Gradiente de Pressão

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I. INTRODUÇÃO 
I-A FORMALISMO FÍSICO 
 
A pressão pode ser entendida como sendo a força aplicada perpendicular a superfície de um objeto por 
unidade de área sobre a superfície. Sendo assim a pressão pode ser expressa por: 
 
𝑃 =
𝑭
𝑨
 (1) 
Sendo que P é a pressão a qual o corpo está submetido, F é vetor da força normal aplicada sob a superfície e 
A é área da superfície do corpo mutiplicada por um versor normal. 
Pela Segunda lei de Newton temos que somatório das forças aplicadas em um corpo deve ser igual a derivada 
do momento no tempo ou o produto da massa deste corpo pela sua aceleração para corpos com massa 
constante. 
𝑭𝑻 =
𝑑𝒑
𝑑𝑡
= 𝑚𝒂 (2) 
Sendo que a força total 𝑭𝑻 é o somatório das forças atuando sobre o corpo, p é o momento linear do corpo 
dado por 𝒑 = 𝑚𝒗, m é massa do corpo, e v e a são respectivamente a velocidade e a aceleração a qual o 
corpo esta sujeita. 
Substituindo a equação (2) na (1), obtemos então uma relação da aceleração em função dos demais termos. 
𝒂 = −
𝑃𝑨
𝑚
 (3) 
O sinal de negativo se deve ao fato do movimento ser realizado na direção oposta ao versor normal da 
superfície do corpo. 
Através da integração da expressão da aceleração é possível então calcular expressões para velocidade e para 
posição em um intervalo de 𝑡 a 𝑡 + 𝑑𝑡 para a velocidade inicial 𝒗𝟎 e a posição inicial 𝒓𝟎 predefinidas. 
𝒗 = ∫ 𝒂𝑑𝑡
𝑡+𝑑𝑡
𝑡
= −
𝑃𝑨
𝑚
𝑑𝑡 + 𝒗𝟎 (4) 
𝒓 = ∫ 𝒗𝑑𝑡 = −
𝑃𝑨
2𝑚
(𝑑𝑡)2 + 𝒗𝟎𝑑𝑡 +
𝑡+𝑑𝑡
𝑡
𝒓𝟎 (5) 
 
Resumo— Neste presente trabalho foi realizado um estudo da dinâmica de um corpo imerso em um 
gradiente de pressões. Para isso foram formuladas equações de movimento em função das pressões 
as quais o corpo estava submetido. Utilizando-se dessas equações foi escrito um programa que 
descrevesse a dinâmica do sistema para diferentes valores de pressão. A grade de pressões usada no 
programa, continha quatro malhas de pressões de mesma área inseridas em uma pressão externa de 
comprimento infinito. Então, através da análise do programa podesse estudar a dinâmica do sistema 
para diferentes condições. O programa condiz com o comportamento físico esperado, mas apresenta 
um erro na discretização do tempo. Os resultados do programa podem se apresentar inconsistentes 
para algumas singularidades, mas abrange a maioria dos casos possíveis. 
 
Ana Carolina de Oliveira. Iago Leal. Pedro Augusto Romero Maia. Victor Hugo Ferreira da Silva 
 
Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul 
Mato Grosso do Sul, Julho 2016 
Gradiente de Pressão 
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O objeto foi descrito como sendo um quadrado de comprimento 𝑙. Sendo 𝒂, 𝒗 e 𝒓 respectivamente a 
aceleração, a velocidade e a posição do centro de massa deste objeto. 
A distância entre o centro de massa e as diagonais do objeto foram descritas por um vetor 𝒅𝒊, de forma com 
que a posição das diagonais foi dada por 𝒓𝑑 = 𝒓 + 𝒅𝒊. Sendo que 𝑖 = 1,2,3,4 são os índices de cada diagonal. 
O índice 1 representa a diagonal superior esquerda, índice 2 representa a diagonal superior direita, indíce 3 
representa a diagonal inferior direita e o índice 4 representa a diagonal inferior esquerda. 
𝒅𝟏 = −
𝑙
2
(𝑖̂ + 𝑗̂) (6) 
𝒅𝟐 = −
𝑙
2
(𝑖̂ − 𝑗̂) (7) 
𝒅𝟑 =
𝑙
2
(𝑖̂ + 𝑗̂) (8) 
𝒅𝟑 =
𝑙
2
(𝑖̂ − 𝑗̂) (9) 
O ponto O do referencial utilizado foi definido como sendo o centro da malha de pressões. Sendo que um 
valor 𝑃𝑖 de pressão foi definido para os quatro quadrantes do referencial. Os índices 𝑖 = 1,2,3,4 representam 
cada malha do gradiente de pressão anâlogo a representação das diagonais. Cada quadrante media um 
comprimento 𝐿/2 e para posições maiores que isso o corpo foi sujeito a uma pressão exterior 𝑃5. As pressões 
não foram definidas para os limites de cada malha interna, apenas para os limites exteriores. 
 Para corpos submetidos a mais de uma pressão, a representação da aceleração é dada em função do somatório 
do produto das pressões a quais o corpo esta sujeito por suas respectivas áreas superficiais. 
𝒂 = −
∑ 𝑃𝑖𝑨𝑖𝑖
𝑚
 (10) 
Através desta formula é possível então obter a aceleração do corpo para diferentes posições na malha de 
pressões, e consequentemente suas respectivas velocidades e posições posteriores também. No programa 
escrito, foi tentado abrangir a maioria dos casos possíveis. A seguir será descrito o formalismo físico de cada 
um. 
O primeiro caso descrito foi para um corpo entre os quatro quadrantes. Neste caso, a posição do centro de 
massa estava dentro dos limites −
𝑙
2
< 𝑟𝑥 <
𝑙
2
 e −
𝑙
2
< 𝑟𝑦 <
𝑙
2
. Sendo 𝑟𝑥 e 𝑟𝑦, respectivamente as componentes 
em x e y da posição do centro de massa. 
Para este caso foi observado que o comprimento da superfície imersa em cada quadrante era igual em modulo 
ás componentes de 𝒓𝑑. A componente em y de 𝒓𝑑𝑖 é igual em modulo a área da superfície perpendicular ao 
eixo x sob pressão 𝑃𝑖, e a componente em x de 𝒓𝑑𝑖 é igual em modulo a área da superfície perpenndicular ao 
eixo y sob pressão 𝑃𝑖. Sendo assim a área de cada superfície imersa sobre uma malha pode ser dada pela 
seguinte expressão. 
𝑨𝑖 = [
|𝑟𝑑𝑖|𝑦
∙ �̂�
|𝑟𝑑𝑖|𝑥
∙ �̂�
] (11) 
Sendo �̂�, o versor normal da superfície do corpo. 
Sendo assim, a expressão para aceleração deste caso é dada substituindo a equação (11) na equação (10). 
𝒂 = −∑
[
 
 
 
 
𝑃𝑖|𝑟𝑑𝑖|𝑦
∙ �̂�
𝑚
𝑃𝑖|𝑟𝑑𝑖|𝑥
∙ �̂�
𝑚 ]
 
 
 
