Apostila Transitórios domínio do tempo

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Curso de Análise de Sistemas Lineares UFMT - Engenharia Elétrica 
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 TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES E ESTACIONÁRIOS: 
ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acredite na sua capacidade de raciocínio. PENSE! 
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INTRODUÇÃO 
 
 
 Os conhecimentos matemáticos relativos a equações diferenciais são importantes 
ferramentas na análise de sistemas lineares, tendo em vista a possibilidade de 
representação desses sistemas por meio de equações diferenciais, denominadas 
equações descritivas do sistema. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES 
 
 Uma equação diferencial de ordem n é dada por: 
 
)()()()()( 011 1
1
txtyaty
dt
d
aty
dt
d
aty
dt
d
a
n
n
n
n
nn
=++⋅⋅⋅++
−
−
−
 (1) 
 
 
 A função x(t) representa o sinal de entrada do sistema e é denominada de função 
de excitação. Os coeficientes ia são constantes e dependem dos valores dos parâmetros 
do sistema. Restringiremos nosso interesse às equações diferenciais tanto de primeira, 
quanto de segunda ordem devido a terem ampla aplicabilidade na representação de 
sistemas na área de Engenharia Elétrica. 
 
 
 TRANSITÓRIOS EM SISTEMAS LINEARES ESTACIONÁRIOS 
SUBMETIDOS A SINAIS CONTÍNUOS: ANÁLISE CC 
 
 
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE PRIMEIRA 
ORDEM 
 
 Uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem é dada por: 
 
0)()( 0 =+ tyatydt
d
 (2) 
 
 Cuja solução, denominada solução homogênea, pode ser determinada conforme 
segue: 
 )()( 0 tyatydt
d
−= 
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Separando as variáveis e integrando ambos os membros 
 
dta
ty
tdy
∫∫ −= 0)(
)(
 → 201)(ln ctacty +−=+ 
 
Aplicando exponencial e fazendo 12 ccc −= 
 
0( ) a t cy t e− += , ou ceety ta0)( −= 
 
Fazendo, cek = e )()( tytyh = temos: 
 
ta
ketyh 0)(
−
= (3) 
 
 A constante k engloba as constantes de integração e depende das condições 
iniciais. Nas aplicações em Engenharia Elétrica essa constante depende da energia 
inicial armazenada no campo magnético dos elementos indutivos ou no campo elétrico 
dos elementos capacitivos, do sistema. 
 
 A solução homogênea está associada ao regime transitório e representa o 
comportamento natural ou livre do sistema, por essa razão também é conhecida como 
solução natural ou livre do sistema. 
 
EXEMPLO LITERAL 1 
 
 Considere que um circuito RC série, submetido a um sinal de entrada ,)( Etx = 
encontra-se em regime permanente e que, em t=0, instantaneamente, o sinal de entrada 
é retirado e em seu lugar é chaveado um curto circuito. Determine a equação da 
corrente do circuito para 0≥t . 
 
Inicialmente é necessário identificar as condições iniciais. Antes do 
chaveamento o capacitor estava plenamente carregado, ou seja: 
0)0(0)0(;)0( =−=−=− rveiEvC . Depois do chaveamento o capacitor irá se 
descarregar, assegurando uma circulação de corrente no circuito, assim: 
 
 
( )
( )
( )
0
0
0
c
r
Ei
R
v E
v E
= −
=
= −
 
 
O capacitor não permite mudanças bruscas de tensão: (0 ) (0) (0 )C C Cv v v− = = + . 
 
 O passo seguinte é encontrar a equação descritiva do circuito que pode ser 
determinada com o auxílio da KirchhoffdeLei , da Lei de Ohm e das equações que 
regem o comportamento físico dos parâmetros do sistema, como segue: 
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LKT: 
 0)()( =+ tvtv cr (4) 
 
Modelando a equação (4) em termos da corrente i(t), temos: 
 
∫ =+ 0)(
1)( dtti
C
tRi 
 
Eliminando a integral 
 
∫ =+ 0)(
1)( dtti
dt
d
C
ti
dt
dR 
 
 Rearranjando, e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, temos 
a equação descritiva da corrente do circuito: 
 
0)(1)( =+ ti
RC
ti
dt
d
 (5) 
 
 Que é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem, portanto 
conforme a equação (3) a solução homogênea associada será: 
 
 ( )
t
RC
hi t k e
−
= 
 
Que pode ser apresentada em função da constante de tempo RC=τ 
 
( )
t
hi t k e
τ−
= (6) 
 
Fazendo t=0 
 
 ( )
R
Ekih −==0 
 
Substituindo na equação (6) e fazendo ( ) ( )titi h= temos: 
 
 ( )
tEi t e
R
τ−
= − , para 0≥t (7) 
 
 As equações para as demais grandezas do circuito: )()( tvetv cr , podem ser 
facilmente obtidas, como segue: 
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( )( )
( ) ( )
:
:
t
t t
t
r h
t
c r
Pela Lei de Ohm
v R i t E e
Pela Lei de Kirchhoff
v v E e
τ
τ
−
−
= − =
= = −
 
 
 O comportamento das grandezas ao longo do tempo pode der observado na 
figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.1 – Comportamento físico das grandezas do circuito RC série 
 
 
 Analise a influência da constante de tempo τ no comportamento das grandezas 
do circuito e observe que em cerca de cinco constantes de tempo o circuito praticamente 
já alcançou o regime permanente. 
 
 
 -E/R 
E 
-E 
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 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGENEAS DE 
PRIMEIRA ORDEM 
 
 
 Uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem é dada por: 
 
)()()( 0 txtyatydt
d
=+ (8) 
 
 Essa equação diferencial admite para além da solução homogênea outra solução 
denominada solução particular, de modo que a respectiva solução geral é: 
 
)()()( tytyty ph += (9) 
 
 A solução particular pode ser determinada utilizando uma função auxiliar u(t), 
também denominada fator de integração, como segue: 
 
]( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )p p pd d dy t u t y t u t y t u tdt dt dt + =  (10) 
 
Multiplicando a equação (8) por u(t) e fazendo ( ) ( )py t y t= , temos: 
 
0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p
d y t u t a y t u t x t u t
dt
+ = (11) 
 
Comparando as equações (10) e (11): 
 
 )()( 0 tuatudt
d
= (12) 
 
]( ) ( ) ( ) ( )pd y t u t x t u tdt  = (13) 
 
 Da equação (12) 
 
ta
ketu 0)(
+
= 
 
Substituindo na equação (13) e integrando os dois membros, temos: 
 
0 0( ) ( )a t a tp
d y t ke dt x t ke dt
dt
+ +  =
∫ ∫ 
 
 
ou 
0 0( ) ( )a t a tpy t ke k x t e dt+ += ∫ 
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A solução particular é, então, dada por: 
 
0 0( ) ( )p a t a ty t e x t e dt− += ∫ (14) 
 
 Essa solução está associada ao regime permanente e representa o comportamento 
forçado do sistema, por essa razão também é conhecida como solução forçada ou não 
natural do sistema. 
 
 Assim, a solução geral de uma equação diferencial homogênea de primeira 
ordem será dada por: 
 
 
0 0 0( ) ( )a t a t a ty t ke e x t e dt− − += + ∫ (15) 
 
 A constante k depende das condições iniciais e está associada à energia inicial 
armazenada no campo magnético dos elementos indutivos ou no campo elétrico dos 
elementos capacitivos do sistema. 
 
