
1
1
oomo d N i n
ent„o i n N i n
N N i n
i i
i n
b b
b
b
b
b
: . .
: .
. .
. .
.
=
=
−
=
−1
 
1. Uma nota promissória de R$ 25.500,00 com prazo 
de vencimento em 3 meses foi descontada em um 
banco que trabalha com uma taxa de desconto 
simples bancário de 3,2% a.m. Qual o valor de resgate 
e qual a taxa de juros simples cobrada pelo banco?
 
N
i a m a m
n meses
V N i n
V
b
b
=
= =
=
= −( )
= −
25500
3 2 0 032
3
1
25500 1 0 0
, % . , . .
.
, 332 3
23052 00
.
,
( )
=V
i i
i n
i
i a m
b
b
=
−
=
−
= =
1
0 032
1 0 032 3
0 0354 3 54
.
,
, .
, , % . .
53
Matemática Financeira
Unidade 3
2. Se uma empresa desconta uma duplicata com 
vencimento em 3 meses, proporcionando-lhe uma 
taxa de juros simples de 3,4% a.m., qual a taxa de 
desconto simples bancário utilizada?
i 3,4% a.m. = 0,034 a.m.
n 3 meses
 
 
 
i i
i n
i
i
i i
i i
i
b
b
b
b
b b
b b
=
−
=
−
−( ) =
− =
1
0 034
1 3
0 034 1 3
0 034 0 102
.
,
.
, .
, , .
bb b
b
b
b
i
i
i
i a m
+ =
=
=
= =
0 102 0 034
1 102 0 034
0 034
1 102
0 03085 3
, ,
, . ,
,
,
, . ,, % . .085 a m
54
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes atividades, 
considerando as definições e as fórmulas apresentadas até esta unidade.
1) Uma empresa desconta uma duplicata no valor nominal de R$ 
50.000,00 no Banco “X” 4 meses antes do seu vencimento. Sabendo 
que o banco “X” trabalha com uma taxa de desconto simples bancário 
de 4,5% a.m., qual é o valor do desconto e o valor líquido recebido? 
2) Para pagar uma dívida hoje, uma empresa descontou em uma carteira 
de crédito uma duplicata no valor de R$ 16.500,00 com vencimento 
daqui a 2 meses, recebendo um valor nominal líquido de R$ 15.000,00. 
Determine a taxa mensal de desconto simples bancário utilizada? 
55
Matemática Financeira
Unidade 3
3) Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 5.000,00 foi 
comercializada 4 meses antes do vencimento a uma taxa de desconto 
simples de 2,2% a.m. Se o desconto simples fosse o racional, qual seria 
o valor deste desconto? 
 
4) Uma loja descontauma duplicata no valor nominal de R$ 1.500,00 
vencível em 6 meses a uma taxa de desconto simples de 6% a.m. Qual é 
o valor do desconto simples racional e comercial da operação?
 
5) Um banco cobra uma taxa de juros simples de 4% a.m. Se uma 
duplicata com vencimento em 3 meses é negociada, qual a taxa de 
desconto simples bancário equivalente utilizada?
 
