EP4 2018 1 questoes metodos deterministicos I

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
EP4 – Me´todos Determin´ısticos I – 2018-1
Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado nas Aulas 4 e 5 do Caderno Dida´tico.
O EP4 da´ sequeˆncia ao estudo da Linguagem da Lo´gica. Ale´m do conectivo condicional “se ..., enta˜o
...”, veremos neste EP, tambe´m, o conectivo bicondicional “se e somente se”. Vamos trabalhar com
tabela verdade, e estudaremos argumentos lo´gicos. Voceˆ encontra toda esta teoria em seu material
impresso, mas na˜o deixe de ler os comenta´rios neste EP e fazer os exerc´ıcios
Se... enta˜o...
Comec¸aremos vendo o conectivo que causa mais dificuldades para os alunos e que pode ser fonte
tambe´m da maior parte de armadilhas em questo˜es de lo´gica. Chama-se condicional e surge normal-
mente atrave´s das palavras “se ..., enta˜o ...”. Ele estava presente no exemplo dado no in´ıcio do EP3
em que o pai de Julio dizia que se ele fosse aprovado no ENEM, enta˜o teria um carro novo. Por
isso e´ fundamental estudar bem este conectivo.
Considere a frase “Se Maria foi a Roma enta˜o ela conhece o Papa”. Matematicamente esta frase
significa pura e simplesmente que se Maria foi a Roma com certeza ela conhece o Papa. A frase, do
ponto de vista matema´tico, na˜o nos diz que se ela na˜o foi, na˜o conhece o Papa. Na verdade a frase
na˜o diz nada sobre quem ela conhece ou na˜o conhece se ela na˜o foi a Roma.
O condicional e´ representado pelo s´ımbolo ⇒. Assim, se chamarmos de r a` proposic¸a˜o “Maria foi a
Roma” e de p a` proposic¸a˜o “Maria conhece o Papa”, ter´ıamos a proposic¸a˜o composta, em questa˜o,
representada por r ⇒ p, que pode ser lida como “se r enta˜o p” ou, ainda, “r implica p”. So´ ha´
um modo desta ser uma proposic¸a˜o falsa: se Maria foi a Roma e na˜o conhece o Papa. Em qualquer
outra situac¸a˜o, a proposic¸a˜o composta e´ verdadeira. Veja, se Maria foi a Roma e conhece o Papa, a
proposic¸a˜o e´ obviamente verdadeira. Se Maria na˜o foi a Roma, na˜o importa se ela conhece ou na˜o
o Papa, a proposic¸a˜o na˜o e´ falsa, ja´ que nada diz a respeito desta situac¸a˜o.
Um terr´ıvel exemplo de como a implicac¸a˜o condicional “se ..., enta˜o ...”gera confuso˜es e injustic¸as
ocorre praticamente todo ano, nos finais do Campeonato Brasileiro de Futebol. Na˜o e´ piada, e´ se´rio!
No comec¸o dos campeonatos, alguns matema´ticos especializados no assunto (muitos deles bastante
competentes, por sinal!) costumam divulgar seus estudos. Neles, costumam fazer afirmac¸o˜es como
O time que obtiver pelo menos 52 pontos na˜o sera´ rebaixado.
Esta afirmac¸a˜o pode ser lida como uma condicional da seguinte forma:
Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´ rebaixado.
Acontece que, ao final do campeonato, um time possui 45 pontos e na˜o foi rebaixado. A´ı todos
caem em cima do matema´tico dizendo que ele errou? Pense um pouco... ele errou?
Na˜o, ele na˜o errou! A afirmac¸a˜o “Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´
rebaixado”diz simplesmente que todo e qualquer time que tiver pontuac¸a˜o igual ou superior a 52 na˜o
sera´ rebaixado. E isto realmente aconteceu. Se um time com 45 na˜o caiu, e´ claro que todos aqueles
Me´todos Determin´ısticos I EP4 2
que teˆm 52 tambe´m na˜o ca´ıram. Ou seja, o que o matema´tico disse estava certo.
