PC 2017 1 AtP1 oport1 GABARITO SIMPLES

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AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO SIMPLES Pré-Cálculo 
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CEDERJ/UAB 
AtP1 Primeira Atividade Presencial 
(oportunidade 1: 07 a 11 de fevereiro) 
GABARITO SIMPLES 
Pré-Cálculo 
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 com 𝑥 ∈ ℝ. 
1) Qual é o coeficiente do termo de maior grau? Qual é o termo independente? Justifique. 
2) Quais são as possíveis raízes inteiras desse polinômio? Justifique. 
3) Quais são as possíveis raízes racionais não inteiras desse polinômio? Justifique. 
4) Mostre que 𝑥 =
1
3
 é uma raiz de 𝑝(𝑥) . 
5) Fatore o polinômio em ℝ. Justifique. 
Lembre que fatorar um polinômio em ℝ significa escrever o polinômio como produto de fatores lineares 
(tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e fatores quadráticos irredutíveis em ℝ (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). 
Justificar suas respostas. Isso significa que você deve deixar escrito todo o desenvolvimento que precisou 
fazer para concluir suas respostas. 
 
RESOLUÇÃO 
1) O coeficiente do termo de maior grau é 3 . O termo independente é −2 
_________________________________________________________________________________ 
2) As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são o os divisores do seu termo independente −2 e são: 
−1 , 1 , −2 , 2. 
_________________________________________________________________________________ 
3) As possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑝(𝑥) são: −
1 
3
; 
1
3
; −
2
3
; 
2
3
 . 
_________________________________________________________________________________ 
4) Como 
𝑝 (
1
3
) = 3 (
1
3
)
3
+ 2 (
1
3
)
2
+ 5 ∙
1
3
− 2 = 
1
9
 + 2 ∙ 
1
9
 +
5
3
 − 2 = 
 1+2+15−18 
9
 = 0, então 𝑥 =
1
3
 é raiz de 𝑝(𝑥) . 
_________________________________________________________________________________ 
5) Fatorando o polinômio em ℝ. 
Vamos aplicar o algoritmo de Briot-Ruffini: 
 3 2 5 −2 
1
3
 3 (3 ×
1
3
) + 2 = 3 ( 
1
3
× 3) + 5 = 6 (
1
3
× 6) − 2 = 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) 
AtP1 – 2017-1 (oportunidade 1) GABARITO SIMPLES Pré-Cálculo 
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Como o discriminante de 𝑥2 + 𝑥 + 2 é 1 − 4 × 1 × 2 = −7 < 0 , então o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 2 
é irredutível em ℝ e a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
 𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 2 = (𝑥 −
1
3
) (3𝑥2 + 3𝑥 + 6) = 3 (𝑥 −
1
3
) (𝑥2 + 𝑥 + 2) = (3𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2). 
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