Estatística Descritiva

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11AA LISTA DE EXERCÍCIOS LISTA DE EXERCÍCIOS
ESTATÍSTICA BÁSICA – FÍSICA MÉDICAESTATÍSTICA BÁSICA – FÍSICA MÉDICA
ESTATÍSTICA DESCRITIVAESTATÍSTICA DESCRITIVA
Dados e Amostragem
1. Declare se cada uma das seguintes observações é um exemplo de dados discretos ou 
contínuos:
(a) O número de suicídios no Brasil em um ano específico.
(b) A concentração de chumbo em uma amostra de água.
(c) A duração de tempo que um paciente de câncer sobrevive depois do diagnóstico.
(d) O número de abortos prévios que uma mãe grávida teve.
2. Um artigo no New York Times afirmou que a duração média da vida de 35 regentes de 
orquestra do sexo masculino era de 73,4 anos, em contraste com a média de 69,5 anos 
para a população masculina em geral. A vida mais longa foi atribuída a fatores como 
satisfação pessoal e motivação. Há uma falha fundamental na conclusão de que os 
regentes de orquestra do sexo masculino vivem mais. Qual é?
Somatórios e demonstrações
3. Calcule as somas abaixo quando 1 1x = , 2 2x = − , 3 4x = e 4 5x = :
(a) ( )4
1
4i
i
x
=
−∑
(b) ( )3 2
1
5i
i
x
=
−∑
(c) ( )4 2
1
4 4i i
i
x x
=
− +∑
4. Considere uma amostra com n observações nxxx ,...,, 21 e média igual a x . Demonstre que 
a variância amostral, definida por
( )
 