56
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o conceito de desconto simples, 
seus diversos tipos e comparações. Relacionou as taxas de juros 
simples e de descontos simples bancário ou comercial. 
Na próxima unidade, você começará a estudar o regime de juros 
compostos. Continue em frente!
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente o assunto desconto 
simples, utilize as seguintes bibliografias:
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ MERCHEDE, Alberto. Matemática financeira para 
concursos. São Paulo: Atlas, 2003.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 
2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
UNIDADE 4
Juros compostos
Objetivos de aprendizagem
„ Conhecer os conceitos sobre juros compostos.
„ Calcular montante, juro, capital, taxa e prazo.
„ Usar corretamente as convenções exponencial e linear.
„ Calcular valor nominal e valor atual.
Seções de estudo
Seção 1 Juros compostos
Seção 2 Convenção exponencial e linear
Seção 3 Valor nominal e valor atual 
4
58
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo
Anteriormente você estudou os conceitos e aplicações relativos ao 
regime de juros simples. Neste capítulo você estudará o regime 
de juros compostos, cuja aplicabilidade é usual em operações 
comerciais e financeiras.
SEÇÃO 1 - Juros compostos
Os juros compostos são os juros incorporados ao capital inicial ao 
final de cada período (ano, mês, dia), formando, assim, um novo 
capital para o período seguinte.
A seguir, serão apresentadas as fórmulas para o cálculo do 
montante, juros, capital, taxa e prazo:
Fórmula para o cálculo do montante, no caso dos juros compostos: 
59
Matemática Financeira
Unidade 4
Fórmula para o cálculo dos juros compostos: 
M C J
J M C
J C i C
J C i
n
n
= +
= −
= +( ) −
= +( ) −⎡
⎣
⎤
⎦
1
1 1
Fórmula para o cálculo do capital, considerando os juros compostos: 
M C i
C M
i
n
n
= +( )
=
+( )
1
1
Fórmula para o cálculo da taxa, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i M
C
i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+ =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1
1
1
1
1
1
Fórmula para o cálculo do prazo, considerando os juros compostos: 
M C i
i M
C
i N
C
n i M
C
n
n
n
n
= +( )
+( ) =
+( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( ) = ⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
1
1
1
ln ln
. ln ln
==
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
ln
ln
M
C
i1
60
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
1. O fator 1+( )i n é chamado fator de acumulação de 
capital.
2. As taxas de juros e os prazos devem estar na mesma 
unidade de tempo.
1. Qual o montante gerado por um capital de R$ 
4.500,00 aplicado por 9 meses a juros compostos a 
uma taxa de 3,5% a.m.?
C
i a m a m
n meses
M C i
M
M
n
=
= =
=
= +( )
= +( )
4500
3 5 0 035
9
1
4500 1 0 035
9
, % . , .
,
== ( )
=
=
4500 1 035
4500 1 362897
6133 04
9
,
. ,
$ ,
M
M R
2. Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado a juros 
compostos durante 6 meses à taxa de 2% a.m. Calcule 
os juros auferidos na aplicação.
 
C
i a m a m
n meses
J C i
J
n
=
= =
=
= +( ) −⎡
⎣
⎤
⎦
= +
12000
2 0 02
6
1 1
12000 1 0 02
% . , .
,(( ) −⎡
⎣
⎤
⎦
= ( ) −⎡
⎣
⎤
⎦
= −( )
=
6
6
1
12000 1 02 1
12000 1 126162 1
12000 0
J
J
J
,
,
. ,,
$ ,
126162
1513 95J R=
61
Matemática Financeira
Unidade 4
3. Um capital “X” é aplicado a juros compostos à taxa 
de 3,5% a.m., gerando um montante de R$ 19.500,00 
após 1 ano e 3 meses. Determine o capital “X”.
M
i a m a m
n ano e meses meses
C M
i
C
n
=
= =
= =
=
+( )
=
19500
3 5 0 035
1 3 15
1
1
, % . , .
99500
1 0 035
19500
1 035
19500
1 675349
11639 3
15
15
+( )
= ( )
=
=
,
,
,
$ ,
C
C
C R 77
4. A que taxa mensal de juros compostos, um capital 
de R$ 12.500,00 pode transformar-se em R$ 15.373,42, 
no período de 7 meses?
C
M
n meses
i M
C
i
n
=
=
=
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
=
⎛
⎝
⎜
⎞
12500
15373 42
7
1
15373 42
12500
1
,
,
⎠⎠
⎟
−
= ( ) −
= −
= =
1
7
1
7
1
1 229874 1
1 03 1
0 03 3
i
i
i a m
,
,
, % .
62
Universidade do Sul de Santa Catarina
5. Em que prazo um empréstimo de R$ 35.000,00 
pode ser pago pela quantia de R$ 47.900,00, se a taxa 
de juros compostos cobrada for de 4% a.m.?
 
M
C
i a m a m
n
M
C
i
n
=
=
= =
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
=
47900
35000
4 0 04
1
47900
3
% . , .
ln
ln
ln
55000
1 0 04
1 368571
1 04
0 313767
0 039
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+( )
=
( )
( )
=
ln ,
ln ,
ln ,
,
,
n
n
2221
8n meses=
SEÇÃO 2 - Convenção exponencial e linear
Nesta seção, você estudará a convenção exponencial e linear. Tais 
convenções são usadas quando os períodos não são inteiros.
Convenção exponencial
No caso da convenção exponencial, o montante é calculado 
a juros compostos durante todo o período (parte inteira + 
fracionária).
63
Matemática Financeira
Unidade 4
A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção 
exponencial é a seguinte: 
 
