Apostila Curto Circuito Revisada completa final Victor

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CURTOS CIRCUITOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS 
PROFESSOR: Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA 
[1] 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA. 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
31 de janeiro de 2012 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
CURTOS CIRCUITOS EM SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 Este trabalho é composto de notas de aulas sobre o tema: CURTO 
CIRCUITO, integrante da disciplina ANÁLISE DE SISTEMA DE ENERGIA 
ELÉTRICA II. 
 
 
 Foi elaborado pelo Prof. Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA, do 
Departamento de Engenharia Elétrica da FAET/UFMT, mediante concentração de 
material de aulas ministradas ao longo de vários anos. 
 
 
 A composição (digitação, desenho, reprodução) foi realizada pela 
Coordenação de Ensino de Graduação em Engenharia Elétrica, com a participação 
de alunos bolsistas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
 
 
CONSIDERAÇÕES INICIAIS 4 
 ANÁLISE DE SISTEMAS ELÉTRICOS 5 
 CURTOS CIRCUITOS 6 
 CURTOS CIRCUITOS SIMÉTRICOS 12 
 ASSIMETRIA DAS CORRENTES DE CURTO CIRCUITO 26 
 FONTES ALIMENTADORAS DE CURTOS CIRCUITOS 29 
 BARRA INFINITA 29 
 SISTEMAS ASSIMÉTRICOS 30 
 COMPONENTES SIMÉTRICAS DE SEQUENCIA 31 
 DESLOCAMENTO DE FASES DE TRANSFORMADORES 37 
 REDES DE SEQUÊNCIA 38 
 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE SEQUÊNCIA 42 
 CURTOS CIRCUITOS ASSIMÉTRICOS 55 
 1. CURTO CIRCUITO FASE TERRA 56 
 2. CURTO CIRCUITO FASE FASE 60 
 3. CURTO CIRCUITO FASE FASE TERRA 65 
 ESTUDO COMPARATIVO DOS DEFEITOS 78 
 
 
 
 
 
 
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CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 
 
 
 
 
1. Sistema Elétrico 
 
 
 
É a associação de componentes elétricos a fim de permitir a circulação da corrente 
(potência) elétrica de forma adequada (continuidade – duração e frequencia, conformidade – 
níveis de tensão, perdas, etc.) e econômica, desde as fontes de produção até os centros de 
consumo. É constituído das usinas geradoras (hidrelétricas, termelétricas – carvão mineral, 
derivados de petróleo, biomassa e nuclear – eólica), subestações elevadoras, linhas de transmissão, 
subestações rebaixadoras, e redes de distribuição de média e alta tensão. Comumente, denominam-
se as redes de distribuição como sistema de distribuição, incluindo os transformadores de 
distribuição, separando-as do sistema elétrico, também denominado sistema de potência. 
 
A maioria dos sistemas elétricos funciona com correntes trifásicas alternadas, incluindo, 
em algumas situações, elos de transmissão em corrente contínua. Atualmente encontram-se em 
pesquisa outras tecnologias para construção de sistemas elétricos (hexafásico, meia onda, etc.) 
 
 Em condições normais de operação, o sistema elétrico é equilibrado, ou seja, as grandezas 
trifásicas de tensão e corrente possuem mesmo módulo e mesma defasagem angular, 
caracterizando-o como simétrico. Para isso, os componentes do sistema são construídos com 
parâmetros físicos idênticos nas três fases, e as cargas são distribuídas de forma proporcional nas 3 
fases. 
 
Os sistemas elétricos simétricos são representados por meio dos diagramas unifilares, isto 
é, apresentam apenas uma fase do sistema, já que os fenômenos que ocorrem em uma fase são 
idênticos àqueles das demais, apenas considerando-se a defasagem angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Análise dos Sistemas Elétricos 
 
 
 
A análise dos sistemas elétricos é efetuada por meio de estudos de sua operação em 
condições normais, e em situações de emergência, quando uma ou mais partes do mesmo 
encontram-se desativadas por um motivo qualquer. Esses estudos constam da avaliação dos níveis 
de tensão em todos os barramentos do sistema, das potências transferidas de um barramento a 
outro, das perdas de potência nas linhas e nos transformadores, assim como da distribuição da 
geração entre as diversas fontes de produção, das manobras de equipamentos de compensação 
reativa, etc. 
 
Também são estudadas as diversas condições anormais de funcionamento dos sistemas 
elétricos, denominadas curtos circuitos, a fim de se encontrar os valores de sobrecorrentes e/ou 
sobretensões experimentadas pelo mesmo, especificar equipamentos de potência, dimensionar os 
sistemas de aterramento e definir os sistemas de proteção. 
 
Ainda existem outros tipos de estudos de sistemas elétricos, mais especializados, porém 
com campo de aplicação mais restrito, destacando-se dentre eles os estudos de estabilidade, de 
sobretensões e da qualidade do fornecimento da energia elétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Curtos Circuitos 
 
3.1 Definição 
 
 
 Curto circuito é uma ligação direta entre dois ou mais pontos do sistema elétrico que 
apresentam diferença de potencial entre si (módulo e/ou ângulo de fase), tendo como 
consequência uma brusca variação nos valores da corrente e da tensão. 
 
Trata-se de uma falha total ou parcial do isolamento do condutor, podendo também ser 
designado por falta ou defeito. 
 
Os curtos circuitos podem ocorrer pela variação das características dielétricas do 
isolamento, por ação mecânica, pela queda de corpos estranhos, pela ionização do ar, etc. 
 
A maioria dos curtos circuitos ocorridos nos sistemas elétricos é provocada por descargas 
elétricas, que se descarregam nos isoladores, provocando defeitos entre uma fase e a terra. Apenas 
5% dos curtos circuitos envolvem as três fases do sistema. Ainda podem 
haver falhas entre as duas fases do sistema, envolvendo ou não a terra. 
 
A ocorrência de curtos circuitos modifica substancialmente as condições de operação do 
sistema elétrico, levando-o ao desequilíbrio na maioria dos casos, com exceção do curto circuito 
trifásico, que mantém o sistema em condições simétricas. 
 
