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Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula 2012 Responsabilidade é saber que cada um de meus atos vai me construindo, vai me definindo, vai me inventando. Ao escolher o que quero fazer vou me transformando pouco a pouco. (Savater, 1998, p. 111). Programa Funções de uma Variável Real, Limite, Continuidade, Derivada de uma Função. Objetivos Criar habilidades matemáticas para utilização na vida profissional. Obter conceitos matemáticos e raciocínio lógico para situações do dia a dia. Aprender a usar noções de Cálculo Diferencial como forte ferramenta de trabalho. Ao final do componente curricular o aluno deve ser capaz de: Identificar funções através de tabelas, gráficos e leis de associação; Construir gráficos de funções; Calcular limites utilizando as técnicas desenvolvidas; Calcular derivadas utilizando as técnicas desenvolvidas; Aplicar os conceitos na resolução de problemas. Sistema de avaliação O processo de avaliação obedecerá aos critérios estabelecidos pelo Regimento da Universidade. A – se o aluno atingiu todos os objetivos do componente curricular; B – se o aluno atingiu a maioria dos objetivos do componente curricular; R – o aluno não atingiu o mínimo dos objetivos do componente curricular. A avaliação da participação do aluno será feita através de listas de exercícios (em classe ou extraclasse). A entrega de todas as listas de exercícios no prazo determinado é obrigatória para atribuição de um conceito. Esse conceito poderá substituir uma prova. Serão realizadas três provas individuais e escritas, nas quais o aluno, para ser aprovado, deverá obter conceito A ou B. Para o aluno que obtiver conceito R será aplicada uma prova substitutiva ao final do semestre envolvendo o conteúdo da(s) prova(s) em que obteve R; neste caso será aprovado se obtiver conceito A ou B. Bibliografia - GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2002. v. 1. - ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. 6ª ed., vol. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000. - HUGHES, Hallett et al. Cálculo e Aplicações. SãoPaulo: Edgard Blucher, 1999. v. 1. - SWOKOWSKI, E. W.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1994. - LEITHOLD, L.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1982. v. 1. - ÁVILA, G.. Cálculo 1: Funções de Uma Variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1983. - SIMMONS, G. F.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1987. - LARSON, R. E. et al. Cálculo com aplicações. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1998. e-mail: roseli.paula@prof.uniso.br Material de apoio( www.uniso.br/ead Apoio ao presencial – Graduação Inscrições Entrar cálculo 1- Profa. Roseli Configurar( Alterar senha( Ctrl C e Ctrl V “Dicas” para aprender a matéria e ser aprovado na disciplina ... Sofia lembrou-se muito bem de situações nas quais sua mãe ou o professor da escola tinha /tentado lhe ensinar alguma coisa para a qual ela não estava receptiva. Todas as vezes que ela havia realmente aprendido alguma coisa, isto só tinha acontecido graças a uma ajuda que partira dela mesma. (Gaarder, 1995, p. 74). Funções. Antes de definirmos o que é uma função, vamos relembrar o que é uma relação. É comum no nosso dia-a-dia relacionar duas ou mais grandezas ou situações, exemplos: as pessoas com quem nos relacionamos, a temperatura num certo dia, a quantidade de material usado numa obra, e muito mais. Esses tipos de relações podem ser representados por diagramas, veja alguns exemplos: 1º Relação entre os casais: 2º Relação entre autor e obra: 3º) Um número com seu dobro: Vamos fazer? 4º A medida do lado de um quadrado e sua respectiva área: Vamos fazer? Produto Cartesiano Definição: Sendo A e B conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B, e indicamos AxB, o conjunto formado por todos os pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento ao conjunto B. Usamos a notação: AxB = {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B} . Exemplo: A = {0, 1, 3} e B = {0,-1} Temos: AxB = {(0,0); (0,-1); (1,0); (1,-1); (3, 0); (3, -1)} Faça agora o diagrama de flechas: Relação binária Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos de relação binária de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB. Tal subconjunto expressa uma condição ou um conjunto de condições que permitem determinar, se x está ou não relacionado com y, onde x ∈ A e y ∈ B. Exemplo: Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3} e B = { 4, 5, 6, 8}. a) Determine o subconjunto R do conjunto AxB, tal que y ∈ B é o dobro de x ∈ A. R = {(x,y) ∈ AxB | y = 2x} b) Determine o subconjunto R de AxB, tal que y ∈ B é três unidades a mais que x ∈ A. R = {(x,y) ∈ AxB | y = x + 3} Gráfico cartesiano. Como sabemos os gráficos são amplamente utilizados nas mais diversas atividades de nosso cotidiano, como em jornais, relatórios, pesquisas, etc. O plano cartesiano é composto por duas retas perpendiculares, também chamados de eixos, e o ponto de intersecção é chamando de origem do sistema. A reta horizontal (eixo x) é chamada de eixo das abscissas, e a reta vertical (eixo y) é chamada de eixo das ordenadas. Nesse sistema, todo ponto do plano corresponde a uma dupla de números reais, que é chamado de coordenadas, onde a primeira coordenada é representada no eixo das abscissas (x) e a segunda coordenada é representado no eixo das ordenadas (y), um ponto genérico é P = (x, y). Exemplo: Marque os seguintes pontos: A = (2,3), B = (-2,4), C = (-1,-3), D = (3,-2), E = (0,-2), G = (2, 0), H = (-3,0) e O = (0,0). Exemplo: Determine as coordenadas dos pontos do gráfico a seguir. Exemplos: 1) Construa o gráfico da função y =2x. X F(x)=2x -4 -8 -2 -4 0 0 1 2 2 4 3 6 2) Construa o seu gráfico, determine o seu domínio e a imagem da função f(x)= . Como f(x)= , temos que Dom(f)=R ={x R/x ≥ 0} X F(x)= 0 0 1 1 2 3 4 2 9 3 Pelo gráfico, podemos ver que Im f = {y(|R |y( 0}. Isto é claro, pois sabemos que o valor de uma raiz quadrada é um número positivo. Assim vemos que, função é uma das idéias essenciais em Matemática. Através de “fórmulas”, “regras”, tabelas ou gráficos, as funções traduzem em linguagem matemática as relações que ocorrem no nosso dia-a-dia. Uma função é uma lei que associa a cada elemento de um conjunto o chamado domínio, um único elemento de um conjunto B, chamado contradomínio, neste caso, se denotarmos a função por f entre o conjunto A será denotado por Dom(f) e podemos representar esta definição por: f:A→B. Assim para cada x A existe um único y B e denotaremos y=f(x) e estes elementos formarão a imagem da função f, que será denotada por Im(f) este é Im(f)={y B/y=f(x) para x A}. Exemplos: 1) Seja x um número real. A fórmula que calcula a soma desse número com o seu quadrado é S = x + x2. Por exemplo, se x é o número 3, o valor da soma S é 12, pois S = 3 + 32 = 12. Para x = -1 temos S = (-1)+(-1)2 = -1+1= 0. Para x = 5 temos S = 5+52 = 5+25 = 30. Vemos que o valor da soma S depende do valor de x, sendo assim, escrevemos S = S(x). Logo S(3) = 12 indica o valor da soma para x = 3. 2) Uma locadora A aluga carro popular nas seguintes condições: uma taxa fixa de R$50,00 e mais R$ 0,30 por quilômetro (km) rodado. Expresse o custo da locação em função dos km rodados. (Considere c = custo da locação e x = n° de km rodados). Analisando o problema, temos que: Para x =2 km( c = 50 + 0,30. 2 = 50,60 Para x =3 km( c = 50 + 0,30. 3= 50,90 Para x =100 km( c = 50 + 0,30. 100 = 80,00 Para x km( c = c(x) = 50+0,30.x, com x ( 0. Vemos que o custo da locação depende do n°de km rodados, ou seja, o custo c é dado em função de x. Escrevemos c = c(x). Assim, c(100) = 80 indica que o custo da locação para 100km é de R$ 80,00. 3) A distância percorrida por um móvel é dada por st=5t2+70t (em km), a partir do repouso (t=0 h). Expresse a velocidade média em função do tempo t (em h). vm = = =5t+70 se t ( 0. Ou seja, a velocidade média é dada pela função vm= 5t+70, t(0. Para t = 0 (repouso), a distância percorrida é s0 = 5.02+70.0 = 0. Para t = 1 h, a distância percorrida é s1 = 5.12+70.1 = 5+70 = 75 e a velocidade média é vm = 5.1+70 = 75 km/h.Para t = 2 h, a distância percorrida é s2 = 5.22+70.2 = 20+140 =160 e a velocidade média é vm = 5.2+70 = 80km/h. 4) Em dez de 2000 as temperaturas em Chicago foram baixas . As temperaturas mais altas nos dias entre 19 e 28 de dezembro estão na tabela: Temperatura diária mais alta em Chicago, de 19 a 28 de dez de 2000 Data 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Temperatura (°F) 20 17 19 07 20 11 17 19 17 20 Dom(f) = {19,20,21,22,23,24,25,26,27,28} Im(f) = {7,11,17,19,20} H= temperaturas e t = datas (H =f(t). H = f(19) = 20 H = f(21) =? H = f(20) = ? H = f(25) = ? H = f(28) = ? H = f(22) = ? 5) Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha R$ 500,00 de salário fixo, mais R$ 10,00 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, estabeleça uma fórmula que expresse o seu salário mensal. Esboce o gráfico. 6) Em um determinado país, o imposto de renda é 10% para rendas de até R$ 1.000,00. A parte da renda que excede R$ 1.000,00 é tributada em 20%. a) Qual o imposto pago para uma renda de R$600,00? E para R$1.200,00? b) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y como função de x. Exemplo: Vejamos algumas relações representadas pelos diagramas de flechas e vamos determinar quais delas representam uma função. Restrições quanto ao DOMÍNIO: Fração (em que o x está no denominador): neste caso, fazemos o denominador diferente de zero. Raiz de expoente par: neste caso, fazemos o radicando (a função que está dentro da raiz) maior do que ou igual a zero ( 0). Logaritmo: neste caso, fazemos o logaritmando maior do que zero (>0). Função dada por um problema real: neste caso, devemos analisar a variável de acordo com o que ela representa. Exemplos: 1) f(x) = x-3 ( 0(x ( 3 Df= {x(|R | x (3} 2) f(x) = 4-2x ( 0( -2x ( 0-4( -2x ( -4 (-1)( 2x ( 4( x ( 2 D = {x(|R| x ( 2} 3) f(x) = D= |R (pois não há restrições em raízes ímpares) 4) f(x) = 3x- 7 D= |R (pois não há restrições) Raiz ou zero de uma função Raiz ou zero de uma função é o valor do seu domínio (x), tal que a f(x) = 0. Se o gráfico de uma função tem ponto no eixo das abscissas, então esse ponto tem ordenada nula (y = 0), logo x é raiz da função. Exemplos: Determine a raiz da função f(x): f(x) = 2x+8 f(x) = f(x) = (5x-20)³ TIPOS DE FUNÇÕES Função Constante É uma função do tipo y = k, onde k é um número constante. O domínio é o conjunto dos números reais: D =|R e a imagem é o conjunto formado pela constante k: Im f = {k}. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto (0,k). Exemplos: 1) y = f(x)=3 2) y = f(x) = -5 y y x 3 x -5 Função Afim Consideremos agora a função f:R→R dada por f(x)=ax+b, onde a R* e b R. Esta função recebe o nome de função afim, onde a é chamado de coeficiente angular. O domínio e a imagem de uma função linear é o conjunto dos números reais: D = Im = |R. O gráfico dessa função é uma reta. Para esboça-lo basta determinar 2 pontos distintos (A escolha de x é arbitraria) . Características importantes da função afim. O coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular da reta, Veremos melhor o que é o coeficiente angular da reta mais adiante. O coeficiente “b” é chamado de coeficiente linear da reta, e este determina onde a reta intercepta o eixo y, pois quando x=0 temos que f(x)=ax+b assume o valor f(x)=b. A função afim é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0. Conhecendo dois pontos (x0, y0) e (x1, y1) de uma reta, a função correspondente é dada por y – yo = a(x-x0), onde a = . O valor de a coincide com o valor de a na função linear y = ax+b e representa a variação proporcional de y em relação à uma variação ocorrida em x. Exemplo: Observando o gráfico podemos identificar alguns pontos da reta, por exemplo, P0= (0,5) e P1= (1,7). Assim, calculamos o coeficiente angular: a = = .E depois substituímos na fórmula y – yo = a(x-x0) ( y –5 = 2 (x-0)( y-5 = 2x( y = 2x+5. Exemplos: 1) Seja f(x) =2x+1, construa seu gráfico e determine o domínio e a imagem: Dom=R. Como o gráfico de f é uma reta, para construí-lo basta conhecermos 2 de seus pontos. Im(f)=R x F(x)=2x+1 0 1 2 5 2) Construa o gráfico das seguintes funções lineares: a) f(x)= -2x+1 x= = Observe que quando a<0 a função é decrescente. b) f(x)=2x-1 x= = Observe que quando a>0 a função é crescente. c) f(x)=-2x-1 x= = Como a<0 a função é decrescente Estudo do sinal da função afim. O estudo do sinal da função afim consiste em descobrir os valores de “x” para quais: f(x) > 0 , f(x) = 0 , f(x) < 0 Exemplo 1: Faça o estudo do sinal da função f(x) = 2x -4. Vamos primeiramente descobrir o valor de “x” tal que f(x) = 0 Temos: 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2 Como o valor do coeficiente a > 0, então a função é crescente. Temos então: Para x> 2,temos que f(x)>0. Para x= 2, temos que f(x)=0. Para x <2, temos que f(x)< 0. Exemplo2: Faça o estudo do sinal da função f(x) = -2x +3 Exercícios: 1) Faça o estudo do sinal de f e construa o gráfico: a) F(x) = 2-x b) F(x) = 4x-6 c) F(x) = 2x/3 -6 d) F(x) = -4x+4 2) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de certo vegetal, em função do tempo, e em condições diferentes de luminosidade. Nos dois casos, a função linear y = ax, ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência “a” como taxa de absorção (geralmente, medida em micromols por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se a1 é a taxa de absorção no claro e a2 a taxa de absorção no escuro: a) Determine a1.a2 b) Construa um gráfico onde as 4 primeiras horas o experimento foi realizado no escuro e nas 4 horas seguintes no claro, destacando o domínio, e imagem da função. 3) Determine a função dada pelo gráfico: Valor da função no ponto e taxa de variação Dado valor de x podemos calcular y = f(x), fazendo a substituição de x pelo valor que está dentro dos parênteses. Exemplo: f(x) = 4x-5 f(1) = 4.1-5 = 4-5 = -1 f(2) = 4.2-5 =8-5 = 3 f(a) = 4a-5 f(a+b) = 4(a+b) -5 = 4a+4b-5 f(x²) = 4x²-5 f(x+h) = 4(x+h) – 5 = 4x+4h-5 De maneira geral f(x+h)–f(x) recebe o nome de variação da função entre x e x+h. Para obtermos informações mais precisas sobre uma função f, definimos a sua taxa de variação entre x e x+h por . No caso da função linear f(x)= a.x + b a taxa de variação , é sempre constante e igual a “a”. Isto é, = a. Exercício: Demonstre a afirmação acima Função Quadrática São funções do tipo f(x)=ax²+bx+c onde a, b, c R e a≠0. O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos reais: D=|R. Exemplos: f(x)=x² -5x+6 é uma função quadrática onde a=1, b=-5 e c=6 g(x)=-2x²+4x -8 é uma função quadrática onde a=-2, b=4 e c=-8 h(x)=x²+1 é uma função quadrática onde a=1e c=6 (b=0) q(x)=2x²+xé uma função quadrática onde a=2 e b=1 (c=0) O gráfico dessa função é uma parábola. Para esboçá-lo é necessário conhecer: 1°) Os pontos de cruzamento com o eixo x, que são determinados fazendo y = 0, ou seja, são os pontos que são solução da equação ax2 + b x +c = 0. 2º) Os pontos de cruzamento com o eixo y, que são determinados fazendo x = 0, ou seja, é o ponto y = c. 3º) O vértice da parábola V = (xV, yV) onde xV = e yV = 4º) Concavidade: Quando a>0 a concavidade da parábola está voltada para cima, e quando a<0, para baixo. Obs: Vértice do gráfico é o ponto do gráfico onde a variável x recebe é o ponto médio entre x e x . Isto é: x = Assim: yv =f(x )= = = = f(x )= = = Logo o vértice da parábola é . Exemplos: Construir o gráfico e determinar a imagem das seguintes funções 1) f(x)=x²-5x+6 i) intersecção com o eixo x: x²-5x+6 =0 ( ( = 25-24=1 x= x =2 x = 3( (2,0) e (3,0) são as intersecções com o eixo x ii) vértice x = = e yv= f(x )= = - ( vértice: iii) intersecção com o eixo f(x)(y = 6 iv) concavidade para cima, pois a = 1>0 X f(x) 2 0 3 0 2.5 0.25 0 6 -1 2 5 6 Im(f)=[ 2) y = -x² i) intersecção com o eixo x ( y =0( -x²=0 ( x =0 é o ponto (0,0) ii) vértice ( x =0 f(x )=0 vértice (0,0) iii) intersecção com o eixo f(x) x = 0( f(x) = c = 0 é o ponto (0,0) iv) a=-1<0 → concavidade para baixo X f(x) 0 0 1 -1 1 -1 2 -4 Im=(- ,0] 3) y = x² +1 i) intersecção com o eixo x x²+1=0 Δ=0²-4=-4<0 não admite raiz real não intercepta o eixo x ii) vértice x = = vértice: f(x )= = iii) intersecção com o eixo f(x)( x=0 ( f(x) = c= 1 é o ponto (0,1) iv) a=1>0 concavidade para cima x f(x)=x²+1 0 1 1 2 -1 2 2 5 -2 5 Im= (1, ] Para a função linear f(x)= ax+b vimos que a taxa média de variação, dada por: é sempre constante e igual a “a”. Considere agora a função quadrática f(x)=x²-5x +6 e calcule a taxa de variação nos intervalos [0,2] e [4,6]: •Intervalo [0,2] h=2 Taxa de variação = = •Intervalo [4,6] h=2 Taxa de variação = = Observe que os intervalos [0,2] e [4,6] possuem a mesma amplitude, ou seja, para ambos h=2, no entanto as taxas de variação são diferentes. Logo, para a função quadrática (e para todas as outras ainda não vistas) a taxa de variação não é constante. Daí, para todas estas funções, devem se referir taxa média de variação no intervalo [a,b]. Crescimento: Seja y = f(x) uma função quadrática: Se a > 0 então f é crescente em [ ,+() e f é decrescente em (-(, ]. Se a < 0 então f é decrescente em [ ,+() e f é crescente em (-(, ]. Estudo do sinal da função quadrática. O estudo do sinal da função afim consiste em descobrir os valores de “x” para quais: f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0 Exemplo1: Faça o estudo do sinal da função f(x) = x²- x- 2 Vamos primeiramente descobrir o valor de “x” tal que f(x) = 0.Temos: x² - x - 2 = 0 ( Temos x1 = -1 e x2 = 2 Como o valor do coeficiente a > 0, então a parábola é voltada para cima. Exemplo 2: Faça o estudo da função f(x) = -x²+4. Função polinomial As funções já estudadas (linear e quadrática) são casos particulares da função polinomial de grau n: p (x)=a x + a x +...