M C i
n perÌodo eiro
p
q perÌodo fracion· rio
n p q
= +( )
=
=
+
1
int
Convenção linear
No caso da convenção linear, o montante é calculado a juros 
compostos durante a parte inteira do período e a juros simples 
durante o período fracionário.
A fórmula para o cálculo do montante utilizando a convenção 
linear é a seguinte: 
M C i p
q
in= +( ) +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1. .
1. Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado a juros 
compostos durante 4 meses e 15 dias a uma taxa 
de 6% a.m. Qual o montante pelas convenções 
exponencial e linear?
Pela convenção exponencial:
 
C
i a m a m
n meses e dias meses meses
=
= =
= = + = +
2000
6 0 06
4 15 4
15
30
4
1
2
% . , .
==
= +( )
= +( )
= ( )
=
+
4 5
1
2000 1 0 06
2000 1 06
4 5
4 5
,
,
,
$
,
,
meses
M C i
M
M
M R
n pq
22000 1 2998
2599 60
. ,
,M =
64
Universidade do Sul de Santa Catarina
Pela convenção linear: 
M C i p
q
i
M
M
n
= +( ) +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +( ) +( )
=
1 1
2000 1 0 06 1 0 5 0 06
2000 1
4
. .
, . , . ,
,006 1 0 03
2000 1 262477 1 03
2600 70
4( ) +( )
=
=
. ,
. , . ,
$ ,
M
M R
2. Calcule o montante pelas convenções exponencial 
e linear do capital de R$ 14.700,00 aplicado à taxa 
de juros compostos de 10% a.a. durante 5 anos e 3 
meses.
Pela convenção exponencial:
C
i a a a a
n anos e meses meses meses
=
= =
= = + = + =
14700
10 0 1
5 3 5
3
12
5
1
4
% . , .
2214
1
14700 1 0 1
14700 1 1
147
21
4
21
4
meses
M C i
M
M
M
n pq
= +( )
= +( )
= ( )
=
+
,
,
000 1 649345
24245 37
. ,
$ ,M R=
Pela convenção linear: 
M C i p
q
i
M
M
n
= +( ) +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= +( ) +⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
1 1
14700 1 0 1 1
1
4
0 1
1470
5
. .
, . . ,
00 1 61051 1 025
24266 36
, . ,
$ ,
( ) ( )
=M R
65
Matemática Financeira
Unidade 4
SEÇÃO 3 - Valor nominal e valor atual 
Nesta seção, você estudará novamente o valor atual e o valor 
nominal, só que agora na perspectiva de juros compostos. 
Observe que os conceitos dados em juros simples para valor atual 
e valor nominal são análogos para juros compostos. Veja:
Fluxo de caixa
Este gráfico se refere ao fluxo de caixa, considerando o valor atual 
e o valor nominal. 
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual e do valor nominal 
no regime de juros compostos:
N Valor No al
V Valor Atual
N V i
V N
i
n
n
=
=
= +( )
=
+( )
min
1
1
66
Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Uma empresa desconta uma promissória de R$ 
50.000,00 em um banco com vencimento para daqui 
a 6 meses, sendo que o banco cobra uma taxa de 
juros compostos de 1,5% a.m. Qual o valor atual da 
promissória nas seguintes datas: 
a) hoje
b) 3 meses antes do vencimento
c) daqui a 4 meses
a) Hoje
 
N
i a m a m
n
V N
i
V
n
=
= =
=
=
+( )
=
+( ) =
50000
1 5 0 015
6
1
50000
1 0 015
50
6
, % . , . .
,
0000
1 093443
45727 12
,
$ ,V R=
b) 3 meses antes do vencimento
 
V
V R
=
+( ) =
=
50000
1 0 015
50000
1 045678
47815 87
3
, ,
$ ,
c) Daqui a 4 meses
 
 
 
 
V
V R
=
+( ) =
=
50000
1 0 015
50000
1 030225
48533 09
2
, ,
$ ,
67
Matemática Financeira
Unidade 4
2. Um certo capital é aplicado a 12% a.a. a juros 
compostos, produzindo um montante de R$ 1.320,00 
após 3 anos. Qual o valor atual deste capital?
 