Dependendo do número de fases e da duração, este tipo de defeito pode receber as 
classificaçõesabaixo determinadas: 
 
 
3.2 Tipos de curtos circuitos quanto ao número de fases envolvidas 
 
3.2.1 Curtos circuitos simétricos 
 
3.2.1.1 Curtos circuitos Trifásicos envolvendo ou não o Neutro (Terra) 
 A B C
A B C
 
 
 
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3.2.2 Curtos circuitos assimétricos 
 
3.2.2.1 Curtos circuitos: Bifásico (Fase-Fase) e Bifásico para a Terra (Fase–Fase-Terra): 
 A B C A B C
 
 
 
3.2.2.2 Curto circuito Monofásico ou Fase–Neutro (Terra): 
 
 
A B C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3 Tipos de curtos circuitos quanto à duração 
 
 
3.3.1 Permanentes 
 
São aqueles também conhecidos como sólidos, pois não são eliminados com a abertura dos 
circuitos a eles conectados. São provocados pela queda de objetos sólidos sobre os condutores das 
linhas de transmissão ou das subestações ou mesmo pela queda dos mesmos ao solo. Outro 
exemplo da causa é o esquecimento de chave de aterramento fechada após uma 
manutenção. 
 
 
 3.3.2 Transitórios 
 
São aqueles que têm sua causa eliminada com a abertura dos circuitos a ele conectados. 
São muitas vezes provocados pela ação do vento ou pela ionização do ar ao redor dos condutores 
energizados, devido, por exemplo, a queimadas ou excesso de poluição ambiental. Logo após a 
eliminação da causa do curto circuito o funcionamento normal do sistema elétrico se restabelece. 
Pode ser feita a interrupção do circuito defeituoso, deixando o ar desionizar-se, e os circuitos 
podem novamente serem energizados sem que haja risco de se manter o curto circuito. 
 
 
 
3.3 Objetivo e aplicações do Estudo do Curto Circuito 
 
O objetivo do estudo do curto circuito é conhecer o valor das correntes e tensões nos 
diversos pontos de interesse do sistema elétrico para cada tipo de curto circuito que se julgue 
importante de ocorrer. Com esses resultados são feitos dimensionamentos, especificações e 
verificações de superação de diversos tipos de equipamentos. Esses valores são também utilizados 
nos projetos de proteção dos sistemas elétricos, principalmente na seleção e coordenação dos 
dispositivos de proteção. 
 
As principais aplicações das correntes e tensões resultantes dos cálculos dos curtos 
circuitos são detalhadas a seguir: 
 
a) Especificações de equipamentos 
 
As correntes de curto circuito são consideradas para o dimensionamento dos equipamentos 
nos aspectos térmico e mecânico. O primeiro, refere-se ao curto período em que as partes 
condutoras dos equipamentos devem suportar a circulação de sobrecorrentes de curto circuito até 
que atue, a proteção. O segundo, relaciona-se à força mecânica a qual está submetida os 
equipamentos, quando ocorre o aparecimento de correntes instantâneas de valor elevado. 
 
As sobretensões resultantes dos defeitos que envolvem a terra são consideradas na 
definição dos tipos de para-raios, de forma a evitar que esses equipamentos operem durante a 
ocorrência dos curtos circuitos. 
 
 
 
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b) Definição dos sistemas de proteção 
 
Os valores das correntes e das tensões resultantes da ocorrência dos curtos circuitos em 
diversas situações de geração e de carga dos sistemas elétricos, são utilizados para definir os 
diversos tipos de equipamentos de proteção e suas faixas de atuação, de modo a não permitir o 
funcionamento dos sistemas elétricos em qualquer situação de defeito. 
 
c) Dimensionamento dos sistemas de aterramento: 
 
As correntes de curtos circuitos que envolvem a terra são utilizadas para o 
dimensionamento de sistemas de aterramento, tanto das estruturas das linhas de transmissão, 
quanto das subestações, de forma a permitir seu escoamento para a terra, sem causar danos 
materiais às instalações e, principalmente, às pessoas que circulam nas proximidade 
das mesmas. 
 
 
 
3.4 Condições de análise dos curtos circuitos 
 
 
Nos estudos de curtos circuitos são utilizadas algumas variações da rede de transmissão e 
do parque gerador no sentido de se pessimizar as condições sobre a análise: 
 
 
3.4.1 Curto circuito máximo 
 
São considerados todos os circuitos em operação e também as usinas com todos os 
geradores ligados ao sistema. O objetivo deste estudo é geralmente a determinação das máximas 
correntes de curto circuito, para serem utilizadas nas especificações dos equipamentos e 
dimensionamento dos barramentos. 
 
 3.4.2 Curto circuito mínimo 
 
São considerados fora de serviço os circuitos normalmente desligados nas situações de 
baixo carregamento da transmissão e também a geração mínima prevista para cada usina. Estes 
resultados são usados para ajuste de proteção e a análise de alguns transitórios que se tornam mais 
severos nessas condições, como é o caso da partida de motor de grande porte. 
 
É evidente que cada caso deverá ser analisado em separado para o estabelecimento das 
condições mais apropriadas ao estudo, tendo em vista principalmente os ajustes da proteção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5 Configurações especiais do sistema elétrico 
 
 
Quando se está especificando equipamentos de uma subestação é ainda muito utilizada a 
corrente de curto circuito total nos barramentos, porém esse critério pode ser muito pessimista pois 
na realidade a máxima corrente que passará em qualquer vão (bay) da subestação em condições 
normais de curto circuito será esse valor anterior decrescido da contribuição que chega pela 
respectiva conexão. 
 
 
 
 
Na realidade existe outra condição que pode ocorrer quando o sistema elétrico configura-se 
em malha, em que a solicitação dos equipamentos pode ser maior que aquela mostrada 
anteriormente. É o caso quando se tem um curto circuito próximo ao barramento, porém com a 
outra extremidade da linha de transmissão aberta. Essa condição é conhecida como de linha aberta 
ou "line out". 
I t
I t
Disjuntor 
aberto
 
 
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 Essa condição pode ocorrer por vários motivos, por exemplo, a falta de proteção primária 
no extremo em que houve o curto circuito ou mesmo por temporização intencional, ou no caso de 
transformadores com disjuntor no lado de alta mais rápido queo de baixa. 
 
Com o cálculo do curto circuito pode-se tabém estabelecer equivalentes de sistemas em 
termos de parâmetros longitudinais (R e X) para uma determinada área da rede global. Esses 
equivalentes são fornecidos pelas impedâncias (ou simplesmente reatâncias) entre as barras de 
fronteira e delas para geradores ideais ou fictícios, podendo-se assim eliminar as regiões como 
esquematizado abaixo: 
 
 
Antes: 
 
 
 
ÁREA RETIDA
ÁREA A SE 
TORNAR 
EQUIVALENTE
BARRAS FRONTEIRA
 
 
 
 
 
 
 
 
Depois: 
 
ÁREA RETIDA
EQUIVALENTE
 
 
 Esses equivalentes são muito úteis pois permitem estudar com precisão o curto circuito na 
área retida e com muito menos esforço computacional (ou manual). Esse artifício é também 
utilizado em situações analógicas (*TNA*) onde é impossível representar as redes completas. 
 
