AULA 02 ESTATICA 1 Princípio dos Trabalhos Virtuais

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Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Estática das Estruturas I
Princípio dos Trabalhos Virtuais
1
• CARGA HORÁRIA: 54 h/a
• Prof. Me. Leandro Dias Küster
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• O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) engloba o
teorema dos deslocamentos virtuais dando
introdução e aplicação ao método da força
unitária que é fundamental para o estudo do
método das forças ou dos esforços.
• Trabalho Virtual (Hipotético) decorrente de
deformações impostas à estrutura.
• A importância do processo está em:
– Determinar deslocamentos;
– Análise de cargas móveis;
– Resolução de estruturas hiperestáticas.
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• Deve-se definir para a estrutura dois estados:
– A) Estado de carregamento (de forças)
• A estrutura encontra-se em repouso e equilíbrio. Neste
estado todas as forças e momentos atuam na
estrutura..
A B
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– B) Estado de deslocamento (deslocamento virtual).
Existe apenas nos cálculos.
• Este estado causado pelo deslocamento infinitesimal
imposto à estrutura gerando deformação nos elementos da
estrutura que causarão trabalho virtual interno.
A B
Deslocamento
virtual
Deslocamento
devido ao
carregamento
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• Pelo PTV, quando impomos à estrutura um
estado de deslocamentos (b) ao estado de
carregamento ou forças (a) tem-se:
– O trabalho virtual externo das forças externas de (a)
com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho
virtual interno realizado pelos esforços internos de (a)
com os deslocamentos de (b).
V
N
M
V + dV
N + dN
M + dM
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• 𝑊𝑒𝑥𝑡 – Calculado pelo produto das forças
externas pelos deslocamentos virtuais
impostos à estrutura;
• 𝑊𝑖𝑛𝑡 – Calculado das tensões de deformações
que ocorrem nos elementos ao se dar um
deslocamento virtual.
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡
𝑊 = 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
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Bdx
dy
dx
dv
du
A
A'
d
d
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• O ponto A simboliza a estrutura em repouso;
• O ponto A’ simboliza a estrutura deformada;
• du = Deslocamento na direção x (causado por
uma deformação);
• dv = Deslocamento na direção y (causado por
uma deformação);
• d = Giro da seção considerada (causado pela
deformação).
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• O trabalho interno no elemento considerado é:
• Desprezam-se as parcelas de ordem superiores
resultantes de dN, dV e dM.
• Na estrutura como um todo o trabalho interno
será:
𝑑𝑊𝑖𝑛𝑡 = 𝑁𝑑𝑢 + 𝑉𝑑𝑣 +𝑀𝑑𝜃
𝑊𝑖𝑛𝑡 = 
𝐸𝑥𝑡
𝑁𝑑𝑢 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑉𝑑𝑣 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑀𝑑𝜃
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• No processo do PTV vamos criar 2 sistemas.
– 1º sistema: A estrutura submetida as forças
externas responsáveis pelo deslocamento ou
esforço que se queira determinar.
A B
P P
deslocamento real
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• 2º sistema: À estrutura aplica-se uma carga virtual
unitária (valor 1), carga coerente com o
deslocamento ou esforço que desejamos determinar.
Esse sistema denomina-se estado de deslocamento.
A B
1
Estado de deslocamento virtual
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• Exemplo: Determinar o giro  da estrutura
abaixo:
𝑊𝑖𝑛𝑡 = 
𝐸𝑥𝑡
𝑁𝑑𝑢 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑁𝑑𝑣 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑀𝑑𝜃
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡
A 
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Para determinar o giro , aplica-se uma carga unitária
no ponto A (ponto que se queira determinar o
deslocamento).
– 1º sistema: Estado de carregamento real.
A
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– 2º sistema: Estado de carregamento virtual.
Do PTV tem-se que:
A 1
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡
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O trabalho externo é:
Sendo:
1 = Carga virtual unitária;
 = Deslocamento desejado real = 1.
O trabalho interno é:
A Força unitária gera os esforços N1, V1 e M1.
O carregamento real gera os esforços NR, VR e MR.
𝑊𝐸𝑥𝑡 = 1Δ
𝑊𝑖𝑛𝑡 = 
𝐸𝑥𝑡
𝑁1𝑑𝑢 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑉1𝑑𝑣 + 
𝐸𝑥𝑡
𝑀1𝑑𝜃
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• Para que se possa integrar na variável x, tem-se:
• Da lei de Hooke, temos:
• Então:
s = Tensão;
e = Deformação específica;
E = Módulo de elasticidade
𝜀 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =?
𝜎 = 𝜀𝐸 =
𝑁𝑅
𝐴
𝜀 =
𝑁𝑅
𝐴
𝑑𝑢 = 𝜀𝑑𝑥 =
𝑁𝑅
𝐸𝐴
𝑑𝑥
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• Para que se possa integrar na variável y, tem-se:

dvdy
dx
𝛾 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥
≈ 𝑡𝑔 𝛾
◦ Da lei de Hooke para 
cisalhamento, temos:
𝜏 = 𝛾𝐺 𝜏 =
𝑉𝑅
𝐴
𝑐
◦ C = coeficiente para correção da distribuição não 
uniforme de t.
𝑑𝑣 = 𝛾𝑑𝑥 =
𝜏
𝐺
𝑑𝑥 = 𝑐
𝑉𝑅
𝐴𝐺
𝑑𝑥
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• Para se integrar ao longo do giro tem-se:
𝑑2𝑣
𝑑𝑥²
=
𝑀𝑅
𝐸𝐼
𝑑𝜃 =?
𝑑𝜃 =
𝑀𝑅𝑑𝑥
𝐸𝐼


dx
dv
𝑡𝑔𝜃 ≅ 𝜃 =
𝑑𝑣
𝑑𝑥

dv
dx
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Do PTV tem-se que:
𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑊𝑖𝑛𝑡
1. Δ = 𝑁1𝑑𝑢 + 𝑉1𝑑𝑣 + 𝑀1𝑑𝜃
1. Δ = 𝑁1
𝑁𝑅𝑑𝑥
𝐸𝐴
+ 𝑉1
𝑐𝑉𝑅𝑑𝑥
𝐴𝐺
𝑑𝑣 + 𝑀1
𝑀𝑅𝑑𝑥𝐸𝐼
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Bibliografia
• GILBERT, A. M.; LEET, K. M.; UANG, C. M. Fundamentos da análise
estrutural. São Paulo: McGraw-Hill, 2009.
• MAZZILLI, C. E. N.; ANDRÉ, J. C.; BUCALEM, M. L.; CIFÚ, S. Lições em
mecânica das estruturas. São Paulo: Oficina de Textos, 2011.
• SORIANO H. L. Análise de estruturas: método das forças e método dos
deslocamentos. 2.ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
• BORESI, A. P. Estática. São Paulo: Thomson, 2003.
• SORIANO H. L. Análise de estruturas: formulação matricial e
implementação computacional. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2005.
• SOUZA, J. C. A. O. Processo de cross. São Carlos: Editora da EESC-USP,
1988.
• SOUZA, J. C. A. O. Processos gerais da hiperestática clássica. São Carlos:
Editora da EESC-USP, 1995.
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