 
 
EXEMPLO LITERAL 2 
 
 Considere um sistema representado por um circuito RC série, alimentado em t=0 
por um sinal de entrada contínuo Etx =)( . Assumindo que a tensão inicial no capacitor 
é 0)0( cc vv = determinar a equação para a corrente, i(t) série do circuito. 
 
 As condições iniciais dos parâmetros do sistema são: 
 
( )0
0
0
(0)
(0)
(0)
C
r C
c C
E v
i
R
v E v
v v
−
=
= −
=
 
 
LKT: 
 Etvtv cr =+ )()( (16) 
 
Modelando (16) em função da corrente i(t) 
 
Edtti
C
tRi =+ ∫ )(
1)( 
 
Derivando ambos os lados para eliminar a integral, temos: 
 
E
dt
ddtti
Cdt
d
tRi
dt
d
=+ ∫ ))(
1()( 
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 Resolvendo e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, a 
equação descritiva da corrente do sistema será: 
 
0)(1)( =+ ti
RC
ti
dt
d
 (17) 
 
 Trata-se de uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem. 
Assim sendo, a solução homogênea associada será: 
 
 
1
( ) tRChi t k e
−
= (18) 
 
Fazendo t=0 e )()( titi h= 
 
 
R
vE
ki C0)0( −== 
Assim, 
 
1
0( ) tC RCE vi t e
R
−−
= (19) 
 
Sendo RC=τ a constante de tempo do circuito, então 
 
 
0( )
t
CE vi t e
R
τ−
−
= , para 0≥t (20) 
 
 Conhecendo a equação da corrente série do circuito é possível determinar as 
tensões no resistor e no capacitor, como segue: 
 
 ( )( ) 0( )
t
tr Cv Ri t E v e
τ−
= = − (21) 
 
01 1( ) ( )
t
C
c
E v
v t i t dt e dt
C C R
τ
−−
= =∫ ∫ 
ou 
( )0( )
t
c Cv t E v e C
τ−
= − − + (22) 
 
Onde C é a constante de integração 
 
Fazendo t = 0 em (22), tem-se: 
 ( ) 00)0( CCc vCvEv =+−−= 
ou 
 EC = 
 
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Substituindo na equação (22), tem-se: 
 
( )0( )
t
Ec Cv t E v e
τ− += − − , para 0≥t (23) 
 
Que também pode ser apresentada na forma 
 
) 0( ) (1 
t t
c Cv t E e v e
τ τ− −+= − , para 0≥t (24) 
 
 Observe que a tensão no capacitor ou no resistor também poderia ser encontrada 
utilizando a KirchhoffdeLei . Por exemplo: 
 
Etvtv cr =+ )()( 
 
Etvtv rc +−= )()( (25) 
 
Substituindo a equação (21) na equação (25), temos: 
 
( )0( ) 
t
Ec Cv t E v e
τ− += − − 
 
 Atente, também, para o fato de que as tensões tanto no resistor quanto no 
capacitor podem ser determinadas por meio das respectivas equações descritivas que 
podem ser encontradas utilizando o mesmo procedimento adotado para determinar a 
corrente i(t), ou substituindo as equações que regem o comportamento físico dos 
parâmetros do sistema na equação descritiva da corrente. De modo que as equações 
características para ( )cv t e ( )rv t serão, respectivamente: 
 
1( ) ( )c c
d E
v t v t
dt RC RC
+ = (26) 
e 
0)(1)( =+ tv
RC
tv
dt
d
rr (27) 
 
 
 O comportamento das variáveis do sistema, ao longo do tempo, está apresentado 
nos gráficos a seguir: 
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(a) 
 
 
 
 (b) 
 Fig.2 – Comportamento das tensões EvbEva CC >< 00 );)
 
 
 
EXEMPLO LITERAL 3 
 
 Considere um sistema representado por um circuito RL série, alimentado no 
instante t=0 por um sinal de entrada contínuo x(t) = E. Sabendo-se que a corrente inicial 
no indutor é nula determinar as equações das grandezas do circuito. 
 
 O circuito está submetido às seguintes condições iniciais: 
 
Ev
v
i
L
r
=
=
=
)0(
0)0(
0)0(
 
 
 O indutor não permite mudanças bruscas de corrente: )0()0()0( +==− iii 
 E 
 E-vc0 
 vc0 
 E 
 E-vc0 
 vc0 
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LKT: 
 Etvtv Lr =+ )()( 
 
Modelando em termos da corrente i(t) 
 
Eti
dt
dLtRi =+ )()( 
 
 Rearranjando e fazendo o coeficiente da derivada de maior ordem a1 = 1, a 
equação descritiva da corrente será: 
 
L
E
ti
L
R
ti
dt
d
=+ )()( (28) 
 
 Trata-se de uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem, 
que admite duas soluções: uma homogênea e a outra particular. Assim sendo, a solução 
geral é determinada conforme segue: 
 
)()()( tpithiti += 
 
A solução homogênea associada será 
 
 ( )
R tL
hi t k e
−
= 
 
E a solução particular, por sua vez, é dada por: 
 
( )
R Rt t
L L
p
E Ei t e e dt
L R
− +
= =∫ 
 
 
Assim, a solução geral será: 
 
( )
RtL Ei t k e
R
−
+= (29) 
 
Fazendo t=0 
 
0)0( =+=
R
Eki p 
Daí, 
R
Ek −= 
 
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Substituindo em (29), a solução geral do sistema será dada por: 
 
tL
R
e
R
E
R
E
ti
−
−=)( (30) 
 Sendo
R
L
=τ a constante de tempo do circuito, então 
 
τ
t
e
R
E
R
E
ti
−
−=)( , para 0≥t 
 
ou 
)1()( τ
t
e
R
E
ti
−
−= , para 0≥t 
 
 Conforme já apresentado, a partir da equação da corrente série do circuito é 
possível determinar as tensões no resistor e no indutor, como segue: 
 
 ( ) )( ) (1
t t
r tv Ri t E E e E eτ τ
− −
== = − − , para 0≥t (31) 
 








−==
−
)1()()( τ
t
L eR
E
dt
dLti
dt
dLtv 
ou 
( )
t
tLv E e
τ
−
= , para 0≥t (32) 
 
 
 Outra forma de determinar essas grandezas é utilizar a KirchhoffdeLei , 
conforme apresentado a seguir para )(tvL : 
 
LKT: 
 Etvtv Lr =+ )()( 
 
( ) ( )rLv t E V t= − (33) 
 
Substituindo a equação (32) em (33), temos: 
 
)( ) (
t
Lv t E E E e
τ−
= − − 
 
ou 
( )
t
Lv t E e
τ−
= , para 0≥t 
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 As tensões tanto no resistor quanto no indutor também podem ser determinadas 
por meio das respectivas equações descritivas utilizando o mesmo procedimento 
adotado para determinar a corrente i(t) ou substituindo as equações que regem o 
comportamento físico dos parâmetros do sistema na equação descritiva da corrente. De 
modo que as equações características para )(tvL e )(tvr serão, respectivamente: 
 
0)()( =+ tv
L
R
tv
dt
d
LL (34) 
 
e 
E
L
R
tv
L
R
tv
dt
d
rr =+ )()( (35) 
 
 
 O comportamento das grandezas do circuito, ao longo do tempo, está 
apresentado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.3 - Comportamento das grandezas do circuito RL série 
 
 
 
 E 
 E/R 
 -E/R 
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EXEMPLO NUMÉRICO 1 
 
 Considere um circuito RC série, com R=5 ohm e C = 5 m F, submetido, no 
instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 120 volts. Sabendo-se que a tensão inicial no 
capacitor é 0)0( =cv volts, determinar as equações para a tensão no capacitor. 
 