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CURTOS CIRCUITOS SIMÉTRICOS 
 
1. Introdução 
 
 
Trata-se, apenas, dos curtos circuitos que mantém as correntes equilibradas, portanto 
simétricas, após a sua ocorrência sendo nula a tensão entre as fases no ponto da aplicação. É 
denominado curto circuito trifásico. Esse tipo de curto circuito ocorre no caso da ligação das três 
fases simétricas simultaneamente, entre sí, com impedância desprezível. É indiferente se o curto 
circuito envolve ou não o neutro (terra). 
 
CARGA
FONTE
PONTO DE APLICAÇÃO DO 
CURTO CIRCUTO
 
 
 
2. Cálculo das correntes de curto circuito 
 
Seja a condição: 
 
 
O valor da corrente será: 
 
 = 
 
 
 p.u. 
 
 Obs.: existindo uma impedância de falta (curto circuito) - Zf, será: 
 
 = 
 
 
 p.u. 
 
 
 
 
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3. Representação do sistema elétrico 
 
 Considera-se o sistema elétrico adiante, representado pelo seu diagrama unifilar, uma vez 
que este se encontra equilibrado na condição anterior a ocorrência de curto circuito, considerada 
pré-falta. 
 
 
G1 G2
T1 T2L2 L3
L1
 
 
 
 
 A partir dessa representação, monta-se o seguinte diagrama de impedâncias, onde o neutro 
pode deixar de ser representado por simplificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 Os geradores e transformadores são representados pelas suas reatâncias devido aos valores 
bastante elevados da relação X/R desses equipamentos. 
 
 
 
 
 
 
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4. Método Aproximado de Cálculo 
 
 Para os casos de estudos de curtos circuitos elaborados manualmente, aplicáveis em 
sistemas de tensões relativamente baixas (< 69 kV), nos quais, a precisão dos resultados não é 
essencial, utilizam-se simplificações na representação dos sistemas, conforme a seguir: 
 
 - As linhas de transmissão são representadas apenas pelas suas reatâncias indutivas, 
desprezando-se resistências e capacitâncias. Normalmente a resistência é desprezível em relação a 
reatância indutiva, e a capacitância não é significativa para tensões não elevadas; 
 
 - O sistema elétrico opera em vazio (sem carga), uma vez que o valor da corrente de curto 
circuito é muito maior que o da corrente de carga na grande maioria dos casos; 
 
 - Os valores das tensões nos barramentos no período anterior ao defeito (pré-falta), são 
iguais a 1,0 p.u., qualquer que seja o ponto do defeito; 
 
 - Todos os transformadores do sistema operam na relação nominal (TAP = 1); 
 
 Assim, o sistema anterior passa a ser representado da seguinte forma: 
 
 
 
5. Redução do sistema elétrico 
 
 Para o cálculo das correntes de curto circuito nos sistemas elétricos, os mesmos devem ser 
reduzidos à condição inicial, ou seja: uma fonte de tensão em série com uma impedância 
(reatância). 
 
 Para isso utiliza-se o teorema de Thévenin, transcrito a seguir: 
 
 As variações de tensões e correntes ao longo de um sistema elétrico, consequente da 
ligação de uma impedância qualquer entre dois pontos desse sistema, são idênticas àquelas 
ocasionadas por uma f.e.m de valor e polaridade iguais às da tensão que existia entre esses 
dois pontos, antes da introdução dessa impedância ligada em série com a impedância 
equivalente do sistema, considerando todas as fontes de tensão curto circuitadas. 
 
 
 
 
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 Assim, o seguinte sistema elétrico: 
 
Za b
 
 
 É idêntico a: 
 
Zeq Z
 
 
 
 
 Definem-se como índices: 
 
 - 0 para a condição pré-falta; 
 - f para a condição pós falta. 
 
 
 
 Para cálculos de curto circuito num barramento genérico, conforme a seguir: 
 
 
 
 Pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
Onde: 
 é a impedância equivalente do sistema no barramento k. 
 
 
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6. Potência de curto circuito 
 
 No ponto de defeito a potência é nula, porque a tensão é nula. No entanto, é praxe definir a 
potência de curto circuito, como produto da tensão nominal pela corrente de curto circuito. 
 
 √ (MVA) 
 
 (p.u) 
 
 
Como 1,0 p.u. , pode-se escrever: 
 
 = (p.u) 
 
 (MVA) 
 
 
Sabendo-se que: 
 
 
 
 
 (p.u) 
 
 
Pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo Z a impedância equivalente do sistema no ponto do defeito, em p.u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. Exemplo 
 
 Determinar as correntes, tensões e potências de curto circuito trifásico no barramento 5, do 
seguinte sistema elétrico: 
 
G1 G2
1 2 3 4
5T1 T2L2 L3
L1
 
 
 
G1: 100MVA T1:125 MVA 
 V=13,8 kV 13,8/230 kV 
 X"d = 25% X = 15% 
 
G2: 50 MVA T2: 50 MVA 
 V= 6,9 kV 6,9/230 kV 
 X"d = 30% X = 15% 
 
L1: 100 km x = 0,5 Ω/km 
L2: 50 km x = 0,5 Ω /km 
L3: 50 km x = 0,5 Ω /km 
 
 
Solução: 
 
a) Montagem do diagrama de impedâncias 
 
Base: 100 MVA - 6,9 - 13,8 - 230 kV 
 
 = j 0,25 p.u.CURTOS CIRCUITOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS 
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1 2 3 4
5
j 0,25 j 0,12
j 0,047
j 0,095
j 0,047
j 0,30 j 0,60
 
 
b) Redução do Sistema Elétrico e Cálculo da Impedância Equivalente 
 
A redução do sistema é efetuada com a aplicação do teorema de Thévenin, calculando 
impedâncias equivalentes de acordo com os tipos de ligações observadas. 
j 0,25 j 0,12
j 0,047
j 0,095
j 0,047
j 0,30 j 0,60
série série
 
 
 
 
 
 
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Das ligações série resulta: 
j 0,27
j 0,047
j 0,095
j 0,047
j 0,90
X2X1
X3
 
 
Aplicando-se a transformação triângulo-estrela vem: 
 
 = j 
 
 
 
 
 = j 
 
 
 p.u. 
 