 
N
i a a a a
n anos
V N
i
V
V
n
=
= =
=
=
+( )
=
+( )
=
1320
12 0 12
3
1
1320
1 0 12
1
3
% . . , . .
,
3320
1 12
1320
1 404928
939 55
3
, ,
$ ,
( ) =
=V R
 
Atividades de autoavaliação
Caro aluno, considere as definições e as fórmulas apresentadas até esta 
unidade e responda as questões a seguir. 
1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 26.000,00 aplicado 
a uma taxa de juros compostos de 5,2% a.m. por 6 meses. 
68
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Calcule os juros compostos auferidos por um capital de R$ 4.200,00 
aplicado a uma taxa de 3% a.m. durante 10 meses. 
3) Um empréstimo de R$ 6.000,00 deve ser pago em 120 dias a juros 
compostos pelo valor de R$ 9.000,00. Qual é a taxa mensal da 
operação? 
 
4) Em que prazo uma aplicação a juros compostos de R$ 24.000,00 
produzirá um montante de R$ 61.519,30 à taxa de 4% a.m.?
 
69
Matemática Financeira
Unidade 4
5) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 15.000,00 por 15 meses à taxa de 
15% a.a. Pergunta-se:
a) Qual o montante pela convenção exponencial?
b) Qual o montante pela convenção linear?
 
6) Quanto Paulo deve aplicar hoje, a juros compostos, em uma 
instituição financeira que paga uma taxa de 1,2% a.m., para pagar um 
compromisso de valor nominal igual a R$ 38.000,00 que vence daqui a 
3 meses?
 
7) Determine os juros de uma aplicação de R$ 25.000,00 a uma taxa de 
juros compostos de 1% a.m. durante 10 meses.
 
70
Universidade do Sul de Santa Catarina
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu o regime de capitalização 
composto, isto é, determinou montante, capital, juros e taxas na 
perspectiva dos juros compostos. Nesta mesma perspectiva, você 
também aprendeu as convenções exponencial e linear assim como 
calculou o valor atual e o valor nominal. 
Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de 
juros.
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente a capitalização 
composta, utilize as seguintes bibliografias:
 „ SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 
2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
 „ CESAR, Benjamin. Matemática financeira. 5ª ed. Rio 
de Janeiro: Impetus, 2004.
UNIDADE 5
Taxas de juros
Objetivos de aprendizagem
„ Compreender e calcular taxas equivalentes.
„ Diferenciar e calcular as taxas nominais e efetivas.
„ Aplicar as taxas em problemas financeiros.
Seções de estudo
Seção 1 Taxas equivalentes
Seção 2 Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva
5
72
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Na unidade anterior, você aprendeu, na perspectiva dos juros 
compostos, a calcular montante, juros, capital, valor atual e 
nominal, a convenção exponencial e a linear observando que as 
taxas e os prazos dados sempre estavam na mesma unidade de 
tempo. Nesta unidade, você estudará os diversos tipos de taxas de 
juros, taxas equivalentes, taxa nominal ou aparente e taxa efetiva.
SEÇÃO 1 - Taxas equivalentes
Nesta seção, você estudará as taxas equivalentes. Por definição, 
duas taxas são ditas equivalentes a juros compostos quando 
aplicadas sobre um capital, durante o mesmo período, e 
produzem o mesmo montante.
Estas são as fórmulas para o cálculo de taxas equivalentes: 
 
M C i
M C i
Como M M Temos
C i C i
n
n
n n
1 1
2 2
1 2
1 2
1
1
1 1
1
2
1
= +( )
= +( )
=
+( ) = +( )
: :
22
2
1
2
1
1
2
1 1
1 1
1 1
1 2
1 2
2 1
+ = +( )
= +( ) −
= +( ) −
i i
i i
ou
i i
n
n
n
n
n
n
73
Matemática Financeira
Unidade 5
1. No regime de juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 4% a.m.?
i Taxa anual
n ano
i a m a m
n meses
i i
n
n
1
1
2
2
1 2
1
4 0 04
12
1
2
=
=
= =
=
= +( )
% . , . .
11 1
1 0 04 1
1 04 1
0 6010 60 10
1
12
1
1
12
1
−
= +( ) −
= ( ) −
= =
i
i
i a a a a
,
,
, .. , % .
2. Calcule a taxa quadrimestral equivalente à taxa de 
juros compostos de 8% a.a.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i a a a a
n ano
i taxa quadrimestral
n quadrimestr
1
1
2
2
8 0 08
1
3
= =
=
=
=
% . , .
ees
i i
i
i a q
n
n
2 1
2
1
3
2
1 1
1 0 08 1
0 0259 2 60
1
2= +( ) −
= +( ) −
= =
,
, , % .
74
Universidade do Sul de Santa Catarina
SEÇÃO 2 - Taxa nominal ou aparente e taxa efetiva
Nesta seção, você estudará a taxa nominal ou aparente e a taxa 
efetiva. 
Taxa nominal ou aparente
Por definição, a taxa é nominal ou aparente quando o período de 
capitalização não coincide com o período da taxa.
Atenção!
Geralmente a taxa nominal é anual. 
Taxa efetiva
A taxa efetiva é a taxa que é verdadeiramente cobrada nas 
transações financeiras.
Esta é a fórmula para o cálculo da taxa efetiva: 
 
