Determinantes e Sistemas Lineares

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DETERMINANTES:
CONCEITO:
Toda Matriz Quadrada de números será associada a um número, e toda Matriz Quadrada de Letras ou Letras e Número será associado a um polinômio. O Número ou o Polinômio associado a uma Matriz Quadrada, obtido de acordo com certas regras, será denominado de Determinante.
FORMA DE OBTENÇÃO:
O Determinante de uma Matriz Quadrada é obtido fazendo-se a soma algébrica dos produtos dos seus elementos, permutando-se de todos os modos possíveis as colunas dos elementos da Diagonal Principal fixando-se as linhas, e admitindo-se que estes produtos sejam positivos ou negativos, conforme os índices das colunas de seus fatores formem uma classe par ou ímpar, respectivamente.
CÁLCULO DO DETERMINANTE:
Matriz de Segunda Ordem:
É obtido pela diferença dos produtos dos elementos da diagonal principal e secundária.
Matriz de terceira ordem (Regra de Sarrus):
É obtido repetindo-se as 2 primeiras colunas (ou as duas primeiras linhas) a direita da 3.ª Coluna (ou abaixo da 3.ª Linha), a seguir soma-se os produtos dos elementos da Diagonal Principal e das 2 paralelas, e subtraem-se os produtos dos elementos da Diagonal Secundária e das 2 paralelas.
PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES:
O Determinante de uma Matriz é igual ao Determinante de sua Transposta;
Se uma Matriz possui uma Linha ou Coluna de “zeros” o seu determinante é nulo;
Se uma Matriz possuir 2 Linhas ou Colunas iguais ou proporcionais, seu Determinante é “zero”;
O Determinante de uma Matriz Triangular Superior ou Inferior é igual ao produto dos elementos da Diagonal Principal;
Se trocarmos 2 Linhas ou 2 Colunas entre si em uma Matriz, o seu Determinante muda de sinal;
Se multiplicarmos todos os elementos de uma Linha ou Coluna de uma Matriz, por certo número, o Determinante da Matriz fica multiplicado por este número;
Se multiplicarmos uma Linha ou Coluna de uma Matriz por certo número e o resultado somarmos ou subtrairmos com outra Linha ou Coluna da Matriz, seu Determinante não se altera.
Matriz de ordem superior a três:
Teorema de Laplace:
O Determinante de uma matriz quadrada A = (aij), de ordem n, é a soma do produto dos elementos de uma fila qualquer da matriz pelos respectivos fatores.
Ex: Calcule o determinante da matriz A, sendo A = 
Solução:
A11 = (– 1)1+1 
 = 1 . (– 2 – 12) = – 14
A12 = (– 1)1+2 
 = – 1 . (4 – 24) = 20
A13 = (– 1)1+3 
 = 1 . (– 4 – 4) = – 8
como Det A = a11A11+a12A12+a13A13
então Det A = 3 . (–14) + 5 . 20 + 0 . (– 8) = – 42 + 100 = 58
Resposta: Det A = 58
Observação:
Note que a ordem do Determinante fica reduzida.
Note que fica mais fácil quando escolhemos uma fila com maior números de zeros.
Exercícios de aplicação:
Calcular o valor dos determinantes das seguintes matrizes:
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
e) 
 f) 
 g) 
h) 
 i) 
Respostas:
a) 18 b) – 6 c) 33 d) 85 e) – 242 f) – 2 g) – 25 h) 1 i) 20
Regra de Chió:
O Determinante de uma Matriz D, que possui um elemento aij = 1, é igual ao Determinante obtido suprimindo-se na Matriz D, a linha i e a coluna j,e substituindo-se os elementos restantes pela diferença entre cada elemento da Matriz restante e o produto dos 2 termos das filas suprimidas que pertençam a linha e a coluna do elemento considerado. Esse Determinante deverá ser precedido do sinal + ou – conforme o resultado de i + j do elemento considerado seja par ou ímpar.
det(Dn) = (-1)i+j.det(D’n-1)
SISTEMAS LINEARES:
EQUAÇÃO LINEAR:
É toda a equação da forma:
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b
Obs.: Caso b seja igual a “zero”, então a Equação Linear é dita Homogênea.
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES:
É um conjunto de Equações Lineares, e é representado por:
Obs.:
Denomina-se Solução de um sistema de Equações Lineares ao conjunto de n valores que é simultaneamente a solução de todas as equações do sistema;
Um Sistema de Equações Lineares pode ser Possível (quando admite solução) ou Impossível (quando não admite solução);
Um Sistema de Equações Lineares Possível pode ser Determinado (quando admite uma única solução) ou Indeterminado (quando admite mais de uma solução);
Dois sistemas de Equações Lineares são ditos Equivalentes quando possuem a mesma solução.
 
SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES nxn
Regra de Cramer:
Um Sistema de n Equações Lineares com n incógnitas, cujo determinante da Matriz dos Coeficientes das Incógnitas é diferente de “zero” é Determinado, e sua solução é obtido pela razão entre o Determinante que se deriva da Matriz dos Coeficientes pela substituição dos Termos Independentes em cada uma das incógnitas e o Determinante da Matriz dos Coeficientes.
...................................
Resumindo:
�
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Dadas as Matrizes A = 
, B = 
, C = 
 e D = 
, determinar:
A+B
2B+Ct
B +D
3A+Bt+C
Respostas: a) 
 b) 
 c) 
 d) 
Dadas as Matrizes A= 
 e B= 
, resolva o sistema: 
 
resp. X = 
 e Y = 
Dadas as Matrizes
 e B = 
, resolva o sistema: 
 	 	Resposta: x = 
 y = 
Sendo A = 
e B = 
, resolva os Sistemas:
a) 
 	b) 
Respostas: a) x = 
 y = 
 b) x = 
 y = 
Construir a matriz A=( aij )2x2 cujos elementos satisfazem a relação aij = 2i + j
resp. = 
Considerando a matriz A=( aij )2x2 com aij = ( i + j )², calcular x,y, z e t para que se tenha: A = 
 resp. x=2,	y = -1, z = -19, t = -35
Calcular o produto AB sendo, A = 
 e B =
Resposta: 
Para as matrizes A =
 e B = 
, mostrar que:
AB ≠ BA
( A+B )t = At +Bt
Determinar a inversa das seguintes matrizes
A = 
						 resp. Aˉ1 = 
B = 
							 resp. Bˉ1 = 
C = 
						 resp. Cˉ1 = 
D = 
						 resp. Dˉ1 = 
Dada a matriz A = 
, determinar a matriz X, tal que X+ Aˉ1 = At resp. = 
Calcule os seguintes determinantes:
 a) b) c) d)
 
 
 
 resp. = 58 resp. = -27 resp. = zero resp. = - 154
Resolva as seguintes equações:
 a) b) c)
 
 
 resp. X= 0 e X= -2 resp. X = 4 resp. X= -1
Resolva as seguintes equações:
a) X. 
 - 
 = 0							resp. X=
b) 
.X = 
								 resp. X= 
c) 
.X = 
							 resp. X= 
Efetue os produtos
a) 
. 
 = 								 resp. = 
b) 
.
 = 									 resp. = 
c) 
. 
 = 							 resp. =
 