 
 
 
 
 
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Das ligações série pode-se encontrar: 
j 0,3936 j 0,9236
j 0,0117
paralelo
 
 
Com o resultado da ligação paralela encontra-se o seguinte sistema: 
 
j 0,0117
j 0,276
série
 
 
 
E finalmente vem: 
J 0,2877
 
 
 
 
 
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c) Cálculo da Corrente de Defeito If , 5
Xs , 5 = j 0,2877
0E = 1,0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
d) Distribuição das Correntes de Curto Circuito 
 A distribuição das correntes ao longo do sistema elétrico é efetuada de maneira contrária a 
sua redução, expandindo o sistema para seu retorno a condição inicial. 
 Lembrando que a corrente se distribui nos dois ramos paralelos, de forma inversamente 
proporcional às reatâncias desses ramos, pode-se encontrar: 
 
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j 0,3936 j 0,9236
I I’
Zf, 5 = - j 3,476 j 0,0117
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A distribuição das correntes no interior do triângulo é efetuada da seguinte forma: 
X 2X 1
X 3
I I23 X23 32
5
I’
I 25
I 3
5
X 35X 25
 
Calcula-se inicialmente a diferença de potencial entre os barramentos: 
 
 
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 ( ) ( ) 
 
A partir desse valor, calcula-se a corrente no ramo respectivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analogamente pode-se calcular: 
 
 
A corrente no ramo 2-3 pode ser calculada através da aplicação da 2ª lei de Kirchoff na barra 2, 
conforme a seguir: 
 
 ( ) 
 
 E finalmente o sistema elétrico apresenta-se como adiante, com as correntes distribuídas 
em todos os seus ramos: 
-j 2,437 -j 1,0387
-j 2,0891
-j 3,476
-j 1,3
869
-j 0,3479
 
 
 
 
 
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 e) Cálculo das Tensões nos Barramentos 
 No ponto de defeito a tensão é nula, apresentando ganhos proporcionais ao produto 
corrente x tensão, conforme a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
 ( ) 
 
Conclusão: 
 A tensão nos geradores é igual a 1,0 mantendo-se no mesmo valor da condição pré-
falta, já que o sistema é considerado em vazio. 
 
f) Cálculo das Potências de Curto Circuito 
 Os valores das potências de curto circuito em p.u. são iguais aos das correntes, sendo 
assim: 
 
 
 
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Transformando para valores reais vem: 
 
 MVA 
 MVA 
 MVA 
 
 Observe-se que o valor da potência de curto circuito indica a índice de severidade do 
defeito no barramento que se está avaliando, assim como as contribuições dos geradores, que são 
submetidos a elevadas sobrecargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ASSIMETRIA DAS CORRENTES DE CURTO CIRCUITO 
 
A ocorrência de um curto circuito em um sistema elétrico muda, de forma abrupta, seu 
funcionamento. Até que o curto circuito se estabeleça, o sistema passa por um período transitório, 
quando se verificam valores instantâneos elevados da corrente elétrica. 
Sabendo-se que, associada à circulação de uma corrente elétrica, existe uma força 
mecânica, cujo valor é proporcional à intensidade dessa corrente, F ~ (2*I)² necessário se faz 
encontrar o maior valor de corrente que aparecerá no sistema, de forma a permitir conhecer o 
maior esforço mecânico ao qual os componentes desse sistema serão submetidos. 
 Considera-se o seguinte circuito elétrico: 
k R L
 
 Em regime permanente é representado pelas seguintes expressões: 
 ( ) √( ) 
 ( ) √ ( ) 
 Imediatamente após o fechamento da chave k, o circuito energizado, passa a ser 
representado pela expressão a seguir: 
 ( ) ( ) 
 ( )
 
 
 Cuja solução é apresentada por: 
 ( ) √ ( ) √ ( - ) 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma, observa-se que a equação da corrente apresenta uma componente senoidal 
(Iac), associada a uma componente de corrente continua amortecida (Idc), função de ( - ). 
 
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 Na prática, para fins de especificação de equipamentos quanto ao aspecto mecânico, 
interessa o valor máximo de corrente assimétrica. 
Sendo assim: 
 ( ) 
Então: 
 
 E daí: 
 ( ) √ √ 
 ( ) 
Onde: ( ) é o máximo valor assimétrico da corrente de curto circuito. 
Cujo valor eficaz de corrente vale: 
 √ 
Sendo: chamado valor eficaz da corrente continua. 
 Encontra-se 
 √ 
A função ( ) é representada graficamente da seguinte forma: 
t
I max.
I max.
I ass.
I A.C.
I D.C.
 
Fisicamente o gráfico mostra i (t) = 0, para t = 0 que significa corrente nula no instante de 
ligação da chave, já que antes de fechar a chave não circula corrente no circuito. 
 
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 Considerando a seguir o valor eficaz da corrente, observa-se que: 
 
 √ √ 
Obs. t= 0 corresponde aos primeiros ciclos 
 
 √ 
 
GRAU DE ASSIMETRIA 
Define-se grau de assimetria a, conforme a seguir 
 
 
 
 
√ 
√ 
 
Observa-se que: 
 
 
 Conclui-se que para não há assimetria na corrente, o que é verificado a partir do 
estabelecimento do defeito. 
 
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO 
 O fator de multiplicação m é uma constante que multiplicada pelo valor eficaz da corrente 
indica o valor assimétrico eficaz da mesma, que é importante para definir o índice de assimetria a 
ser considerado no transitório. 
Então: 
 
 
 
 √ √ 
Observa-se que: 
 √ 
 
 
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FONTES ALIMENTADORAS DE CURTO CIRCUITO 
 
 Dependendo do local do sistema elétrico onde se deseja calcular a corrente de curto 
circuito, principalmente nos barramentos de tensão menos elevada, e que alimentam muitas cargas 
industriais, constituídas de motores de grande porte, deve-se dar tratamento especial a esses 
motores. 
 Assim como os geradores, os motores têm valores variados de reatâncias de acordo com o 
período de tempo decorrido após um curto circuito. Quando um motor é curto circuitado, não mais 
recebe energia da rede, porém seu campo permanece energizado, e a inércia do rotor e da carga 
mantém sua rotação por um período de tempo não definido. 
 A tensão interna dos motores faz com que eles contribuam com corrente para o sistema, 
atuando como geradores. Assim, nos cálculos de corrente de curto circuito, os valores das 
reatâncias dos motores devem ser representados no sistema e a redução da rede efetuada 
normalmente usando o teorema de Thévenin. Dessa forma os motores síncronos, compensadores 
síncronos e motores de indução são representados normalmente pelas suas reatâncias 
subtransitórias multiplicadas por fatores de correção variáveis conforme o tipo e a potência do 
motor, uma vez que os tempos de contribuição são diferentes para os diversos tipos de motores. 
 
