PC 2017 1 EP01 Polinomios GABARITO

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EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 
1 de 9 
 
CEDERJ 
Gabarito EP 01 
Pré-Cálculo 
________________________________________________________________________ 
Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que 
morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor 
originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe ao 
certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo da 
Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro pede que se 
divida o número 
10
 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, multiplicando 
cada parte por si mesma, seja igual a 
58
". Resolva-o. 
Resolução: 
Sejam 
zex
, tais que 
10 zx
 e 
5822  zx
. 
Mas, 
xzzx  1010
. 
Substituindo 
xz  10
 em 
5822  zx
, obtemos: 
58)10( 22  xx
. 
Mas, 
 042202582010058)10( 22222 xxxxxxx
 









2
1610
12
8410010
12
2114)10(10
02110
2
2 xxx
37
2
410


xoux
. 
Então, dividimos 
10
em duas partes, tal que: 
3710 
 e 
5894937 22 
. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 2: Uma fatia com 
3
 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um 
cubo, deixando um volume de 
3cm196
. Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
 
Resolução: 
Seja 
IRx
, tal que o lado do cubo mede 
x
cm. Se uma fatia de 
3
 cm de espessura é cortada 
paralelamente a uma das faces desse cubo, o novo paralelepípedo tem a seguinte forma: base 
quadrada de lado medindo 
x
cm. Altura medindo 
3x
cm 
O volume desse paralelepípedo é 
32 cm196)3()3(  xxxxx
. 
Resolvendo a equação 
196)3(2  xx
: 
01963196)3( 232  xxxx
 
Como 𝑥 é medida, 𝑥 é positivo. Os divisores positivos do termo independente são 1, 2, 4, 7, 14,
28, 49, 98, 196. Testando se são raízes: 
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13 − 3 ∙ 12 − 196 = −194 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 1 não é solução da equação dada.. 
0200196232 23 
. Logo, 
2x
 não é solução da equação dada. 
43 − 3 ∙ 42 − 196 = −180 ≠ 0. Logo, 𝑥 = 4 não é solução da equação dada.. 
0196737 23 
. Logo, 
7x
 é solução da equação dada. 
Dividindo 
1963 23  xx
 por 
7x
obtemos 
2842  xx
. Mas, para esse trinômio do segundo 
grau, 
2842  xx
, temos 
011216281444 22  cab
. Portanto, 
2842  xx
não tem 
raízes reais. Assim, a única raiz solução real da equação 
01963 23  xx
 é 
7x
. 
Logo, o comprimento do lado do cubo original é 
7x
 cm. 
_________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 
2
2
1
2)( 35  xxxxp
 b) 
5)( xt
 c) 
53)( 2
1
3
1
 xxxq
 
d) 
32)( 134   xxxxs
 e) 
5
34
)(
3
25



x
xx
xr
. 
Resolução: 
a) É um polinômio de grau 5 com coeficientes reais. 
b) É um polinômio constante, grau zero. 
c) e d) Não são polinômios, pois há expoentes da variável 
x
que não são números inteiros, 
maiores ou iguais a 0. 
e) Não é um polinômio, mas sim um quociente de polinômios. 
_________________________________________________________________________ 
 
Exercício 4: Determine os valores de 
cba ,,
, números reais, que tornam os polinômios 
)( xp
e 
)( xq
iguais: 
)1()1()1()1()(  xxcxxbxxaxp
e
53)( 2  xxq
. 
Resolução: Os polinômios 
)( xp
 e 
)( xq
 são iguais se os seus coeficientes 
ia
da i-ésima potência 
2,1,0, ix i
, são iguais. 
Como, 
)1()1()1()1()1()( 222  xcxbxbxaxaxxcxxbxxaxp
 
cxbaxcbaxp  )()()( 2
. 
Então, para que os polinômios e sejam iguais, é preciso que: 








5
0
3
c
ba
cba









5
352
c
ba
a
 51  ceba
 
________________________________________________________________________ 
)( xp )( xq
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Exercício 5: Faça as operações indicadas para identificar os coeficientes do polinômio na variável 𝑥 e 
diga quais são os seus coeficientes. Para realizar as operações indicadas, use produtos notáveis que 
são casos particulares do Binômio de Newton. 
a) 
23 )14(2)14(  xx
 b) 
44)( xhx 
. 
Resolução: 
a) 
 )1816(2)11431)4(3)4(()14(2)14( 2322323 xxxxxxx
 