+ a x + a x + a x+a , onde a , a ,..., a , a , a , a �� EMBED Equation.3 R e a ≠0 e n N*. O domínio das funções polinomiais é o conjunto dos reais: D=|R. Exemplos de funções polinomiais f(x) = 2x -1 g(x) = 5x² +2x -1 h(x) = 3x³ -2x² +x Gráfico de funções polinomiais de grau ímpar e ≥ 3 Gráfico de funções polinomiais de grau par e ≥ 2 Exemplos: y =2x4+5x3-4x +6 y = x3 y = x8-2 Para traçar o gráfico das funções acima devemos determinar vários pontos (x,y), pois se não marcamos um número de pontos suficiente, todos os gráficos ficam com a aparência de uma reta; e reta é o gráfico apenas da função linear. Lista de exercícios 1) Escreva uma fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo: a) Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de 40 reais de visita mais 20 reais por hora de mão de obra,. Então o preço y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do número x de horas de trabalho ( mão de obra ). b) Um triângulo tem base fixa de 6 cm e altura variável de x cm. A área y, em cm , é dada em função de x. 2. O gráfico abaixo expressa a temperatura em graus Fahrenheit em função da temperatura em graus Celsius. Encontre a equação que expressa os graus Fahrenheit em função dos graus Celsius; Determine o valor aproximado da temperatura na escala Celsius correspondente a zero graus Fahrenheit. 3. Determine a área de um retângulo como função de seu comprimento, considerando que seu perímetro é 20 metros. 4. Um projétil é lançado verticalmente para cima e seu movimento é descrito pela equação , onde é a altura, em metros, atingida pelo projétil segundos após seu lançamento. a) Calcule a altura máxima atingida pelo projétil. b) Determine o tempo que o projétil permanece no ar. 5.Com uma cartolina 20cm x 16cm vamos construir uma caixa. Então, retiramos cada canto quadrado de lado x cm. Coloque as dimensões que estão faltando: Encontre a área lateral da caixa construída, em função de x. Esboce o gráfico cartesiano da função e determina o domínio e a imagem da mesma. Encontre o volume da caixa construída, em função de x. 6. Dê o domínio e esboce o gráfico: a) f(x) = 3x b) f(x) = -x +1 c) f(x) = -2 d) f(x) = x + e) f (x) = f) f(x) = g) f(x) = 7. Dada a função f(x) = - x + 2 x, a) Determine o domínio, as raízes e os intervalos onde ela é crescente ou decrescente. b) Calcule , x 8. Esboce o gráfico de f e estude o sinal: a) f(x) = x-3 b) f(x) = 2 x +1 c) f(x) = - 3x +2 d) f(x) = -2x 9. Determine o domínio da função: a) f(x) = b) f(x) = c) f(x) = ln(x²-6x+5) d) f(x) = e) f(x) = f) f(x) = g) f(x) = h) f(x) = Esboce o gráfico, determine as raízes e estude o sinal: a) f(x) = x + 1 b) f(x) = (x-1) c) f (x) = -x + 2 d) f(x) = 2x - 3x e) f(x) = x -5x+6 f) f(x) = - x +2x -3 g) f(x) = x +6x + 9 h) f (x) = - x + 4 Simplifique , x , sendo: a) f(x) = x b) f(x) = x c) f(x) = x+1 d) f(x) = , x e) f(x) = x -3x f) f(x) = - 3x +1 g) f(x) = - 7 x h) f(x) = 3 Simplifique , ( h , sendo: a) f(x) = 2 x + 1 b) f( x) = x -2x +1 c) f(x) = x d) f (x) = 5 e) f( x) = - x + 5 f) f( x) = g) f( x) = -2x +3x h(x) = -2x 13. Dada a função: f(x) = calcule: a) f ( 0 ) b) f ( 5 ) c) f ( - 2 ) d) f ( ) e ) f ( 2 x ) f ) f ( - x ) 14. Considere a função definida por f(x) = a) Esboce o gráfico b)Determine a imagem c) Calcule f (-3) e f ( 5 ) 15. Determine a função polinomial do primeiro grau que satisfaz f ( 0 ) = 4 e f ( 2 ) = 0 16. Considere a função f ( x ) = a) Determine o domínio. b) Que elementos do domínio têm comoimagem o número 9 ? c) Existe x tal que f ( x ) = 0 ? d) Calcule a variação média da função entre x = 2 e x = 4 17. Considere a função y = f ( x ) dada pelo gráfico ao lado a) Qual o domínio e a imagem? b) Calcule f ( 0 ) c) Quais são as raízes? d) Em que intervalos a função é crescente? E decrescente? 18. Uma função f : R R é tal que f ( 3x ) = 3. f ( x ) , x R e f ( 9 ) = 45. Calcule f ( 1 ) . 19. Se f ( x + 3 ) = f ( x ) + 3 x, x R, determine f ( 8 ) – f ( 0 ). 20. Se f ( x – 1 ) = x , então qual é o valor de f ( 2 )? 21. Seja f uma função tal que f (x+3) = x + 1, x R. Determine f ( 7 ) . 22. O lucro de uma empresa é dado pela função L ( x ) = 100(10-x)(x-2), onde x é a quantidade vendida. a) Para que valores de x, o lucro é positivo? b) Esboce o gráfico de L(x). b) 23. Um móvel é lançado verticalmente e sabe-se que no instante t ( em segundos), sua altura h (em metros) é dada por h ( t ) = 4 t - t , 0 . a) Esboce o gráfico de h b) Qual a altura máxima atingida? c) Em que instante esta altura máxima é atingida? 24) Observe o seguinte gráfico e responda as questões propostas: 24.1 Determine as raízes da equação x²-x-6=0 24.2 Determine as raízes da equação 2x-2=0 24.3 Determine os valores de x tais que 2x-2≥0 24.4 Determine os valores de x tais que 2x-2≤0 1.5 Determine os valores de x tais que 2x-2>0 1.6 Determine os valores de x tais que 2x-2<0 1.7 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥0 1.8 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤0 1.9 Determine os valores de x tais que x²-x-6>0 1.10 Determine os valores de x tais que x²-x-6<0 1.11 Determine os valores de x tais que x²-x-6≥2x-2 1.12 Determine os valores de x tais que x²-x-6≤2x-2 1.13 Determine os valores de x tais que x²-x-6>2x-2 1.14 Determine o valores de x tais que x²-x-6<2x-2 1.15 Determine os valores de x tais que x²-x-6=2x-2 25) Dada a função f(x) = , determine o domínio. Calcule f(4), f(9), f(1). 26) Dada a função f(x) = , determine o domínio e complete a tabela abaixo: X 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 2 10 100 1000 10000 1/x 27) Dada a função y = x3, determine o domínio e complete a tabela: X 0 1 -0,5 -2 Y = x3 28) Dada a função g(x) =x2. Calcule g(2), g(a) e g(x+1). 29) Seja h(x) = 3x2+5x. Simplifique h(x+3) –h(x). 30) Dada a função f(x) = x2. Simplifique a expressão [f(x+E)-f(x)] /E, com E(0. 31) Simplifique a expressão[f(a+E)-f(a)] / E, com E ( 0, sendo f(x) =3x-5. 32) Seja f(x) = -2+x2, complete a tabela e simplifique [f(2+h)-f(2)] /h, com h(0. X -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 f(x) 33) Determine o domínio das seguintes funções: a) f(x) = e) f(x) = i) f(x) = b) f(x)= f) f(x)= + x j) f(x) = c) f(x) = log (2x-4) g) f(x) = k)f(x) = d) f(x)= h) f(x) = l) f(x) = 34) Esboce o gráfico das funções em um mesmo sistema de eixos cartesianos: 13.1) a) y = 3x b) y =3x+1 c) y = 3x-2 13.2) a) y = x+1 b) y =x c) y = x+2 13.3) a) y = -x b) y = -x-1 c) y = -x+1 13.4) a) y = 2x+3 b) y = 2x-2 c) y = 2x 35) Encontre as raízes das funções: a) y = 3-6x b) y = x4 –16 c) y = x2 – 5x +6 d) y = 9x+3 e) y = 1-x2 f) y = x Função Racional São funções do tipo y = , onde f(x) e g(x) podem ser funções dos tipos anteriores, com g(x) 0. Quanto ao domínio, temos a restrição, o denominador da fração, g(x) tem que ser diferente de zero: D={x |R | g (x) 0}. Exemplos: y = ( D = { x(|R | x ( 2}. y = ( D ={x(|R | x(-1 e x(1}. y = (D ={ x(|R | x(0}. Para obter um melhor traçado dos gráficos acima, devemos fazer uma análise mais completa da função, utilizando recursos ainda não estudados. Função Potência São funções do tipo f(x)=K.x onde K R* e c R*-N Exemplos: f(x)= x f(x)= 0 0 1 1 2 3 4 2 9 3 16 4 g(x)= x g(x)= 0 0 1 1 -1 -1 8 2 -8 -2 27 3 27 -3 Função Exponencial Observe a seguinte tabela, de um valor (R$ 10,00) aplicado em uma poupança, a uma taxa mensal fixa de 1% ao mês. Observe que inicialmente temos: R$ 10,00 = 10.(1,01)º E depois de 1 mês temos: R$ 10,10 = 10.(1,01)¹ Depois de 2 meses:R$ 10,201 = 10,10.(1,01) = 10.(1,01).(1,01) = 10.(1,01)² 10.(1,01) E de maneira análoga, depois de n meses teremos que valor é dado por: Que é uma função exponencial de base 1,01, na variável n. Tempo R$ Tempo R$ 0 10,00000 90 24,00000 1 10,10000 91 24,73119 2 10,20100 92 24,97850 3 10,30301 93 25,22879 4 10,40604 94 25,48057 5 10,51010 95 25,73538 6 10,61520 96 25,99273 7 10,72135 97 26,25266 8 10,82857 98 26,51518 9 10,83685 99 26,78033 10 11,04622 100 27,04814 Na função exponencial f(n) = 10.