Repare que nada foi dito sobre os times que tivessem menos do que 52 pontos. Aqueles que tivesses
menos de 52 poderiam ser ou na˜o rebaixados, nada disse o matema´tico sobre eles.
O grande problema e´ que, em geral, quando as pessoas leem
Se um time obtiver pelo menos 52 pontos, enta˜o ele na˜o sera´ rebaixado.
elas costumam pensar que tambe´m esta´ sendo afirmado que
Se um time na˜o foi rebaixado, enta˜o ele obteve 52 pontos.
Esta u´ltima afirmac¸a˜o na˜o e´ equivalente a` anterior. Dentro do exemplo dado, ela esta´, inclusive
incorreta, pois houve um time que na˜o foi rebaixado e na˜o obteve 52 pontos. E e´ essa afirmac¸a˜o
que o matema´tico na˜o fez que costuma ser utilizada para dizerem que ele esta´ errado! Ou seja, ele
esta´ pagando pelos erros lo´gicos dos outros!
No exerc´ıcio a seguir, vamos trabalhar com o conectivo condicional “se ..., enta˜o ...”. Em va´rios
dos itens deste exerc´ıcio, voceˆ observara´ que as proposic¸o˜es simples envolvidas na proposic¸a˜o com-
posta na˜o possuem nenhuma relac¸a˜o uma com a outra. Isto na˜o constitui nenhum problema. Uma
proposic¸a˜o simples pode na˜o ter nada a ver com a outra. O que vai determinar se a proposic¸a˜o
composta e´ falsa ou verdadeira e´ a falsidade ou veracidade de cada uma das proposic¸o˜es simples
envolvidas.
Exerc´ıcio 1 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposic¸o˜es compostas a seguir. Jus-
tifique.
a) Se a Amazoˆnia e´ uma floresta enta˜o ha´ praias no Rio de Janeiro.
b) Se respiramos oxigeˆnio, enta˜o temos guelras.
c) Se o Snoopy era um gato, enta˜o o Garfield era um cachorro.
d) Se Salvador e´ a capital do Brasil, enta˜o o Rio de Janeiro fica na regia˜o Sudeste.
e) Se existe chuva de canivete, enta˜o os canivetes evaporam quando deixados no Sol.
Se, e somente se
Vamos tratar agora o conectivo bicondicional “se e somente se”. Por exemplo, lembrando-se do caso
de Julio, se o pai dele (ver EP3) houvesse dito “Julio, voceˆ tera´ um carro novo se e somente se voceˆ
for aprovado no ENEM”, a´ı sim, o pai dele estaria dizendo que se ele fosse aprovado no ENEM teria
um carro, e se fosse visto com um carro e´ porque foi aprovado no ENEM.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 3
O conectivo bicondicional e´ expresso pelo s´ımbolo⇔ e e´ usado para denotar equivaleˆncia entre duas
proposic¸o˜es. Dizer p⇔ q, significa dizer que quando uma das duas proposic¸o˜es elementares for ver-
dadeira, a outra tambe´m sera´ e quando uma das duas for falsa, a outra tambe´m sera´. A proposic¸a˜o
composta p⇔ q (p se e somente se q) e´ falsa se uma das duas proposic¸o˜es elementares for verdadeira
e a outra falsa. Por exemplo, “o Brasil e´ maior que a Argentina se e somente se as baleias sabem
falar” e´ uma proposic¸a˜o falsa, pois a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira e a segunda na˜o.
Ja´ a proposic¸a˜o “O Brasil e´ menor que a Argentina se e somente se as baleias sabem falar” e´ uma
proposic¸a˜o verdadeira pois ambas as proposic¸o˜es elementares sa˜o falsas (logo, sa˜o equivalentes, isto
e´, teˆm o mesmo valor lo´gico).
Na pro´xima questa˜o vamos trabalhar com o conectivo bicondicional “se e somente se”.