3288064216321124864 23223  xxxxxxxx
. 
Acima foram usados os produtos notáveis: 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 e (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3. 
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas o produto notável 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
Para iniciar, podemos colocar o fator comum (4𝑥 + 1)2 em evidência, 
−(4𝑥 + 1)3 − 2(4𝑥 + 1)2 = (4𝑥 + 1)2(−(4𝑥 + 1) − 2)) = (16𝑥2 + 8𝑥 + 1) (−4𝑥 − 3) = 
= −64𝑥3 − 48𝑥2 − 32𝑥2 − 24𝑥 − 4𝑥 − 3 = −64𝑥3 − 80𝑥2 − 28𝑥 − 3. 
Coeficientes: grau 3 é −64; grau 2 é −80; grau 1 é −28; grau 0 é −3. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
43223443223444 464464)( hhxhxhxxhhxhxhxxxhx 
. 
Acima foi usado o produto notável (𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 
A seguir, apresentamos outra maneira de fazer, usando apenas a propriedade distributiva e o 
produto notável (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. 
(𝑥 + ℎ)4 − 𝑥4 = (𝑥 + ℎ)2(𝑥 + ℎ)2 − 𝑥4 = (𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2)(𝑥2 + 2ℎ𝑥 + ℎ2) − 𝑥4 = 
= 𝑥4 + 2ℎ𝑥3⏟ 
(1)
+ ℎ2𝑥2⏟
(2)
+ 2ℎ𝑥3⏟ 
(1)
+ 4ℎ2𝑥2⏟ 
(2)
+ 2ℎ3𝑥⏟ 
(3)
+ ℎ2𝑥2⏟
(2)
+ 2ℎ3𝑥⏟ 
(3)
+ ℎ4 − 𝑥4 = 
= 4ℎ𝑥3 + 6ℎ2𝑥2 + 4ℎ3𝑥 + ℎ4 
Coeficientes: grau 3 é 4ℎ; grau 2 é 6ℎ2; grau 1 é 4ℎ3; grau 0 é ℎ4. 
 
Digite a equação aqui. 
________________________________________________________________________ 
 
Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios e
)( xs
nos seguintes 
casos: 
a) 
3423)( 345  xxxxxp
 
12)( 3  xxxs
 
b) 
121143)( 2345  xxxxxxp
 
)54()( 22  xxxxs
. 
 
Resolução: 
a) 
3423 345  xxxx
 
123  xx
 
)( xp
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235 363 xxx 
 
83 2  xx
 
3438 234  xxxx
 
xxx  24 2
 
3558 23  xxx
 
8168 3  xx
 
11215 2  xx
 
Neste caso, o quociente é
83)( 2  xxxq
 e o resto é 
11215)( 2  xxxr
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
121143 2345  xxxxx
 
234 54 xxx 
 
345 54 xxx 
 
1x
 
12119 234  xxxx
 
234 54 xxx 
 
121145 23  xxx
 
Neste caso, o quociente é
1)(  xxq
 e o resto é 
121145)( 23  xxxxr
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Determine 
IRa
, de modo que o polinômio 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23 
 
seja divisível por 
1)(  xxs
e em seguida, obtenha o quociente da divisão. 
 
Resolução: 
O polinômio será divisívelpor 
1)(  xxs
, se e 
somente se 
0)1( p
. 
Mas, 
3104231241)23(1)12(1)1(0 23  aaaaaaaaap
. 
Donde, 
10
3
a
 e, portanto, 
10
12
10
11
10
4
10
3
)( 23  xxxxp
. 
Vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 
)( xp
por 
1)(  xxs
. 
 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23 
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10
12
10
11
10
4
10
3

1
 
10
12
10
1
10
3

0
 
 
O quociente procurado é: 
10
12
10
1
10
3
)( 2  xxxq
. 
________________________________________________________________________ 
 
Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 
352)( 2  xxxp
 b) 
352)( 23  xxxxp
 
c) 
1)( 4  xxp
 d) 
611692)( 234  xxxxxp
 
e) 
158)( 24  xxxp
 f) 
4472)( 234  xxxxxp
 
g) 
1)( 4  xxp
. h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 
 
 
Resolução: faremos a resolução com detalhes, para que vocês possam entender os resultados que 
foram usados. 
 
a) 
)3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
5
(2352)( 22  xxxxxxxxxp
. Bastou encontrar as 
raízes do trinômio do segundo grau. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 
352)( 23  xxxxp
. 
Como 
)( xp
é um polinômio de grau ímpar 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 
3
, que são: 
3,3,1,1 
. Calculando 
)3(,)3(,)1(,)1( pppp 
, vemos que não são zero. Logo esse 
polinômio não tem raízes inteiras. 
As possíveis raízes racionais, não inteiras, desse polinômio são os divisores do termo independente 
, que são: 
3,3,1,1 
, divididos pelos divisores, diferentes de 
1,1 
, do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 
2,2 
. Calculando 
)
2
1
(p
, vemos que 
0)
2
1
( p
. 
Dividindo 
)(xp
por 
2
1
x
, obtemos; 
3
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)3()12()3()
2
1
(2)622()
2
1
(352)( 22223  xxxxxxxxxxxxxp
. 
O trinômio do segundo grau, 
)3( 2  xx
, não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 
)1()1()1()1()1(1)(1)( 222224  xxxxxxxxp
. 
Observe que estamos tratando o polinômio 
1)( 4  xxp
, como um trinômio do segundo grau na 
variável 
2x
 e que 
1
e
1
são as raízes desse trinômio do segundo grau. O trinômio do segundo 
grau, 
12 x
, não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos reais. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d) 
611692)( 234  xxxxxp
. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 
6
, que são: 
6,6,3,3,2,2,1,1 
. Calculando 
)1(p
, vemos que 
0)1( p
. 
Dividindo 
)(xp
por 
1x
, obtemos; 
)617112()1(611692)( 23234  xxxxxxxxxp
. 
Como 
617112)( 231  xxxxp
é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz 
real. 
As possíveis raízes inteiras do polinômio 
617112)( 231  xxxxp
são os divisores do termo 
independente , que são: 
6,6,3,3,2,2,1,1 
. Calculando 
)2(1p
, vemos que 
0)2(1 p
. 
Dividindo 
)2(1p
por 
2x
, obtemos; 
)372()2(617112)( 2231  xxxxxxxp
. 
 
Agora é só tentar fatorar o polinômio 
372)( 22  xxxp
, o que é possível e resulta em 
)3()12()3()
2
1
(2)
2
3
2
7
(2372)( 222  xxxxxxxxxp
. 
Portanto a fatoração procurada é: 
)3()12()2()1(611692)( 234  xxxxxxxxxp
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e)
)5()5()3()3()5()3(158)(158)( 2222224  xxxxxxxxxxxp
 
Observe que estamos tratando o polinômio 
158)( 24  xxxp
, como um trinômio do segundo 
grau na variável e que 
3
e
5
são as raízes desse trinômio do segundo grau. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f) 
4472)( 234  xxxxxp
. 
6
2x
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As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 
4
, que são: 
4,4,2,2,1,1 
. Calculando , vemos que . 
Dividindo 
)(xp
por 
1x
, obtemos; 
)482()1(4472)( 23234  xxxxxxxxxp
. 
Como 
482)( 231  xxxxp
é um polinômio de grau impar, 3, possui pelo menos uma raiz real. 
As possíveis raízes racionais do polinômio 
482)( 231  xxxxp
 são os divisores do termo 
independente 
4
, que são: 
4,4,2,2,1,1 
, divididos pelos divisores do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 
2,2,1,1 
. Logo, as possíveis raízes racionais de 
)(1 xp
são: 
2
1
,
2
1
,4,4,2,2,1,1 
. Aqui estamos incluindo também as raízes inteiras, que também 
são racionais. Calculando 
15)1(1 p
, 
5)1(1 p
, 
40)2(1 p
,
24)2(1 p
,
180)4(1 p
, 
140)4(1 p
, 
2
17
)
2
1
(1 p
, 
0)
2
1
(1 p
, vemos que 
0)
2
1
(1 p
. 
Dividindo 
)(1 xp
por 
2
1
x
, obtemos; 
)82()
2
1
(482)( 2231  xxxxxxp
. 
Como o trinômio do segundo grau, 
82 2 x
, não possui raízes reais e é, portanto, irredutível nos 
reais, nada mais temos a fatorar, logo, 
)82()
2
1
()1(4472)( 2234  xxxxxxxxp
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) 
1)( 4  xxp
 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (isso significa que o coeficiente do termo 
de maior grau é 1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do 
termo independente 
1
, que são: 
1,1 
. 
Como 
02)1()1(  pp
então esse polinômio não tem fatores lineares na sua fatoração em 
IR
 