(1,01) a constante 10 é o valor onde o gráfico desta função intercepta o eixo y. O gráfico desta função é: Observe, agora, este outro exemplo, sobre um saque mensal de 2%, sobre um capital de R$ 200,00. Tempo R$ 0 200,00000 1 196,00000 2 192,08000 3 188,23840 4 184,47363 5 180,78416 6 177,16848 7 173,62511 8 170,15260 9 166,74955 10 163,41456 100 26,52391 200 3,51759 400 0,06187 Agora, a expressão desta nova função exponencial é f(n) = 200.0,98 Observe que, ou ainda, 0,98 = 1- 0,02=1 - 2% O gráfico desta função é: Dada uma função exponencial, na forma geral f(x) = K.a a constante K é o valor onde o gráfico de f(x) intercepta o eixo f(x) é a base da função. Observe que devemos exigir a≠0 e a≠1 e além disso a>0. Nestas condições, é fácil concluir que o domínio de f(x) é o conjunto R. Observe que nunca teremos f(x)=0 matematicamente. De maneira geral vejamos alguns exemplos de funções exponenciais. Se desejarmos saber, por exemplo, no caso da poupança f(n) = 10.(1,01)n (*) quando teremos R$ 15, 00, ou seja, determinar n tal que f(n)=15 ou 10.(1,01)n =15 devemos resolver uma equação exponencial. Para isto, é necessário conhecermos os logaritmos. Logaritmos Definição: Sejam a>0, a≠1 e β>0 dois números reais quaisquer. Então existe um único α R tal que a = β, chamado logaritmo de β na base a, denotado por log (. Assim, α = log β a =β O logaritmo na base “e”, onde e=2,718... é indicado por ln ( , ou seja: α = ln β e =β e recebe o nome de logaritmo natural. Algumas propriedades do logaritmo: (1) log (x.y)= log (x)+ log (y) (2) log (x )=y. log (x) (3) log �� EMBED Equation.3 = log (x)- log (y) (4) log (x)= Daí, para resolver (*), fazemos: log (10.(1,01) )=log (15)( log 10+log(1,01) =log(15)( n.log (1,01) = log (15)–log(10) n = (n = 41 Obs: O logaritmo decimal é denotado por log ( = log (. Como vimos anteriormente, os logaritmos desempenham um importante papel na resolução de equações ou inequações exponenciais. Por outro lado, temos a função logarítmica definida por f:R �� EMBED Equation.3 R tal que f(x)=log (x) onde a>0 e a≠1. Os gráficos das funções: f(x)= ex (Dom R), g(x)= ln(x) (Dom R+), h(x) = log(x) (Dom R+) são dados abaixo: Da definição de logaritmo, temos que α = log β a = β. Assim, y = α = log x e = x, isto é, y =ln x e = x, e disto concluímos que: e = x Observações: A função exponencial y = ax não tem raízes, pois ax ( 0 para todo x.A função exponencial é sempre positiva, isto é, y = ax>0, pois a > 0. Se a > 1 a função exponencial y = ax é uma função crescente; Se a<1 então y = ax é uma função decrescente. Exemplos: y =2x .Como o domínio é D = |R, podemos substituir x por qualquer valor real. Por exemplo: Para x = 1( y =21 =2 Para x = -1( y = 2-1 = ½ Para x = 0( y = 20 = 1. Para x = 2( y = 22 = 4 Para x = -2( y = 2-2 = ¼ y = x = 0 ( y = ( ½ ) 0 = 1 x =1 ( y = ( ½ )1 = ½ x = 2 ( y = ( ½ )2 = ¼ x = -1 ( y = ( ½ )-1 = 2 x = -2 ( y = ( ½ )-2 = ¼ y = e x (e ). x = -5 ( y = e-5 = 0,006... x = -2( y = e-2 =0,13... x = -1( y = e-1 = 0,36... x = 0( y = e0 = 1 x = 1( y = e1= 2,71... x= 2 ( y = e2 = 7,38... x = 5( y = e5 = 148, 41... Observe que à medida que x cresce y = ex cresce muito mais rapidamente. E quando, à medida que x decresce y = ex se aproxima de zero (mas nunca é igual a zero). Funções Trigonométricas São as funções f(x)=sen(x), g(x)=cos(x), h(x)=tg(x) e suas descendências. Os gráficos são dados abaixo: Função definida por mais de uma sentença. Função definida por mais de uma sentença, é toda função onde para cada intervalo do domínio de f(x) existe uma função g(x). Exemplo: Para x ≤ -2, temos f(x) = 2x Para -2 x ≤ 1, temos f(x) = x² Para x > 1, temos f(x) = 3 Essa função pode ser escrita da seguinte forma. O gráfico: OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g duas funções reais de variável real. Definimos a soma, a diferença, o produto e o quociente de f e g, respectivamente, pelas seguintes expressões: f +g = f(x) + g(x) ii) f-g = f(x) – g(x) iii) f.g = f(x).g(x) iv) f /g = f(x) /g(x), g(x) ( 0 Para estas operações, temos que o domínio será dado por Dom(f)∩Dom(g). Exemplo: Seja f(x)= e g(x)=3x. Assim: f+g= + 3x Dom(g)=R Dom(f) = Dom(f+g)= Dom = v) Composição de funções: Dados os conjuntos A, B e C, e as funções f de A em B definida por y=f(x) e g de B em C definida por z = g(y). Chama-se função composta de g com f, a função h=g f, de A em C, definida por z = g(f(x)). Simbologia: Costumamos usar f∘g(x) ou f(g(x)) para representar a composição de funções. Observe o diagrama: Exemplos: 1) Sejam f(x)= e g(x)=3x. Calcular f○g e g○f. f○g(x)=f(g(x))=f(3x) = = g○f(x) = g(f(x))=g( ) = 3. 2) Se f(x) = x3 –1 e g(x) = x2 +2x, então: (gof)(x) = g(f(x)) = g(x3 –1) = (x3 –1)2+2(x3 –1) = x6 –2x3+1+2x3-2 = x6 –1 (fog)(x) = f(g(x)) = f(x2 +2x) = (x2 +2x)3 –1= x6 + 6x5 + 12x4 + 8x3-1. 3) Se f(x) = e g(x) = 3x+4, então: (gof)(x) = g(f(x)) = g( )=3 +4 (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x+4) = . 4) Se f(x) = 2x-3 e g(x)=2 então: (fog)(x) = f(g(x)) = f(2) = 2.2-3 =1 (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x-3) = 2. vi) Deslocamento: Seja f(x) uma função real. A função f(x+C) é obtida da função f(x) pelo deslocamento de C unidades no eixo x. ●C>0→deslocamento para a esquerda ●C<0→deslocamento para a direita A função f(x+C) A função f(x)+C é obtida da função f(x) pelo deslocamento de c unidades no eixo f(x). ●C>0→deslocamento para cima ●C<0→deslocamento para baixo Exemplo: seja f(x)=x³, obtenha os gráficos de (x-2)³ e x³+2. Exemplo: Um esboço do gráfico da função f(x)= é dado abaixo. A partir dele obtenha um esboço do gráfico da função g(x)= Exemplo: O gráfico da abaixo g(x)=x² é dado abaixo. Obtenha o gráfico da função h(x)=(x+3)²+2. Exemplo: Se f(x) = 2x3 e g(x) = 4x+1, então: (f +g)(x) = 2x3 + 4x+1 (f-g)(x) =2x3 –( 4x+1)= 2x3 - 4x-1 (f.g)(x) = 2x3 .(4x+1)= 8x4+2x3 (f /g)(x) = 2x3 / (4x+1) para x ( ¼. FUNÇÃO INVERSA Se y =f(x) é uma função estritamente crescente ou estritamente decrescente no intervalo I, então existe uma função x = f -1 (y), chamada de função inversa, tal que f(f -1(y)) = y e f -1(f(x)) = x. Onde o domínio da função f é a imagem da função f -1 e a imagem de f é o domínio da f -1. Para obter a expressão de f -1(x) devemos isolar a variável x em y = f(x) e depois trocamos as variáveis. O gráfico de f e f-1 são simétricos em relação à bissetriz y =x do primeiro e terceiro quadrantes. Exemplos: y = f(x) = x + 4 é estritamente crescente então y = x + 4( x = y – 4 (x = f –1(y) = y – 4 ( y = x-4 é a inversa. y = f(x) = 2x é estritamente crescente então y =2x ( x= y/2 ( x = f –1 (y) = y/2 ( y = x/2 é a inversa . 3) y = f(x) = ex é estritamente crescente, então existe a inversa de f, que é dada por f –1(y) = x = ln y, pois f -1(f(x)) = f –1(ex) = ln ex = x; f(f –1(y)) = f(ln y) = eln y = y. Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra. y = f(x) = x2 não é estritamente crescente (ou decrescente) em |R, por isso devemos tomar um intervalo de crescimento ou decrescimento. Por exemplo, considerando a função y = f(x) = x2 definida no intervalo I =(0,+() (estritamente crescente) temos y =x2 ( x = f –1(y) = + ( y = + é a função inversa da f. Se tivéssemos tomado o intervalo decrescente I =(-(,0) teríamos y = x2 ( x = f –1(y) = - ( y = - como função inversa de f. Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 Calcule: f(-1) e f(1/2) sendo g(0), g(2) e sendo sendo e sendo e Segue-se quatro funções. Em cada caso ache f(5), de o domínio e o contradomínio: f(x) = 2x + 3 x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 4,9 5,6 6,2 c) Seja y =f(x)=x2 +2. Ache o valor de y quando x = 0. Quanto é f(3)? Quais valores de x dão a y o valor 11? Existem valores de x que dêem a y o valor 1? Seja f(x) = 3x - 5. Quanto é f(1)? Ache o valor de y quando x = 5. Ache o valor de x quando y = 4. Ache a taxa média de variação de f entre x = 2 e x = 4. A posição d = S(t), de um carro é dada na tabela abaixo: T (Seg.) 0 5 10 15 20 25 30 S(t) (m) 0 10 18 35 60 86 136 Ache a velocidade média do carro entre t = 0 e t = 15 e entre t = 10 e t = 30. Ache a distância percorrida pelo carro entre t = 10 e t = 30. Dê unidades para suas respostas. O que significam cada uma delas matematicamente? Combine os gráficos abaixo com as equações dadas: a) y = x – 5 b) y = -3x + 4 c) y = 5 d) y = -4x – 5 e) y = x + 6 f) y = x/2 Quais das seguintes tabelas de valores poderiam corresponder a funções lineares? Para cada uma das tabelas que podem corresponder a uma função linear, ache uma fórmula para essa função. a) x 0 1 2 3 y 27 25 23 21 b) t 15 20 25 30 s 