1
 1
2
2
−
−
=
∑
=
n
xx
s
n
i
i ,
pode ser escrita na forma alternativa
 
)1(
 
2
11
2
2
−




−



=
∑∑
==
nn
xxn
s
n
i
i
n
i
i .
5. Prove que se um conjunto de números é multiplicado por um número positivo a , a 
mediana do novo conjunto é a mediana do conjunto original multiplicada pelo mesmo 
número a .
6. Suponha que X seja uma variável aleatória dicotomizada com valores 0 e 1. Isto é, 
cada número na amostra nxxx ,...,, 21 é igual a 0 ou 1 somente.
(a) Mostre que a média x é igual à proporção p , na amostra, de valores iguais a 1.
(b) Mostre que:
)1()( 2
1
xxnxx
n
i
i −=−∑
=
 .
Estatística Descritiva
7. Um teste de inteligência foi realizado em um grupo de crianças. As pontuações obtidas 
foram as seguintes:
114 115 113 112 113 132 130 128 122 121 126 117
115 88 113 90 89 106 104 126 127 115 116 109
108 122 123 149 140 121 137 120 138 111 100 116
101 111 110 137 119 115 83 109 117 118 110 108
134 118 114 142 120 119 143 133 85 117 147 102
(a) Obtenha uma distribuição de freqüências.
(b) Construa um histograma.
8. A tabela seguinte registra uma amostra do número de gerentes operacionais que 
respondem diretamente a um diretor em empresas do ramo químico. 
7 7 9 8 7 13 10 14 8 9 8 6
9 9 10 11 7 8 9 6 8 11 12 10
Calcule a média, a variância e o desvio padrão do número de gerentes por empresa. 
Respostas.: 9=x ; 37,4)( =XVar e 09,2)( =XDP
9. A tabela seguinte apresenta a distribuição dos casos de uma certa doença, registrados 
em uma localidade, para diferentes idades:
Idade Número de casos
5 – 14 5
15 – 24 10
25 – 34 20
35 – 44 22
45 – 54 13
55 – 64 5
Total 75
Calcule a média amostral, a mediana, a variância e o desvio padrão.
Respostas: 73,35=x ; Md=36,14; 80,165)( =XVar e 88,12)( =XDP
10. Construa um ramo-e-folhas a partir das idades de um grupo de 48 indivíduos:
32 63 33 57 35 54 38 53 42 51 42 48
43 46 61 53 12 13 16 16 31 30 28 28
25 23 23 22 21 17 13 30 14 29 16 28
17 27 21 24 22 23 61 55 34 42 13 26
11. As notas obtidas pela turma A em um trabalho de Estatística estão apresentadas a seguir:
6 12 12 14 15 15 15 15 16
17 18 18 19 19 19 20 21 21
22 22 22 23 23 23 23 23 23
24 25 25 25 27 27 28 32
(a) Calcule a média, a mediana e o desvio-padrão das notas da turma A.
(b) Calcule o primeiro e o terceiro quartis. Explique o significado destes números.
(c) Considere também os resultados das turmas B e C, na tabela seguinte. Compare as 
notas das três turmas A, B e C, quanto à sua homogeneidade.
Turma Média Desvio-padrão
B 22,5 4,5
C 24,0 5,4
(d) Construa uma tabela de freqüências para os dados da turma A agrupados em classes. 
Utilize número de classes e amplitudes convenientes.
12. Ao medir a distância interpupilar (em milímetros) de 100 brasileiros adultos do sexo 
masculino, foram obtidos os resultados abaixo: 
55 57 59 60 61 61 62 62 63 65
55 57 59 60 61 61 62 62 63 65
56 57 59 60 61 61 62 62 63 65
56 57 59 60 61 62 62 63 63 65
56 58 59 60 61 62 62 63 63 66
56 58 59 60 61 62 62 63 63 66
57 58 59 60 61 62 62 62 64 66
57 58 59 60 61 62 62 63 64 66
57 59 59 60 61 62 62 63 64 68
57 59 60 61 61 62 62 63 64 70
(a) Ache a média, a mediana e a a moda.
(b) Ache o desvio padrão, a variância e a amplitude.
(c) Os dados são de uma variável discreta ou contínua?
(d) Qual é o nível de mensuração desses valores (nominal, ordinal, intervalar, de 
razão)?
(e) Faça um histograma da distribuição desses indivíduos segundo a distância 
interpupilar e descreva a forma do histograma.
13. O Departamento de Pessoal de uma certa firma fez um levantamento dos salários dos 
120 funcionários do setor administrativo, obtendo os seguintes resultados:
Faixa Salarial
(X salário mínimo)
Freqüência 
Relativa
0 |―― 2 0,25
2 |―― 4 0,40
4 |―― 6 0,20
6 |―― 10 0,15
(a) Esboce o histograma correspondente.
(b) Calcule a média, a variância e o desvio padrão. 
(c ) Calcule o 1o quartil e a mediana. 
(d) Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funcionários, haverá 
alteração na média? E na variância? Justifique.
(e) Se for concedido um abono de 2 salários mínimos para todos os 120 
funcionários, haverá alteração na média? E na variância? E na mediana? Justifique.
Respostas: (b) 65,3=x ; 13,5)( =XVar e 26,2)( =XDP ; (c) 21 =Q e 25,3=Md
14. Considere um conjunto de 100=n observações, a partir do qual foi construído o 
histograma abaixo. Calcule a média, a variância, a moda, a mediana, o primeiro quartil, o 
terceiro quartil e o quantil )95,0(x . 
 