Pela equação (26) a equação descritiva é dada por: 
 
( ) 40 ( ) 4800c c
d
v t v t
dt
+ = 
 
Cuja solução geral, conforme a equação (15) será, 
 
 120)( 40 += − tketvC (36) 
 
Fazendo t=0, 
 
 0120)0( =+= kvC 
Daí, 
 120−=k 
 
Substituindo na equação (36): 
 
40 120( ) 120C tv t e− +=
 , 
para 0≥t 
Ou 
 
40 )( ) 120(1C tv t e−= − , para 0≥t 
 
 
Que poderia ser obtida diretamente pela equação (24) 
 
 
 Fig.4 – Forma de onda da tensão no capacitor 
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EXEMPLO NUMÉRICO 2 
 
 
 Considere um circuito RL série, com R=10 ohm e L=20 m H, submetido, no 
instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 120 volts. Sabendo-se que a corrente inicial 
no indutor (0) 0Li = , determinar as equações para a tensão no indutor. 
 
Pela equação (34) a equação descritiva é dada por: 
 
( ) 500 ( ) 0LL
d
v t v t
dt
+ = 
 
Cuja solução geral, conforme a equação (15) será, 
 
 
t
ektvL
500)( −= (37) 
 
Fazendo t=0, 
 
 (0) 120Lv k= = 
 
Substituindo na equação (37):500( ) 120L tv t e−= , para 0≥t 
 
Que poderia ser obtida diretamente pela equação (32) 
 
 
 
 
Fig.5 – Forma de onda da tensão no indutor 
 
 
 
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 DETERMINAÇÃO DAS EQUAÇÕES A PARTIR DA ANÁLISE FÍSICA DOS 
PARÂMETROS DO SISTEMA 
 
 Nos sistemas de primeira ordem submetidos a sinais de entrada do tipo contínuo 
é possível determinar as equações das grandezas sem a necessidade do desenvolvimento 
matemático anteriormente apresentado. Para tanto, é necessário identificar as condições 
iniciais e as condições finais da grandeza em análise, e considerá-las na equação (15), 
lembrando-se que a solução particular corresponde ao regime permanente. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 3 
 
 Considere um circuito RC série, com R=5 ohm e C = 5 m F, submetido, no 
instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 12 volts. Sabendo-se que a tensão inicial no 
capacitor é 2)0( =cV volts, determinar as equações para todas as variáveis do sistema. 
 
 Em regime permanente o capacitor estará com carga máxima, ou seja: a tensão 
em seus terminais será igual ao sinal de entrada de 12 volts e, portanto, a corrente será 
igual à zero. Assim, as condições iniciais e finais do sistema serão: 
 
2)0( =i A 0)( =∞i A 
=)0(rv 10 v 0)( =∞rv v 
2)0( =cv v )(∞cv = 12 v 
 
 A solução geral é a soma da solução homogênea com a solução particular. 
Assim, as equações para cada grandeza do circuito, são facilmente obtidas, como segue: 
 
a) Para a corrente )(ti 
 
 
40 0( ) ti t k e− += , onde )()( ∞= itip 
 
2)0( == ki 
 
 
40( ) 2 ti t e−= , para 0≥t 
 
Fig. 6 – Forma de onda da corrente do circuito 
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b) Para a tensão )(trv 
 
 
40 0( ) trv t k e− += , onde )()( ∞= rrp vtv 
 
 
10)0( == kvr 
 
40( ) 10 trv t e−= , para 0≥t 
 
 Fig. 7 – Forma de onda da tensão no resistor 
 
 
c) Para a tensão )(tvc 
 
40 12( ) tcv t k e− += , onde )()( ∞= ccp vtv 
 
212)0( =+= kvc → 10−=k 
 
40 12( ) 10 tcv t e− += − , para 0≥t 
 
 
 Fig. 8 – Forma de onda da tensão no capacitor 
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EXEMPLO NUMÉRICO 4 
 
 Considere um circuito RL série, com R=5 ohm e L = 25 m H, submetido, no 
instante t=0, a um sinal contínuo (DC) de 50 volts. Sabendo-se que a energia inicial 
armazenada no campo magnético do indutor é nula, determinar as equações para todas 
as variáveis do sistema. 
 
 Em regime permanente a corrente no indutor será máxima, ou seja: a tensão em 
seus terminais será igual à zero. Assim, as condições iniciais e finais do sistema serão: 
 
 
0)0( =i A 10)( =∞i A 
=)0(rv 0 v 50)( =∞rv v 
50)0( =Lv v ( )Lv ∞ = 0 v 
 
 
 Assumindo que a solução geral é a soma da solução homogênea com a solução 
particular, podemos facilmente determinar as equações para cada grandeza do circuito, 
como segue: 
 
 
a) Para a corrente )(ti 
 
 
200 10( ) ti t k e− += , onde )()( ∞= itip 
 
10010)0( −=→=+= kki 
 
 
200 )( ) 10 (1 ti t e−= − , para 0≥t 
 
 
 Fig. 9 – Forma de onda da corrente no circuito 
 
 
 
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b) Para a tensão )(trv 
 
 
200 50( ) trv t k e− += , onde )()( ∞= rrp vtv 
 
 
50050)0( −=→=+= kkvr 
 
200 )( ) 50 (1 trv t e−= − , para 0≥t 
 
 Fig. 10 – Forma de onda da tensão no resistor 
 
c) Para a tensão )(tvL 
 
200( )L
t
v t k e−= , onde )()( ∞= LLp vtv 
 
50)0( == kv
L
 
 
200( ) 50L tv t e−= , para 0≥t 
 
 
 Fig. 11 – Forma de onda da tensão no indutor 
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20
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES HOMOGENEAS DE SEGUNDA ORDEM 
 
 Uma equação diferencial linear de segunda ordem do tipo: 
 
0)()()( 012
2
=++ tyaty
dt
d
aty
dt
d
 (38) 
 
 Admite uma solução homogênea a qual pode ser determinada como segue: 
 
 Inicialmente é necessário transformar a equação (38) em uma equação de 
primeira ordem, o que é possível fazendo: 
 
dt
dD = (39) 
 
Substituindo na equação (38), 
 
0)()( 012 =++ tyaDaD (40) 
 
De onde podemos destacar: 
 
001
2
=++ aDaD (41) 
 
 Que é a equação característica do sistema e admite duas soluções ou raízes. 
Assim, a equação (40) pode ser apresentada em função das raízes r1 e r2, como segue: 
 
( )( ) 0)(21 =−− tyrDrD (42) 
 
Assumindo 
 
( ) )()(2 tutyrD =− (43) 
 
então 
 
( ) 0)(1 =− turD 
 
ou 
0)()( 1 =− turtDu 
 
Utilizando a equação (39) 
 
)()( 1 turtudt
d
= (44) 
 
Daí, 
tr
ectu 11)(
+
= (45) 
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Substituindo a equação (44) na equação (43) 
 
tr
ectyrty
dt
d 1
12 )()(
+=− 
 
 Que é uma equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem, cuja 
solução geral, utilizando a equação (15) será: 
 