 4
𝑖=1
 (12) 
Outro caso importante é o caso em que o corpo está entre duas malhas. Para este caso a área da superficie 
imersa em cada malha pode ser dada pelo comprimento 𝑙 do bloco no eixo paralelo a direção do movimento 
 3 
(da pressão maior para a menor) e pode ser desconsiderada no eixo perpendicular ao movmento, já que a 
força resultante da diferença de duas pressões iguais é nula. 
𝒂 = −
(𝑃𝑚 − 𝑃𝑛)𝑙
𝑚
∙ �̂�+ (13) 
Sendo que �̂�+ é o versor posição que aponta na direção do movimento em sentido positivo ao referencial, 𝑃𝑚 
é a pressão do quadrante positivo a qual o corpo está imerso e 𝑃𝑛 é a pressão do quadrante negativo. 
Esta mesma equação pode ser utilizada para corpos que estão sob a influência da uma das pressões externas. 
Basta substituir 𝑃5 em 𝑃𝑚 caso ele esteja em quadrante positivo ou em 𝑃𝑛 caso esteja em um quadrante 
negativo. Por quadrantes positivos e negativos, entende-se que ele será positivo caso seja maior que zero em 
relação a origem, na direção do movimento e negativo caso seja menor que zero (Ex.: Para um corpo entre o 
primeiro e o quarto quadrante se movimentando no eixo y, o quadrante positivo será o primeiro e o negativo 
será o quarto). 
Por último para o caso de um corpo totalmente imerso em uma malha de pressão 𝑃𝑖, a somatória das forças 
atuantes sobre esse sistema será nula, já que será de igual intensidade para todas as direções. Sendo assim, 
quando um corpo estiver totalmente imerso em uma malha a sua aceleração será nula e consequentemente 
sua velocidade será constante até que uma força seja aplicada sobre o bloco. 
Em nenhum dos casos foi considerada a força da pressão aplicada nas diagonais do bloco, já que a força 
resultante de uma pressão aplicada a uma área pontual é mínima. 
 
I-B. FORMALISMO NÚMERICO 
 
Paraser calculada a aceleração, a velocidade e a posição do centro de massa do bloco para diferentes 
instantes, foi definido um intervalo de tempo 𝑑𝑡 = 0.01𝑠 entre um calculo e outro. Então foi feito um loop 
no programa para que todos os calculos fossem realizados 𝑠 vezes. A cada loop foi adicionado um intervalo 
𝑑𝑡 a variável tempo 𝑡. 
𝑡𝑠+1 = 𝑡𝑠 + 𝑑𝑡 (14) 
Para determinar a aceleração do sistema primeiro foram feitas várias operações lógicas para determinar em 
qual caso o bloco se encaixava neste instante. Determinado o caso em que o objeto se encontrava, era 
calculada a força resultante do sistema. Então era calculada a aceleração do sistema para cada instante através 
da relação: 
𝒂 =
𝑭
𝑚
 (15) 
E através da acelaração eram calculadas a velocidade e posição do centro de massa através das relações: 
𝒗 = 𝒂𝑑𝑡 + 𝒗𝟎 (16) 
𝒓 =
𝒂(𝑑𝑡)2
2
+ 𝒗𝟎𝑑𝑡 + 𝒓𝟎 (17) 
Por último, foi submetido então os valores das posições e velocidades em um instante 𝑡 às variáveis de 
posição e velocidade inicial em um instante 𝑡 + 𝑑𝑡. 
𝒗𝟎𝒔+𝟏 = 𝒗𝒔 (18) 
𝒓𝟎𝒔+𝟏 = 𝒓𝒔 (19) 
 
 
 
 
I-C. SOFTWARE UTILIZADO 
 
 4 
O Maxima, Sistema de Álgebra Computacional, utilizado para a realização do projeto possibilitou a 
manipulação dos dados para a obtenção do objetivo esperado. Tal software foi desenvolvido para operações 
algébricas que envolvem expressões simbólicas e numéricas, indo da integração, matrizes, vetores a cálculos 
diferenciais. Além de oferecer uma ferramenta para plotagem de gráficos de funções em duas ou três 
dimensões. 
 
Por ser um software livre, cuja licença é a General Public License, além de encontrarmos muitas versões 
disponíveis e diversas atualizações com correções de possíveis bugs, ele oferece uma interface simplificada, 
que oferece uma fácil interação. 
 
O Maxima é baseado no Macsyma, um sistema desenvolvido pelo Instituto de Tecnologia de Massachusetts 
em conjunto com agências governamentais norte americanas. Atualmente o Maxima é o único programa 
provindo desse sistema que ainda mantém disponível publicamente, indo contra softwares como Mapple e 
Mathematica que basearam se nos mesmos princípios. 
I-D. O PROGRAMA ELABORADO 
 
No programa elaborado, primeiramente foi encerrado todas as váriaveis na mémoria do Máxima. Logo após 
foram inicializados todos os arquivos de extensão “.dat” em que a matriz de dados seriam armazenados. No 
arquivo “posição.dat”,”velocidade.dat” e “aceleração.dat” foram armazenadas respectivamente as posições, 
velocidades e acelerações do centro de massa no eixo x e y. E no arquivo “tempo.dat” foi criada uma matriz 
do tempo discretizado. 
 
