RESUMO MATEMÁTICA FINANCEIRA

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Fórmulas e Nomenclaturas 
 
 
 
 
 
Prof. Esp. Mário Ferreira Neto1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10/AGOSTO/2011 
 
 
 
1 Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais. 
 
 2 
Fator multiplicativo ou fator matemático: 
 
100
i
Fm 
 
 
Fm→ fator matemático 
i→ taxa de juros 
 
Fórmula da capitalização simples ou juros simples: 
 
J = PV . i. n ou J = C . i . n 
 
J→ juros 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
C→ capital 
 
FV = PV + J ou M = C +J 
 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
M→ montante 
C→ capital 
J→ juros 
J = FV – PV ou J = M - C 
 
J→ juros 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
M→ montante 
C→ capital 
 
Fórmulas auxiliares de juros simples: 
 
 3 
 
1- Valor presente ou capital: 
ni
J
PV
.

 
 
PV→ valor presente 
J→ juros 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
 
2- taxa: 
nPV
J
i
.

 
i→ taxa de juros 
J→ juros 
PV→ valor presente 
n→ número de períodos (período de tempo) 
 
3- número de períodos ou período de tempo: 
 
iPV
J
n
.

 
 
n→ número de períodos (período de tempo) 
J→ juros 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
 
Fórmula da capitalização composta ou juros 
compostos: 
J = PV . [(1 + i)n - 1] ou J = C . [(1 + i)n – 1]) 
 
J→ juros 
PV→ valor presente 
 
 4 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
C→ capital 
 
 
FV = PV . (1 + i)n ou M = C . (1 + i)n 
 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
M→ montante 
C→ capital 
J = FV – PV ou J = M – C 
 
J→ juros 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
M→ montante 
C→ capital 
 
Fórmulas auxiliares de juros compostos: 
 
1- Valor presente ou capital: 
 
  11 

n
i
J
PV
 
 
 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
 
2- taxa: 
 
 5 
1 n
PV
FV
i 
 
i→ taxa de juros 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
n→ número de períodos (período de tempo) 
 
3- número de períodos ou período de tempo: 
 
 i
PV
FV
n


1log
log
 
 
n→ número de períodos (período de tempo) 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
log→ logaritmo 
 
 
Fórmula de financiamento (coeficiente de 
financiamento): 
 
  ni
i
CF



11
 
 
ou 
 
 ni
i
CF



1
1
1
 
 
 6 
 
CF→ coeficiente de financiamento 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos (período de tempo) 
 
Fórmula de financiamento (valor da prestação): 
 
PMT = PV . CF ou VP = C . CF 
 
PMT→ valor da prestação 
PV→ valor presente 
CF→ coeficiente de financiamento 
Vp→ valor da prestação 
C→ capital 
 
Fórmula de financiamento (valor da prestação com 
um valor de entrada): 
 
PMT = (PV – PMT) CF ou VP = (C – Vpe). CF 
 
PMT→ valor da prestação 
PV→ valor presente 
CF→ coeficiente de financiamento 
Vp→ valor da prestação 
C→ capital 
Vpe→ valor da prestação de entrada 
 
 
Fórmula de financiamento (valor da prestação igual 
ao valor da entrada): 
 
 
 
PMT→ valor da prestação 
PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) 
 
 7 
CF→ coeficiente de financiamento 
 
CF
PMT
PV 
 
 
 
PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) 
PMT→ valor da prestação 
CF→ coeficiente de financiamento 
 
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um 
capital para a realização de alguma operação financeira. 
 
Fórmula de taxa proporcional: 
 
2
1
2
1
t
t
i
i
 
 
i1→ taxa inicial (taxa que tenho) 
i2→ taxa final (taxa que quero) 
t1→ tempo inicial (tempo que tenho em mês) 
t1→ tempo final (tempo que tenho convertido para o 
número de capitalizações) 
 
Fórmula de taxa equivalente: 
 
ie = (1 + ik)
k – 1 
ie→ taxa equivalente (taxa que quero) 
ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho) 
k→ número de capitalizações convertido para a unidade 
padrão ou unidade apropriada 
 
Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente: 
 
 8 
Fórmula Taxa Período 
Número de 
capitalizações 
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2 
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3 
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4 
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12 
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24 
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52 
1+ia = (1+idias)365 idias Dia 365 
 
 
Taxa Nominal é quando o período de formação e 
incorporação dos juros ao capital não coincide com 
aquele a que a taxa está referida. 
 
iN = n x i 
 
in→ taxa nominal 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
 
Taxa Efetiva é quando o período de formação e 
incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a 
que a taxa está referida. 
 
ie = (1 + ie)
1/n – 1 
 
in→ taxa nominal 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
 
 
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa 
inflacionária do período da operação. 
 
 
 9 
Taxa acumulada de juros com taxas variáveis é 
normalmente utilizada em situações de correções de 
contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, 
saldo devedor da casa própria e contratos em geral. 
 
Taxa aparente é a taxa que se obtém em uma operação 
financeira sem se considerar os efeitos da inflação. 
 
Taxa over é uma taxa usada pelo mercado financeiro 
para determinar a rentabilidade por dia útil, 
normalmente é multiplicada por 30 (conversão do 
mercado financeiro). 
 
Taxa média é a taxa de juros que tem como base teórica 
o conceito estatístico da média geométrica. 
 