Exerc´ıcio 2 Determine se as proposic¸o˜es compostas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Bananas sa˜o vermelhas se e somente se existem mac¸a˜s verdes.
b) A bandeira brasileira e´ lila´s se e somente se ha´ peixes no mar.
c) Os peixes sabem respirar sob a a´gua se e somente se ha´ elefantes que voam.
d) As bananeiras da˜o mac¸a˜s se e somente se os golfinhos teˆm asas.
Tabelas-verdade
Agora, voceˆ ja´ conhece todos os operadores lo´gicos que vamos estudar (e, ou, na˜o, se ... enta˜o...,
se e somente se). Nossa pro´xima tarefa e´ montar tabelas-verdade. Trata-se de uma tabela em que
anotamos os valores lo´gicos das proposic¸o˜es elementares, a fim de saber se uma expressa˜o composta
e´ verdadeira ou falsa.
Vejamos um exemplo: vamos avaliar a expressa˜o p⇔ q. Para criar a tabela, colocamos nas primeiras
colunas as proposic¸o˜es elementares e na coluna seguinte a expressa˜o que queremos avaliar. Nas linhas
das proposic¸o˜es elementares escrevemos todas as combinac¸o˜es poss´ıveis de verdadeiro e falso que
estas proposic¸o˜es podem assumir:
p q p⇔ q
V V
V F
F V
F F
Ja´ sabemos que a expressa˜o em questa˜o e´ verdadeira sempre que tanto p quanto q tiverem o mesmo
valor lo´gico, isto e´, quando as duas forem verdadeiras ou quando as duas forem falsas. Enta˜o podemos
preenchera tabela-verdade:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 4
p q p⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Uma tabela verdade pode ter va´rias proposic¸o˜es compostas e estas podem ser bem mais complicadas
que a que usamos acima.
Na questa˜o abaixo vamos trabalhar com tabelas-verdade.
Exerc´ıcio 3 Complete a tabela verdade a seguir.
p q p⇒ q p ∨ q p∨ ∼ p q∧ ∼ q p ∧ q ∼ p⇒ q ∼ q ⇒∼ p
V V
V F
F V
F F
Exerc´ıcio 4 Andre´ e´ inocente ou Beto e´ inocente. Se Beto e´ inocente, enta˜o Caio e´ culpado. Caio
e´ inocente se e somente se Deˆnis e´ culpado. Ora, Deˆnis e´ culpado. Logo,
(A) Caio e Beto sa˜o inocentes.
(B) Caio e Andre´ sa˜o inocentes.
(C) Andre´ e Beto sa˜o inocentes.
(D) Caio e Deˆnis sa˜o culpados.
(E) Andre´ e Deˆnis sa˜o culpados.
Observac¸a˜o: Essa questa˜o foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) – (Fiscal Recife/2003/Esaf).
Exerc´ıcio 5 Considere a afirmac¸a˜o P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez, sa˜o as seguintes
afirmac¸o˜es:
A: “Carlos e´ dentista.”
B:“Se Eˆnio e´ economista, enta˜o Juca e´ arquiteto.”
Ora, sabe-se que a afirmac¸a˜o P e´ falsa. Logo,
(A) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(B) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(C) Carlos na˜o e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca e´ arquiteto.
(D) Carlos e´ dentista, Eˆnio na˜o e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
(E) Carlos e´ dentista, Eˆnio e´ economista, Juca na˜o e´ arquiteto.
