Prova 2 FIS 201 2006-1

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Marque um X em sua turma Professor 
 T1 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 
 T2 - 4a = 08-10 / 6a = 10-12 Gino 
 T5 - 3a = 10-12 / 6a = 08-10 
 T6 - 3a = 08-10 / 5a = 10-12 
Nemésio T8 - 2a = 10-12 / 5a = 08-10 
 T7 - 3a = 14-16 / 5a = 16-18 Silvio 
 T3 - 2a = 08-10 / 4a = 10-12 
 T4 - 3a = 16-18 / 6a = 14-16 Antonio Carlos 
 T9 - 2a = 14-16 / 4a = 16-18 
Nome: __________________________________________________ Matrícula: ____________ 
EQUAÇÕES 
Nf
xkF
amF
cc µ=
−=
=
rr
rr
 
 
2
2
2
1 mvK
R
va
=
=
 2
2
1 kxU
mghU
e
g
=
=
 
 
K
FdW
∆=
=
TotalW
θcos
 
PtFJ
vmp
dt
PdaMF CMext
rrr
rr
r
rr
∆=∆=
=
==∑ .
 
1. Uma caixa de massa m é empurrada para 
cima ao longo de um plano, cuja inclinação é 
θ acima da horizontal, por uma força paralela 
ao plano inclinado. A caixa parte do repouso 
e sobe com aceleração constante igual a 0,2g 
(g é o módulo da aceleração da gravidade 
local). O coeficiente de atrito cinético entre a 
caixa e o plano é µc. Após a caixa ter 
deslocado uma distância L ao longo do plano 
inclinado determine, em função das 
grandezas m, g, L, µc e θ que se fizerem 
necessárias, (a) o trabalho realizado sobre a 
caixa pela força que a empurra; (b) o trabalho 
realizado sobre a caixa pela força de atrito; 
(c) o trabalho realizado sobre a caixa pelo 
seu próprio peso e (d) a energia cinética da 
caixa ao fim do deslocamento L. 
0,2)Lcosθµmg(senθFW
dFW
cF
F
++==
°= 0cos.
 
b) L.mgµ.LfW ccfc .cosθ−=−= 
c) Lmgsenmg∆UW gg .∆h θ−=−=−= 
mgLmaLK
Kmad
KKKW
f
f
ifTotal
2,0==
=
−=∆=
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA – CCE 
SEGUNDA PROVA DE FIS 201 – 12/07/2006 
NOTA (100) 
Observações 
9 A prova contém 4 (quatro) questões; 
9 Todas as questões têm o mesmo valor; 
9 Não serão aceitas respostas sem justificativas; 
9 Faça uso de ilustrações, eixos cartesianos de 
referência, diagramas de corpos isolados e textos 
explicativos, durante a resolução do problema; 
9 Caso necessário, use o verso da folha; 
9 Utilize gr para a aceleração da gravidade. 
Escreva no espaço abaixo o seu nome, número de 
matrícula e marque um X, no quadro ao lado, 
na turma em que você é matriculado. 
 θ 
 θ cf
r
 
F
r
 
P
r
xP
r
 
yP
r
 
N
r
 
L 
0,2)cosθµmg(senθF
mgNF
c
y
++=
=−−=
=⇒=
∑
∑
m0,2gmgcosθµmgsenθFF
cosθ0
cx 
a) 
d) 
2. Um objeto de massa m é abandonado do repouso, a uma altura H acima do centro de uma 
colina redonda de raio R. O atrito é desprezível e o módulo da aceleração da gravidade local 
é g. (a) Determine a força exercida pela colina sobre o objeto quando este estiver no ponto 
mais alto da colina, considerando que H = R. (b) Determine o valor máximo de H para que o 
objeto não perca o contato com a colina no ponto mais alto da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Cálculo da velocidade do objeto no ponto mais 
alto da colina considerando que H = R . 
 
Pela conservação da energia mecânica temos que: 
0
2
10
2
1
2
1
2
2
2
=
=
+=
+=
=
B
B
B
B
BA
v
mv
mvmgRmgR
mvmgRmgH
EE
 
 
 
No ponto B, ∑ = yy maF . 
 
 
mgN
Nmg
R
vmNmg B
=
=−
=−
0
2
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Para que o objeto não perca contato com a 
colina no ponto mais alto a força normal 
exercida pela colina sobre o objeto deverá ser 
maior ou igual a zero. 
 
RgvRgv
Rgv
R
vmmg
R
vmmgN
R
vmNmgF
máxBB
B
B
B
B
y
=′∴≤′
≥′
′≥
≥′−=
′=−=∑
)(
2
2
2
2
0
 
 
 
A altura máxima (Hmáx) de onde o objeto poderá ser 
abandonado sem que perca contato com a colina no 
ponto mais alto corresponderá àquela para a qual a 
velocidade em B será máxima. 
 