1
2 2 1 2( ) r t r t r t r ty t ke e c e e dt+ + + −= + ∫ 
 
Rearranjando 
)()( )21(2 1 dteckety
trrtr
∫
−++
+=
 
ou 
1
( )2 1 2( ) r t r r ty t e k c e dt− + −= + ∫ (46) 
 
Resolvendo a integral 
 
1
1 2
( )2 1 2 ( )1( ) ( )
r t r r t
c ky t e c e
r r
− + −
+ +=
−
 
 
 Onde c é a constante de integração e k é a constante da solução homogênea. 
Considerando )(2 kcc += 
 
1
1 2
2 1 2
2( ) ( )
r t r t r t
ce
cy t e e
r r
− +
−
+=
−
 
 
Fazendo ( )21
1
1
rr
ck
−
=
 e 22 ck = , a solução homogênea para Rrr ∈≠ 21 será: 
tr
k
tr
eektyh 22
1
1)( += (47) 
 
No o caso da equação característica (41) apresentar rrr == 21 , a equação (46) será: 
 
1( ) rty t e k c dt− = + ∫ 
ou 
( )1( ) rty t k c t e= + 
 
Fazendo k1 = k e k2 = c1 então: 
 
( )1 2 1 2( )h rt rt rty t k k t e k e k t e= += + (48) 
 
Que corresponde à solução homogênea do sistema quando rrr == 21 
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22
Por fim, quando a equação característica (41) apresentar 1 2r r C≠ ∈ , onde 
 
1,2r jα ω= − ± 
 
Então a equação (47) pode ser escrita na forma que segue: 
 
 
( ) ( )
1 2( )h
j t j t
ky t k e eα ω α ω− + − −+= 
 
Rearranjando e separando os expoentes reais dos expoentes complexos, tem-se: 
 
 1 2( )h
j t j tt tky t k e e e eω ωα α+ −− −= + 
ou 
 1( 2( ) )h
j t j tt ky t e k e eω ωα + −−= + (49) 
 
Recorrendo às equações de EULER: 
 
 
)()cos(
)()cos(
tjsente
tjsente
tj
tj
ωω
ωω
ω
ω
−=
+=
−
+
 
 
A equação (49) pode ser apresentada na seguinte forma: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) }{ 1 2( ) cos cosh ty t e k t jsen k t jsen tα ω ω ω ω−    = + + −    
 
Separando as partes reais das imaginárias, tem-se: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1 2 1 2cos( )h t k k t j k k sen ty t e α ω ω+− + −= 
 
Fazendo k1+k2 = c1 e j(k1 - k2) = c2, então, 
 
( ) ( )[ ]tsenctcety th ωωα 21 cos)( += − (50) 
 
Que é a solução homogênea do sistema quando Crer ∈21 
 
 Para determinar os valores das constantes 21 kek ou 1 2c e c é necessário 
identificar duas condições iniciais para cada grandeza, quais sejam: o valor da grandeza 
e a respectiva derivada, no instante 0tt = . Essas constantes dependem da energia inicial 
armazenada nos campo elétrico e campo magnético, do sistema. Uma das condições é o 
valor da variável no instante inicial e a outra é a primeira derivada dessa variável nesse 
mesmo instante, que pode ser determinada a partir de uma das equações apresentadas a 
seguir, tendo como referência um circuito RLC série, alimentado por um sinal v E= . 
 
 
 
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0(0) COv v Rid i
dt L
− −
= , vem de ( ) ( )L
d
v t L i t
dt
= e da LKT (51) 
 
 
0(0)C
id
v
dt C
= , vem de ( ) ( )C C
di t C v t
dt
= (52) 
 
 (0) (0) CO OR
v v Rid d
v R i R
dt dt L
− − 
= =   
 , vem de Rv Ri= (Lei de Ohm) (53) 
 
 [ ](0) (0) (0)L R Cd dv v v vdt dt= − − , vem de: 
 ( ) ( ) ( )L R Cv t v v t v t= − − ( KirchhoffdeLei ) (54) 
 
 As equações descritivas de um circuito RLC série são: 
 
LKT: 
 Etvtvtv cLr =++ )()()( (55) 
 
Modelando a equação (55) em termos: 
 
a) da corrente: 
 
 
1( ) ( ) ( )dR i t L i t i t dt E
dt C
+ + =∫ 
 
Eliminando a integral e rearranjando 
 
0)(1)()(2
2
=++ ti
LC
ti
dt
d
L
R
ti
dt
d
 
 
b) da tensão no resistor: 
 
 Edtti
C
ti
dt
dLtvr =++ ∫ )(
1)()( 
 
Fazendo 
R
tv
ti )()( = , e eliminando a integral 
0)(1)()(2
2
=++ tv
LC
tv
dt
d
L
R
tv
dt
d
rrr 
 
c) da tensão no capacitor: 
 ( ) ( ) ( )C
dR i t L i t v t E
dt
+ + = 
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Fazendo )()( tv
dt
dCti C= , 
 
 ( ) ( ) ( )C C C
d d dR C v t L C v t v t E
dt dt dt
 
+ + =  
 
 
 
ou 
2
2
1( ) ( ) ( )C C C
d R d E
v t v t v t
L dt LC LCdt
+ + = 
 
d) da tensão no indutor: 
 
 
1( ) ( )LR i t v i t dt EC+ + =∫ 
 
Fazendo ∫= dttvL
ti L )(
1)( , 
 
 
1 1 1( ) ( )L L LR v t dt v v t dt dt EL C L
 
+ + =  
∫ ∫ ∫ 
ou 
0)(1)()(2
2
=++ tv
LC
tv
dt
d
L
R
tv
dt
d
LLL 
 
 Observe que a equação característica é a mesma para todas as grandezas do 
sistema. O que difere de uma solução para outra é o fato de que as condições iniciais 
específicas de cada grandeza são diferentes e, conseqüentemente, as constantes 21 kek 
ou 1 2c e c são, também, distintas. Em outras palavras, a solução homogênea genérica 
em termos de 21 kek ou 1 2c e c é a mesma para todas as grandezas do sistema. 
 
EXEMPLO LITERAL 4 
 
 Considere um circuito RLC série no qual é chaveado um sinal de entrada 
contínuo. Sabendo-se que no instante inicial a energia armazenada tanto no campo 
magnético quanto no campo elétrico era nula, determine a equação para a corrente do 
circuito, após o chaveamento. 
 