i Taxa No al
i Taxa Efetiva
K n˙mero de capitalizaÁı es para um p
f
=
=
=
min
eerÌodo da taxa no al
i Taxa por perÌodo de capitalizaÁ„oK
min
=
 
 
i i
K
i i
i i
i i
i i
K
K
f K
K
f K
K
f K
K
f
K
=
+ =+( )
+ = +( )
= +( ) −
= +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
1 1
1 1
1 1
1 1
75
Matemática Financeira
Unidade 5
1. Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada 
trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.
 
 
2. Qual é o montante de uma aplicação de R$ 
12.500,00 durante 2 anos a uma taxa nominal de 48% 
a.a. com capitalização mensal de juros?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= Taxa efetiva trimestral 
= Taxa efetiva mensal 
76
Universidade do Sul de Santa Catarina
3. Uma pessoa aplicou uma importância de R$ 
42.000,00 por 3 anos a uma taxa de 24% a.a. com 
capitalização semestral. Qual a taxa efetiva anual e 
qual o montante recebido?
 
 
4. Qual das taxas abaixo será a melhor para um 
investimento?
a) 20% a.a. capitalizados ao dia;
b) 20,5% a.a. capitalizados quadrimestralmente;
c) 22% a.a. capitalizados anualmente.
a) 
 
 
 
 
i
i
i
K
f
f
= =
= +( ) −
= − =
0 2
360
0 000556
1 0 000556 1
1 221530 1 0 2215
360
,
,
,
, , 330 22 15= , % .a a
b) 
 
 
 
 
 
i
i
i
K
f
f
= =
= +( ) −
= − =
0 205
3
0 068333
1 0 068333 1
1 219326 1 0 219326
3
,
,
,
, , == 21 93, % .a a
77
Matemática Financeira
Unidade 5
c) 
 i a af = 22% .
Resposta: a melhor alternativa é a taxa de 22,15% a.a. 
(item a).
 
Atividades de autoavaliação
Caro aluno, leia com atenção o enunciado e resolva as seguintes 
atividades, considerando as definições e as fórmulas já apresentadas.
1) Qual a taxa anual de juros compostos equivalentes as seguintes taxas:
a) 2,6% a.m..
b) 4,2% a.b.
c) 4,8% a.t.
d) 12% a.s. 
78
Universidade do Sul de Santa Catarina
2) Um banco paga juros compostos a uma taxa de 24% a.a. capitalizados 
bimestralmente. Qual a sua taxa efetiva anual? 
3) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 16.000,00 à taxa de juros 
compostos de 24% a.a., capitalizados trimestralmente durante 24 
meses. 
 
4) Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado em uma instituição financeira a 
uma taxa nominal de 108% a.a., capitalizados mensalmente, durante 8 
meses. Qual é o montante?
 
79
Matemática Financeira
Unidade 5
5) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 80.000,00 por 1 ano à taxa 
de 45% a.a. com capitalização:
a) mensal
b) diária (considere o ano com 360 dias)
 