62 72 82 92 c) u 1 2 3 4 w 5 10 18 28 Cada uma das funções seguintes dá a quantidade de uma substância no tempo t. Em cada caso, dê a quantidade presente inicialmente, diga se a função representa crescimento ou decrescimento exponencial, e dê a taxa percentual de crescimento ou decrescimento: a) b) c) d) As seguintes funções dão as populações de quatro cidades, com o tempo t em anos: i) ii) iii) iv) Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual a taxa percentual de crescimento? Qual cidade tem a maior população inicial? Qual é essa população? Alguma cidade está diminuindo de tamanho? Se sim, qual(is)? Associe as funções h(s), f(s) e g(s), dadas na tabela abaixo, com as fórmulas: Supondo que a, b e c são constantes. S 2 3 4 5 6 H(s) 1.06 1,09 1,13 1,16 1,19 S 1 2 3 4 5 F(s) 2,20 2,42 2,66 2,93 3,22 S 3 4 5 6 7 g(s) 3,47 3,65 3,83 4,02 4,22 Observação: os valores das funções foram arredondadosa duas casas decimais. Encontre uma possível fórmula para cada uma das seguintes funções dadas pelas tabelas: a) x 0 1 2 3 f(x) 4,30 6,02 8,43 11,80 b) t 0 1 2 3 G(t) 5,50 4,40 3,52 2,82 Decida se cada uma das seguintes tabelas de valores poderia corresponder a uma função linear, ou a uma função exponencial, ou nenhuma dessas coisas. Nos dois primeiros casos encontre uma fórmula para a função: a) x 0 1 2 3 f(x) 10,5 12,7 18,9 36,7 b) T -1 0 1 2 s(t) 50,2 30,12 18,072 10,8432 c) u 0 2 4 6 g(u) 27 24 21 18 Escreva uma equação para o gráfico obtido deslocando verticalmente o gráfico de uma unidade e duas unidades horizontalmente, e esboce o gráfico. Qual e equação se a ordem dos deslocamentos forem invertidas, e esboce o gráfico. Os gráficos são iguais? Sejam e . Calcule: a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)). Sejam e . Calcule: a) f(2) + g(2) b) f(2)g(2) c) f(g(2)) d) g(f(2)). 16) Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha R$ 500,00 de salário fixo, mais R$ 10,00 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, estabeleça uma fórmula que expresse o seu salário mensal. Esboce o gráfico. 17) Em um determinado país, o imposto de renda é 10% para rendas de até R$ 1.000,00. A parte da renda que excede R$ 1.000,00 é tributada em 20%. a) Qual o imposto pago para uma renda de R$600,00? E para R$1.200,00? b) Chamando de x a renda e de y o imposto de renda, obtenha a expressão de y como função de x. 18) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos: A = (0,2) e B =(1,3) A = ( -1,0) e B = (4,2) A = (2,1) e B = (0,4) 19) Um encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 80,00 mais R$ 20,00 por hora de trabalho. Um encanador B cobra um valor fixo de R$ 50,00 mais R$ 30,00 por hora de trabalho. A partir de quantas horas de trabalho é preferível contratar os serviços do encanador A? Faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de eixos coordenados. 20) A transportadora Vapt cobra por seus serviços R$ 800,00 fixos mais R$ 20,00 o quilômetro rodado. A transportadora Vupt cobra R$ 700,00 fixos mais R$ 25,00 o quilômetro rodado. A partir de quantos quilômetros rodados é preferível usar a transportadora Vapt? Faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de eixos coordenados. 21) Dada a função f(x) = 5x+2, calcule: a) f(2) c) f(0) e) f(0,2) g) f(-1/5) b) f(-2) d) f(-1) f) f( ) h) f(a+b) 22) Dada a função f(x) = 2x-5, obtenha: a) o valor de x quando f(x) = 0. b) o valor de x quando f(x) = 1. 23) Dada a função f(x) = ax+5, determine o valor de a sabendo que f(1) = 1. 24) Determine o domínio das seguintes funções: f(x) = h) f(x) = f(x) =log (3-x) i )f(x) = f(x) = j) f(x) = f(x) = k) f(x) = f(x) = l) f(x) = f(t) = m) f(x) = ln (4x-2) f(x) =log2 (5-10x) n) f(x) = 25) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções: a) f -2 0 2 5 b) f(x) = x2 –1 c) f(x) = 2x-4 d) f(x) = -x2+4 e) f(x) = ln(x) f) f(x) = log 0,5 (x) g) f(x) = (0,2)x 26) Dadas as funções f(x) = 2x+1 e g(x) = x3, realize as seguintes operações: a) f(x) + 2g(x) b) f(x) /g(x) c) fog(x) d) gof(x) e) f -1(x) f) g -1(x) 27) Dada a função f(x) = x2 – 3x+2, determine: a) as raízes, b) o valor mínimo da função, c) o cruzamento com o eixo y, d) os intervalos de crescimento e decrescimento, e) o gráfico. 28) Dadas as funções f e g determine as compostas fog e gof: a) f(x) = e g(x) = . b) f(x) = 4x-5 e g(x) = . c) f(x) = x3 – 2 e g(x) = . d) f(x) = 3x+4x2 e g(x) = 3. e) f(x) = -1 e g(x) = . 29) Determine a função inversa das funções abaixo e esboce os gráficos das funções acima e de suas respectivas funções inversas. a) f(x) = x-6 b) f(x) = x2 –1 , x( 0 c) f(x) = x3 d) f(x) = 2x+6 e) f(x) = 5- 3x LIMITE Em matemática, o limite de uma função é um conceito fundamental em cálculo e analise sobre o comportamento desta função próxima a um valor particular de sua variável independente. Informalmente, uma função f atribui uma variável dependente f(x) a cada variável independente x. A função tem um limite L em uma variável independente p se f(x) é "próximo" a L sempre que x é "próximo" a p. Em outras palavras, f(x) torna-se mais e mais próxima a L à medida que x se move mais e mais próximo a p. Mais especificamente, quando f é aplicado a cada variável independente suficientemente próximo a p, o resultado é um valor de variável dependente que é arbitrariamente próximo a L. Se as variáveis independentes "próximas" a p são tomadas a valores que sejam muito diferentes, o limite é dito não existir. Nosso objetivo é desenvolver uma linguagem que nos permita descrever o comportamento dos valores de uma função f nas proximidades de um ponto p. Exemplo: Seja f(x) = 1 / x, temos: x 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 (( 1/x 10.000 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 (0 À medida que o valor de x vai aumentando, o valor de 1/x vai cada vez mais se aproximando de zero, indicamos esse fato por: = 0 (limite de 1/x quando x tende a mais infinito é zero). + ( (mais infinito) não é um número; é um símbolo usado para indicar que um valor cresce indefinidamente.Seja uma função real definida para todo numero real em algum intervalo aberto contendo, exceto possivelmente no próprio “a”. O limite de f(x) quando x tende a “a” será L, o que denotamos por se dado ξ>0, existe δ>0 tal que se |x-a|<δ então |f(x)-L|<ξ. Graficamente: Para uma grande parte das funções temos que Exemplo: Agora, se f(x) não está definida em x=a, fatoramos f(x) ou observamos os valores desta quando x se aproxima de “a”por valores menores que “a” e por valores maiores que “a”. Exemplo: Seja Dom(f)=R- observando as tabelas x 0,9 0,99 0,999 0,9999 ( x<1) f(x) 4,8 4,98 4,998 4,9998 x 1,1 1,01 1,001 1,0001 ( x>1) f(x) 5,2 5,02 5,002 5,0002 Concluímos, tanto para x<1 como para x>1 que : Exemplo: Seja Dom(f)=R- Fatorando f(x) obtemos: assim, No 1º exemplo calculamos o limite de uma função quando x tende a um certo valor “a” pela esquerda, que denotamos por e quando x tende a “a” pela direita denotamos por Estes limites recebem o nome de limites laterais e �� EMBED Equation.3 se e só se = =L Exemplo: Considere a função sgn(x)= �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Algumas propriedades de limite: Sendo e então: • e • • e • Exemplos: 1) f ( x ) = . Assim, = 2 e =0. 2) f(x) = x2 4 = ? ( = 4 e = 4 ( = 4 f(x) = . 1 = ? ( = 1 e = 0 ( não existe Observe o gráfico e responda: a) D(f) = b) Im(f) = c) limx→ 3 f(x)= d) limx→ 3+f(x)= e) limx→ 3f(x)= f) limx→ 1 f(x)= g) limx→ 1+f(x)= h) limx→ 1f(x)= i) limx→3 f(x)= j) limx→3 f(x)= k) limx→3f(x)= l) limx→1 f(x)= m) limx→1 f(x)= n) limx→1f(x)= Aproximação intuitiva Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nuncavai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também. Exemplo1: Seja a função f: ℜ → ℜ, definida por f(x) = x + 1. Calcule Resolução: Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: CONTINUIDADE Intuitivamente, uma função é contínua em um ponto x = p, com p no domínio da função se o seu gráfico não apresenta “salto” ou “buracos” em x = p. Exemplos: As funções f(x) = x2 e g(x) = têm gráficos como abaixo: 2 O gráfico de f(x) = x2 não apresenta “saltos” ou “buracos” em nenhum ponto. Isso ocorre, pois f é contínua em todo ponto do seu domínio. Já o gráfico da função g(x) apresenta “salto” em x = 2 (somente). Logo g não é contínua em x = 2, mas, a função g é contínua, nos demais pontos do seu domínio. Dizemos que uma função f é contínua no número real “a” se e somente se: i) f(a) existe; ii) existe; iii) existe; Além disso, se f e g são contínuas em um número “a” então: i) f g também são contínuas em “a”. ii) f.g também é contínua em “a”. iii) também é contínua em “a”, desde que g(a) 0. Exemplo: f(x)=2x+3 é contínua para todo número real Exemplo: f(x)= , não é contínua para x=1, pois f(1) não existe. Daí f(x)= = Logo o gráfico de f(x) é a reta y=2x+3. “os gráficos das funções contínuas não apresentam saltos” Observação: As funções lineares, quadráticas, polinomiais, constantes, módulos são contínuas. Logo para calcular o limite de qualquer uma dessas funções em b, basta calcular o valor da função no ponto b. Uma função só pode ser continua num ponto do seu domínio. Se o ponto não pertence ao domínio da função, tal função será descontínua nesse ponto, pois f não está definida neste ponto. Exemplos: x+2 = 1+2 = 3 x4 +x-1 = 04 + 0 – 1= -1 6 = 6 (limite de um número é o número) -x+2 =-2+2 =0 Propriedades k = k ( k constante) x n = p n (k. f(x)) = k. f(x) (f(x) g(x)) = f(x) g (x ) (f(x).g(x)) = f(x) . g (x ) �� EMBED Equation.3 = (se g(x) e g (x ) diferentes de zero) 7. (a . x + b) = a . p + b 8. �� EMBED Equation.3 = Caso particular: “ ” Exemplos: 1. = = “ ” que é uma INDETERMINAÇÃO. Mas, esses limites podem ser resolvidos usando a simplificação de frações. = = (x+3) = 3+3 = 6. 