densidade 
de freqüência
 2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5
Respostas: 45,10=x ; 75,13)( =XVar ; 00,13=Mo ;
 75,10=Md ; 30,71 =Q ; 50,133 =Q e 50,16)95,0( =x
10%
25%
20%
30%
15%
15. A tabela abaixo fornece a distribuição de 250 empresas classificadas segundo o 
número de empregados :
Número de 
empregados
Freqüência
ni
 0 |-- 10 5
 10 |-- 20 20
 20 |-- 30 35
 30 |-- 40 40
 40 |-- 60 50
 60 |-- 80 30
 80 |-- 100 20
100 |-- 140 20
140 |-- 180 15
180 |-- 260 15
TOTAL 250
(a) Acrescente, à tabela, as amplitudes i∆ , as freqüências relativas if e as densidades de 
freqüência iii ff ∆=
~
 de cada intervalo de classe.
(b) Construa o histograma.
16. Uma medida muito usada para descrever dados quantitativos é a freqüência 
acumulada, que indica quanto elementos, ou que porcentagem deles, estão abaixo de um 
certo valor. Na tabela a seguir, a terceira e a quinta colunas indicam respectivamente a 
freqüência absoluta acumulada e a proporção (porcentagem) acumulada.
Classe de 
salários
Freqüência ni Freqüência 
acumulada Ni
Porcentagem 
100 . fi
Porcentagem 
acumulada 100 . 
Fi
 4,00 |-- 8,00 10 10 27,78 27,78
 8,00 |-- 12,00 12 22 33,33 61,11
12,00 |-- 16,00 8 30 22,22 83,33
16,00 |-- 20,00 5 35 13,89 97,22
20,00 |-- 24,00 1 36 2,78 100,00
TOTAL 36 - 100,00 -
 
(e) Construa a representação gráfica da porcentagem acumulada;
(f) A partir desta representação gráfica, encontre o salário s tal que 50% dos funcionários 
recebem menos do que s. 
Resposta: (b) 67,10=s
17. A tabela abaixo fornece as freqüências e porcentagens dos empregados da seção de 
orçamentos da Companhia Milsa, segundo o número de filhos:
Número de filhos 
xi
Freqüência ni Porcentagem 100 .fi
0 4 20%
1 5 25%
2 7 35%
3 3 15%
5 1 5%
TOTAL 20 100%
(a) Construa a função distribuição acumulada (f.d.a.);
(b) Construa o gráfico da f.d.a. acima.
18. A tabela seguinte registra as vendas diárias de uma empresa (em milhares):
280 305 320 330 310 340 330 341 369 355 370 360 370
365 280 375 380 400 371 390 400 370 401 420 430
(a) Obtenha a distribuição de freqüências (absoluta, acumulada e relativa). 
Sugestão: utilize classes de amplitudes iguais a 30.
(b) Construa o histograma.
19. Obtenha a média, a moda, a mediana, a variância e o desvio padrão da seguinte 
amostra: 
10 15 14 23 21 18 11 12
14 15 23 12 18 16 15
Respostas: 62,15=x ; 15=Mo ; 15=Md ; ( ) 74,16=XVar ; ( ) 09,4=XDP .
20. Considere a seguinte amostra de valores:
10 15 14 23 21 18 11 12 14 15 23 12 15
(e) Obtenha os quartis.
(f) A que percentis correspondem os valores 10 e 21?
(g) Quais os percentis 35P e 63P ?
Respostas: (a) 121 =Q ; 152 =Q e 183 =Q ; (b) 0% e 83% ; (c) 14 e 15.
21. O limite de dose ocupacional à exposição aos raios X é de 20 mSv/ano (dose efetiva), no 
máximo, em toda a superfície corpórea. As medidas das doses efetivas de 80 individuos são 
apresentadas na tabela abaixo. Construa um histograma para mostrar a distribuição dos 
indivíduos desta amostra segundo a dose efetiva. Utilize os seguintes intervalos de classe: 0,5 
– 5,5 ; 5,5 – 10,5; 10,5 – 15,5; etc.
(a) A partir do conjunto de dados, obtenha o percentual de indivíduos que se encontram 
acima do limite permitido de dose ocupacional. A que percentil corresponde este limite ?
(b) A partir do histograma, determine o percentil correpondente ao limite de dose 
ocupacional. Compare este resultado com o do ítem (a).
1 11 16 21 23 26 28 33
3 12 17 21 24 27 29 34
3 13 17 21 24 27 30 34
4 13 18 12 24 27 30 37
15 13 19 22 24 27 30 38
5 14 20 22 25 27 20 38
9 14 20 22 25 28 32 38
10 15 20 22 25 28 32 40
11 15 20 23 26 28 32 40
11 16 20 23 26 28 32 40