Observac¸a˜o: A questa˜o a seguir foi desenvolvida pela Escola de Administrac¸a˜o Fazenda´ria (ESAF) para um concurso
de gestor fazenda´rio em 2005.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 5
Condic¸o˜es “necessa´rias”, “suficientes”e “necessa´rias e sufici-
entes”
Ha´ muitas informac¸o˜es teo´ricas neste EP , mas ha´ mais uma coisa que temos que saber. Quando
dizemos p⇒ q, estamos dizendo que p implica q, isto e´, basta que p ocorra para termos certeza de
que q tambe´m ocorrera´. Por isso, nesse caso, dizemos que p e´ condic¸a˜o suficiente para q. Mas p
e´ condic¸a˜o necessa´ria para q? A princ´ıpio, na˜o. Nada nos garante que e´ necessa´rio que p acontec¸a
para q acontecer. Mas se p acontece, com certeza tambe´m acontece q. Isto e´ necessa´rio, q tem que
acontecer quando p acontece pois p implica q, ou seja q e´ condic¸a˜o necessa´ria para p.
Resumindo: sempre que temos p ⇒ q, temos: p e´ condic¸a˜o suficiente para q e q e´ condic¸a˜o
necessa´ria para p. No caso de p⇔ q temos que p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q.
A pro´xima questa˜o foi retirada de um concurso pu´blico. Utilize a estrate´gia de separar as proposic¸o˜es
elementares que ja´ conhecemos desde o EP3.
Exerc´ıcio 6 (Esaf/2002) O Rei ir a cac¸a e´ condic¸a˜o necessa´ria para o duque sair do castelo e e´
condic¸a˜o suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa e´
condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para o bara˜o sorrir e e´ condic¸a˜o necessa´ria para a duquesa ir ao
jardim. O bara˜o na˜o sorriu. Logo:
(A) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
(B) se o duque na˜o saiu do castelo, enta˜o o conde encontrou a princesa.
(C) o rei na˜o foi a` cac¸a e o conde na˜o encontrou a princesa.
(D) o rei foi a cac¸a e a duquesa na˜o foi ao jardim.
(E) o duque saiu do castelo e o rei na˜o foi a cac¸a.
Exerc´ıcio 7 Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. Escreva por extenso as proposic¸o˜es abaixo e
decida se sa˜o falsas ou verdadeiras justificando sua resposta. A primeira esta´ resolvida como exemplo.
a) x ∈ A⇒ x < 5
Por extenso: se x pertence a A, enta˜o x e´ menor que 5.
E´ verdadeira: veja que quando a primeira proposic¸a˜o elementar e´ verdadeira, isto e´, x ∈ A,
tambe´m temos a segunda verdadeira, pois todos os elementos de A sa˜o menores que 5. Observe
ainda que, quando usamos varia´veis como x para que uma proposic¸a˜o como essa seja verdadeira,
ela deve ser verdadeira para todos os valores de x poss´ıveis. Basta que um valor de x falhe
para que a proposic¸a˜o seja considerada falsa. Assim, se a questa˜o fosse x ∈ A ⇒ x ≤ 3, ela
seria falsa, pois um dos valores poss´ıveis para x e´ o 4 (veja que 4 ∈ A), mas 4 na˜o e´ menor
ou igual a 3.
b) x ∈ A⇒ x+ 2 ∈ B.
c) x ∈ A⇔ x+ 2 ∈ B.
d) y ∈ B ⇒ (y − 2 ∈ A ou y e´ ı´mpar)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 6
e) ∀x ∈ N, x e´ par ⇒ x+ 1 e´ ı´mpar
f) ∀x ∈ R, x2 > 1⇔ x > 1
Disjunc¸a˜o exclusiva
Antes de entrarmos em argumentos lo´gicos, vamos estudar um conectivo que na˜o aparece em seu
material impresso, mas e´ importante e esta´ presente em inu´meras questo˜es de lo´gica em provas e
concursos. E´ a “disjunc¸a˜o exclusiva”, denotada por ∨˙ e expressa por ou ... ou....
Por exemplo: Ou Pedro e´ arquiteto ou Pedro e´ psico´logo (a∨˙p). Uma proposic¸a˜o composta com esse
conectivo e´ verdadeira quando apenas uma das duas proposic¸o˜es for verdadeira. Em nosso exemplo
acima, se Pedro for arquiteto e psico´logo, a proposic¸a˜o sera´ falsa. Tambe´m sera´ falsa se ele na˜o for
nem arquiteto nem psico´logo. Se ele tiver uma e apenas uma destas duas profisso˜es a proposic¸a˜o
sera´ verdadeira.