correspondentes às raízes racionais, o polinômio poderá ter raízes irracionais ou não ter raízes reais. 
Por outro lado, 𝑥4 + 1 = 0 ⟺ 𝑥4 = −1 , mas ∀𝑥 ∈ ℝ, 𝑥4 ≥ 0, logo essa equação não tem 
solução para 𝑥 ∈ ℝ e a sua fatoração só terá fatores quadráticos irredutíveis. Podemos tentar a 
seguinte fatoração, onde 
a
e
b
são números reais: 
1)()2()()1()1(1)( 234224  xbaxbaxbaxxbxxaxxxp
. 
Da igualdade de polinômios, segue que: 
 
)1(p 0)1( p
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2202
0202
0
22 











aaa
ab
ab
ab
ba
ou
2a
. 
 
Se 
2a
 então 
2b
 . 
Se 
2a
 então 
2b
 . 
 
Portanto, a fatoração pedida é: 
)12()12(1)( 224  xxxxxxp
. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 
Como esse polinômio tem coeficientes inteiros e é mônico (o coeficiente do termo de maior grau é 
1), se tiver raízes racionais, elas têm que ser inteiras e estar entre os divisores do termo 
independente−1, que são: 1,−1. 
𝑝(1) = 1 − 2 + 2 − 1= 0 , 1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
𝑝(1) = 1 + 2 − 2 − 1 = 0 , −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Logo, 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Devemos determinar 𝑞(𝑥) que tem grau 2. Para 
isso, vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini duas vezes seguidas. 
 1 −2 0 2 −1 
1 1 −1 −1 1 0 
−1 1 −2 1 0 
𝑞(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 1, determinando suas raízes, 𝑥 =
2±√4−4
2
= 1, 𝑥 = 1 é raiz dupla de 𝑞(𝑥) e 
𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1)2. Portanto 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)2 = (𝑥 − 1)3(𝑥 + 1). 
________________________________________________________________________ 
Exercício 9: Será 
3x
 um fator do polinômio 
2187)( 7  xxp
? Justifique sua resposta. 
Resolução: 
Se 
3x
 for um fator do polinômio 
2187)( 7  xxp
, então 
)()3()( xqxxp 
, e assim, 
𝑥 = −3, será uma raiz do polinômio 
2187)( 7  xxp
. Basta então verificar se 
0)3( p
. 
Calculando: 
0218721872187)3()3( 7 p
. 
Portanto, 
3x
 é um fator do polinômio 
2187)( 7  xxp
. 
________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum número 
racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
EP 01 – 2017-1 – Gabarito – Polinômios Pré-Cálculo 
9 de 9 
Resolução: 
Consideremos 
x
 um número racional. Se este número racional 
x
, é igual ao seu cubo mais um, 
então podemos escrever que 
13  xx
. Mas, 
011 33  xxxx
. 
Considerando o polinômio 
1)( 3  xxxp
, sabemos que as possíveis raízes racionais desse 
polinômio são inteiras, pois o coeficiente do monômio de mais alto grau, 
3x
, é. 
1
. Essas possíveis 
raízes inteiras estão entre os divisores do termo independente, 
1
, que são 
1
 e 
1
. 
Calculando 
)1(p
 e 
)1(p
: 
 
011111)1()1()1( 3 p
 e 
01111111)1( 3 p
. 
Vemos, portanto, que esse polinômio não possui raízes racionais. 
Concluímos assim, que não existe número racional que seja igual ao seu cubo mais um.