 
Síntese
Nesta unidade, você aprendeu os diversos tipos de taxas, as 
equivalentes, a nominal ou aparente e a efetiva. Você também 
aprendeu a aplicar estas taxas a problemas financeiros.
Na próxima unidade, você estudará os diversos tipos de descontos 
compostos.
80
Universidade do Sul de Santa Catarina
Saiba mais
Se você deseja estudar mais profundamente os diversos tipos de 
taxas, utilize as seguintes bibliografias:
 „ SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira 
Thompson, 2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
 „ ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e 
suas aplicações. 6ª ed. São Paulo, Atlas, 2001.
UNIDADE 6
Descontos compostos
Objetivos de aprendizagem
„ Entender e calcular desconto composto.
„ Diferenciar e calcular os descontos compostos, o racional 
e o comercial ou bancário.
„ Classificar e calcular os tipos de taxas de descontos.
Seções de estudo
Seção 1 Descontos compostos e suas classificações
Seção 2 Taxas de descontos
6
82
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Caro aluno, nesta unidade, você estudará dois tipos de descontos 
compostos, o desconto racional ou por dentro além do desconto 
bancário ou comercial ou por fora. Você também estudará as 
taxas de desconto. Bom estudo!
SEÇÃO 1 - Descontos compostos e suas classificações
Nesta seção, você estudará os descontos compostos, 
especificamente o desconto composto racional ou por dentro e o 
desconto comercial ou bancário ou por fora. 
Desconto composto
O desconto composto é o abatimento obtido na quitação ou 
na venda de um título em data anterior ao seu vencimento 
observando os critérios de capitalização composta. Os tipos de 
descontos compostos são:
 „ Desconto composto racional ou por dentro
 „ Desconto composto comercial (bancário) ou por fora
Desconto composto racional ou por dentro
O desconto composto racional ou por dentro é a diferença entre 
o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do 
vencimento.
83
Matemática Financeira
Unidade 6
Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto racional 
ou por dentro: 
 
 D N V
V N
i
D N N
i
D N
i
D N i
r
n
r n
r n
r
= −
=
+( )
= −
+( )
= −
+( )
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= − +(
1
1
1 1
1
1 1 ))⎡
⎣
⎤
⎦
−n
1. Determine o valor do desconto composto racional 
e o valor do resgate de um título de R$ 15.600,00, 
descontado 5 meses antes do seu vencimento, 
sabendo-se que a taxa de desconto composto 
racional é de 4% a.m.
 
N
i a m a m
n meses
D N i
D
r
n
r
=
= =
=
= − +( )⎡
⎣
⎤
⎦
=
−
15600
4 0 04
5
1 1
15600 1
% . . , . .
−− +( )⎡
⎣
⎤
⎦
= − ( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −( )
−
−
1 0 04
15600 1 1 04
15600 1 0 821927
5
5
,
,
,
D
D
r
r
DD
D
r
r
=
=
15600 0 178073
2777 94
. ,
,
 
 
V N D
V
V R
r= −
= −
=
15600 2777 94
12822 06
,
$ ,
84
Universidade do Sul de Santa Catarina
2. Um título de valor nominal igual a R$ 60.200,00 
foi pago 4 meses antes do vencimento. Se a taxa de 
desconto composto racional era de 8% a.m., qual o 
valor líquido deste título?
 
N
i a m a m
n meses
D N i
D
r
n
r
=
= =
=
= − +( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −
−
60200
8 0 08
4
1 1
60200 1 1
% . , .
++( )⎡
⎣
⎤
⎦
= − ( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −( )
−
−
0 08
60200 1 1 08
60200 1 0 735030
4
4
,
,
,
D
D
D
r
r
r ==
=
60200 0 264970
15951 20
. ,
,Dr
 
 
 
 
V N D
V
V R
r= −
= −
=
60200 15951 20
44248 80
,
$ ,
 
Observe outra maneira de resolver o mesmo 
problema:
 
 
N V i
V N
i
V
V
V
n
n
= +( )
=
+( )
=
+( )
= ( )
=
1
1
60200
1 0 08
60200
1 08
60200
1 3
4
4
,
,
, 660489
44248 80V R= $ ,
85
Matemática Financeira
Unidade 6
Desconto composto comercial (bancário) ou por fora
O desconto composto comercial (bancário) ou por fora é a soma 
dos descontos comerciais simples, calculados isoladamente em 
cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título.
Esta é a fórmula para o cálculo do desconto composto comercial 
(bancário) ou por fora: 
 
D N V
D N N i
D N i
c
c
n
c
n
= −
= − −( )
= − −( )⎡
⎣
⎤
⎦
1
1 1
Esta é a fórmula para o cálculo do valor atual: 
V N d
d N i
ent„o
V N N i
V N i
1 1
1
1
1
1
= −
=
= −
= −( )
.
:
.
V V d
d V i
ent„o
V V i
V N i i
V N i
2 1 2
2 1
2 1
2
2
2
1
1 1
1
= −
=
= −( )
= −( ) −( )
= −( )
.
:
.
.
ent„o
V N i n
:
= −( )1
 
Cálculo da taxa de desconto comercial composto: 
 
 
 
Cálculo do prazo: 
 
86Universidade do Sul de Santa Catarina
1. Um título de valor nominal de R$ 15.000,00 é 
descontado em um banco 3 meses antes de seu 
vencimento. Se a taxa de desconto comercial usada 
pelo banco é de 8% a.m., qual é o valor do desconto?
 