LKT: 
 Etvtvtv cLr =++ )()()( 
 
 
 
 
 
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A equação descritiva será: 
 
0)(1)()(2
2
=++ ti
LC
ti
dt
d
L
R
ti
dt
d
 (56) 
 
Cuja equação característica correspondente tem a forma: 
 
012 =++
LC
D
L
RD 
 
E admite a seguinte solução: 
 
212
2,1 2
4







−




±−
=
LCL
R
L
R
r 
 
Rearranjando, 
 
212
2,1
1
22 







−




±−=
LCL
R
L
R
r (57) 
 
Ou, no caso de raízes complexas: 
 
2122
2,1 2
1
2 













−




±−=
L
R
LC
j
L
R
r
 (58) 
 
Que pode ser apresentada na forma que segue 
 
 
njr ωα ±−=2,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26
Em função dos valores dos parâmetros: R, L e C do circuito a equação (57) 
admite três soluções: raízes reais e diferentes, raízes reais e iguais e, raízes complexas e 
conjugadas. Essas soluções correspondem a sistemas sobre amortecidos, criticamente 
amortecidos e oscilatórios, respectivamente e podem ser observadas nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig.12- Forma de onda da corrente do circuito 
 
 
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RESUMO: 
 
 A solução homogênea para cada caso será: 
 
 Se 0 Sobreamortecimento∆ > → 
 
tr
k
tr
eekti 2
2
1
1)( += 
 
 Se ∆ = 0 → Criticamente Amortecido 
 
( ) rtetckti ⋅+= 1)( 
 
 Se ∆ < 0 → Oscilação 
 
 ( ) ( )1 2( ) cos n nti t e c t c sen tα ω ω−  = +  
 
 No caso das raízes complexas alguns parâmetros devem ser destacados: 
 
 
naturalangularfrequência
L
R
LCn
=














−





=
2122
2
1
ω
 
 
 amortecidanãonaturalangularfrequência
LC
==
1
0ω 
 
 
L
R
2
=α 
 
 ntoamortecimedefatore t =−α 
 
 
 
2 2 2
0 nα ω ω−= 
 
 
2 2 2
0 nω α ω= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Dependendo da localização das raízes no plano complexo é possível identificar a 
estabilidade do sistema, conforme apresentado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 Fig. 13 – Localização das raízes no plano complexo 
 
 
 A estabilidade do sistema está diretamente associada aos parâmetros R, L e C do 
circuito. Tendo a equação (57) ou (58) como referência, analise a influência da variação 
de cada parâmetro na estabilidade de um sistema de segunda ordem. 
 
Nos gráficos da figura que segue é possível identificar a influência da variação 
do parâmetro R na estabilidade do sistema. 
 
 
 
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(R>>>) 
 
(R>) 
 
(R<<<) 
 
(R=0) 
 
 
Fig. 14 – Influência da variação de R no comportamento das tensões do circuito 
 E 
 E 
 E 
 E 
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30
 
(R>>>) 
 
(R>) 
 
(R<<<) 
 
(R=0) 
 
 Fig. 15 – Influência da variação de R no comportamento da corrente do circuito 
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EXEMPLO NUMÉRICO 5 
 
 Um circuito sérieLC é submetido ao chaveamento de um sinal de entrada 
contínuo v=100 volts. Considerando que mFCmHL 5;20 == e que no instante inicial 
a energia armazenada no sistema era nula, determinar as equações das grandezas do 
circuito. 
 
LKT: 
 100)()( =+ tvtv CL 
 
Modelando a corrente, 
 
 ∫ =+ 100)(
1)( dtti
C
ti
dt
dL 
 
A equação descritiva será: 
 
0)(1)(2
2
=+ ti
LC
ti
dt
d
 
 
0)(000.10)(2
2
=+ titi
dt
d
 
 
Logo, a equação característica, 
 
0000.102 =+D 
 
Apresenta as seguintes raízes: 
 
 1002,1 jr = 
 
Conforme a equação (50) A solução correspondente será: 
 
 1 2( ) cos(100) (100)i t c t c sen t= + (59) 
 
 1(0) 0i c= = 
 
 1 2( ) 100 (100) 100 cos(100)
d i t c sen t c t
dt
= − + 
 
 2(0) 100 5000
d i c
dt
= = 
 
 
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Daí, 
 2 50c = 
 
Então, a equação (59) da corrente será: 
 
 ( ) 50 (100 )i t sen t= , para 0≥t 
 
Pela equação que rege o comportamento físico do indutor ( ) ( )L
d
v t L i t
dt
= , logo: 
 
 ( ) 100cos(100 )Lv t t= , para 0≥t 
 
Por meio da LKT a tensão no capacitor ( ) 100 ( )C Lv t v t= − , daí: 
 
 [ ]( ) 100 1 cos(100 )Cv t t= − , para 0≥t 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 16 – Comportamento das Tensões e da corrente do circuito 
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EXEMPLO NUMÉRICO 6 
 
 Um circuito sérieRLC é submetido ao chaveamento de um sinal de entrada 
contínuo v. Considerando as condições iniciais nulas, determinar a equação da corrente: 
a) Para 0 Sobreamortecimento∆ > → 
 
 
120
10
20
10
v v
R
L mH
C mF
=
= Ω
=
=
 
 
A equação descritiva correspondenteserá: 
 
2
2
( ) ( ) 1 ( ) 0d i t R di t i t
dt L dt LC
+ + = 
ou 
2
2
( ) ( )500 5000 ( ) 0d i t di t i t
dt dt
+ + = 
 
A equação característica 
 
 
2 500 5000 0D D+ + =
 
Admite as seguintes raízes: 
 
 
( )2
2
500 500 20000
2L
r
− ± −
= 
 
 
1
2
10, 21
489,79
r
r
= −
= −
 
 
A Solução homogênea associada será: 
 
 
10,21 489,79
1 2( ) t ti t k e k e− −= + (60) 
 
 1 2 2 1(0) 0i k k k k= + = → = − 
 
 
10,21 489,79
1 2( ) 10, 21 489,79 6000t t
d i t k e k e
dt
− −
= − − = 
 
 1 2(0) 10, 21 489,79 6000
d i k k
dt
= − − = 
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 1 1 1
600010, 21 489,79 6000 12,51
479,58
k k k− + = → = = 
 
 2 1 12,51k k= − = − 
 
Substituindo k1 e k2 na equação (60) 
 
 
10,21 489,79( ) 12,51 12,51t ti t e e− −= − , para 0≥t
 
 
 
Fig. 17 – Forma de onda da corrente do circuito 
 
 
b) Para ∆ = 0 →Criticamente Amortecido 
 
 
( ) 120
4
20
5
v t v
R
L mH
C mF
=
= Ω
=
=
 
 
A equação descritiva correspondente é dada por: 
 
 
2
200 10000 0
²
d i di i
dt dt
+ + = 
 
Que tem por equação característica: 
 
 ² 200 10000 0D D+ + = 
 
Cujas raízes são: 
 
 1 2 100r r= = −
 
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35
Assim, a solução homogênea correspondente é dada por, 
 
 
100 100
1 2( ) t ti t k e k te− −= + (61) 
 
 1(0) 0i k= = 
 
 
100 100 100
1 2 2( ) 100 100t t t
d i t k e k e k t e
dt
− − −
= − + − 
 
 2(0) 6000
d i k
dt
= = 
 
Substituindo k1 e k2 na equação (61), tem-se: 
 
 
100( ) 6000 ti t t e−= , para 0≥t
 
 
 
Fig. 18 – Forma de onda da corrente do circuito 
 
c) Para ∆ < 0 → Oscilação 
 
 
( ) 120
2
20
5
v t v
R
L mH
C mF
=
= Ω
=
=
 
 
 A equação descritiva correspondente será: 
 
 
2
( ) 100 ( ) 10.000 ( ) 0
²
d di t i t i t
dt dt
+ + = 
 
Daí, a equação característica, 
 
 ² 100 10.000 0D D+ + = 
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36
Admite as seguintes raízes, 
 
 4 
 
Sendo assim, a solução homogênea será do tipo: 
 
 
( ) ( )50 86,6 50 86,6
1 2( ) j t j thi t k e k e
− + − −
= + 
ou 
 
 [ ]50 1 2( ) cos(86,6 ) (86,6 )thi t e c t c sen t−= + (62) 
 
Pelas condições iniciais, considerando, ( ) ( )hi t i t= : 
 