 
BARRA INFINITA 
 
 É a barra do sistema elétrico que mantém a tensão e a frequência constantes quando ocorre 
curto circuito a jusante da mesma, sendo considerada como de potência infinita. 
 Este conceito é aplicado para dispensar a representação de todo o sistema elétrico, no caso 
de curtos circuitos afastados da geração. Para ser possível utilizar esse recurso, a potência nessa 
barra deve ser da ordem de mil vezes maior que a do ponto do defeito, o que ocorre geralmente 
nas barras de tensões superiores. 
 
 
 
 
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SISTEMAS ASSIMÉTRICOS 
 
 Quando as fases do sistema elétrico apresentam valores distintos em módulo e/ou 
defasagem angular caracterizam um sistema desequilibrado, portanto assimétrico. 
 Nesse caso, os conhecimentos de circuitos elétricos não são aplicáveis, uma vez que foram 
desenvolvidos a partir da condição de simetria. 
 Para contornar essa situação, utilizam-se componentes simétricas, de forma a permitir a 
transformação dos sistemas assimétricos em sistemas simétricos. 
 
1. Componentes Simétricas 
 As componentes simétricas são definidas a partir da caracterização da sequência dos 
fasores que representam as grandezas de fase do sistema trifásico ao longo do tempo. 
 1.1 Sequência positiva: caracteriza-se pela sequência dos fasores a, b, c, a, ... 
Ic
Ia
Ib 
 
1.2 Sequência negativa: caracteriza-se pela sequência dos fasores a, c, b, a, ... 
Ib
Ia
Ic 
1.3 Sequência zero: caracteriza-se pela inexistência de defasagem angular entre os 
fasores, que circulam conjuntamente. 
Ia
Ib
Ic
 
 
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2. Componentes simétricas de sequência 
 As componentes simétricas caracterizam-se por apresentarem as seguintes condições: 
 Mesmo módulo; 
 Mesma defasagem angular. 
 
 Operador "a": 
 Define-se o operador a, largamente empregado no uso das componentes simétricas, 
conforme a seguir: 
 
Cuja potência de 2 ordem é: 
 
 
Então: 
 
 
 
E finalmente pode-se escrever a seguinte propriedade: 
 
A seguir pode-se definir as componentes simétricas de sequência: 
2.1. Sequência positiva 
Sejam os seguintes fasores: 
 
 
 
 
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Numericamente representados por: 
 
 
 
 
 
 
Podendo ser escrito na forma matricial conforme a seguir: 
[
 
 
 
] [] 
2.2. Sequência negativa 
Sejam os seguintes fasores: 
 
 
Numericamente representados por: 
 
 
 
 
 
 
 
Que na forma vetorial é: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 
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2.3 Sequência zero 
 Sejam os seguintes fasores: 
Ia 0
Ib 0
Ic 0
 
Numericamente representados por: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
E vetorialmente por: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
Conhecendo-se as componentes simétricas de sequência, pode-se transformar qualquer sistema 
assimétrico em três sistemas simétricos, desde que os fasores tenham a mesma frequência através 
do teorema de Fortescue, conforme a seguir: 
Tendo-se três fasores: de mesma frequência, pode-se escrever: 
 
 
 
 
E utilizando-se das expressões obtidas anteriormente, vem: 
 
 
 
 
 
 
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Podendo-se escrever matricialmente como a seguir: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Sendo: 
[ ] [
 
 
 
] vetor das componentes de fase. 
[ ] [
 
 
 
] vetor das componentes simétricas. 
[ ] [
 
 
 
] matriz de composição 
 
Pode-se ainda escrever: 
[ ] [ ] [ ] 
 
Multiplicando-se ambos os lados da equação por [ ] , vem: 
 
[ ] [ ] [ ]
 [ ] [ ] 
 
Então: 
[ ] [ ] [ ] 
 Sendo: 
 
[ ] [
 
 
 
] matriz de decomposição. 
 
 
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Assim: 
 ( 
 ) 
 ( 
 ) 
 ( ) 
 
Exemplo: 
 
Sejam os seguintes fasores: 
 
 
 
Pode-se decompor em componentes simétricas. 
[
 
 
 
] [
 √ 
 √ 
 
] 
 
 
2. Propriedades da Componente Simétrica de Sequência Zero 
 
3.1 Em um circuito trifásico somente haverá componente de sequência zero de corrente na 
linha, enquanto houver circulação de corrente pelo neutro. 
Seja a ligação estrela a seguir: 
 
Onde são correntes de fase e , corrente de neutro. 
 
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Sendo e: 
 
 
 
 
 
Então: 
 e consequentemente: 
 
 
3. 2 As correntes de sequência zero só poderão circular dentro de uma ligação do tipo 
triângulo. 
Seja a ligação triângulo a seguir: 
Ib
Ia
Ic
a
b c
 
Se a ligação triângulo estiver aberta, não haverá circulação de corrente na linha. 
Então: 
 
E consequentemente 
Para o nó a pode-se escrever: 
 
 , então 
 
 
 
 
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3.3 As tensões entre fases não possuem componentes de sequência zero. 
Sejam as tensões: 
 
 
 
 
Somando-se as três tensões fase- fase encontra-se o seguinte: 
 
 
 
Então não podem ter componentes de sequência zero, que por estarem em fase 
entre si, têm seu valor triplicado quando somadas as três fases. 
 
3. Deslocamento de fases de transformadores 
 
Existem dois grupos de transformadores, de acordo com o tipo de ligação dos seus enrolamentos, 
conforme a seguir: 
 )Grupo e 
 ) Grupo e 
 
No grupo não há defasagem angular entre os enrolamentos primário e secundário, porém no 
grupo observa-se defasagem angular de entre os enrolamentos. 
Por norma, as correntes de alta tensão estão avançadas das de baixa tensão. Isso ocorre quando 
a sequência de fases é considerada positiva. 
 