Feito isso, foram declaradas todas as variáveis cujo o programa fosse precisar. Dentre elas estão: as pressões 
𝑃𝑖de cada quadrante; a pressão externa 𝑃5; os vetores posição 𝒓𝟎 e velocidade inicial 𝒗𝟎; a massa 𝑚 e o 
comprimento 𝑙 do bloco; e o comprimento de cada malha 𝐿/2. 
 
Com base nas variáveis referentes ao bloco, foi então calculada a distância entre o centro de massa e cada 
diagonal do bloco. 
Em seguida o programa entrou em um loop de 𝑠 vezes em que foram feitas as operações lógicas para 
determinar em qual dos casos o bloco se encaixava. Determinado em qual caso a o bloco se encaixava, eram 
feitos os calculos da força resultante. Através da força resultante, das velocidades e das posições prévias 
foram calculas a velocidade e posição atual. Então por último, os valores obtidos eram armazenados nos 
arquivos “.dat”. 
 
Terminado o loop, os arquivos “.dat” foram fechados e associados as variáveis “posic”, ”veloc”, ”acele” e 
”tempo”. Então foram impressos uma série de gráficos com os valores dos arquivos. Dentre estes graficos 
estavam: o gráfico das componentes x e y da posição do centro de massa em função do tempo, o gráfico das 
componentes x e y da velocidade do centro de massa em função do tempo, o gráfico das componentes x e y 
da aceleração em função do tempo e o grafico da componente y da posição do centro de massa em função da 
componente x. 
 
 
 5 
II. RESULTADOS 
A seguir expomos alguns gráficos da malha de pressões, nos quais percebe-se facilmente o movimento do 
objeto imerso na malha. Estes resultados foram alcançados variando somente a massa do objeto (m), a 
velocidade inicial do objeto (𝒗𝟎) e as pressões em cada quadrante, sendo o primeiro quadrante −20 < 𝑥 <
0 𝑒 0 < 𝑦 < 20, o segundo 0 < 𝑥 < 20 e 0 < 𝑦 < 20, o terceiro 0 < 𝑥 < 20 e −20 < 𝑦 < 0 e o quarto 
−20 < 𝑥 < 0 𝑒 − 20 < 𝑦 < 0. Os demais parâmetros foram deixados fixos sendo o tamanho da malha 𝐿 =
40, o tamanho do objeto 𝑙 = 2, a posição inicial 𝑅𝑐𝑚0 = [0,0] (centro de origem), o intervalo de tempo 
𝑑𝑡 = 0.01, o tempo inicial 𝑑𝑡0 = 0, o número de pontos 𝑠 = 100000 e a pressão externa 𝑝5 = 100. 
 
Figura 1: Posição do centro de massa no palano xy para os parametros 𝑚 = 2, 𝒗𝟎 = [2,2] e pressões 𝑝1 =
4, 𝑝2 = 2, 𝑝3 = 0 𝑒 𝑝4 = 0. 
 
 
Ao analisarmos o gráfico acima, notamos que devido a velocidade inicial, o objeto tem um movimento para 
cima saindo da origem, porém, devido a diferença de pressão, ele retrocede para a área de menor pressão, os 
quadrantes 3 e 4 com pressão zero e fica confinado graças às pressões dos outros quadrantes e à pressão 
externa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
Figura 2: Posição do centro de massa no palano xy para os parametros 𝑚 = 2, 𝑣0 = [2, −2] e pressões 
𝑝1 = 4, 𝑝2 = 2, 𝑝3 = 5 𝑒 𝑝4 = 0. 
 
