Método de Cross

Prévia do material em texto

DISCIPLINA: ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES
DOCENTE: VÍTOR EMANUEL GRANITO PONTES
João Pessoa - PB 1
Aula 4: MÉTODO DE CROSS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
sábado, 11 de junho de 2016
Método de Cross
• Método desenvolvido por Hardy Cross, na década de 1930;
• Método baseado no MD;
• Aplicável apenas a estruturas sem deslocabilidades externas (translações), por enquanto...;
• Possibilitou a resolução manual de estruturas hiperestáticas;
2ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross
• O método baseia-se em dois pontos básicos:
• A distribuição de momento aplicado em um nó de um pórtico por parcelas equilibrantes nas barras adjacentes, Ou seja, os momentos 
aplicados em um nós são distribuídos para as barras adjacentes;
• A solução iterativa do sistema de equações de equilíbrio do método dos deslocamentos para uma estrutura que só tem rotações como
graus de liberdade (deslocabilidades);
• OBS:O método pode ser aplicado para estruturas com deslocabilidades tipo translação. Nesse caso é necessário fazer uma superposição 
de casos básicos, considerando o carregamento e a deslocabilidade isoladas e equilibrando cada um dos casos. 
3ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross
• Interpretação física do método:
4ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Inicialmente, a viga tem 
todas as rotações nodais 
travadas;
Aplica-se uma carga 
concentrada no meio do 
vão central. Como todos 
os nós têm suas rotações 
fixas, o efeito dessa carga 
só é sentido nesse vão. 
Existe então um 
desequilíbrio de 
momentos nos nós dos 
apoios centrais.
Nessa situação, os apoios 
estão equilibrados por 
momentos aplicados pelas 
travas nos apoios.
Se a rotação de um dos 
nós for liberada, o nó gira 
até atingir o equilíbrio. 
Nesse caso, o apoio tem 
que estar em equilíbrio, 
pois as travas não aplicam 
qualquer momento 
externo.
Método de Cross
• Interpretação física do método:
5ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
O primeiro e segundo vão 
se deformam em 
consequência da liberação 
da rotação, o que provoca 
uma mudança na 
distribuição de momentos 
nos vãos.
O segundo nó é então 
travado e a rotação do 
terceiro nó é liberada. 
Assim, o terceiro vão se 
deforma, havendo uma 
nova redistribuição de M.
O equilíbrio é atingido 
quando não é mais 
necessário travar as 
rotações nodais, pois os 
nós estão equilibrados.
Método de Cross
• Resumindo:
• Em cada passo do processo, apenas é liberada a rotação de um nó de cada vez;
• Quando um nó é equilibrado, são provocadas deformações nos vãos adjacentes, implicando numa redistribuição de momentos, o que
torna necessário um novo equilíbrio;
• Após cada passo, a rotação do nó liberado é fixada com o valor acumulado do incremento de rotação;
• O equilíbrio de um nó travado é atingido artificialmente por aplicação de um momento externo pela trava;
6ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross – Distribuição de 
momentos em um nó
7ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross
8ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Momentos fletores finais:
Nas seções adjacentes ao nó onde está aplicado o 
momento, são resultado da distribuição do momento 
aplicado no nó por parcelas equilibrantes, que são 
proporcionais aos coeficientes de distribuição de 
momentos no nó.
Nas seções opostas ao nó onde está aplicado o 
momento aparecem parcelas transmitidas, que são 
iguais ao produto das parcelas equilibrantes pelo 
coeficiente de transmissão de momento.
O coeficiente de transmissão de momento é obtido 
dividindo o coeficiente de rigidez locais das seções 
opostas, para cada barra, por aplicação da rotação no 
nó.
Método de Cross – Processo iterativo
9ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Viga contínua apenas com deslocabilidades internas –
rotações dos apoios intermediários.
Sistema de equações:
Solução obtida admitindo a deslocabilidade 
2 nula e encontrando um valor para a 
deslocabilidade 1 – 1ª iteração do processo.
Método de Cross – Processo iterativo
10ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross – Formalização do 
método
• O método resulta da junção dos dois processos mostrados anteriormente:
• Distribuição de momentos em um nó;
• Processo iterativo do sistema de equações de equilíbrio;
Na realidade, na aplicação do método, não calculamos as rotações em cada ciclo. Em vez disso, é feito um acompanhamento 
dos valores de momentos fletores nas extremidades das barras. Os valores dos momentos fletores em cada ciclo são obtidos 
com base na distribuição por parcelas equilibrantes.
11ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Método de Cross – Processo iterativo
12ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES- MÉTODO DE CROSS
Bibliografia adotada
 SORIANO, H. L. & LIMA, S.S. Análise de estruturas – método das forças e método dos deslocamentos. 2ª edição. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
MARTA, L. F. Análise de estruturas – conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, 2010.
ANDRÉ, J. C; MAZZILLI, C.E.N.; BUCALEM, M. L.; CIFÚ, S. Lições em Mecânica das Estruturas. Editora: Oficina de Textos, 
2011.
 - GERE, James M. Mecânica dos Materiais. 7ed. Cenage Learning. 2011
 SUSSEKIND, J.C. Curso de Análise Estrutural. Porto Alegre, Ed. Globo, 1979, Vol. 1, 2 e 3.
 - VASCONCELLOS FILHO, A. Teoria das Estruturas: Métodos dos Deslocamentos, Processo de Cross, Tabelas . Belo 
Horizonte, Escola de Engenharia da UFMG, 1986.
BEER , F.P. & JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros, Estática, 7. ed . Rio de Janeiro: Editora Mc Graw-Hill, 
2006.
BEER, F.P.; JOHNSTON, E.R. RUSSELL, J. DEWOLF, J. MAZUREK, D.F. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Mcgraw-hill, 2011.
GILBERT, A.M.; LEET, K.M.; UANG, C.M. Fundamentos da Análise Estrutural. 3ª ed. Mcgraw-hill, 2009. 
13ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES - MÉTODO DE CROSS