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AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO Pré-Cálculo Página 1 de 2 CEDERJ/UAB AtP1 Primeira Atividade Presencial (oportunidade 1: 07 a 11 de fevereiro) GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO DE CORREÇÃO Pré-Cálculo Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 com 𝑥 ∈ ℝ. 1) Qual é o coeficiente do termo de maior grau? Qual é o termo independente? Justifique. 2) Quais são as possíveis raízes inteiras desse polinômio? Justifique. 3) Quais são as possíveis raízes racionais não inteiras desse polinômio? Justifique. 4) Mostre que 𝑥 = 1 3 é uma raiz de 𝑝(𝑥) . 5) Fatore o polinômio em ℝ. Justifique. Lembre que fatorar um polinômio em ℝ significa escrever o polinômio como produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). Justificar suas respostas. Isso significa que você deve deixar escrito todo o desenvolvimento que precisou fazer para concluir suas respostas. RESOLUÇÃO 1) O coeficiente do termo de maior grau é 3 . O termo independente é −2 _________________________________________________________________________________ 2) As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são o os divisores do seu termo independente −2 e são: −1 , 1 , −2 , 2. _________________________________________________________________________________ 3) As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) são os divisores do seu termo independente, −2, divididos pelos divisores do seu termo de maior grau, 3 . Os divisores de 3 são: 1; −1; 3; −3 . Portanto, as possíveis raízes racionais não inteiras são: − 1 3 ; 1 3 ; − 2 3 ; 2 3 . _________________________________________________________________________________ 4) Mostrando que 𝑥 = 1 3 é raiz de 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 : 𝑝 ( 1 3 ) = 3 ( 1 3 ) 3 + 2 ( 1 3 ) 2 + 5 ∙ 1 3 − 2 = 3 ∙ 1 27 + 2 ∙ 1 9 + 5 3 − 2 = = 1 9 + 2 ∙ 1 9 + 5 3 − 2 = = 1 + 2 + 15 − 18 9 = 15 − 15 9 = 0 Como 𝑝 ( 1 3 ) = 0 então 𝑥 = 1 3 é raiz de 𝑝(𝑥) . _________________________________________________________________________________ 5) Fatorando o polinômio em ℝ. Vamos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini: AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO DETALHADO e CRITÉRIO Pré-Cálculo Página 2 de 2 3 2 5 −2 1 3 3 (3 × 1 3 ) + 2 = 3 ( 1 3 × 3) + 5 = 6 ( 1 3 × 6) − 2 = 0 Logo, 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 − 1 3 ) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 − 1 3 ) (𝑥2 + 𝑥 + 2) Para encontrar as outras raízes de 𝑝(𝑥) vamos resolver a equação de grau 2: 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0. 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −1±√1−4×1×2 2×1 . Como o discriminante 1 − 4 × 1 × 2 = −7 < 0 , então o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 é irredutível em ℝ e a fatoração de 𝑝(𝑥) é:. 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 − 1 3 ) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 − 1 3 ) (𝑥2 + 𝑥 + 2) = = (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2). _________________________________________________________________________________ CRITÉRIO DE CORREÇÃO: 1. Valor: 1,0 Escrever que o coeficiente do termo de maior grau é 3 ganha 0,5 Escrever que o termo independente é −2 ganha 0,5 2. Valor: 1,0 Escrever que as possíveis raízes inteiras são: −1 , 1 , −2 , 2 ganha 1,0 (0,25 por raiz) Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha no máximo 0,4 (0,1 por raiz). 3. Valor: 1,0 Escrever que as possíveis raízes racionais de p(x) são: − 1 3 ; 1 3 ; − 2 3 ; 2 3 ganha 1,0 (0,25 por raiz) Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha no máximo 0,4 (0,1 por raiz). 4. Valor: 2,0 Mostrar que 𝑝 ( 1 3 ) = 0 ganha 2,0 Observação: . Se não mostrar as contas, ganha só 0,5. 5. Valor: 5,0 Mostrar que 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 − 1 3 ) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) OU mostrar que 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = 3 (𝑥 − 1 3 ) (𝑥2 + 𝑥 + 2) ganha 2,0 Observação: Se não mostrar as contas, não ganha nada aqui. Mostrar que 𝑥2 + 𝑥 + 2 ou 3𝑥2 + 3𝑥 + 6 é irredutível ganha 2,0 Observação: Se não tiver nenhuma justificativa, ganha só 0,5. Concluir que a fatoração de 𝑝(𝑥) é 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1 3 ) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) ou 𝑝(𝑥) = 3 (𝑥 − 1 3 ) (𝑥2 + 𝑥 + 2) ou 𝑝(𝑥) = (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2) ganha 1,0
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