d) 
 . 
 = 							 resp. = 
e) 
.
 = 									 resp. = [29]
f) 
.
 = 						 resp. = 
g) 
.
 = 							 resp. = 
h) 
.
 = 						 resp = 
Calcule X e Y na igualdade:
.
= 
							 resp. X= 5 e Y= 1
Verifique quais dos seguintes produtos podem ser efetuados
a) A2x3 . B3x1	 b) A4x2 . B2x3 c) A2x3 . B4x2 d) A3x1 . B3x1
Seja A = (aij) uma matriz quadrada de 2°ordem tal que aij = i² + i.j . Calcular o determinante de A.								 resp. = -2
Dada a matriz A = 
, determinar o determinante de (Aˉ¹).	 resp. = ¼
Calcule o determinante das matrizes.
a) A = ( aij )2x2 sendo aij = i + 2j						resp: -2
b) B = (bij)2x2 sendo bij = i² - j						resp: 3
c) C = (cij)3x3 sendo cij = 2i – 3j						resp: 0
d) D = (dij)3x3 sendo dij = 3i – 2j						resp: 0
Resolva as equaçõesa) 						b)
 
 c)					d)
 
Respostas: a) x = 14 b) x = - 0,2 c) x = - 1 d) x = 
 7
Determine o valor do determinante da matriz A = (aij) de terceira ordem onde 
								 resp. = 48
Calcule o determinante de A, sendo A = aij uma matriz quadrada de terceira ordem onde 
			resp: 48
Resolva as seguintes equações:
 a)				b)				 c)
 
 
 resp. X=1		resp. X = 1 e X = 2		 resp. X = 7/3
Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor do determinante das seguintes matrizes:
 a)		 b)		 c)		 d)
 
 
 
 resp.= 18 resp. = -6 resp. = 33 resp. = 85
 e)		 f) 		 g) h)
 
 
 
 resp. = -452 resp. = -2 resp. = 20 resp. = -25
Determine o valor real de X, no determinante:
								 resp. X = 2
Resolva a equação:
								 resp. X = -1/2
Resolva os sistemas aplicando a regra de Cramer
a) 
									resp. ( 2,3 )
b) 
									resp. ( 1,2 )
c) 
									resp. ( 2,2 )
d) 
								resp. ( 1,2,3 )
e) 
								resp. ( 0,1,2 )
f) 
									resp. ( 0,0,1 )
Discutir o sistema segundo os valores de m e n.
	
			resp: se m ≠ 4 (s.p.d.), se m = 4 (s. i.)
Discutir os sistemas
a) 
 b) 
 c) 
resp. a: se m≠ -1 (s. p. d.), se m = -1 (s. i.)
resp. b: se m ≠ 
 4 (s. p. d.), se m = 
 4 (s. i.)
resp. c: se m ≠ - 1(s. p. d.), se m = -1 (s. i.)
d) 
					resp. se a≠15 (s.p.d.) , se a = 15 (s.i.)
e) 
					resp. se m≠-3 (s.p.d.) , se m = -3 (s.i.)
f) 
					resp. se m≠-1 (s.p.d.) , se m = -1 (s.i.)
g) 
						resp.	 se k≠1 (s.p.d.) , se k = 1 (s.i.)
h) 
 resp. se m≠-1 (s.p.d.) , se m =-1 e n = 8 (s.p.i.) se m = -1 e n≠8 (s.i.)
i) 
		 resp. se a≠1 e a≠-4 (s.p.d.), se a=1 (s.p.i.), se a=-4 (s.i.)
j) 
						resp. (s.p.d. para qualquer m)
k) 
					resp. se m≠1 (s.p.d.), se m=1 (s.p.i.)
l) 
 					resp. se k ≠ ±1 (s.p.d.), se k=±1 (s.p.i.) 
�
EXERCÍCIOS SOBRE MATRIZES
Sejam as matrizes:
 , 
 , 
 e 
 , calcule:
a) A + B b) 2B – 3C c) A . C d)B.C e) C.D f)D.A g) D.B
Dadas as matrizes: 
. 
 e C = 
, calcule:
a) 
 b)
 c) 
 d) 
Calcule A2 , sabendo que 
Dadas as matrizes: 
, 
 e 
, determine a matriz X na equação 2.A+ B = X + 2.C.
Dadas as matrizes A = 
 e B = 
, determine a matriz X tal que A – B + 3X = 0.
Se A = 
, B 
 e C = 
, calcule a matriz X na equação 
.
Sendo 
 e 
, calcule a matriz X na equação A.X = B.
Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
 Ferro Mad Vidro Tinta Tijolo
�� EMBED Equation.3 
(Qualquer semelhança dos números com a realidade é mera coincidência).
Utilizando operações entre matrizes resolva as seguintes situações:
Se ele vai construir 5, 7 e 12 casas dos tipos moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente, quantas unidades de cada material serão empregadas?
Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, respectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 unidades. Qual o preço unitário de cada tipo de casa?
Qual o custo total do material empregado?
Dadas as matrizes: 
 e 
, calcule: a) det(A) + det(B) b) det(A+B)
Calcule o determinante de cada matriz abaixo:
 