Pela conservação da energia mecânica temos que: 
 
RH
RRH
mRgmgRmgH
vmmgRmgH
máx
máx
máx
máxBmáx
2
3
2
1
2
1
2
1 2
)(
=
+=
+=
′+=
 
 
 
 
 
H 
R
m 
P
r
N
r
 
B
A 
3. Um objeto de massa M desloca-se horizontalmente para a direita sobre uma superfície sem 
atrito, com uma velocidade v0 (em relação à Terra). Num determinado instante o objeto 
explode em dois fragmentos de massas iguais. Devido a explosão o fragmento 1 adquire uma 
velocidade relativa ao fragmento 2 para a direita de módulo 2v0. Determine, em função das 
grandezas M e v0 que se fizerem necessárias, (a) a velocidade do fragmento 2 em relação à 
Terra e (b) o acréscimo de energia ao sistema devido a explosão. 
 
 
 
 
 
a) Inicialmente, o objeto desloca-se 
horizontalmente, para a direita, com 
velocidade 0v em relação à Terra. 
O momento linear inicial do mesmo, em 
relação à Terra é: 
 
0MvPinicial = 
 
Na explosão, 0).( ==∑ dtdPF xext . 
De tal forma que o momento linear do sistema 
constituído pelos dois fragmentos, em relação 
à Terra, permanece o mesmo de antes da 
explosão. 
 
0
222
2
2
)(
2
,2
0,20
0,2,22,1
0,2,22,1
0,22,11
=
=+
=++
=++
=+
=
T
T
TT
TT
TT
inicialfinal
v
vvv
vvvv
MvvMvvM
Mvvmvm
PP
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A energia cinética inicial é: 
 
2
02
1 MvK Antes = 
 
 Após a explosão a energia cinética dos 
fragmentos passa a ser: 
 
2
0
2
0
2
2,1
2
,22,1
2
,1
)2(
4
)(
4
)(
4
22
1
MvK
vMK
vMK
vvMK
vMK
Depois
Depois
Depois
TDepois
TDepois
=
=
=
+=
=
 
 
A variação de energia cinética do sistema é: 
 
2
0
2
0
2
0 2
1
2
1 MvMvMvK =−=∆ 
 
Assim a energia cinética acrescida ao 
sistema na explosão é: 
2
02
1 MvK acrescida = 
 
 
 
 
 
12M 0
vr x(+) 
4. Um projétil de massa m que se desloca em direção horizontal com velocidade vi, atinge um 
bloco de madeira de massa M, inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal. O 
projétil após atravessar o bloco tem sua velocidade reduzida para 2
iv . O bloco desliza uma 
distância d sobre a superfície, a partir de sua posição inicial, até retornar novamente ao 
repouso. Determine (a) o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície e (b) a 
energia cinética perdida durante a colisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Para se determinar o coeficiente de atrito 
cinético entre o bloco e a superfície 
precisamos, primeiramente, determinar a 
velocidade do bloco imediatamente após a 
colisão. 
Pela conservação do momento linear do 
sistema projétil-bloco temos: 
i
i
ii
i
i
DepoisAntes
v
M
mv
mvvM
vMmvmv
vM
v
mmv
PP
2
2
22
2
=′
=′
′+=
′+=
=
 
 
Durante o movimento do bloco a única força 
que realiza trabalho sobre o mesmo é a força 
de atrito cinético, assim: 
2
c
2
c
2
c
8
1µ
22
1µ
2
10µ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
′−=−
∆=
i
i
f
v
M
m
gd
v
M
mgd
vMMgd
KW
c
 
 
b) A energia cinética antes da colisão é: 
2
2
1
iAntes mvK = 
Imediatamente depois da colisão a energia 
cinética do sistema é: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
′+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
M
MmmvK
v
M
mMmvK
vMvmK
iDepois
iiDepois
i
Depois
2
2
2
2
2
8
1
22
1
8
1
2
1
22
1
 
A variação de energia cinética do sistema 
projétil-bloco foi de: 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−=∆
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=∆
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=∆
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=∆
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=∆
M
mMmvK
M
MmmvK
M
MMmmvK
M
MmmvK
mv
M
MmmvK
i
i
i
i
ii
8
3
8
3
4
8
1
4
8
1
2
1
8
1
2
2
2
2
22
 
 
 
iv
r 
d 
v =0 v ′r 
v ′r 
2
iv
r
 
Imediatamente antes 
Imediatamente depois