semana 07ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Matema´tica 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07
Temas abordados : Derivadas das func¸o˜es exponencial e logar´ıtmica: Regra da cadeia
1) Supondo que y = y(u) e u = u(x) sa˜o func¸o˜es deriva´veis, a regra da cadeia nos diz que
dy
dx
= dy
du
du
dx
. Calcule a derivada dy
dx
nos itens abaixo:
(a) y = u4 + 1; u = 3x2 − 2x (b) y = √u; u = 1/(x− 1)
(c) y = u2 + 2u− 3; u = √x (d) y = u3 + u; u = 1/√x
2) Calcule a derivada de cada uma das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = (5x3 − x4)7 (b) f(x) = ex2−x+1
(c) f(x) =
√
3x2 − 4x+ 6 (d) f(x) = e−2x + x3
(e) f(x) =
√
x2 (f) s(t) = 3
√
2t− t2
(g) s(t) =
√
1 + et (h) s(t) =
√
3t+ 1
2t− 1
(i) f(x) = e
√
3x+1 (j) s(t) = et/
√
1−t
(k) f(x) = ln(2x3 − 5x+ 1) (j) s(t) = ln(cos2(x))
3) Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel e positiva, enta˜o (ln f(x))′ = f
′(x)
f(x)
. Vamos usar este fato
para calcular a derivada da func¸a˜o
f(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
.
Tomando o logar´ıtmo nos dois lados, e lembrando que a func¸a˜o logaritmo transforma
produtos em soma e poteˆncias em produtos, obtemos
ln(f(x)) = 2 ln(x) +
1
3
ln(7x− 14)− 4 ln(1 + x2).
Derivando, obtemos
1
f(x)
f ′(x) =
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
,
e portanto
f ′(x) =
x2 3
√
7x− 14
(1 + x2)4
(
2
x
+
7/3
7x− 14 −
8x
1 + x2
)
.
O procedimento acima e´ chamado de derivac¸a˜o logar´ıtmica. Use-o para derivar as func¸o˜es
abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = (x+ 1)e
x
2
+1
4) Dado um nu´mero a > 0, com a 6= 1, definimos a func¸a˜o exponencial de base a como
sendo
ax = ex ln(a).
Use a regra da cadeia para calcular a derivada de ax. Em seguida, compare-a com a
derivada da func¸a˜o poteˆncia xa.
Lista de Exerc´ıcios – Semana 07 - Pa´gina 1 de 3
5) Considere a curva cuja equac¸a˜o e´ y2(2− x) = x3.
(a) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o˜es das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
Dica: note que y = y(x) e´ tal que y(x)2(2− x) = x3 e use a regra da cadeia na hora de derivar o termo y(x)2
6) Estima-se que, daqui a t anos, a populac¸a˜o em um certo munic´ıpio sera´ de
p(t) = 20− 6
t + 1
milhares de habitantes. Um estudo ambiental revela que a concentrac¸a˜o me´dia de
mono´xido de carbono no ar e´ dada por c(p) = 0, 5
√
p2 + p+ 58 partes por milha˜o, onde
p e´ a populac¸a˜o em milhares de habitantes.
(a) Qual sera´ a taxa de variac¸a˜o da concentrac¸a˜o de mono´xido de carbono com relac¸a˜o
ao tamanho da populac¸a˜o quando o mun´ıcipio tiver 18 mil habitantes?
(b) Qual sera´ a taxa de variac¸a˜o de mono´xido de carbono com relac¸a˜o ao tempo daqui
a 2 anos? A concentrac¸a˜o estara´ aumentando ou diminuindo nessa ocasia˜o?
7) As observac¸o˜es mostram que o comprimento C em mil´ımetros (mm), do focinho a` ponta
da cauda, de um tigre siberiano pode ser estimado usando a func¸a˜o C = 0, 25p2,6, onde
p e´ o peso do tigre em quilogramas (kg). Ale´m disso, quando o tigre tem menos de 6
meses de idade, seu peso (em kg) pode ser estimado em termos da idade I em dias pela
func¸a˜o p = 3 + 0, 21I.
(a) Qual a´ a taxa de variac¸a˜o do comprimeto de um tigre siberiano em relac¸a˜o ao peso
quando esta´ pesando 60 kg?
(b) Qual e´ o comprimento de um tigre siberiano quando tem 100 dias de idade? Qual
e´ a taxa de variac¸a˜o do comprimento com relac¸a˜o ao tempo nessa idade?