 
 
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REDES DE SEQUÊNCIA 
 
Os circuitos constituídos de grandezas representadas pelas componentes simétricas constituem as 
redes de sequência, que possuem comportamento específico conforme será visto a seguir: 
 
Acoplamento das redes de sequência: 
Para o sistema trifásico representado a seguir: 
Ia
Ib
Ic
Za
Zb
Zc
 
Sabe-se que: 
[ ] [ ] [ ] 
 
Onde: 
[ ] [
 
 
 
] 
Transformando em componentes simétricas, vem: 
 
[ ][ ] [ ][ ][ ] 
 
Os dois lados da equação podem ser multiplicados por , conforme a seguir: 
 
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] 
 
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Chamando 
 A de matriz das componentes de sequência de impedância, pode-se 
escrever: 
[ ] [ ][ ] 
Operando a equação A, encontra-se a seguinte matriz: 
 
[ ] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
Daí para as redes de sequência, vem: 
 
 [( ) ( 
 ) ( 
 ) ] 
 [( 
 ) ( ) ( 
 ) ] 
 [( ⁄ 
 ) ( 
 ) ( ) ] 
 
Admitindo-se , o que normalmente ocorre em sistemas elétricos, encontra-se 
redes desacopladas e muito simplificadas. 
 
[ ] [
 
 
 
] 
Assim: 
[ ] [ ] 
Ou: 
 
 
 
 
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Influência do acoplamento magnético 
Neste caso o sistema trifásico é representado conforme a seguir: 
 
Ia
Ib
Ic
Za
Zb
Zc
 
Sendo Z a impedância própria do sistema e sua impedância mútua,a tensão é representada 
pela seguinte equação: 
 
 ( ) 
 
Expandindo para as outras fases encontra-se: 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Sabendo-se que: 
 
 
 
 
 
Pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
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Então: 
[ ] [ ] [
 
 
 
] [ ] 
 
Multiplicando-se ambos os lados por , obtém-se: 
[ ] [ ] [ ]
 [
 
 
 
] [ ] 
 
Operando, vem: 
[ ] [ ] [
 
 
 
] [ ] 
 
[ ] 
[
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 [ ] 
 
Daí: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
E, finalmente: 
 
 
 
 
 
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CIRCUITOS EQUVALENTES DE SEQUÊNCIA 
A seguir são apresentados os circuitos equivalentes de sequência dos componentes dos sistemas de 
forma a permitir a montagem das respectivas redes de sequência equivalentes. 
 
1. Geradores 
1.1. Reatâncias 
Em geral: 
 
 1.1.1. Sequência positiva: 
O fluxo magnético produzido pela corrente de sequência positiva gira no mesmo sentido do rotor 
dos geradores, sendo estacionário em relação a esse, portanto o valor de é considerado o 
mesmo de 
 1.1.2. Sequência negativa: 
O fluxo magnético produzido pela corrente de sequência negativa gira em sentido contrário ao 
sentido do rotor, defasado de e varre a periferia desse, variando sua posição, alternadamente, 
em relação aos eixos direto e em quadratura, sendo assim: 
 
 
 
 
 
Porém, geralmente considera-se 
 1.1.3. Sequência zero: 
Como as correntes de sequência zero não estão defasadas, não existe fluxo magnético no 
entreferro, pois a distribuição das bobinas ao longo da armadura é feita de tal ordem, que as curvas 
senoidais de Força Magneto Motriz (F.M.M.) nas três fases do sistema ficam defasadas de e 
se anulam. Existe apenas a reatância de dispersão, resultante de pequenas distorções que podem 
ocorrer nas máquinas, apresentando valor significativamente menor que os de e . 
Esse valor normalmente não é representado, devido às condições de aterramento do sistema 
elétrico. 
 
 
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1.2. Tensões sequenciais: 
Considerando-se as três fases do sistema elétrico ligadas em Y, conforme a seguir: 
Va
VbVc
Ec
Ea=E
Eb
Z
ZZ
 
 
Pode-se escrever: 
[ ] [ ] [ ][ ] 
 
Transformando-se em componentes simétricas vem: 
[ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] 
 
Multiplicando ambos os lados da equação por , encontra-se: 
[ ] [ ]
 [ ] [ ]
 [ ][ ][ ] 
 
E daí: 
[ ] [ ] [ ][ ] 
 
Sendo: [ ] [ ]
 [ ] 
 
 
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Que, na forma matricial é escrito conforme a seguir: 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Ou: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
Efetuando a multiplicação matricial pode-se encontrar: 
 ( 
 ) 
 
 
 
 ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
 ( 
 ) 
 
 
 ( ) 
 
Voltando a equação inicial, encontra-se o seguinte: 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] [
 
 
 
] 
Ou: 
 
 
 
 
Conclui-se que a fonte de tensão dos geradores somente é representada na rede de sequência 
positiva, simbolizada, portanto, por . 
 
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2. Linhas de transmissão 
 
 2.1.Seqüência positiva 
Representa-se por meio do circuito equivalente, com os valores dos parâmetros (R, X, Y) 
calculados a partir das correntes trifásicas sem se considerar a sequência das fases. 
 
Y/2
Z
Y/2
Z J X1
≈ ≈
 
 
2.2. Sequência negativa 
É igual à sequência positiva, já que a sequência de fases não é considerada no cálculo dos 
parâmetros. 
Então: 
 
 2.3. Sequência zero 
Sendo as correntes iguais, isto é, em fase, seu retorno é feito pela terra e pelos cabos pára-raios. 
Os campos magnéticos criados por estas correntes são bastante diferentes daqueles resultantes das 
correntes senoidais. 
Sendo assim: 
 ( ) 
 
Para o cálculo desse parâmetro, utilizam-se métodos com o emprego de matrizes de 
transformação. 
 
 
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3. Transformadores 
 3.1. Sequência positiva 
É representada pela própria reatância do transformador conforme a seguir: 
J X1
 
 
3.2. Sequência negativa 
É igual à sequência positiva, já que a sequência das fases não modifica o parâmetro desse 
equipamento. 
 
