Aula 02 Derivadas Potencia e Log [Modo de Compatibilidade]

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1
Prof. Adalberto Santos
uf(x) a=
u u(x)=
Caso particular
uf(x) e=
uf '(x) e lne u'=
1
Vamos encontrar a derivada da função ( )23x 5 2f '(x) 8 ln8 3x 5 '+= +
uf '(x) a lna u'= ⋅ ⋅
u u(x)=
Caso particular
u
ef(x) log= u'f '(x)
u lne
=
⋅
1
u'
u
=
Vamos calcular a derivada da função
2
3 2f(x) ln(5x 4x 9)= + +
3 2
3 2
(5x 4x 9)'f '(x) (5x 4x 9)lne
+ +
=
+ +
1
2
3 2
(15x 8x)f '(x) (5x 4x 9)
+
=
+ +
1 1( )´ ( ( ))´
´( )y f x f y
−
= =
Teorema da Função Inversa:
3x2)x(f ++++====
Qual a derivada da função 
inversa de f(x)?
A função arco seno é definida
como a função inversa da função
seno:
x
y
1
2
pi
2
pi
−
y arcsen x=
1−
2
pi
2
pi
−
1−
1
y sen x=
−pi/2 pi/2
−pi/2
pi/2
x
y
[ 1,1] ,x ∈ − ( )y arcsen x=
( )sen y x=
A função inversa do arco seno é o seno
1( )f x y arcsen x− = =
x y
( )f y x sen y= =
1( ) ( )y f x arcsen x−= =
1 1( )´ ( ( ))´
´( )y f x f y
−
= =
1
´( )
´( )arcsen x sen y=
1( )f x y arcsen x− = =
x y
( )f y x sen y= =Pelo Teorema da Função Inversa:
3
1 1
´( )
´( ) cosarcsen x sen y y= =
Mas,
= −
2cos 1y sen y
1
´( )
´( )arcsen x sen y=
2
1
´( )
1
a rcse n x
se n y
=
−
2
1
1 ( ( ))sen arsen x
=
−
2cos 1y sen y= −
( )y arcsen x=
cos( )=y arc x
( )y arctg x=
( )y arccotg x=
Calcule a derivada da função 
2( ) ( ) 1.f x arctg x no ponto=
2( ) ( )f x arctg x=
[ ]'( ) 2 ( ) ( ) 'f x arctg x arctg x=
2
12 ( )
1
arctg x
x
 
=  + 
2
2 ( )
1
arctg x
x
=
+
( ) ( )2
2 (1)
' 1
1 1
arctgf =
+
2
4
2
pi
=
4
pi
=
�FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São 
Paulo: Makron Books, 1992. 
�LEITHOLD , Louis. O cálculo com 
Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976.
�STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São 
Paulo: Pioneira, 2005.