2. �� EMBED Equation.3 = = “ ” ( INDETERMINAÇÃO �� EMBED Equation.3 = = (x+1) = 1=1 =2. 3. = = “ ” ( INDETERMINAÇÃO �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = 5 = 5. 4. �� EMBED Equation.3 = = “ ” ( INDETERMINAÇÃO �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = 2x = 2.(-2) =- 4. LIMITES INFINITOS Considere o seguinte limite: �� EMBED Equation.3 . Vamos calcular o valor da função para valores que se aproximam de 2 . Como x 2+ então x é maior que 2 e está se aproximando de 2. Assim x = 3 ( =1 x = 2,5 ( = =2 x = 2,1( = = 10 x = 2,0001 ( = = 10.000 x = 2, 0000001 ( = = 10.000.000 Observe que quanto mais x está próximo de 2, maior fica o número 1 / x-2. Assim, quando x 2+ , isto é, quando x se aproxima de 2 pela direita, f(x) =1 / x-2 cresce muito rapidamente, superando qualquer valor fixado. Descrevemos esse comportamento por: �� EMBED Equation.3 = + (+ ) = mais infinito (- ) = menos infinito Seja f(x)= , pensando nos valores de f(x) quando x se aproxima de zero é fácil concluir que: e = Graficamente: É fácil concluir também, que sendo r>0 um inteiro então = = , se r é par , se r é ímpar Assim, podemos enunciar mais algumas propriedades sendo c R e e , com c≠0 então: •Se c>0 e se f(x) tende a zero pela direita então . •Se c>0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então . •Se c<0 e se f(x) tende a zero pela direita então . •Se c<0 e se f(x) tende a zero pela esquerda então . Exemplo: Seja f(x)= . Temos que i) =2.1=2 ii) (assumindo valores negativos) iii) (assumindo valores positivos) De i) e ii) concluímos que De i) e iii) concluímos que . Logo, não existe . Exemplo: Seja f(x)= Observe que x²-2x-3=(x-(-1)).(x-3)=(x+1).(x-3) não pode ser “calculado por substituição”. Logo devemos estudar os limites laterais. i) ii) �� EMBED Equation.3 (assumindo valores negativos) iii) �� EMBED Equation.3 (assumindo valores positivos) . Logo, não existe Na prática podemos proceder da seguinte maneira: 1. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 2+( x>2( x =2,1( = 10> 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = + . 2. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 2-( x<2( x =1,9( = -10< 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = - . Como �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 temos que �� EMBED Equation.3 não existe. 3. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 3+( x>3( x = 3,1( = -20 < 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = - . 4. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 3-( x<3( x =2( = 2 0> 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = + . Como �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 então �� EMBED Equation.3 não existe. 5. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 0+( x>0( x =0,1( = - 200 < 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = - 6. �� EMBED Equation.3 = = = ( ? ) x 0-( x<0( x = -0,1( =- 200< 0. Portanto �� EMBED Equation.3 = - Como �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 , temos que �� EMBED Equation.3 =- . Outras propriedades dos limites infinitos: Se e então Se e então Se e então Se e então Se e então Se e então LIMITES NO INFINITO: Calcule . Se x + então o valor de x cresce arbitrariamente. x = 1.000( = =0,001; x = 1.000.000( = 0,000001; x = 1.000.000.000 ( = 0,000000001( 0 Observe que quanto maior é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela direita). Assim = 0. Calcule . Se x - então x decresce arbitrariamente. x=-1.000( = =-0,001; x=-1.000.000( =-0,000001;x=-1.000.000.000( =- 0,000000001( 0 Observe que quanto menor é o valor de x, menor é o valor de 1/x, se aproximando cada vez mais do zero (pela esquerda). Assim = 0. Propriedades: (simbologia) 1. (+ ) + (+ ) = + 8. (- ) + (- ) = - 2. (+ ).(+ ) = + 9. (- ).(- ) = + 3. (+ ) + k = + 10. (- ) + k = - 4. (+ ) – k = + 11. (- ) – k = - 5. (+ ) .k = 12. (- ) .k = 6. (+ )n = + 13. (- )n = 7. (+ ) . (- ) = - 14. 15. Indeterminações 1) (+ )- (+ ) = ? 2) (- ) - (- ) = ? 3) 0. = ? 4) 00 = ? 1 = ? 6) 0 = ? 7) = ? 8) =? Exemplos x 3 +3 x –1 = ( + )3 + 3. (+ )-1 = (+ ) + (+ )-1 = + -2x = -2 (+ ) =- x 3 +3 x –1 = ( - )3 +3.(- )-1 = (- ) + (- )-1 = - -2x = -2( - ) = + . Caso particular “ ” �� EMBED Equation.3 = = ( ??? INDETERMINAÇÃO Mas, essa indeterminação pode ser eliminada através de um artifício: Dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x, que aparece na função. Assim: �� EMBED Equation.3 = �� EMBEDEquation.3 = �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = = = 0. _____________________________________________________________ 6. �� EMBED Equation.3 = = ( ??? �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = = = 4. �� EMBED Equation.3 = ( ??? �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = = = = + . _________________________________________________________________ 8. . (dividindo o denominador e numerador por x) ___________________________________________________________________ 9. . (dividindo o denominador e numerador por x³) __________________________________________________________________ LIMITES INFINITOS NO INFINITO São os limites do tipo: Exemplo: Calcule Portanto Exemplos: Calcule, se existir, os seguintes limites: a) b) c) d) não existe e) f) onde ( g) e como acima h) onde não existe i) j) l) Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 1) Calcular os seguintes limites finitos: i) r) j) s) k) t) l) u) m) v) n) w) o) x) h) p) y) 2) Calcular os seguintes limites infinitos: a) h) b) i) c) j) d) k) e) l) f) m) g) n) 3) Calcular os seguintes limites no infinito: a) f) b) g) k) c) h) l) d) i) e) j) 4) Verifique se as funções abaixo são contínuas: a) d) b) e) c) f) 5) Sendo, f(x) = 3x, f(x) = -x, f(x) = -x +1, f(x) = 2x+1, f(x) = -2x+3, f(x) = 3, f(x) = -2, , e , calcule . 6) Sendo calcule, se existir, . 7) Sendo calcule, se existir: a) . b) . 8) Sendo calcule, se existir: a) . b) . 9) Sendo calcule se existir . 10) Sendo calcule se existir . 11) Sendo calcule se existir . 12) Sendo calcule se existir . 13) Sendo calcule se existir . 14) Sendo calcule se existir . 15) Seja f(x) = , calcule se existir �� EMBED Equation.3 (dica: analise os limites laterais). 16) Seja f(x) = , calcule se existir f(x). 17) Calcule, se existir �� EMBED Equation.3 . 18) Calcule, se existir �� EMBED Equation.3 . IV. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL Vimos que dada uma função real f(x), a sua taxa média de variação no intervalo é dada pelo quociente (1) Geometricamente, tg( )= (1) Esta taxa de variação é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (a,f(a))e (b,f(b)). Esta reta recebe o nome de reta secante ao gráfico de f(x) pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Esta taxa média de variação significa a variação sofrida por f(x), para que esta função passe do valor f(a) para o valor f(b), quando x passa de a para b. Para as funções lineares a taxa média de variação é sempre constante, o que não acontece com as demais funções. Exemplo: x y=2x-1 1 1 3 5 5 9 x y=x2 1 1 3 9 5 25 Agora, TMV pode nos conduzir a conclusões erradas. Por exemplo vamos estudar a função y = x² no intervalo . Para este intervalo temos: Assim, poderíamos ser levados a pensar erradamente que, por exemplo: f(-1)²=(-1)²=1 f(0)=f(-1)+TMV=1+1=2 errado f(1)=f(0)+TMV=2+1=3 errado f(2)=f(1)+TMV=3+1=4 e assim estamos supondo que o comportamento desta função y=x² é como o de uma reta, o que sabemos não é correto. Por este motivo, o ideal é trabalharmos com intervalo suficientemente pequeno, ou seja, devemos aproximar os valores de a e b. Quando “a” e “b” estiverem suficientemente próximos temos a Taxa Instantânea de Variação que é matematicamente definida como: , e como b a (b tende para a) temos a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a. Graficamente: a taxa instantânea de variação da função f(x) no instante x = a, popularmente conhecida derivada da função no ponto x = a, é a inclinação da reta tangente ao gráfico f(x) no ponto (a,f(a)). Esta derivada, no ponto x=a, é usualmente denotada por f `(a), ou seja: Em um instante qualquer x, a derivada da função f(x) é dada por: ou A derivada f ’(x) pode ser denotada também . Observe que quando calculamos f `(x), a derivada da função f(x) em um instante qualquer x, temos uma nova função f(x), ou seja, derivada de uma função é também uma função. Exercício resolvido: Seja f(x)=x². Calcule f `(1). Sabemos que . Logo Portanto =2, significando que quando x =1 a tendência de f(x) é crescer 2 unidades. Vimos que a derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)). é o ângulo formado pelo eixo x e a reta tangente e é tal que tg( )= . Assim, podemos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto (a,f(a)), desde que seja conhecido. Exemplo: Seja f(x) = x². Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) para x =1. Agora o ponto (a,f(a)) é (1,1). Vimos que f`(1)= (. Logo a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1) é: y=f(a)x+b, ou seja,y=f(1)+b=2x+b( y=2x+b Como a reta é tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,1), temos que este ponto pertence a esta reta. Assim, de y =2x+b obtemos:1=2 +b ou b=-1 Logo, a equação procurada é y =2x-1. Exemplo: a) Seja f(x)=k (constante), calcule f `(2), f `(5), f `(-10). �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 Da mesma forma f `(-10)=0 b) Seja f(x)=ax+b (função linear), calcule f `(2), f `(5), f `(-10) Da mesma forma f ´(-10)=a Exercício resolvido a) Mostre que se f(x)=k então f `(x)=0, para todo. �� EMBED Equation.3 b) Mostre que se f(x)=ax+b então f `(x)=a, para todo x. �� EMBED Equation.3 Assim, temos as duas primeiras regras de derivação: (k)`=0 (ax+b)`=a Exemplo: a) Seja f(x)=10. Calcule f `(x)( f `(x)=0, pela 1ªregra. b) Seja f(x)=-5x+7. Calcule f `(x)( f `(x)=-5, pela 2ªregra. c) Seja f(x)=x. Calcule f `(x)( f `(x)=1, pela 2ªregra. Exercícios resolvidos 1) Mostre que se f(x)=x² então f ´(x)=2x para todo x. 2) Mostre que se f(x)=x3 então f ´(x)=3x2 para todo x. Assim, temos outras duas regras: (x²)’=2x (x3)’ = 3x2 Observe que: (x)’=(x¹)’=1=1.x (x²)’=2x (x3)’ = 3x2 e assim podemos deduzir que: (x )’=4x³ (x5)’ = 5x4 De maneira geral, temos a regra: (x )’ =n.x , para todo n Q Observe que nesta regra, dependendo do valor de n, podemos ter restrições sobre x. Por exemplo, se n = então , daí ou seja . Logo (x )`= ,isto é, ( )`= e assim devemos exigir que x>0. Também, se n= então Daí , isto é, . Uma vez que . Observe que neste caso devemos exigir x 0. Outras três regras são: Se f(x) e g(x) são funções reais deriváveis e k é uma constante então: (f(x)+g(x))’=f ’x)+g’(x) (f(x)-g(x))’=f ’(x)-g’(x) (k.f(x))’=k.f ’(x) Uma aplicação da derivada Sabemos que a velocidade média é dada pelo quociente: vm = , que é uma taxa média de variação. Se a posição é dada em função do tempo t por y = f(t) temos que a velocidade média entre os instantes t0 e t1 é determinada por vm = = = . Agora, para calcular a velocidade em cada instante t (velocidade instantânea), devemos observar intervalos cada vez menores de tempos, ou seja, devemos calcular o limite da velocidade média, quando t se aproxima de zero: v(t) = = f ’(t) Exemplo: Um móvel tem a posição (em km) dada em função do tempo (em h) por f(t)= 20t2, então a sua velocidade no instante t é dada por v(t) = f’(t) = 40t. Logo no instante t = 3h a velocidade será v(3) = 40.3 =120km/h. Demonstrações das regras de derivação Derivada de uma constante (um n° fixo): f(x) = k ( f ’(x) = 0 Demonstração: f ‘(x) = = =0 para todo x. Exemplo: f(x) = 4( f ’(x) = 0 Derivada de uma potência de x : f(x) = xn ( f ’(x) = n.xn-1 Demonstração: Mostraremos essa relação no caso de n ser inteiro e positivo, embora a propriedade seja válida para todo n real . Temos que (x+(x)n-xn =xn + xn-1((x)1+ xn-2((x)2+...+ x2((x)n-2+ x1((x)n-1+ x0 ((x)n -xn. Logo = xn-1+ xn-2((x)+...+ x2((x)n-3+ x1((x)n-2+ x0 ((x)n-1 . Portanto, f ‘(x) = = = xn-1 = xn-1 = n. xn-1. Exemplo: f(x) = x5( f ’(x) = 5. x4 Derivada de um n° vezes uma função: f(x) = k. g(x) ( f ’(x) = k.g’(x) (k nº fixo) Demonstração: f ‘(x) = = = = k. = k.g’(x). Exemplo: f(x) = 9x4( f ’(x) =9.4.x3= 36x3. Derivada da soma: f(x) = u(x) + v(x) ( f ’(x) = u’(x) + v’(x) Demonstração: Temos que f(x+(x) – f(x) = [u(x+(x)+v(x+(x)] –[u(x)+v(x)]=[u(x+(x)-u(x)] +[ v(x+(x) –v(x)]=(u+(v. Logo = = . Passando ao limite para (x tendendo a zero temos f ‘(x) = = = u’(x)+v’(x). Exemplo: f(x) = 5x2+3x3+5x+5( f ’(x) = 10x+9x2+5 Derivada da diferença: f(x) = u(x) – v(x) ( f ’(x) = u’(x) – v’(x) Demonstração: Análoga a demonstração anterior. Exemplo: f(x) = x3 - 6( f ’(x) = 3x2 Derivada do produto: f(x) = u(x).v(x)( f ’(x) = u’(x).v(x) + u(x).v’(x) Demonstração: Como (u = u(x+(x) – u(x) e (v = v(x+(x) –v(x) temos que f(x+(x) – f(x) = [u(x+(x).v(x+(x)] –[u(x).v(x)] = [u(x)+(u].[v(x)+(x]-u(x)v(x) = u(x).v(x) +u(x). (v+v(x).(u+(u.(v – u(x).v(x) = u(x).(v+v(x).(v+(u.(v Logo f’(x)= = = u(x).v’(x)+v(x).u’(x). Pois, quando (x tende a zero (u também tende a zero. Exemplo: f(x) = (x2+5x).(x3+2)( f ’(x)=(2x+5).(x3+2) + (x2+5x4).3x2 = 15x6+5x4+5x3+4x+10 Derivada do quociente: f(x) = ( f ’(x) = Demonstração: Análoga a demonstração anterior. Exemplo: f(x) = ( f ’(x) = = Derivada da função seno e co-seno f(x) = sen(x)( f ’(x) = cos(x). f(x) = cos(x) ( f ’(x) = -sen(x). f(x) = tg (x) (f ’(x) = sec2(x) Derivada função logarítmica: f(x) = log a (x)( f’(x)= , para x >0, a>0 e a( 1. Exemplo: f(x) = ln(x) ( f ’(x) = = , (x>0). Derivada da função exponencial: f(x) = ax( f ’(x) = ax.ln(a), para a >0 e a(1. Exemplo: f(x) =ex (f’(x)= ex. ln e = ex . Outra aplicação da derivada Uma das principais aplicações da função exponencial é o controle do crescimento populacional. Por exemplo, considere a seguinte tabela que fornece a população do México, a partir de 1980 até 1986: Ano População (milhões) Tempo 1980 67,38 0 1981 69,13 1 1982 70,93 2 1983 72,77 3 1984 74,66 4 1985 76,60 5 1986 78,59 6 Observe que temos que a função desta tabela é: y=67,38.(1,026) valor da função para t =0 Suponha que desejamos saber qual taxa a população estaria crescendo no começo de 1997. A taxa crescimento instantânea (no começo) é dada pela derivada da função que representa a população do México, avaliada no instante t=17 (17 anos depois de 1980). Assim, y`=67,38.ln(1,026). e daí para t=17 temos 67,38.ln(1,026). =2,676 Isto significa que em 1997 a população mexicana estava crescendo a uma taxa de 2,676 milhões por ano, ou aproximadamente 7.300 por dia. Exercícios resolvidos 1) Calcule as derivadas das seguintes funções: a) y=6x b) y=-7x+8 c) y=-3x+x²-1 d) y=-2x -3 y’=6 y’=-7 y’=2x-3 y’=-20x e) y=x +x²-3x y’= f) y= y’= 2) Seja f(x)=x²-5x+6, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x=2 e interprete geometricamente. Para x=2 temos f(x)=0. Logo o ponto de tangência no gráfico de f(x) é o ponto (2,0) pertence ao gráfico de f(x) e a reta tangente f(x)=x²-5x+6( f ’(x)=2x-5 f `(2)=2.2-5=-1 inclinação da reta tangente procurada Portanto a equação desta é: y =-1x+b Como (2,0) está nesta reta temos: 0=-1.2+b e b=2. E a equação é y = -x+2. 3) Calcule a derivada das seguintes funções: a) y=3x²-5 ( y’=6x-ln(5). 5 b) y= ( y’=x² 4) Seja f(x)= . Calcule f `(x). 5) Calcule a derivada da função y = Lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 1) Calcule: f(-1) e f(1/2) sendo . g(0), g(2) e sendo . sendo e . sendo e . 2) Sendo f(x) = 3, f(x) = 2x+1 e f(x) = -2x+3 e f(x) = x2 calcule se existir, em cada um dos casos, f´(0), utilizando a definição de derivada. 3) Sendo f(x) = x2 + 1, calcule f´(1) utilizando a definição de derivada, encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto (1,2), e interprete geometricamente. 