N
i a m a m
n meses
D N i
D
c
n
c
=
= =
=
= − −( )⎡
⎣
⎤
⎦
= − −
15000
8 0 08
3
1 1
15000 1 1
% . , .
00 08
15000 1 0 92
15000 1 0 778688
15
3
3
,
,
,
( )⎡
⎣
⎤
⎦
= − ( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −( )
=
D
D
D
c
c
c 0000 0 221312
3319 68
. ,
$ ,D Rc =
 
Observe outra maneira de resolver este mesmo 
problema:
 
V N i
V
V
V
V
n
= −( )
= −( )
= ( )
=
=
1
15000 1 0 08
15000 0 92
15000 0 778688
1
3
3
,
,
. ,
11680 32,
 
 
D N V
D
D R
c
c
c
= −
= −
=
15000 11680 32
3319 68
,
$ ,
87
Matemática Financeira
Unidade 6
2. Um cliente vai a um banco descontar uma duplicata 
que vence daqui a 6 meses com valor de face de R$ 
7.500,00. Considerando que o banco trabalha com 
uma taxa de desconto composto comercial de 3,5% 
a.m., qual o valor do desconto?
 
 
 
N
i a m a m
n meses
D N i
D
c
n
c
=
= =
=
= − −( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −
7500
3 5 0 035
6
1 1
7500 1 1
, % . , .
−−( )⎡
⎣
⎤
⎦
= − ( )⎡
⎣
⎤
⎦
= −( )
=
0 035
7500 1 0 965
7500 1 0 807540
7
6
6
,
,
,
D
D
D
c
c
c 5500 0 192460
1443 45
. ,
$ ,D Rc =
SEÇÃO 2 - Taxas de descontos
Nesta seção, você estudará taxas de descontos. Basicamente, há a 
taxa de desconto composto comercial ou por fora e a taxa efetiva 
de desconto.
Taxa de desconto composto comercial ou por fora
A taxa de desconto composto comercial ou por fora ( ic ) é a taxa 
que é utilizada para calcular este desconto.
Taxa efetiva de desconto
A taxa efetiva de desconto ( i f ) é a taxa de desconto composto 
racional que é aplicada sobre o valor atual no período, gerando 
um montante igual ao valor nominal.
88
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atenção!
No desconto composto racional i ir f=
Considerando que 
 
i Taxa de desconto composto racional
i taxa efetiva
r
f
=
=
Esta é fórmula para o cálculo da relação entre a taxa efetiva de 
desconto e a taxa de desconto composto comercial:
 
 
V N i
V N i
i i
i
i
i
c
n
f
n
f
n
c
n
f
n c
n
c
= −( )
= +( )
+( ) = −( )
+( ) = −( )
−(
−
−
1
1
1 1
1
1
1
1 )) +( ) =
−( ) +( ) =
+ =
−
=
−
−
=
n
f
n
c f
f
c
f
c
f
i
ent„o
i i
i i
i
i
i
i
.
:
.
1 1
1 1 1
1
1
1
1
1
1−− −( )
−
=
− +
−
=
−
1
1
1 1
1
1
i
i
i i
i
i i
i
c
c
f
c
c
f
c
c
89
Matemática Financeira
Unidade 6
1. Qual a taxa de desconto composto comercial 
equivalente a 5% a.a. do desconto composto racional?
 
 
i a a a a
i i
i
i
i
i i
i
f
f
c
c
c
c
c c
c
= =
=
−
=
−
= −
+
5 0 05
1
0 05
1
0 05 0 05
0 05
% . , .
,
, , .
, ii
i
i
i a a
c
c
c
c
=
=
=
= =
0 05
1 05 0 05
0 05
1 05
0 0476 4 76
,
, . ,
,
,
, , % .
2. Qual a taxa efetiva de desconto composto racional 
equivalente a 18% a.a. do desconto composto 
comercial? 
 