Argumentos lo´gicos
Agora vamos abordar os argumentos lo´gicos. A princ´ıpio, um argumento e´ algo bem simples, um
conjunto de proposic¸o˜es chamadas de premissas seguidas por proposic¸o˜es denominadas concluso˜es.
Por exemplo, poder´ıamos ter como premissas:
Se eu saio de casa, enta˜o pego oˆnibus
Se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro.
Hoje vou sair de casa.
seguidas pela conclusa˜o:
Hoje vou gastar dinheiro.
Este e´ um argumento va´lido pois a conclusa˜o e´ decorreˆncia lo´gica das premissas, isto e´, assumindo
que as premissas sa˜o verdadeiras, necessariamente a conclusa˜o tambe´m e´ verdadeira.
Vamos ver um exemplo de argumento que na˜o e´ va´lido:
Premissas:
Se eu saio de casa, enta˜o pego oˆnibus
Se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro.
Hoje vou gastar dinheiro.
seguidas pela conclusa˜o:
Hoje vou sair de casa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 7
Como ja´ vimos antes, o “se... enta˜o...” representa implicac¸o˜es em uma direc¸a˜o e na˜o pode ser
invertido, isto e´, a afirmac¸a˜o “se eu pego oˆnibus, enta˜o gasto dinheiro” na˜o nos garante de forma
alguma que se eu gasto dinheiro, enta˜o pego oˆnibus. A conclusa˜o acima na˜o e´ uma decorreˆncia das
premissas, por isso o argumento na˜o e´ va´lido.
Veja que em momento algum foram utilizados os termos falso ou verdadeiro para qualificar os argu-
mentos. As proposic¸o˜es podem ser qualificadas em falsas ou verdadeiras. Os argumentos sa˜o
va´lidos ou inva´lidos, dependendo de se as leis da lo´gica foram ou na˜o corretamente aplicadas.
As questo˜es abaixo sa˜o sobre classificac¸a˜o de argumentos em va´lidos ou inva´lidos.
Exerc´ıcio 8 Classifique em va´lido ou inva´lido cada um dos argumentos abaixo. Justifique.
a) Premissas:
Se eu estudo, eu aprendo.
Se eu aprendo, eu passo de ano.
Eu estudo.
Conclusa˜o:
Eu passo de ano.
b) Premissas:
Se eu tenho sede, bebo a´gua.
Se eu bebo a´gua, na˜o me desidrato.
Conclusa˜o:
Se eu tenho sede, na˜o me desidrato.
c) Premissas:
Se eu estudo, na˜o vou ao cinema.
Se na˜o vou ao cinema, na˜o janto fora.
Hoje janto fora.
Conclusa˜o:
Hoje na˜o estudo.
d) Premissas:
Se o Pedrinho na˜o se comportasse, ficaria de castigo
Pedrinho ficou de castigo.
Conclusa˜o:
Pedrinho na˜o se comportou.
Ana´lise de argumentos
Sabemos que premissas sa˜o proposic¸o˜es que, na ana´lise de um argumento, devem ser consideradas
verdadeiras por hipo´tese, isto e´, na˜o importa que sejam absurdas, se sa˜o premissas, no argumento
elas devem ser tomadas como fatos para a obtenc¸a˜o da conclusa˜o. Essa e´ uma das origens de dificul-
dades com argumentos. Para dar um exemplo, vamos consideraruma questa˜o que foi desenvolvida
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 8
pela Fundac¸a˜o Carlos Chagas para um concurso e que esta´ comentada tambe´m em nossa v´ıdeo aula
de argumentos:
Questa˜o Exemplo (FCC): Observe a construc¸a˜o de um argumento:
Premissas:
Todos os cachorros teˆm asas.