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: a 
taxa real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da 
inflação. Na realidade existe uma ligação íntima entre as 
três taxas dadas por: 
 
1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação) 
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um 
valor aplicado no início do mês produziu um rendimento 
global de 32,6% sobre o valor aplicado então o resultado 
é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. 
A variação real no final deste mês será definida por: 
vreal = 1 + ireal 
pode ser calculada por: 
vreal = resultado / (1 + iinflação) 
isto é: 
 
 10 
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02 
o que significa que a taxa real no período foi de: 
ireal = 2% 
 
Capitalização em períodos fracionários: 
 
CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o 
montante ou valor futuro a juros compostos do 
número de períodos inteiros. Ao valor futuro 
(montante) obtido adicionam-se os juros simples 
correspondentes no período fracionário. 
 
FV = PV . (1 + i)n + PV (1 + i)n . i . p/q 
 
 
Juros compostos 
Nos períodos inteiros 
 
Juros simples 
Nas frações de períodos (taxa 
proporcional) 
 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
n + p/q→ prazo total 
p/q→ fração do período total 
 
n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros 
e p/q: fração desse período para calcular o montante 
ou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente 
na taxa: i no fim de n + p/q períodos: 
 
 11 
 
FV = PV (1 + i)n . [1 + i . (p/q)] 
 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
n + p/q→ prazo total 
p/q→ fração do período total 
 
CONVENÇÃO EXPONENCIAL na convenção 
exponencial o capital ou valor presente renderá juros 
compostosdurante todo o período de aplicação, ou 
seja, nos períodos inteiros e fracionários. É 
conveniente notar que, nos períodos fracionários, o 
cálculo é efetuado pela taxa equivalente. 
 
FV = PV (1 + i)n . (+ p/q) 
FV→ valor futuro 
PV→ valor presente 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
n + p/q→ prazo total 
p/q→ fração do período total 
 
ATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalização 
com períodos fracionários, o primeiro passo é definir 
claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se 
vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. 
Se definido que a capitalização é LINEAR deve-se 
trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da 
capitallização no período fracionário. Se definido que será 
empregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxa 
equivalente. 
 
 12 
DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) 
ATENÇÃO: O desconto comercial difere do desconto 
racional principalmente por que se trata de uma taxa 
aplicada ao valor nominal do título. Não é uma 
descapitalização, como no caso do desconto racional e as 
equações do desconto comercial, são diferentes das 
equações dos descontos racionais. O desconto comercial 
simples é o tipo de desconto aplicado no comércio e a 
taxa de desconto é única para cada prazo determinado. 
Assim, um título pago com um mês de antecedência deve 
ser descontado a uma taxa diferente de um título pago 
com três meses de antecedência. 
 
O valor do desconto é obtido diretamente do produto da 
taxa de desconto ao valor nominal do título. O valor atual 
ou valor a ser pago pelo título é o valor nominal 
descontado 
Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples: 
 
 
Dc = N – Ac 
Dc→ Desconto 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
Ac→ Valor atual = valor líquido 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos de antecipação 
Equação ou Formula do Desconto Comercial Simples: 
Dc = N . i . n 
Dc→ Desconto 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos antecipação 
 
 
 13 
Fórmulas auxiliares do desconto comercial: 
 
1- taxa: 
nN
D
i
.

 
i→ taxa de juros 
D→ Desconto 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
n→ número de períodos de antecipação 
 
2- valor nominal: 
ni
D
N
.

 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
D→ Desconto 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos antecipação 
Equação ou Formula do Valor Atual Comercial 
Simples: 
A = N . (1 – i.n) 
 
A→ Valor atual = valor líquido 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos de antecipação 
 
Fórmulas auxiliares do valor atual: 
 
1- taxa: 
 
 14 
n
N
D
i



1
 
i→ taxa de juros 
D→ Desconto 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
n→ número de períodos de antecipação 
Equação ou Formula do Desconto Comercial 
Composto: 
Dc = N – Ac 
Dc→ Desconto 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
Ac→ Valor atual = valor líquido 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos de antecipação 
 
Ac = N . (1 + i) – n ou 
nc i
N
A
)1( 

 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
Ac→ Valor atual = valor líquido 
i→ taxa de juros 
n→ número de períodos de antecipação 
 
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO 
Dr = N – Ar 
Dr→ Desconto Racional 
Ar→ Valor atual = valor líquido 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
Equação ou Formula do Desconto Racional Composto: 
 
 15 
nr i
N
A
)1( 

 
 
Ar→ Valor atual = valor líquido 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
 
Equivalência de taxas de descontos: 
(1 + ic . (1 + ir) = 1 
 
Ar→ Valor atual = valor líquido 
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face 
i→ taxa de juros 
n→ número de capitalizações ou número de períodos 
 
ATENÇÃO: O desconto racional é juro. Ele é obtido 
exatamente da mesma forma que o juro, com a diferença 
que o desconto corresponde a uma descapitalização. Para 
obter o valor D do desconto racional simples a ser 
concedido sobre o valor nominal N de um título que vence 
em n períodos, sobre o qual se paga uma taxa de juros i, 
utiliza-se como taxa de desconto a taxa de juros e 
calcula-se o valor do desconto. 
 
Se o desconto racional a ser aplicado é o composto, 
utiliza-se a mesma equação da descapitalização no juro 
composto (chamando de o valor a ser pago). O valor do 
desconto pode ser obtido com a equação equivalente do 
montante: 
 
N = A + D 
 
O desconto racional também é chamado de desconto 
verdadeiro, desconto justo e desconto real.