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PC 2017 1 AtP1 oport1 GABARITO DETALHADO CRITERIO

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AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO Pré-Cálculo 
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CEDERJ/UAB 
AtP1 Primeira Atividade Presencial 
(oportunidade 1: 07 a 11 de fevereiro) 
GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO DE CORREÇÃO 
Pré-Cálculo 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 com 𝑥 ∈ ℝ. 
1) Qual é o coeficiente do termo de maior grau? Qual é o termo independente? Justifique. 
2) Quais são as possíveis raízes inteiras desse polinômio? Justifique. 
3) Quais são as possíveis raízes racionais não inteiras desse polinômio? Justifique. 
4) Mostre que 𝑥 =
1
3
 é uma raiz de 𝑝(𝑥) . 
5) Fatore o polinômio em ℝ. Justifique. 
Lembre que fatorar um polinômio em ℝ significa escrever o polinômio como produto de fatores lineares 
(tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). 
Justificar suas respostas. Isso significa que você deve deixar escrito todo o desenvolvimento que precisou 
fazer para concluir suas respostas. 
 
RESOLUÇÃO 
1) O coeficiente do termo de maior grau é 3 . O termo independente é −2 
_________________________________________________________________________________ 
2) As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são o os divisores do seu termo independente −2 e são: 
−1 , 1 , −2 , 2. 
_________________________________________________________________________________ 
3) As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) são os divisores do seu termo independente, −2, divididos pelos 
divisores do seu termo de maior grau, 3 . Os divisores de 3 são: 1; −1; 3; −3 . Portanto, as possíveis raízes 
racionais não inteiras são: −
1 
3
; 
1
3
; −
2
3
; 
2
3
 . 
_________________________________________________________________________________ 
4) Mostrando que 𝑥 =
1
3
 é raiz de 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 : 
𝑝 (
1
3
) = 3 (
1
3
)
3
+ 2 (
1
3
)
2
+ 5 ∙
1
3
− 2 = 3 ∙ 
1
27
 + 2 ∙ 
1
9
 +
5
3
 − 2 = = 
1
9
 + 2 ∙ 
1
9
 +
5
3
 − 2 = 
 = 
 1 + 2 + 15 − 18 
9
 = 
15 − 15 
9
 = 0 
Como 𝑝 (
1
3
) = 0 então 𝑥 =
1
3
 é raiz de 𝑝(𝑥) . 
_________________________________________________________________________________ 
5) Fatorando o polinômio em ℝ. 
Vamos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini: 
AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO Pré-Cálculo 
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 3 2 5 −2 
1
3
 3 (3 ×
1
3
) + 2 = 3 ( 
1
3
× 3) + 5 = 6 (
1
3
× 6) − 2 = 0 
 
Logo, 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) 
Para encontrar as outras raízes de 𝑝(𝑥) vamos resolver a equação de grau 2: 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0. 
 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
−1±√1−4×1×2
2×1
 . Como o discriminante 1 − 4 × 1 × 2 = −7 < 0 , então o 
polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 é irredutível em ℝ e a fatoração de 𝑝(𝑥) é:. 
 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) = 
= (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2). 
_________________________________________________________________________________ 
CRITÉRIO DE CORREÇÃO: 
1. Valor: 1,0 
 Escrever que o coeficiente do termo de maior grau é 3 ganha 0,5 
 Escrever que o termo independente é −2 ganha 0,5 
2. Valor: 1,0 
 Escrever que as possíveis raízes inteiras são: −1 , 1 , −2 , 2 ganha 1,0 
 (0,25 por raiz) 
Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha no máximo 0,4 (0,1 por raiz). 
3. Valor: 1,0 
 Escrever que as possíveis raízes racionais de p(x) são: −
1 
3
; 
1
3
; −
2
3
; 
2
3
 ganha 1,0 
 (0,25 por raiz) 
Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha no máximo 0,4 (0,1 por raiz). 
4. Valor: 2,0 
 Mostrar que 𝑝 (
1
3
) = 0 ganha 2,0 
Observação: . Se não mostrar as contas, ganha só 0,5. 
5. Valor: 5,0 
 Mostrar que 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) OU 
mostrar que 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) ganha 2,0 
Observação: Se não mostrar as contas, não ganha nada aqui. 
 Mostrar que 𝑥2 + 𝑥 + 2 ou 3𝑥2 + 3𝑥 + 6 é irredutível ganha 2,0 
Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha só 0,5. 
 Concluir que a fatoração de 𝑝(𝑥) é 
 𝑝(𝑥) = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) ou 𝑝(𝑥) = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) ou 
 𝑝(𝑥) = (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2) ganha 1,0

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