8) Quando substaˆncias orgaˆnicas sa˜o lanc¸adas em um lago, a concentrac¸a˜o de oxigeˆnio na
a´gua diminui temporariamente por causa da oxidac¸a˜o. Suponha que, t dias apo´s dejetos
sem tratamento serem lanc¸ados em um certo lago, a frac¸a˜o da concentrac¸a˜o normal de
oxigeˆnio que permanece na a´gua do lago seja dada pela func¸a˜o
P (t) = 1− 12
t+ 12
+
144
(t+ 12)2
.
(a) Com que taxa a frac¸a˜o de oxigeˆnio P (t) esta´ variando apo´s 10 dias? A frac¸a˜o esta´
aumentando ou diminuindo nessa ocasia˜o?
(b) A frac¸a˜o de oxigeˆnio esta´ aumentando ou diminuindo apo´s 15 dias?
(c) Se na˜o sa˜o lanc¸ados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentrac¸a˜o
de oxigeˆnio? Use um limite para confirmar o seu palpite.
9) A demanda de um certo produto e´ D(p) = 3000e−0,01p unidades por meˆs quando o prec¸o
e´ p reais por unidade.
(a) Qual e´ a taxa de variac¸a˜o da despesa dos consumidores E(p) = pD(p) em relac¸a˜o
ao prec¸o p?
(b) Para que prec¸o a despesa dos consumidores deixa de aumentar e comec¸a a diminuir?
(c) Para que prec¸o a taxa de variac¸a˜o da despesa dos consumidores comec¸a a aumentar?
Interprete esse resultado.
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RESPOSTAS
1) (a)
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 4u3(6x− 2) = 4(3x2 − 2x)3(6x− 2)
(b)
dy
dx
=
1
2
√
u
(−1)(x− 1)−2 = −1
2(x− 1)2√1/(x− 1)
(c)
dy
dx
= (2u+ 2)
1
2
√
x
= 1 + x−1/2
(d)
dy
dx
= (3u2 + 1)
−1
2x3/2
=
−(3 + x)
2x
√
x3
2) (a) f ′(x) = 7(5x3 − x4)6(15x2 − 4x3)
(b) f ′(x) = (2x− 1)ex2−x+1
(c) f ′(x) =
3x− 2√
3x2 − 4x+ 6
(d) f ′(x) = −2e−2x + 3x2
(e) f ′(x) =
x
|x|
(f) s′(t) =
2− 2t
3( 3
√
2t− t2)2
(g) s′(t) =
et
2
√
1 + et
(h) s′(t) = −5
2
(3t+ 1)−1/2(2t− 1)−3/2
(i) f ′(x) =
3
2
√
3x+ 1
e
√
3x+1
(j) s′(t) = −(t− 2)e
t/
√
1−t
2
√
(1− t)3
(k) f ′(x) =
6x2 − 5
2x3 − 5x+ 1
(l) s(t) =
−2 sen(x) cos(x)
cos2(x)
3) (a) f ′(x) = (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) + xx+1
)
(b) f ′(x) = e(x
2+1)(1 + x)(−1+e
x
2
+1)(1 + 2x(1 + x) ln(1 + x))
4) (ax)′ = ex ln(a)(x ln(a))′ = ln(a)ax. Para xa usamos a regra da poteˆncia para obter (xa)′ =
axa−1.
5) (a) y = 2x− 1 (b) y = 3√3x− 3√3 e y = −3√3x+ 3√3
6) (a) 0, 4625 p.p.m. por mil habitantes
(b) 0, 308 p.p.m. por ano; aumentando
7) (a) C ′(p) = 0, 65p1,6; C ′(60) ≈ 455 mm/kg
(b) Um tigre de 100 dias pesa p(100) = 24 kg e tem C(24) ≈ 969 mm de comprimento. Pela
regra da cadeia, L′(I) = L′(p)p′(I) = (0, 65p1,6)(0, 21) e, portanto, para I = 100 e p = 24
tem-se L′(100) ≈ 22, 1 mm por dia, ou seja, o comprimento esta´ aumentando a uma taxa
de 22,1 mm por dia (aproximadamente).
8) (a) Diminuindo a` taxa de 0,2254% ao dia
(b) Aumentando
(c) A longo prazo, a concentrac¸a˜o de oxigeˆnio tende a voltar ao n´ıvel normal
9) (a) E′(p) = 3000e−0,01p(1− 0, 01p) (b) p = 100 (c) p = 200
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