Todos os animais de asas sa˜o aqua´ticos.
Existem gatos que sa˜o cachorros.
Conclusa˜o:
Existem gatos que sa˜o animais aqua´ticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusa˜o C, e´ correto dizer que:
A) A na˜o e´ va´lido, P e´ falso e C e´ verdadeiro.
B) A na˜o e´ va´lido, P e C sa˜o falsos.
C) A e´ va´lido, P e C sa˜o falsos.
D) A e´ va´lido, P ou C sa˜o verdadeiros.
E) A e´ va´lido se P e´ falso e C e´ verdadeiro.
Como vemos, todas as proposic¸o˜es constantes na premissa sa˜o absurdas, a conclusa˜o tambe´m e´
absurda, mas nada disso impede que o argumento seja va´lido. De fato, tomando como verdadeiras
as premissas, partimos do fato de que existem gatos que sa˜o cachorros (premissa 3), usando a pre-
missa 1 vamos concluir que existem gatos que teˆm asas e, enta˜o, a premissa 2 nos permite chegar a
conclusa˜o: existem gatos que sa˜o animais aqua´ticos. O argumento e´ perfeitamente va´lido, embora
as premissas P e a conclusa˜o C sejam todas falsas. A ana´lise do argumento na˜o leva em considerac¸a˜o
o cara´ter verdadeiro ou falso das premissas e da conclusa˜o, esta ana´lise considera apenas a forma
como a lo´gica esta´ sendo aplicada.
E´ importante observar que no contexto de ana´lise de um argumento as premissas devem sempre
ser tomadas como verdades. Entretanto, uma premissa, analisada isoladamente como uma pro-
posic¸a˜o, i.e. fora do contexto de ana´lise de um argumento, ela pode ser verdadeira ou falsa. Em
outras palavras, podemos pensar que existe uma afirmac¸a˜o que e´ uma unidade chamada de “pro-
posic¸a˜o”. Esta proposic¸a˜o pode ser avaliada como falsa ou verdadeira. Agora vamos coloca´-la no
contexto de ana´lise de um argumento. Ela passara´ a ser chamada de “premissa”e, como premissa,
neste contexto, ela e´ sempre assumida como verdadeira. Por exemplo, no caso acima, estamos no
contexto de ana´lise de um argumento e a proposic¸a˜o “Todos os cachorros teˆm asas”tornasse uma
das premissa do problema. Desta forma, como premissa, ela e´ assumida como uma verdade. En-
tretanto, fora do contexto de ana´lise de argumento, ela e´ simplesmente uma proposic¸a˜o, que, na˜o
temos du´vida, de que se trata de uma proposic¸a˜o falsa, pois cachorros na˜o teˆm asas.
Sempre que algue´m desenvolve um argumento matema´tico e, atrave´s dele, conclui algo errado (por
exemplo, que 1=2), e´ porque cometeu pelo menos um dos seguintes erros:
- usou um argumento que na˜o e´ va´lido, isto e´, a conclusa˜o na˜o e´ consequeˆncia das premissas,
ou
- aplicou um argumento va´lido, i.e. a conclusa˜o e´ consequeˆncia das premissas, mas alguma delas,
pelo menos, analisada de forma isolada, ou seja, apenas como uma proposic¸a˜o, fora do contexto de
ana´lise de um argumento, e´ uma proposic¸a˜o falsa.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 9
Exerc´ıcio 9 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Desempregados na˜o trabalham.
Se uma pessoa precisa de dinheiro, enta˜o ela trabalha.
Conclusa˜o
Desempregados na˜o precisam de dinheiro.
Exerc´ıcio 10 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
A questa˜o anterior mostra mais uma vez como a Lo´gica funciona de forma diferente de nossa “lo´gica
cotidiana”. Em nosso dia-a-dia, as concluso˜es a que chegamos sa˜o consequeˆncia na˜o apenas das
premissas que esta˜o expostas claramente, mas tambe´m de toda uma experieˆncia de vida que temos.
