Estatística Exercícios Amostragem

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5A LISTA DE EXERCÍCIOS
ESTATÍSTICA BÁSICA (FÍSICA MÉDICA)
Amostragem, Distribuições Amostrais, Teorema Central do Limite, Estimação
1. A distribuição do número de filhos dentre as famílias de uma zona rural está no quadro abaixo:
Número de Filhos Porcentagem de Famílias
0 10
1 20
2 30
3 25
4 15
Total 100
Seja X a variável aleatória que denota o número de filhos na população. Considere todas as 
possíveis amostras casuais simples ( )21 , XX de duas famílias que podem ser formadas, onde 1X é o 
número de filhos observados na primeira extração e 2X é o número de filhos observados na segunda 
extração.
(a) Dê, na forma de uma tabela de entrada dupla, todas as possíveis amostras casuais simples 
( )21 , XX de duas famílias que podem ser formadas e as respectivas probabilidades de 
ocorrência.
(b) Se fosse colhida uma amostra de tamanho 4=n , qual a probabilidade de se observar a 
quádrupla ordenada (2,3,3,1) ?
(c) Calcule os valores esperados )(,)(,)( 21 XEXEXE e as variâncias 
)(,)(,)( 21 XVarXVarXVar .
(d) Construa a distribuição amostral de 2)( 21 XXX += . 
(e) Calcule )(XE e )(XVar .
(f) Faça numa mesma figura o histograma de X e de X .
(g) Para amostras de tamanho 2=n , construa as distribuições amostrais das estatísticas 
( )∑
=
−
−
=
n
i
i XXn
S
1
22
1
1
 e ( )∑
=
−=
n
i
i XXn 1
22 1ˆσ ,
também denominados estimadores.
(h) Baseado no resultado do ítem anterior, qual destes dois estimadores você usaria para 
estimar a variância populacional )(XVar ? Por quê?
(i) Calcule a probabilidade ( )1>− µXP .
Respostas: (b) 0,00375; (c ) E(X)=E(X1)=E(X2)=2,15, Var(X)=Var(X1)=Var(X2)=1,43; 
(e) E  X =2,15 , Var  X =0,72 ; (h) O estimador S2 pois E(S2)=Var(X); (i) 0,2475.
2. Uma população consiste dos números 2, 3, 6, 8, 11. Consideremos todas as amostras possíveis, de tamanho 
dois, que podem ser extraídas dessa população com reposição. Determine (a) a média da população, (b) o desvio 
padrão da população, (c) a média da distribuição amostral de médias (d) o desvio padrão da distribuição 
amostral de médias, isto é, o erro padrão das médias.
Respostas: (a) 6,0; (b) 3,29; (c) 6,0; (d) 2,32
1
3. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com 
média µ e desvio padrão 10g.
(a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes 
tenham menos do que 500g ?
(b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 
pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 Kg?
Respostas: (a) 512,80; (b) 0,52% .
4. A capacidade máxima de um elevador é de 500 Kg. Se a distribuição X dos pesos dos usuários é 
suposta )100,70( 2 == σµN :
(a) Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esse limite?
(b) E seis passageiros?
Respostas: (a) 35,20%; (b) 0,05% .
5. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de 
ítens defeituosos na produção. A cada 15 minutos sorteia-se uma amostra de 60 peças e, havendo 
mais de 15% de defeituosos, pára-se a produção para verificações. Qual a probabilidade de uma 
parada desnecessária?
Resposta: 9,85% .
6. Determine a probabilidade de que, em 120 jogadas de uma moeda, apareçam (a) entre 40% e 60% de 
caras, (b) 5/8 ou mais caras.
Respostas: (a) 0,9774; (b) 0,0040
7. Se uma amostra com 36 observações é tomada de uma população, qual deve ser o tamanho de 
uma outra amostra para que o desvio padrão da (distribuição amostral da) média desta segunda 
amostra seja igual a 2/3 do desvio padrão da média da primeira amostra?
Resposta: 81 .
Distribuição Amostral da Diferença entre Duas Médias
8. Considere duas populações: ),(: 211 σµNX e ),(:
2
22 σµNY . Sorteiam-se duas amostras 
independentes: a da primeira população de tamanho 1n e a da segunda população de tamanho 2n . 
Calculam-se as médias amostrais X e Y .
(a) Qual a distribuição amostral de X ? E de Y ?
(b) Defina a variável YXD −= . O que se entende por distribuição amostral de D ?
(c) Qual é a forma funcional da distribuição de D ? 
(d) Calcule o valor esperado )(DE e a variância )(DVar .
Respostas:
(a) ),(:,),(: 2
2
221
2
11 nNYnNX σµσµ
(b) Distribuição de todas as possíveis diferenças YX − , para as médias X e Y calculadas a partir de 
todas as possíveis amostras extraídas, respectivamente, das populações 1 e 2.
(c) Distribuição Normal com média E(D) e variância Var(D)
(d) 21)( µµ −=DE ; )()()( 222121 nnDVar σσ += .
2
Distribuição Amostral da Diferença entre Duas Proporções
9. A partir da distribuição amostral da diferença entre duas médias, obtenha a distribuição de 
21 ˆˆ pp − , a diferença entre proporções de amostras independentes retiradas de populações com 
parâmetros 1p e 2p
Resposta:
A distribuição de 21 ˆˆ pp − tende a uma distribuição normal com média 21ˆˆ 21 pppp −=−µ e variância 
2
22
1
112
ˆˆ
)1()1(
21 n
pp
n
pp
pp
−
+
−
=
−
σ quando ∞→1n e ∞→2n .