 
 
 
 
 
 
 
i i
i
i
i
i a a
f
c
c
f
f
f
=
−
=
−
=
= =
1
0 18
1 0 18
0 18
0 82
0 2195 21 95
,
,
,
,
, , % .
90
Universidade do Sul de Santa Catarina
Atividades de autoavaliação
Caro aluno, é hora de você colocar em prática a teoria estudada. Considere 
as definições e as fórmulas apresentadas nesta unidade e responda as 
questões a seguir. 
1) Determine o valor do desconto composto racional de um título 
de valor nominal de R$ 8.300,00 descontado 6 meses antes de seu 
vencimento, sabendo-se que a taxa de desconto é de 4,2% a.m. 
2) O valor de face de uma promissória de um cliente é de R$ 300.000,00. 
Ele deseja trocá-la em um banco que trabalha com uma taxa de 
desconto composto racional de 20% a.a. O vencimento da duplicata é 
para daqui a 162 dias. Qual o valor de desconto? 
3) Determine a taxa mensal de desconto composto racional de um título 
com valor de face de R$ 6.200,00, descontado 5 meses antes do 
vencimento, gerando um valor líquido de R$ 5.348,00. 
 
91
Matemática Financeira
Unidade 6
4) Qual o desconto composto comercial de um título de valor nominal 
igual a R$ 50.000,00 com vencimento para daqui a 3 anos a uma taxa 
de desconto de 20% a.a.?
 
5) Qual a taxa de desconto comercial equivalente a 3,5% a.a. do desconto 
racional?
 
6) Qual a taxa de desconto composto racional equivalente a 15,3% a.a. do 
desconto composto comercial?
 
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Universidade do Sul de Santa Catarina
7) Calcule a taxa mensal de desconto composto comercial de um título 
de valor nominal igual a R$ 15.000,00, descontado 5 meses antes do 
vencimento e resgatado por R$ 12.103,72.
 
8) Um título de R$ 30.000,00 foi descontado em uma instituição 
financeira a uma taxa de desconto composto comercial de 6,4% a.m. e 
o valor líquido recebido era de R$ 20.173,27. Quantos meses antes do 
vencimento foi descontado este título?
 
 
Síntese
Caro aluno, nesta unidade você aprendeu o desconto composto e 
como calculá-lo em seus dois tipos: o desconto composto racional 
ou por dentro e o desconto composto comercial ou bancário ou 
por fora. Você também aprendeu a taxa de desconto composto 
comercial ou por fora e a taxa efetiva de desconto, além do 
relacionamento entre as taxas de desconto. 
Parabéns por sua caminhada até aqui. Na próxima unidade, você 
estudará equivalência de capitais.
93
Matemática Financeira
Unidade 6
Saiba mais
Se você quiser estudar mais profundamente os diversos tipos 
de descontos compostos e de suas taxas, utilize as seguintes 
bibliografias:
 „ SAMANEZ, Carlos Patrício. Matemática financeira: 
aplicações à análise de investimentos. 3ª ed. São Paulo: 
Prentice Hall, 2002.
 „ CRESPO, Antônio Arnot. Matemática comercial e 
financeira. 11ª ed. São Paulo: Saraiva, 1996.
 „ HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. 
Matemática financeira. 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2001.
 „ BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática 
financeira aplicada. 1ª ed. São Paulo: Pioneira 
Thompson, 2002.
 „ MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José 
Maria. Matemática financeira. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 
1993.
 „ BRUNI, Adriano Leal; FAMÁ, Rubens. Matemática 
financeira: com HP12C e Excel. 2ª ed. São Paulo: Atlas 
2003.
UNIDADE 7
Equivalência de capitais a juros 
compostos
Objetivos de aprendizagem
„ Identificar o conceito de equivalência de capitais a juros 
compostos.
„ Transformar o valor de um capital em uma data 
determinada em outro valor equivalente em uma data 
diferente.
„ Determinar o valor atual e analisar alternativas de um 
conjunto de capitais.
Seções de estudo
Seção 1 Equivalência de capitais a juros compostos
Seção 2 Valor atual de um conjunto de capitais
Seção 3 Equivalência de dois conjuntos de capitais a 
juros compostos
7
96
Universidade do Sul de Santa Catarina
Para início de estudo 
Nesta unidade, você estudará como efetuar pagamentos ou 
recebimentos que se encontram em datas de vencimentos 
distintas em pagamentos ou recebimentos equivalentes, porém, 
numa mesma data.
SEÇÃO 1 - Equivalência de capitais a juros compostos
Nesta seção você estudará a equivalência de capitais a juros 
compostos. A equivalência de capitais a juros compostos