Assim, ningue´m seria louco de discordar da conclusa˜o de que se Joa˜o realmente fez tudo o que esta´
nas premissas, ele deve ser muito inteligente. Mas, na Lo´gica, na˜o e´ permitido usar esse tipo de
senso comum para chegar a`s concluso˜es. Assim, na˜o encontramos nas premissas acima nada que nos
permita deduzir logicamente que Joa˜o e´ inteligente.
Sera´ que poder´ıamos acrescentar algo nas premissas da questa˜o anterior que tornasse verdadeira a
conclusa˜o? Veja a questa˜o abaixo.
Exerc´ıcio 11 Determine se o argumento abaixo e´ va´lido ou inva´lido.
Premissas:
Joa˜o sabe f´ısica quaˆntica.
Joa˜o e´ doutor em matema´tica.
Joa˜o e´ formado em filosofia.
Joa˜o ganhou o preˆmio Nobel da literatura.
Qualquer pessoa que saiba f´ısica quaˆntica e seja doutor em matema´tica e seja
formado em filosofia e tenha ganho o preˆmio Nobel da literatura e´ inteligente.
Conclusa˜o:
Joa˜o e´ inteligente.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 10
O que fizemos na questa˜o anterior foi incluir nas premissas algo que admitimos implicitamente e que
nos levava a pensar que Joa˜o devia ser inteligente. Na Lo´gica, tudo o que for utilizado para chegar
a uma conclusa˜o deve estar claramente expresso nas premissas do argumento (de outra forma, o
argumento pode tornar-se inva´lido).
Exerc´ıcio 12 Decida se cada um dos argumentos abaixo e´ ou na˜o va´lido e justifique sua resposta:
a) Premissas: Se o do´lar cai os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional; Se
os produtos brasileiros ficam mais caros no mercado internacional, caem as nossas exportac¸o˜es;
Em 2012 o do´lar na˜o caiu.
Conclusa˜o: Nossas exportac¸o˜es na˜o ca´ıram em 2012.
b) Premissas: Se as vendas da empresa ABC ca´ırem, a empresa se endividara´ com empre´stimos
ou demitira´ empregados; A diretoria da ABC na˜o permitira´ que a empresa contraia d´ıvidas com
empre´stimos.
Conclusa˜o: Se a empresa ABC na˜o demitir, e´ porque suas vendas na˜o ca´ıram.
Exerc´ıcio 13 Sobre o clima na praia de Icara´ı, costuma-se dizer que esta´ chovendo sempre que o
vento sudoeste esta´ soprando.
Considerando as proposic¸o˜es
p: ”O vento sudoeste esta´ soprando em Icara´ı”
q: ”Esta´ chovendo em Icara´ı”
(a) Escreva a frase do enunciado utilizando p, q e o conectivo lo´gico adequado.
(b) Minha tia acredita que a regra do enunciado nunca falha. Desta forma, em um dia em que o
vento sudoeste na˜o estava soprando, ela afirmou: “Como o vento na˜o esta´ soprando, na˜o esta´
chovendo, logo na˜o vou levar o meu guarda-chuva”. Ha´ algum erro na argumentac¸a˜o de minha
querida tia? Justifique.
(c) Se o ditado “Em Icara´ı, esta´ chovendo sempre que o vento sudoeste esta´ soprando”for verdadeiro,
e, em um certo meˆs, o vento sudoeste tiver soprado em 10 dias, e´ correto dizer que:
( ) choveu em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) choveu em Icara´ı em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
(d) Supondo novamente que o ditado e´ verdadeiro, se, em um certo meˆs, em Icara´ı, tiver chovido
em 10 dias, e´ correto dizer que:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Me´todos Determin´ısticos I EP4 11
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no ma´ximo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em Icara´ı em, no m´ınimo, 10 dias.
( ) o sudoeste soprou em exatamente 10 dias.
( ) nenhuma das alternativas anteriores.
Justifique.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