10. As lâmpadas do fabricante A têm vida média de 1400 horas com desvio padrão de 200 horas, e as 
do fabricante B acusam vida média de 1.200 horas e desvio padrão de 100 horas. Testando-se amostras 
aleatórias de 125 lâmpadas de cada fabricante, pergunta-se qual a probabilidade de a vida média das 
lâmpadas da marca A ser superior à vida média da marca B (a) em ao menos 160 horas, (b) 250 horas 
ou mais?
Respostas: (a) 0,9772; (b) 0,0062
11. A distribuição dos salários (em salários mínimos) de operários do sexo masculino de uma 
grande fábrica é N(5,4; 1,69) e a de operários do sexo feminino é N(5,4; 2,25). Sorteiam-se duas 
amostras, uma com 16 homens e outra com 16 mulheres. Se D é a diferença entre o salário médio 
dos homens e das mulheres.
(c) Calcule )5,0( >DP .
(d) Qual o valor de d tal que 05,0)( => dDP ?
(e) Que tamanho comum deveriam ter ambas as amostras para que 
05,0)4,0( =>DP ?
Respostas:
(a) 31,25 %; (b) 0,97; (c) 95 .
12. Considere uma população ),(: 2σµNX . Extraindo-se todas possíveis amostras casuais 
simples de tamanho n da população, obtém-se a distribuição amostral de X (média da amostra) 
que, pelo teorema do limite central, é uma distribuição normal: ),(: 2 nNX σµ . O erro amostral 
(e ) cometido ao estimar o parâmetro µ através de X é definido como µ−= Xe . Portanto, na 
estimação de µ , é desejável que exista uma alta probabilidade ( γ ) de que este erro (em valor 
absoluto) seja pequeno (menor do que um valor positivo ∆ ), isto é:
γµ =∆<−=∆< )()( XPeP .
(a) Dado pois o coeficiente γ , mostre que isto implica em:
γµµ =∆+<<∆− )( XP 
3
ou
γµ =∆+<<∆− )( XXP ,
onde
n
Z σγ=∆
e γZ é definido como o valor de Z na distribuição normal padrão tal que
γγγ =≤≤− )( ZZZP .
(b) Interprete este resultado em termos de um intervalo de confiança para µ com um 
coeficiente (nível) de confiança γ .
(c) Quais os intervalos de confiança para µ correspondentes aos seguintes níveis de 
confiança: %90=γ , %95=γ e %99=γ ?
 Respostas: (b) [,]):( n
ZX
n
ZXIC σσγµ γγ +−= é um intervalo de confiança para µ com um 
coeficiente de confiança γ . Isto significa que existe uma probabilidade igual a γ de que este intervalo 
contenha o parâmetro µ . (c) n
X σ645,1± ; n
X σ96,1± ; n
X σ575,2±
13. Qual deve ser o tamanho de uma amostra cujo desvio padrão é 10 para que a diferença da 
média amostral para a média da população, em valor absoluto, seja menor do que 1, com 
coeficiente de confiança igual a 
(a) 95% ;
(b) 99% .
Respostas: (a) 384 ; (b) 666
14. De 50000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas e 
obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
(a) Qual ointervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
(b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 98,0800 ± ?
(c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 
84,7800 ± ?
Respostas: (a) ]787,1 ; 812,9[ ; (b) 16% ; (c) 625.
15. Ao medir um tempo de reação, um psicólogo estima o desvio padrão em 0,05 segundos. Qual o 
tamanho de uma amostra de medidas que ele deve tomar a fim de que possa ter (a) 95% e (b) 99% de 
confiança em que o erro de sua estimativa do tempo médio de reação não supere 0,01 segundos.
Respostas: (a) 97 (b) 167.
16. A força eletro-motriz média das baterias fabricadas por determinada companhia é de 45,1 volts, 
com desvio padrão de 0,04 volts. Ligadas em série quatro dessas baterias, determine limites de 
confiança (a) de 95%, (b) de 99%, (c) de 99,73% e (d) de 50% para a força eletro-motriz total.
Respostas: (a) 180,4±0,16 volts; (b) 180,4±0,21 volts; (c) 180,4±0,24 volts; (d) 180,4±0,054 volts.
4
17. Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de 
eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60% dos 
eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
(a) Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja 
de, no máximo 0,01 , com probabilidade de 80%.
(b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% dos 
eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo de confiança para 
a proporção p (utilize 95,0=γ ).
Respostas: (a) 3932 ; (b) ]0,5345 ; 0,5655[ .
18. A partir da distribuição amostral da diferença entre médias, mostre que o intervalo de confiança 
para a diferença das médias populacionais, com variâncias conhecidas, é dado por:
( )
2
2
2
1
2
1
21 ):( nn
ZYXIC σσγµµ γ +±−=−
19. Estão sendo estudados dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de 
interesse é o tempo de duração dos mesmos. No processo A, o tempo X de duração segue a 
distribuição )100,(: ANX µ e no processo B o tempo Y obedece a distribuição )100,(: BNY µ . 
Sorteiam-se duas amostras independentes: a de A, com 16 latas, apresentou tempo médio de 
duração igual a 50, e a de B, com 25 latas, duração média igual a 60.
(a) Construa um intervalo de confiança (IC) para Aµ e Bµ , separadamente.
(b) Para verificar se os dois processos podem ter o mesmo desempenho, decidiu-se 
construir um IC para a diferença BA µµ − . Caso o zero pertença ao intervalo, pode-se 
concluir que existe evidência de igualdade dos processos. Qual seria sua resposta?
Respostas: (a) Para 95,0=γ : [90,54;10,45]),( =γµ AIC , [92,63;08,56]),( =γµ BIC ; 
(b) [72,3;28,16]);( −−=− γµµ BAIC . Os tempos médios de duração nos dois processos são diferentes 
( BA µµ ≠ ), com 95% de probabilidade. 
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