3.3. Sequência zero 
 Depende do tipo de ligação do transformador, quanto à possibilidade de circulação 
da corrente de sequência zero, conforme a seguir: 
 
a) ligação 
 
Iop
Iop
Iop
3Iop
Ios
Ios
Ios
3Ios
 
 
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Neste caso as correntes encontram caminho para circular livremente conforme a seguir: 
Xp Xs
Xm
 
Como 
 
 
Considera-se , resultando no seguinte circuito equivalente: 
X ps
Iop Ios
 
 
E finalmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) ligação 
Iop
Iop
Iop
3Iop
 
Neste caso, as correntes não encontram caminho para circular e o circuito equivalente apresenta-seda seguinte forma: 
Xp Xs
Xm
 
Ou conforme a seguir: 
X 0
 
e finalmente 
 
 
 
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c) ligação 
 
Iop
Iop
Iop
3Iop
 
Neste caso as correntes circulam apenas dentro do transformador, resultando no seguinte circuito 
equivalente: 
 
Xs
Xm
Iop
Xp Ios = 0
 
 
Ou ainda: 
X0 = Xps 
 
 
 
 
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E finalmente: 
 
Para facilitar a montagem do circuito equivalente adota-se um método prático, por meio de um 
esquema de ligações de chaves através de duas regras básicas, conforme adiante: 
 
 
 Regras: 
1) Sem num lado do transformador há possibilidade física de circular corrente de sequência zero 
na linha, fecha-se a chave correspondente; 
2) Se num lado do transformador há possibilidade física de circular corrente de sequência zero nos 
enrolamentos, mas não na linha (ligação ), fecha-se a chave b correspondente. 
 
Exemplo: 
Montar o circuito equivalente do seguinte transformador: 
 
 
 
 
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Xp Xs
Xm
aa
b b
Xt
a
b
S
T
 
Xp
Xt
S
T
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo: Montar as redes de sequência do seguinte sistema elétrico: 
 
G1: 100 MVA 
 13,8 kV 
 X.d =25% X2 = 25% X0 = 8% 
 
T1: 125 MVA 
 13,8 / 230 kV 
 X = 15% 
 
L1: 100 km X2 = X1 = 0,5 Ω 
L2: 50 km X0 = 2,0 Ω 
L3: 50 km 
BASE: 100 MVA 
 230 /13,8 kV 
 
Cálculo das reatâncias de sequência 
G1 : X1 = j 0,25 p.u. X2 = X1 = j 0,25 p.u. X0 = j 0,08 p.u. 
 
T1 : X1 = j 0,15 
 
 
 = j 0,12 p.u. X2 = X1 = j 0,12 p.u. 
 X0 = X1 = j 0,12 p.u. 
 
 
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L1 : j 0,5 x 100 = j 50Ω X1 = j 50 x 
 
 
 = j 0,095 p.u. =X2 
 X0 : j 2,0 x 100 = j 200Ω X0 = j 200 x 
 
 
 = j 0,38 p.u. 
 
L2 e L3 : X1 j 0,5 x 50 = j 25 Ω X1 = j 25 x 
 
 
 = j 0,047 p.u. = X2 
 X0 = j 2,0 x 50 = j 100Ω X0 = j 100 x 
 
 
 = j 0,19 p.u. 
 Montagem das redes de sequencia 
1) Sequencia positiva 
 
 
Com o resultado da ligação série, em paralelo com a impedância da linha L vem: 
 
E finalmente: 
 
 
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2) Sequencia negativa 
Observa-se que todos os componentes do sistema elétrico tem seu circuito equivalente de 
sequencia negativa igual ao de sequencia positiva, a menos do gerador, que não tem a fonte de 
tensão, podendo ser representado conforme a seguir: 
 
 
 
Analogamente: 
 
 
 
Conclui-se então que tendo a rede de sequencia positiva, obtém-se a rede de sequencia negativa 
apenas com a eliminação da fonte de tensão. 
 
3) Sequencia zero: 
 Inicialmente utiliza-se o método prático, do esquema de ligação de chaves, para montagem 
do circuito equivalente do transformador. 
 
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J 0,08 J 0,12 J 0,38
J 0,19J 0,19
a a
b b
série
 
Considerando a ligação do transformador, sendo no lado do gerador e no lado da linha, a 
ligação série das impedâncias das linhas e s e com esta a ligação paralela com a linha , 
vem: 
J 0,12 J 0,19
 
 
E finalmente: 
If 0
X0 = j 0,31
Vf 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CURTOS CIRCUITOS ASSIMÉTRICOS EM SISTEMAS 
ELÉTRICOS 
 
 
 Faltas assimétricas são aquelas que desbalanceiam o sistema, isto é, sua ocorrência resulta 
em fluxos de corrente e em valores de tensão diferentes nas três fases distintas do sistema elétrico. 
 Isso ocorre quando uma ou duas fases do sistema são ligadas à terra, ou duas fases entre si, 
por meio de uma impedância de defeito, ou não. 
 A condição anterior à ocorrência do defeito é simétrica e todas as aproximações utilizadas 
nos cálculos para faltas simétricas são mantidas. 
 O método de cálculo consiste em associar as redes de sequência, considerando as 
condições específicas de cada tipo de curto circuito que se pretende analisar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. CURTO CIRCUITO FASE TERRA (NEUTRO) 
 Também chamado curto circuito monofásico, é a ligação direta, ou por meio de uma 
impedância de falta, de uma fase do sistema elétrico à terra. 
 Representa-se conforme a seguir 
 
 
 
 Condições específicas do curto circuito: 
 
 
A metodologia é desenvolvida de forma analítica, conforme a seguir, resultando na associação das 
redes de sequência apresentadas adiante. 
Transformando em componentes simétricas vem: 
 
 
 
 
 
 
Sendo e 0, então: 
 
 
 
 
 
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 E daí: 
 
 
 
 
Por outro lado:Sendo , vem: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Das redes de sequência pode-se escrever: 
 
 
 
 
Então: 
 
 
E substituindo nas equações encontradas anteriormente, vem: 
 
 
Ou: 
 ( ) 
 
Daí: 
 
 
 ( )
 
 
 
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E finalmente: 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 ( )
 
 
 Associação das redes de sequência: 
Sendo = , as redes estão ligadas em série, e a partir da equação de , pode-se 
associar as três redes de sequência, conforme a seguir: 
 
E1
X1
X2
X0
If 1
Vf 1
Vf 0
Vf 2 3Zf
If 2
If 0
 
 
Conhecendo-se o circuito acima, pode-se escrever: 
 = = 
 
 
 
 
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Fazendo a composição, vem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
E ainda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 ( 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
) 
 
 ( 
 
 
 
) 
 
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2. CURTO CIRCUITO FASE FASE 
 Também chamado de curto circuito bifásico, é a ligação direta, ou por meio de uma 
impedância de falta, de duas fases do sistema elétrico. 
 Representa-se conforme a seguir: 
 
 
Condições específicas do curto circuito: 
 
 
 
A metodologia também é desenvolvida de forma analítica, conforme a seguir, resultando na 
associação das redes de sequência apresentada adiante. 
 