 1(0) 0i c= = 
 
 1 2(0) 50 86,6 6000
d i c c
dt
= − + = 
 
 2 286,6 6000 69,3c c= → = 
 
Substituindo as constantes c1 e c2 na equação (62), temos: 
 
( ) 50( ) 69,3 86,6 ti t sen t e−=    , para 0≥t 
 
 
 
Fig. 19 – Forma de onda da corrente do circuito 
 
 
 
 
 
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37
 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGENEAS DE SEGUNDA 
ORDEM 
 
 Equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem, na forma: 
 
)()()()( 012
2
txtyaty
dt
d
aty
dt
d
=++
 (63) 
 
Admitem como solução geral: 
 
)()()( tytyty ph += 
 
 Que pode ser encontrada utilizando-se os mesmos procedimentos adotados para 
se determinar a solução geral das equações diferenciais não homogêneas de primeira 
ordem. 
 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 7 
 
 Um circuito sérieRLC no qual 10 ; 20 10R L mH e C mF= Ω = = é submetido 
ao chaveamento de um sinal de entrada contínuo v=100 volts. Considerando as 
condições iniciais nulas, determinar a equação da tensão no capacitor: 
 
A equação descritiva correspondente será: 
 
2
2 ( ) 500 ( ) 5000 ( ) 0C C C
d d
v t v t v t
dt dt
+ + = 
 
A Equação característica 
 
 
2 500 5000 0D D+ + =
 
Admite as seguintes raízes: 
 
1
2
10, 21
489,79
r
r
= −
= −
 
 
A Solução homogênea associada será: 
 
 
10,21 489,79
1 2( ) t tCv t k e k e− −= + 
 
Por sua vez, a solução particular será: 
 
 ( ) 100Cpv t = 
 
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38
Assim, a solução geral será: 
 
 
10,21 489,79
1 2( ) 100t tCv t k e k e− −= + + (64) 
 
Pelas condições iniciais é possível identificar o seguinte sistema de equações: 
 
 1 2(0) 100Cv k k→ + = − 
 
 1 2(0) 10, 21 489,79 0C
di
v k k
dt
→ − − = 
 
Resolvendo o sistema, tem-se: 
 
 
1
2
102,13
2,13
k
k
= −
=
 
 
Substituindo k1 e k2 na equação (64) 
 
 
10.21 489.79( ) 102.13 2.13 100t tCv t e e− −= − + + , para 0≥t 
 
 
 
 
Fig. 20 – Forma de onda da tensão no capacitor 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39
RESUMO: 
 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGENEA DE PRIMEIRA ORDEM 
 
0)()( 0 =+ tyatydt
d
 
 
Solução: 
0( )h
a t
y t ke
−
= 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR HOMOGENEA DE SEGUNDA ORDEM 
 
 
2
1 02 ( ) ( ) ( ) 0
d dy t a y t a y t
dt dt
+ + =
 
 
Soluções: 
tr
k
tr
eektyh 22
1
1)( += Rrrquando ∈≠ 21 
1 2( )h rt rty t k e k t e+= rrrquando == 21 
( ) ( )1 2( ) costh n ny t e c t c sen tα ω ω = +  Crrquando ∈≠ 21EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGENEAS 
 
)()()( 0 txtyatydt
d
=+ 
 
2
02 1( ) ( ) ( ) ( )
d dy t a y t a y t x t
dt dt
+ + =
 
Solução: 
 
)()()( tytyty ph += , onde 
 
0 0( ) ( )p a t a ty t e x t e dt− += ∫ 
 
 
NOTA: Essa equação para determinar a solução particular do sistema é mais utilizada 
quando o sinal de entrada x(t), ao qual está submetido o sistema, é do tipo contínuo 
(DC). Para sinais de entrada do tipo alternado (AC) existem outros métodos os quais são 
mais adequados e que serão apresentados a seguir no estudo de transitórios de sistemas 
submetidos a sinais alternados. 
 
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40
 TRANSITÓRIOS DE SISTEMAS LINEARES ESTACIONÁRIOS SUBMETIDOS A 
SINAIS ALTERNADOS: ANÁLISE AC 
 
 
 
 
 
 Um sistema de equação diferencial linear não homogênea de ordem n é dado 
por: 
( ) )()()(...)()( 011
1
1 txtyatydt
d
aty
dt
d
aty
dt
d
n
n
nn
n
=++++
−
−
−






 (65) 
 
 Considerando que x(t) seja um sinal alternado (AC) do tipo )( θω +tsen ou 
)cos( θω +t , a solução geral será: 
 
 
)()()( tytyty ph += (66) 
Onde, 
 =)(tyh Solução homogênea 
 
=)(ty p Solução particular 
 
 A solução homogênea pode ser encontrada conforme apresentado anteriormente 
na análise de sistemas submetidos a sinais contínuos (DC). A solução particular ou 
solução em regime permanente, por sua vez, pode ser obtida por meio dos seguintes 
métodos: 
 
DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO PARTICULAR 
 
Método 1: Coeficientes a Determinar 
 
 Nos sistemas submetidos a sinais alternados a solução particular é dada por: 
 
 ( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen tω θ ω θ= + + + (67) 
Onde, 
 1 2k e k , são constantes a determinar e θ é ângulo de deslocamento do sinal de 
entrada em relação à origem. 
 
 
Se 0θ = , então a equação (67) será: 
 
 ( ) ( )1 2( ) cospy t k t k sen tω ω= + (68) 
 
 A solução particular (67) pode ser visualizada com o auxílio do diagrama 
vetorial, tendo como referência o sinal x(t) ao qual está submetido o sistema, conforme 
apresentado a seguir: 
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41
a) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )cosmV tω θ+ 
 
 
 
 
 Fig.21 – Diagrama Vetorial da solução particular 
 
 
Onde, 
 ( ) ( )2 2 cos 90k sen t k t οω θ ω θ+ = + − 
 
1
2 2 2
1 2
2
1
( )k k k
k
arctg
k
α
= +
 
=  
 
 
 
Assim, a solução particular tendo como referência o sinal x(t) de entrada será: 
 
 ( ) cos( )py t k tω θ α= + − (69) 
 
b) Quando o sinal de entrada x(t) for do tipo ( )mV sen tω θ+ 
 
 
 
 
 
Fig.22 – Diagrama Vetorial da solução particular 
 
Anti-horário (Sentido 
positivo para ângulos) 
Anti-horário (Sentido 
positivo para ângulos) 
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42
Onde, 
 
( ) ( )cos2 2 90senk t k t οω θ ω θ+ = + + 
1
2 2 2
1 2
1
2
( )k k k
k
arctg
k
α
= +
 
=  
 
 
 
 Nesse caso, a solução particular tendo como referência o sinal de entrada x(t) 
será: 
 
( ) ( )py t k sen tω θ α= + + (70) 
 
Observe que para o cálculo do ângulo α, a constante de referência (k1 ou k2) do 
sinal de referência fica sempre no denominador. Observe, também, que a constante k, 
assim como ângulo α independe do valor e do sinal do ângulo θ. Sendo assim, o 
diagrama vetorial para efeito do cálculo da constante k e do ângulo α pode 
desconsiderar o eixo de referência e o ângulo θ, que representa o deslocamento do sinal 
de entrada em relação à origem. 
 