 
 
Construa a matriz 
, com 
 e calcule det(A)
Resolva os sistemas:
 
 
 
 
 
 
Represente graficamente os pares de retas, indicando a solução do sistema:
a)
 b)
 c)
 d)
 e)
 f)
Resolva as seguintes equações:
a) 
 b) 
 c) 
d) 
 e) 
Calcule x e y em cada caso:
a) 
 b) 
Resolver a equação
Resolver a equação 
Resolver a equação A.X = B, sendo A = 
 e B = 
Calcule x na equação 
Calcule o valor do determinante: 
Calcule x em cada igualdade:
a) 
 b) 
 c) 
Resolva as equações:
a) 
 b) 
 c)
 d) 
Calcule o valor dos determinantes das seguintes matrizes:
A = 
 B = 
 C = 
D = 
 E = 
Se 
, calcule 
Se 
, calcule 
Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, com det A = 3, calcule o det B, onde B = 5A.
Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, com det A = 4, calcule o det B, onde B = 2A.
Se A é uma matriz quadrada de ordem 4, tal que det A ( 0 e A2 = 3A, calcule det A.
Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det A ( 0 e A2 = -2A, calcule det A.
Se A = 
, calcule det (4At).
Calcule o determinante da matriz 
.
Determine a solução dos seguintes sistemas usando matrizes
a) 
 b) 
RESPOSTAS
a)
 b)Impossível c)
 d)
 e)
 f)
 g) 
a) 
 b) 
 c) 
 d) 
X = 
X = 
X = 
a) Ferro: 146 Madeira: 526 Vidro: 260 Tinta: 158 Tijolo: 388
b) Moderno: $ 492,00 Mediterrâneo: $ 528,00 Colonial: $ 465,00 c) $ 11.736,00
a) 1 b) 3
det(A) = 21 det(B) = 0 det(C) = 12 det(D) = 0
 det(A) = 0
a) S = {(61/23, -9/23,-18/23)} b) S = {(3,-5,7)} c) S = {(0,-10,5)} d) S = {(1,-1,2,-2)} e) S = ( f) S = ( g) S = {(1,2,3,-2)} h) S = {(1,0,2,3)}
a) (2,1) b) (-1,3) c) (3,0) d) (0,2) e) (3,3) f) (1,-2)
a) x = 5 e y = – 5; b) x = 1 e y = 2; c) x = 0, y = 1 e z = 2; d) x = – 1 e y = – 1; e) x = 1, y = 3, z = 5 e w = 3
a) x = – 3 e y = 2; b) x = 0 e y = 1
 17. 
 18. 
19. x = 1 ou x = 
 20. 1 21. a) 1; b) 1 ou ½; c) 0
22. a) 2 ou – 1; b) 2 ou – ½; c) 2 ou –11/7; d) – 1
23. detA = 31 ; detB = 4 ; detC = 960 ; detD = 78 ; detE = -25
24. 10 25. 180 26. 1875 27. 32 28. 81 29. – 8
30. 320 31. 72 32. a) x = 
 y =
 z = 
 b) x = 
 y = 
 z = 7
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