Decompondo em componentes simétricas, vem: 
 
 
 
 ⁄ ( 
 ) 
 
 
 ⁄ ( 
 ) 
 
 
 ⁄ ( ) 
 
 
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Como e , pode-se escrever: 
 
 
 
 ⁄ ( ( 
 ) ) 
 
 
 ⁄ ( ( 
 ) ) 
 
 
 ⁄ ( ) 
 E conclui-se que este tipo de curto circuito não envolve a rede de sequencia zero, uma vez 
que não circula corrente pelo neutro. 
Sabendo-se que: 
 √ e √ 
Vem: 
 
√ 
 
 
E daí: 
 
 
 √ 
 √ 
Ou: 
 ( 
 ) 
Por outro lado: 
 
 
 
 
 
Sendo , pode-se escrever: 
 
 
( ) ( 
 ) ( 
 ) 
 
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( )( ) ( 
 ) 
 
Das redes de seqüência, vem: 
 
 
 
 
 
 E substituindo nas equações encontradas anteriormente, encontra-se o seguinte: 
 
 ( ) 
 
Como , pode-se escrever: 
 
 
Daí: 
 
 
 
 
E finalmente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Associação das redes de sequência: 
Como e , as redes de sequência positiva e negativa estão ligadas em série 
com polaridades invertidas, e a rede de sequência zero não faz parte da associação das redes. A 
partir da equação de , pode-se associar as redes de sequência conforme a seguir: 
E1
X1
X2
X0
If 1
Vf 1
Vf 0
Vf 2
3Zf
If 2
If 0
 
 
Conhecendo-se o circuito anterior, pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a composição, vem: 
 
 
 
 ( 
 ) √ 
 
 
 ( 
 ) √ 
 
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E ainda: 
 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) (
 
 
) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. CURTO CIRCUITO FASE FASE TERRA 
Também chamado curto circuito bifásico envolvendo a terra, é a ligação direta, ou por meio de 
uma impedância de falta, de duas fases do sistema elétrico e a terra. 
 
Representa-se conforme a seguir: 
 
 
Condições específicas do curto-circuito: 
 
 
 
 
Para facilitar o desenvolvimento analítico da metodologia, inicialmente será mantida nula a 
impedância de falta, e a seguir considerada com valor diferente de zero. Esse procedimento 
resultará na associação das redes de sequência apresentada adiante: 
 
Para , obtém-se 
 
Transformando para componentes simétricas, vem: 
 
 
 
 
 
Como , pode-se escrever: 
 
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( ) ( 
 ) 
 
Sendo , então 
E daí: 
 
Como , vem: 
 
E daí 
 
 
Substituindo na equação anterior, obtém-se: 
 
Ou: 
 
Por outro lado: 
 
 
 
 
 
 
Como , pode-se escrever: 
 
 
 
( ) ( 
 ) 
 
 
 
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Ou: 
 
 
Voltando a equação de , e considerando , vem: 
 
 
Sendo , então 
 
E daí: 
 
Ou: 
 
 
Considerando agora , vem: 
 
( ) 
 
Como , pode-se escrever: 
 
 
Ou: 
 
 
 
 
 
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Associação das redes de sequência 
Considerando inicialmente , observa-se que em , e, portanto, as redes de 
sequência estão ligadas em paralelo, conforme a seguir: 
E1
X1
X2
X0
If 1
Vf 1
Vf 0
Vf 2
If 2
If 0
 
No caso de , observa-se , o que resulta em associação das 
três redes de sequência em paralelo, com queda de tensão na rede de sequência zero de 
 , conforme a seguir: 
E1
X1
X2
X0
If 1
Vf 1
Vf 0
Vf 2
If 2
If 0
3Zf
 
 
 
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As redes associadas podem ser reduzidas nos seguintes equivalentes: 
Para tem-se que: 
X1
Vf1 Vf2
E1
X2 X0
Vf0
If1 If2 If0
 
 
E considerando o equivalente da ligação paralelo de e , vem: 
 
X1
E1
If1
20
20
XX
XX
+
 
 
A partir desse circuito pode-se escrever: 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvendo, encontra-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Das redes de sequência vem: 
 
 
 
 
Como , pode-se escrever: 
 
 
 
Então: 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
Ou: 
 
 
 
 
 
E também: 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
Ou: 
 (
 
 
) 
 
 
Sabendo-se que: e 
 
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E substituindo pela expressão encontrada anteriormente, obtém-se: 
 
 
 
 
 
No caso de , vem: 
X1
E1
If1 If2 If0
X2
X0Vf1 Vf1
3Zf
 
 
 
Da mesma forma, considerando-se o paralelo de e ( ) obtém-se 
X1
E1
If1
( )
203
203
XXZf
XXZf
++
+
 
 
 
 
 
 
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A partir desse circuito encontra-se: 
 
 
 
( ) 
( ) 
 
 
 
Desenvolvendo, obtem-se: 
 
 
 ( )
 
 
Das redes de sequência, vem: 
 
 
 
Como , pode-se escrever: 
 
 
Então: 
 
 
 
( 
 ( )
 ( )
) 
 
Ou: 
 
 
 ( )
 
 
 
 
 
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PROFESSOR: Msc. ERALDO DA SILVA PEREIRA 
[74] 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO 
FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA. 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
31 de janeiro de 2012 
Como também , pode-se escrever: 
 
 
Ou: 
 ( ) 
 
 
Então: 
 
 
( )
 ( 
 ( )
 ( )
) 
 
Ou: 
 
 
( )( ( ))
 
 
Ou ainda: 
 
 ( )
( )( ( ))
 
 
E finalmente: 
 
 
( ( ))
 
 
 
Sabendo-se que e 
 
 
 
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E substituindo pela expressão encontrada anteriormente, obtém-se: 
 
 
 ( )
 ( )
 
 
Sabendo-se que 
 
E substituindo pela expressão encontrada anteriormente, obtém-se: 
 ( 
 
 ( )
) 
Ou: 
 
 
 ( )
 
 
Fazendo a composição, vem: 
 
 
Para , vem: 
 
 
 
 ( ) 
 
 
Ou: 
 
( ) ( 
 ) 
 
 
 
 
 
 
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Como √ e ( )( ) ( ) , pode-se escrever: 
 √ 
 ( 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
Ou: 
 
( ) ( ) 
 
 
Como √ e ( )( ) ( ) , pode-se escrever: 
 
 √ 
 ( ) 
 
 
Sabendo-se que , obtém-se: 
 
 
 
 
Onde representa a corrente de curto circuito bifásico envolvendo a terra que circula pelo 
neutro. 
Sabendo-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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