Se )()( tsenVtx m ω= 
 
 ( )( )tpy ksen tω α= + , onde 
1
2 2 2
1 2( )k k k= + 
 
1
2
k
arctg
k
α
 
=  
 
 
 
O respectivo diagrama vetorial está apresentado a seguir: 
 
 
 
Fig.23 – Diagrama Vetorial da solução particular para 0θ = 
 
 
Se ( )tVtv m ωcos)( = : 
 ( )( )tpy ksen tω α= − , onde 
1
2 2 2
1 2( )k k k= + 
 
2
1
k
arctg
k
α
 
=  
 
 
 
 
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O respectivo diagrama vetorial está apresentado a seguir: 
 
 
 
 
Fig.24 – Diagrama Vetorial da solução particular para 0θ = 
 
 
EXEMPLO LITERAL 5 
 
 
 A solução particular, em termos da corrente i(t) de um circuito RL série, excitado 
por um sinal de entrada alternado v(t), pode ser determinada a partir da equação 
descritiva do sistema na forma que segue: 
 
a) Para v(t) = ( )mV sen tω θ+ 
 
 
 
 
 
Fig. 25 – Circuito RL série 
 
 
 
1 2( ) cos( ) ( )pi t k t k sen tω θ ω θ= + + + (72) 
 
1 2( ) ( ) cos( )p
d i t k sen t k t
dt
ω ω θ ω ω θ= − + + + (73) 
 
Substituindo as equações (72) e (73) em (71), tem-se: 
 
[ ]
1 2
1 2
( ) cos( )
cos( ) ( ) ( )m
k sen t k t
VR k t k sen t sen t
L L
ω ω θ ω ω θ
ω θ ω θ ω θ
− + + + +
+ + + = +
 (74) 
 
Desenvolvendo e comparando os dois membros é possível identificar o seguinte 
sistema de equação: 
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (71)
R L
p p
p p
v t v t v t
dRi t L i t v t
dt
v td Ri t i t
dt L L
+ =
+ =
+ =
 
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44
1 2
mVRk k
L L
ω− + = (75)2 1 0
Rk k
L
ω + = (76) 
 
Da equação (76) 
 
 2 1
Rk k
Lω
= − (77) 
 
Substituindo na equação (75) 
 
2
1 12
m
VRk k
L L
ω
ω
− − = 
2
1 2
m
VRk
L L
ω
ω
 
− + = 
 
 
 
 
2 2 2
1 2
m
VL Rk
L L
ω
ω
 +
− = 
 
 
2
1 2 2 2
m
V Lk
L L R
ω
ω
− = ×
+
 
ou 
 1 2 2 2
mV Lk
L R
ω
ω
= −
+
 
 
Substituindo na equação (77), tem-se que: 
 
 2 2 2 2
m
V LRk
L L R
ω
ω ω
= − × −
+
 
ou 
2 2 2 2
m
V R
k
L Rω
=
+
 
 
Assim, conforme a equação (72) a solução particular será dada por: 
 
 
2 2 2 2 2 2( ) cos( ) ( )m mp
V L V R
i t t sen t
L R L R
ω
ω θ ω θ
ω ω
= − + + +
+ +
 (78) 
 
 
Utilizando a equação (70): 
 
 ( ) ( )pi t ksen tω θ α= + + , onde 
1
2 2 2
1 2( )k k k= + 
 
1
2
k L
arctg arctg
k R
ω
α
 
= = −  
 
 
 
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Portanto, a solução particular, também pode ser apresentada na forma que segue: 
 
( )p
Li t ksen t arctg
R
ω
ω θ   = + + −   
   
 (79) 
 
 Sendoα negativo o ângulo de defasagem da corrente em relação ao sinal de 
tensão que alimenta o circuito será negativo. O que era de se esperar na medida em que 
o circuito é indutivo e o indutor é um elemento que não permite mudanças abruptas da 
corrente, assim: 
 
 
 
 
 
 Fig. 26 – Defasagem entre a tensão e a corrente 
 
 
b) Para ( )( ) cosmv t V tω θ= + , 
 
 Neste caso, a equação descritiva (71) pode ser apresentada na forma que segue: 
 
 ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
( ) cos( )
cos cosm
k sen t k t
VR k t k sen t t
L L
ω ω θ ω ω θ
ω θ ω θ ω θ
− + + + +
 + + +  = + 
 (80) 
 
 Rearranjando e igualando os dois membros é possível identificar o seguinte 
sistema de equações: 
 
 1 2 0
Rk k
L
ω− + = (81) 
 
 2 1
m
VRk k
L L
ω + = (82) 
 
A corrente é atrasada em relação à tensão. 
 
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Da equação (81) 
 
1 2
Rk k
Lω
= (83) 
 
Substituindo na equação (82) 
 
2 2
m
VR Rk k
L L L
ω
ω
+ × = 
2
2 2
m
VRk
L L
ω
ω
 
+ = 
 
 
 
2 2 2 2
m
V L
k
L R
ω
ω
=
+
 
 
Substituindo na equação (83) 
 
1 2 2 2 0
m
V LRk
L L R
ω
ω
ω
− + × =
+
 
ou 
 1 2 2 2
m
V R
k
L Rω
=
+
 
 
Portanto, pela equação (72), a solução particular será: 
 
( ) ( )2 2 2 2 2 2( ) cosm mp
V R V L
i t t sen t
L R L R
ω
ω θ ω θ
ω ω
= + + +
+ +
 (84) 
 
 
Ou conforme a equação (69) 
 ( )( ) cospi t k tω θ α= + − , onde ( )
1
2 2 2
1 2k k k= + 
 
2
1
k L
arctg arctg
k R
ω
α
   
= =   
  
 
 
Assim, a solução particular também pode ser apresentada na forma que segue: 
 
1( ) cosp
Li t k t tg
R
ω
ω θ −  = + −   
  
 (85) 
 
 O ângulo α é positivo, assim o ângulo de defasagem da corrente em relação ao 
sinal de tensão que alimenta o circuito será negativo. O que era de se esperar na medida 
em que o circuito é indutivo e o indutor é um elemento que não permite mudanças 
abruptas da corrente, assim: 
 
 A corrente é atrasada em relação à tensão. 
 
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 Fig. 27 – Defasagem entre a tensão e a corrente 
 
 
EXEMPLO LITERAL 6 
 
 Refazendo o exemplo anterior, desta feita considerando o sistema representado 
por um circuito RC série, a solução em regime permanente será obtida como segue: 
 
Circuito RC: 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 28 – Circuito RC série 
 
 
a) para ( ) ( )mv t V sen tω θ= + , a equação descritiva pode ser apresentada na forma que 
segue: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
cos
1
cos cosm
k sen t k t
V
k t k sen t t
RC R
ω ω θ ω ω θ
ω θ ω θ ω θ
− + + + +
+  + + +  = + 
 (87) 
Daí, 
1 2
1 0k k
RC
ω− + = (88) 
2 1
1 mVk k
RC R
ω
ω + = (89) 
 
( )
( )
( ) ( )
1( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) (86)
R C
p p
p p
v t v t v t
Ri t i t dt v t
C
d di t i t v t
dt RC R dt
+ =
+ =
+ =
∫
 
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Da equação (89) 
 
 1 2
1k k
RCω
= (90) 
 
Substituindo em (89) 
 
 2 2
1 1 mVk k
RC RC R
ω
ω
ω
+ × = 
 
2 2 22 2 2 2
1 1m mV Vk k k
R C R R C R
ω ω
ω ω
ω ω
 
+ = → + = 
 
 
 
2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2
1
1
m m
V VR C R C Ck k
R C R R R C C
ω ωω ω ω
ω ω ω
   + ÷
= → = ×   
+ ÷   
 
