Lista 2 Cálculo Vetorial

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1
 
FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 
 
 
 
1. Calcule as integrais triplas a seguir: 
 
a) ( ) 
 
 
3 0 2
0 1 1
x 2y 4z dxdydz
−
+ +∫ ∫ ∫ . b) ( ) 
 
 
22 x x y 2
1 1 0
2x y dzdydx
+
−
∫ ∫ ∫ . 
 
 
2. Seja ( )z,y,xff = uma função contínua de três variáveis. Expresse* 
 
 
T
f dV∫∫∫ , identificando os limites 
de integração, sendo T a região do espaço: 
 
a) Limitada pelo cilindro 9yx 22 =+ e pelos planos 0z = e 2z = . (1a integração em relação a z). 
 
b) No primeiro octante, limitada pelo plano 6z3y2x =++ . (1a integração em relação a y). 
 
c) Limitada pelo parabolóide 22 yx49z −−= e pelo plano 0z = . (1a integração em relação a z). 
 
* Apenas expresse, não é para calcular a integral tripla. 
 
 
3. Use integral tripla para determinar o volume do sólido delimitado pelas superfícies de equações: 
 
a) 0y;4zy;4xz 2 ==+=+ e 0z = . 
 
 
b) 4zx;zy;z2y 22 =+=−= e 0x = . 
 
 
c) 2zyx;1zy 22 =++=+ e 0x = . 
 
 
d) 1y;0z;x9z 2 −==−= e 2y = . 
 
 
 
Última atualização: 29/08/2011 
 
22aa LLIISSTTAA DDEE EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS 
ÁREA1 – Faculdade de Ciência e Tecnologia. 
Curso de Engenharia Elétrica. 
Disciplina: Cálculo IV. 
Professores: Álvaro Fernandes (UFRB), Eronildo de Jesus e Maurício Brandão. 
Aluno(a): ______________________________. Turma: ______. 
 
2
 
� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas cilíndricas: 
 
 ( ) ( ) ( )( )
 
 
T T'
f x, y,z dV f r cos ,r sen ,z r drd dz= θ θ θ∫∫∫ ∫∫∫ 
 
onde T’ é a região T descrita em coordenadas cilíndricas. 
 
� Cálculo de uma integral tripla em coordenadas esféricas: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2
 
 
T T'
f x, y,z dV f sen cos , sen sen , cos sen d d d= ρ φ θ ρ φ θ ρ φ ⋅ρ φ ρ φ θ∫∫∫ ∫∫∫ 
 
onde T’ é a região T descrita em coordenadas esféricas. 
 
 
4. Resolva as questões abaixo, esboçando os sólidos: 
 
a) Calcule 
 
 
T
3 dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao cilindro 
2 2x y 1+ = e a esfera 
2 2 2x y z 4+ + = . 
 
b) Calcule 
 
 
2 2
T
x y dV+∫∫∫ , onde T é a região delimitada pelos parabolóides 
2 2z x y 4= + − e 
2 2z 4 x y= − − . 
 
c) Calcule 
 
 
T
x dV∫∫∫ , onde T é a região simultaneamente interior ao parabolóide ( )2 21z x y4= + e a esfera 
2 2 2x y z 5+ + = . 
 
d) Calcule ( )
 
 
2 2 2
T
x y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região esférica 
2 2 2x y z 9+ + ≤ . 
 
e) Calcule ( )
 
 
2 2 2
T
x y z dV+ +∫∫∫ , onde T é a região interior a esfera 
2 2 2x y z 9+ + = e exterior ao cone 
2 2z x y= + . 
 
f) Calcule 
 
 
T
z dV∫∫∫ , onde T é o sólido acima do plano xy, abaixo do parabolóide ( )22 yx4z +−= e dentro 
do cilindro 1yx 22 =+ . 
 
g) Calcule 
 
 
T
dV∫∫∫ , onde T é a região do espaço entre as esferas 9zyx
222
=++ e 16zyx 222 =++ . 
 
 
5. Calcule o volume dos sólidos abaixo esboçando-os: 
 
a) Acima do plano xy delimitado por 22 yxz += e 16yx 22 =+ ; 
 
b) Acima do parabolóide 22 yxz += e abaixo do cone 22 yxz += ; 
 
c) Região da esfera 9zyx 222 =++ entre os planos 1z = e 2z = . 
 
 
3
Respostas 
 
1. a) 39/2. b) 513/8. 
 
 
2. a) 
 
 ou 
2 2
2 2
3 9 x 2 3 9 y 2
3 9 x 0 3 9 y 0
f dzdydx f dzdxdy− −
− − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 
 
 b) ( ) ( ) ( ) 
 
 ou 
2 6 3z 6 x 3z 2 6 6 x 3 6 x 3z 2
0 0 0 0 0 0
f dydxdz f dydzdx− − − − − −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 
 
 c) 
 
 ou 
2 2 2 2 2 2
2 2
3 2 9 4 x 9 4 x y 3 9 y 2 9 4 x y
3 2 9 4 x 0 3 9 y 2 0
f dzdydx f dzdxdy− − − − − −
− − − − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . 
 
 
3. a) 128/5 u.v. b) 32/3 u.v. c) 2pi u.v. d) 108 u.v. 
 
 
4. a) ( )4 8 3 3pi − . b) 15256pi . c) 0. d) 5972pi . e) ( )5 22243 pi+ . f) 637pi . g) 3148pi . 
 
 
5. a) 128pi u.v. b) pi/6 u.v. c) 
3
20pi
u.v.