4) Encontre a taxa média de variação de cada função abaixo: f(x) = 4-2x com x0+h = 5 e x0 = 1 f(x) = -5x+7 com x0+h = 4 e x0 = 3 f(x) = 3x2+x com x0+h = 7 e x0 = 4 f(x)= 3x+5 com x0+h = -1 e x0 = -2 f(x)= 2x2-3x+1 com x0+h= 3 e x0 =-2 f(x) =12- x com x0+h= 0 e x0 = -1 f(x) = 2x2 +4x com x0+h = 4 e x0 = 0 f(x) = 3-6x com x0+h= 6 e x0 = 5 5) Calcule a derivada das seguintes funções: f(x) = 1 i) f(x) = 3x2+5x4+2x6 f(x) = x-2 j) f(x) = 2-x10 f(x) = -x +1 k) f(x) = 0,1.x10 +0,2x5 f(x) =3x+12 l) f(x) = x2+5x-9 f(x) = x3-4x m) f(x) = (2x+4).ex f(x)= n) f(x) = f(x) = o) f(x)= f(x) = p) f(x) = 6) Calcule a derivada das funções nos pontos indicados: f(x) = x2+1, no ponto x =3 f(x) = 9x3-x, no ponto x = 1 f(x) = -3x4+5x2, no ponto x = -2 f(x) = -x7, no ponto x = 1 f(x) = no ponto x = 2 f(x) = (x5+2x3+5x).(2-x2-x4) no ponto x = 0 f(x)= no ponto x=3 7) Calcule a derivada das seguintes funções simples: y = -3 l) y = 0 y = -x3 m) y = 3-x6+x8 y = 6x2 n) y = 4x+5x2+6x3+7x4 y = o) y = y = 5x – 3x2 +4 p) y = 0,2x+0,5x2-0,3 y = 7-x q) y = -0,6x y = r) y = y = 6x 0,5 s) y = 7.ex + ln(x) - ln 2 y = t) y = -3x+5 y = 5. ex+ 6. ln(x) +3. 2x + 6 u) y = 10x + 5. ln(x) + 3x+4 y = 12x + x3 v) y =5.3x REGRA DA CADEIA E para derivar funções que “dependem” de outras funções? Como, por exemplo: . Nesta função, temos que: e u=x²+1 Para isto veremos a “regra da cadeia”, que é utilizada para casos como este quando: y = f(u) e u =g(x) Observe que uma pequena variação em x, que denotaremos por ∆x, provoca uma pequena variação em u, que denotaremos por ∆u. Por sua vez ∆u provocará uma pequena variação em y, que denotaremos por ∆y. Daí, desde que ∆x e ∆u sejam não nulos, podemos escrever: Considerando que ∆x é uma pequena variação de x, quando x passa para x+h temos: ∆x = (x+h)-x = h daí ∆u = u(x+h)-u(x) e ∆y =y(u(x+h))-y(u(x)) e como a derivada e o limite do quociente , quando ∆x tende a zero, ou seja, quando h tende a zero, podemos enunciar a regra da cadeia Se y = f(u) e y = g(x) forem diferenciáveis, então Exemplo: Suponha que a quantidade de gasolina, G, em litros, consumida por um carro dependa da distância percorrida, S, em quilômetros, e que S por sua vez dependa do tempo t, medida em horas. Se 0,05 litros são consumidos em cada quilômetro e o carro está viajando a 48 km/h, quão depressa a gasolina está sendo consumida? Temos: Taxa de variação da gasolina G em função da distância S: Taxa de variação da distância S em função do tempo t: Desejamos a variação da gasolina G em função do tempo t, ou seja, desejamos . Pela regra da cadeia: Aplicação da regra da cadeia no cálculo de derivadasSe f(u) e por sua vez u=g(x) então Exemplos: Calcule a derivada das seguintes funções: a) y=(x²+1) y`=5.u .u’ u=x²+1 y`=5.(x²+1) .2x y`=10x.(x²+1) b) y= y`=u .u’( y`= y`= u=3x²+2x-1 y`= ( y`= c) y =ln(2x+1) y`=lnu ( y`= ( y`= ( y`= u=2x+1 d) ’( ( ( u=5x-1 e) y=sen(5(2x+1) u=(5(2x+1) s=2x+1 Para finalizar as regras de derivação temos a seguinte regra: Se y= então Exercícios resolvidos Calcule a derivada das funções: a) y =sen(5x+1).ln(3x-2) (sen(5x+1))’.ln(3x-2)+(sen(5x+1)).(ln(3x-2))’ cos5x+1.5ln(3x-2)+(sen5x+1). 5cos5x+1.ln(3x-2)+(sen5x+1). b) y= DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Observando as regras de derivação, percebemos, que a derivada de uma função f(x), isto é, f ’(x) ou , é também uma função. Assim sendo, podemos derivá-la também, obtendo a 2ª derivada de f(x), que denotaremos por f ’’(x) ou . Da mesma maneira também é uma função e assim podemos, derivá-la para obter ou . De maneira geral, à partir de uma função f(x) podemos obter a n-ésima derivada de f(x), denotada por ou ,onde n , n . A derivada de segunda ordem de f é a derivada da derivada de f, a derivada de terceira ordem de f é a derivada da derivada de segunda ordem, e assim sucessivamente. y = f(x) ( função y’ = f ’(x)( 1ª derivada y’’= f ’’(x) (2ª derivada y’’’= f ’’’(x) ( 3ª derivada y(4) = f (4)(x) ( 4ª derivada y(n) = f(n) (x) ( n-ésima derivada. Exemplos: 1) f(x) = x4+x3+x2+x+1 f ’(x) = 4x3+3x2+2x+1 f ’’(x) = 12x2+6x+2 f ‘’’(x) = 24 x+6 f (4)(x) = 24 f (5)(x) = 0 (e todas as demais derivadas também) 2) f(x) = ln x 3)f(x) = e-x f ’(x) = 1/x f’(x) = -e-x f ’’(x) = -1/x2 f”(x) = e-x f ’’’(x) = 1/x3... f ”’(x) = -e-x... Exercício resolvido: Construa os gráficos das funções abaixo e das suas respectivas derivadas de 1ª e 2ª ordem, utilizando muitos valores de x. a) y=x²-6x+8 X y = x²-6x+8 y’ = 2x-6 y’’ = 2 0 8 -6 2 0,5 5,25 -5 2 1 3 -4 2 1,5 1,25 -3 2 2 0 -2 2 2,5 -0,75 -1 2 3 -1 0 2 3,5 -0,75 1 2 4 0 2 2 4,5 1,25 3 2 5 3 4 2 5,5 5,25 5 2 6 8 6 2 b) y=-x²+6x-8 x y = -x²+6x-8 y’= -2x+6 y’’= -2 0 -8 6 -2 0,5 -5,25 5 -2 1 -3 4 -2 1,5 -1,25 3 -2 2 0 2 -2 2,5 0,75 1 -2 3 1 0 -2 3,5 0,75 -1 -2 4 0 -2 -2 4,5 -1,25 -3 -2 5 -3 -4 -2 5,5 -5,25 -5 -2 6 -8 -6 -2 De a) e b): Para x =3 temos y’=0 e x=3 é o menor ou o maior valor de y Em a) temos y’’>0 e para x=3 y assume o menor valor Em b) temos y’’<0 e para x=3 y assume o maior valor c) y=(x-2)³ x y = (x-2)³ y’ = 3(x-2)² y’’ = 6(x-2) 0 -8 12 -12 0,5 -3,375 6,75 -9 1 -1 3 -6 1,5 -0,125 0,75 -3 2 0 0 0 2,5 0,125 0,75 3 3 1 3 6 3,5 3,375 6,75 9 4 8 12 12 4,5 15,625 18,75 15 5 27 27 18 5,5 42,875 36,75 21 6 64 48 24 Resumindo estes exercícios: Quando y’>0 então y é crescente Quando y’<0 então y é decrescente Quando y’=0 temos 3 casos distintos: •Se y’’>0 então o ponto onde isto ocorreu é o ponto onde a função assume o seu menor valor. •Se y’’<0 então o ponto onde isto ocorreu é o ponto onde a função assume o seu maior valor. •Se y’’=0 então o ponto onde isto ocorreu não é o ponto onde y assume o seu maior nem o menor valor. Localmente, as conclusões do exercício anterior podem ser generalizadas para qualquer função y=f(x), isto é: Se >0 então f é crescente para todo x próximo a . Se <0 então f é decrescente para todo x próximo a . Se =0 então: •Se >0 então é um ponto de mínimo local, isto é, < para todo x próximo a . •Se <0 então é um ponto de máximo local, isto é, �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x próximo a . •Se =0 então é um ponto de inflexão, não é máximo local e nem mínimo local No 3º caso, recebe o nome de ponto crítico da função f(x). Um ponto de mínimo local , é o ponto de mínimo global de f(x) se �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x Dom(f). Um ponto de máximo local , é o ponto de máximo global de f(x) se �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 para todo x Dom(f). Exercícios resolvidos 1) Seja f(x)=x³-9x²-48x+52. Ache os pontos de mínimo e máximo globais de f(x), se existirem, e os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x): f(x)=x³-9x²-48x+52 f `(x)=3x²-18x-48 f `(x)=0 3x²-18x-48=0 =-2 e =8 são os pontos críticos da função f(x) é o ponto de máximo de f(x) é o ponto de mínimo de f(x) é o ponto de máximo global de f(x) =8 é o ponto de mínimo global de f(x) Intervalos de crescimento ou decrescimento de f(x): Logo f(x) é crescente nos intervalos: (-∞,-2) e (8,∞) f(x) é decrescente no intervalo: (-2,8) 2) Uma companhia de software sabe que ao preço de $80 por um determinado software eles vendem 300 unidades por mês. Sabem também que para cada redução de $5 no preço eles venderão mais 30 unidades. Qual preço a companhia deve cobrar para maximizar a receita: Preço Qtde vendida 80 300 75 330 70 360 65 390 Função linear y=ax+b onde, a= a equação é y=-6x+b, onde x é o preço e y a quantidade vendida 300=-6.80+b b=300+480 b=780 Logo equação desta tabela, que representa a quantidade vendida em função do preço é y=-6x+780 Como a receita é dada pela quantidade vendida multiplicada pelo preço, temos que a equação da receita é: R=y.x=(-6x+780).x = -6x2+780 x que é a função que deve ser maximizada. Temos que R’=-12x+780 Igualando a derivada da receita a zero, obtemos -12x+780=0 ( x=65 x =65 é o ponto crítico de R. Agora, R’’=-12 e assim R’’(65)=-12<0 x=65 é o ponto de máximo Logo x = 65 maximiza a receita que será de: R=-6.65²+780.65 =25350 3) A função y=f(x) é positiva e contínua com um máximo global em (3,3). Esboce um possível gráfico de f(x) se f `(x) e f ``(x) tem o mesmo sinal para x<3 e sinais opostos para x>3: lista de exercícios – Cálculo Diferencial e Integral 1 1) a) Esboce um gráfico de uma função cuja primeira e segunda derivadas são positivas em toda parte. b) Esboce um gráfico de uma função cuja segunda derivada é negativa em toda parte, mas cuja derivada primeira é sempre positiva. c) Esboce um gráfico de uma função cuja segunda derivada é positiva em toda parte, mas cuja derivada primeira é sempre negativa. d) Esboce um gráfico de uma função cuja primeira e segunda derivadas são negativas em toda parte. 2) a) Esboce uma curva suave cuja inclinação é, a princípio, positiva e crescente, mas adiante é positiva e decrescente. b) Esboce o gráfico da primeira derivada, da função cujo gráfico é a curva do item a). c) Esboce o gráfico da segunda derivada, da função cujo gráfico é a curva do item a).
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