 
Aqui vemos mais uma vez o objeto confinado no quadrante de menor pressão, porém devido à velocidade 
inicial, o corpo adentra o terceiro quadrante e continua em com um movimento uniforme até encontrar a 
diferença de pressão entre o terceiro quadrante e a pressão externa, somente aí o movimento é modificado, 
nos mostrando assim que o movimento só é modificado se o objeto encontrar duas pressões distintas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
Figura 3: Posição do centro de massa no palano xy, gráfico dos eixos x e y da posição do centro de massa 
em função do tempo e gráfico dos eixos x e y da velocidade do centro de massa em função do tempo para 
os parametros 𝑚 = 20, 𝑣0 = [2,−2] e pressões 𝑝1 = 4, 𝑝2 = 2, 𝑝3 = 5 𝑒 𝑝4 = 0. 
 
 
 
 8 
 
 
Neste exemplo somente modificamos a massa do objeto, utilizando a mesma velocidade inicial e as mesmas 
pressões do exemplo anterior. Podemos perceber que, devido à uma maior massa, o objeto adquire momento 
linear suficiente para ultrapassar as barreiras das pressões, fazendo com que ele percorra por todos os 
quadrantes, porém com uma predominância no de menor pressão. 
 
Estudando os gráficos da posição e velocidade, percebemos alguns instantes com movimentos retilíneos 
uniformes, estes instantes são aqueles nos quais o objeto está totalmente dentro de uma só pressão, sendo 
assim, não existe força atuando sobre ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
Figura 4: Posição do centro de massa no palano xy, gráfico dos eixos x e y da aceleração em função do 
tempo para os parametros 𝑚 = 2, 𝑣0 = [2,4] e pressões 𝑝1 = 3, 𝑝2 = 3, 𝑝3 = 3 𝑒 𝑝4 = 3. 
 
 
 
 10 
Os gráficos acima, nos mostram uma malha com mesma pressão em todos os quadrantes, sendo assim, não 
há nada para variar o movimento do objeto a não ser a pressão externa, fazendo assim com que o resultado 
se assemelhe á uma bola quicando sem perda de energia dentro de uma caixa. 
 
Figura 5: Posiçãodo centro de massa no palano xy, gráfico dos eixos x e y da aceleração em função do 
tempo para os parametros 𝑚 = 20, 𝑣0 = [2,4] e pressões 𝑝1 = 3, 𝑝2 = 3, 𝑝3 = 3 𝑒 𝑝4 = 3. 
 
 
 
 11 
Semelhante ao exemplo anterior, porém com a massa aumentada, nota-se um leve desvio no movimento do 
objeto e a velocidade reduzida, já que a aceleração devido às pressões é um termo dividido pela massa, quanto 
maior a massa, menor a aceleração, o que podemos notar comparando os gráficos da aceleração deste e do 
exemplo anterior, nota-se um fator dez multiplicativo, assim como na massa que foi aumentada de 2 para 20. 
III. CONCLUSÃO 
 
À partir destes resultados podemos notar que o objeto tende a permanecer no quadrante de menor pressão 
fazendo sentido com o que poderíamos esperar, contudo, ao aumentarmos a massa do objeto em 10 vezes, 
criamos a possibilidade dele ultrapassar a barreira de pressão entre os quadrantes. 
 
Outro resultado digno de nota é o do exemplo 4, onde as pressões de todos os quadrantes são iguais. O 
movimento neste exemplo se dá somente pela velocidade inicial do objeto, tendo em vista que não há 
diferença de pressão entre os quadrantes e somente a pressão externa impossibilita do objeto sair da malha. 
Comparando o exemplo 4 e o 5, percebemos que a variação da massa também modifica o movimento em si. 
 
REFERÊNCIAS 
[1] NUSSENZVEIG M. H.; Curso de Física Básica – 1 mecânica. 3. Ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher 
LTDA, 1996: 340p. 
[2] FEYNMAN, Richard. P.; LEIGHTON, Robert B.; SANDS, Matthew. Feynman-Lições de Física-Volume1. 
1ed. Porto Alegre: Bookman, 2008. 
[3] RESNICK, R.; HALLIDAY, D..Física-1.4.ed. São Paulo. Editora LTC S.A. 1984. 310p. 
[4] Maxima, a Computer Algebra System. Disponível em: <http://maxima.sourceforge.net/> Acessado em: 
03 de julho de 2016.