 
 
( )
( )
2
2 2 2 2 1
m
RC V
k
R R C
ω
ω
=
+
 
 
 2 2
2 2
2 2
1 1
m m
V R V R
k
R RC Cω ω
= =
 + +  
 
 
 
Substituindo na equação (90) 
 
1 2
2
1
1
m
V R
k
RC
R
C
ω
ω
− + ×
 
+  
 
 → 1 2
2
1
1
m
V
k
C
R
C
ω
ω
= ×
 
+  
 
 
 
Substituindo-se k1 e k2 na equação (71) 
 
( ) ( )2 2
2 2
1( ) cos
1 1
m m
p
V V R
i t t sen t
C
R R
C C
ω θ ω θ
ω
ω ω
= × + + +
   
+ +   
   
 
 
Pela equação (70) 
 
 ( )( )pi t sen tω θ α= + + , onde ( )
1
2 2 2
1 2k k k= +1
2
1k
arctg arctg
k RC
α
ω
   
= =   
  
 
 
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 Daí, a solução particular será: 
 
1
2
( )p
ki t sen t arctg
k
ω θ
  
= + +   
  
 (91) 
 
 Neste caso, sendo α positivo, o ângulo de defasagem da corrente em relação ao 
sinal de tensão que alimenta o circuito será positivo. O que era de se esperar na medida 
em que o circuito é capacitivo e o capacitor é um elemento que não permite mudanças 
abruptas da tensão, assim: 
 
 
 
 
 Fig. 29 – Defasagem entre tensão e corrente 
 
 
b) Para ( )θω += tVtv m cos)( , a equação descritiva pode ser apresentada na forma que 
segue: 
 ( ) ( )1 2 cosk sen t k tω ω θ ω θ− + + + + 
 ( ) ( )1 21 cos ( ) mVk t k sen t sen tRC R
ω
ω θ ω θ ω θ+ + + = − + (92) 
 
 Rearranjando e comparando o membro da esquerda com o membro da direita 
tem-se um sistema de duas equações a duas incógnitas: 
 
 
R
V
RC
kk mωω −=+− 21 (93) 
 012 =+ RC
kk ω (94) 
 
Da equação (94) 
 
 12
1 k
RC
k
ω
−= (95) 
A corrente é adiantada em relação à tensão. 
 
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Substituindo na equação (93) 
 
1
1 12 2 2 2
1m mV Vkk k
R C R R C R
ω ω
ω ω
ω ω
 
− − = − → − + = − 
 
 
 
2 2 2 2 2
1 12 2 2 2 2
1
1
m m
V VR C R Ck k
R C R R R C
ω ωω ω
ω ω
 +
= → = × 
+ 
 
 
2
2
1
1
m
V R
k
R
Cω
=
 
+  
 
 
 
Substituindo na equação (95) 
 
2 2
2
1
1
m
V
k
C
R
C
ω
ω
= − ×
 
+  
 
 
 
Assim, a solução particular, pela equação (71) será: 
 
 ( ) ( )2 2
2 2
1( ) cos
1 1
m m
p
V R V
i t t sen t
C
R R
C C
ω θ ω θ
ω
ω ω
= + − × +
   
+ +   
   
 (96) 
 
Ou pela equação (69) 
 
 ( )( ) cospi t k tω θ α= + − , onde ( )
1
2 2 2
1 2k k k= + 
 
 
2
1
1k
arctg arctg
k RC
α
ω
   
= = −   
  
 
Daí, a solução particular será: 
 
 
1( ) cospi t k t arctg RCω θ ω
   
= + − −   
   
 (97) 
 
 Sendo α negativo, o ângulo de defasagem da corrente em relação ao sinal de 
tensão que alimenta o circuito será positivo. O que era de se esperar na medida em que o 
circuito é capacitivo e o capacitor é um elemento que não permite mudanças abruptas da 
tensão, assim: 
 
 
 
A corrente é adiantada em relação à tensão. 
 
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 Fig. 30 – Defasagem entre a tensão e a corrente 
 
 
 Daqui por diante, por comodidade, os enunciados dos exemplos ficarão restritos: 
à função excitação, aos valores dos parâmetros do circuito e às condições iniciais das 
grandezas do sistema. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 7 
 
Circuito RL série: 
 
 ( ) ( )100 10v t sen tω= + ; 10R = Ω ; 20L mH= 
 
A equação característica do sistema será: 
 
 ( )( ) 500 ( ) 5000 10d i t i t sen tdt ω+ = + o 
 
A solução particular terá a forma: 
 
 ( ) ( )1 2( ) cos 10 10pi t k t k sen tω ω= + + +o o 
 
1 2( ) ( 10 ) cos( 10 )p
d i t k sen t k t
dt
ω ω ω ω= − + ° + + ° 
 
A equação característica pode ser apresentada como: 
 
1 2
2 1
( 10 ) 500 ( 10 )
100
cos( 10 ) 500 cos( 10 ) ( 10 )
k sen t k sen t
k t k t sen t
L
ω ω ω
ω ω ω ω
− + ° + + ° +
+ ° + + ° = + °
 
 
De onde podemos identificar o sistema de equações que segue: 
 
1 2
2 1
500 5000
500 0
k k
k k
ω
ω
− + =
+ =
 
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52
Que admite as soluções: 
 
 
1
2
4,8
6,36
k
k
= −
=
 
 
 
 
 Fig. 31 – Diagrama vetorial da corrente em regime permanente 
 
 
Assim, 
 ( )( ) 10pi t k sen tω α= + +o , onde 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução particular será: 
 
 ( )( ) 7,96 27,04pi t sen tω= − o 
 
Pela Lei de OHM 
 
( ) ( )
rp pv t Ri t= 
( )( ) 79,6 27,04rpv t sen tω= − o 
 
Pela equação que rege o comportamento físico da tensão no indutor: 
 
( ) ( )Lp p
d
v t L i t
dt
= 
 
( ) 60,02cos( 27,04)Lpv t tω= − 
 
( ) ( )
1
2 2 2
1
2
4,8 6,36
7,96
37,04
k
k
k
arctg
k
α
α
 = − +
 
=
 
=  
 
= −
o
 
(10 – α) 
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53
 
EXEMPLO NUMÉRICO 8 
 
Circuito RC série: 
 
 
( ) ( )200 30º
10
5
v t sen t
R
C mF
ω= +
= Ω
=
 
 
A equação descritiva correspondente será: 
 
( )20 7540cos 30ºdi i t
dt
ω+ = + 
 
A solução particular terá a forma: 
 
 ( ) ( )1 2( ) cos 30 30pi t k t k sen tω ω= + + +o o 
sendo 
1 2( ) ( 30 ) cos( 30 )p
d i t k sen t k t
dt
ω ω ω ω= − + ° + + ° 
 
A equação característica pode ser apresentada como segue: 
 
1 2
2 1
( 30 ) 20 ( 30 )
cos( 30 ) 20 cos( 30 ) 7540cos( 30 )
k sen t k sen t
k t k t t
ω ω ω
ω ω ω ω
− + ° + + ° +
+ ° + + ° = + °
 
 
De onde é possível identificar o sistema de equações que segue: 
 
1 2
2 1
377 20 0
377 20 7540
k k
k k
− + =
+ =
 
 
Que admite as seguintes soluções: 
 
1
2
1,058
19,94
k
k
=
=
 
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