01 Polígonos e Poliedros

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Claudio Estevão Bergamini 
IFAL – Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas 
Polígonos e poliedros 
(conceitos e construção) 
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SUMÁRIO DA APRESENTAÇÃO 
 
1. Polígonos e Poliedros 
1.1. Geometria 
1.2. Geometria plana e geometria espacial 
 
2. Polígonos 
2.1. Polígonos convexos 
2.2. Polígonos regulares 
 
3. Sólidos geométricos 
3.1. Poliedros regulares e semi-regulares 
3.2. Poliedros irregulares 
 
4. Referências bibliográficas 
 
 
 
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1.1. Geometria 
Geometria – palavra de origem grega 
formada por geo (terra) e metria (medida). 
 
Há 5.000 anos era a ciência de medir 
terrenos, seus perímetros e áreas. 
Com o tempo tornou-se a parte da 
Matemática que estuda figuras como 
retângulos, cubos, esferas, etc. 
 
A Geometria foi desenvolvida a partir da 
necessidade de medir terras, construir casas, 
templos monumentos, navegar, calcular 
distâncias. 
 
Através dos tempos, os seus registros estão 
presentes nos legados de todas as 
civilizações: babilônios, egípcios, gregos, 
chineses, romanos, hindus, árabes utilizaram 
as formas geométricas no seu dia-a-dia. 
 
Papiro de Moscou 
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Os conceitos, propriedades e resultados que 
apresentaremos são muito antigos, começaram 
a adquirir a forma que os conhecemos hoje com 
as investigações de Tales, que viveu por volta 
de 600 anos antes de Cristo, ganharam força 
nas escolas de Pitágoras, Aristóteles e 
Platão, e foram organizados, pela primeira vez, 
por Euclides, um matemático da escola de 
Alexandria que viveu por volta de 300 anos 
antes de Cristo. 
 
Por essa razão, a Geometria que estudaremos, 
muito freqüentemente denominada de 
“Geometria Euclidiana“, foi aperfeiçoada pelos 
sucessores de Euclides e, até o ano 500 da era 
cristã, já tinha sua forma atual. 
1.1. Geometria 
A diagonal do quadrado 
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Os padrões da natureza e suas simetrias e muitos problemas 
práticos do nosso cotidiano podem ser traduzidos e 
transformados num diagrama geométrico. 
 
A análise e interpretação desse modelo trazem um melhor 
entendimento, novas informações ou respostas para o 
problema original, e constituem a rotina de trabalho quando 
estudamos Geometria. 
 
O desenvolvimento da Geometria se ampliou de várias 
formas, derivando em diversos campos de estudo como: 
a Geometria Plana, 
a Geometria Espacial, 
a Geometria Analítica – estudo das figura por meio da 
álgebra, com auxílio do sistema cartesiano. 
a Geometria Descritiva – estudo das figuras no espaço. 
a Geometria Esférica – trata da superfície bi-dimensional 
numa esfera. 
a Geometria Fractal – ramo da matemática que estuda o 
comportamento dos “fractais”. 
 
1.1. Geometria 
Geometria fractal 
Geometria Esférica 
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Conceitos geométricos primitivos 
A Geometria Plana e a Geometria Espacial 
baseiam-se nos chamados conceitos geométricos 
primitivos. 
Define-se como conceito primitivo toda aquele que 
não admite definição, isto é, o conceito que é aceito 
por ser óbvio ou conveniente para uma determinada 
teoria. 
Normalmente, em Matemática, os conceitos 
primitivos servem de base para a construção de 
postulados que formarão, por sua vez, a estrutura 
lógica e formal da teoria. 
 
Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta 
e o círculo - e cinco postulados a eles referentes 
servem de base para toda Geometria chamada 
euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de 
geometrias não-euclidianas baseadas em postulados 
diferentes (e contraditórios) dos de Euclides. 
1.2. Geometria Plana e Geometria Espacial 
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Geometria Plana trata das figuras planas, isto é, 
figuras em duas dimensões que podem ser 
construídas a partir do ponto, da reta, do plano e do 
circulo. 
 
 
 
Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma 
ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata 
dos métodos apropriados para o estudo de objetos 
espaciais assim como a relação entre esses 
elementos. 
Objetos espaciais ocupam um lugar no espaço, então 
a geometria espacial é responsável pelo cálculo do 
volume (medida do espaço ocupado por um sólido) 
dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras 
espaciais 
1.2. Geometria Plana e Geometria Espacial 
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Polígono - palavra de origem grega que quer dizer: poli (muitos) + gonos 
(ângulos). 
 
Figura geométrica plana, limitada por segmentos de retas consecutivos 
que formam uma linha fechada, designando seus lados. (por exemplo, 
triângulo, quadrilátero, pentágono). 
2. Polígonos 
Exemplos de polígonos 
Exemplos de não-polígonos 
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POLÍGONOS CONVEXOS E CÔNCAVOS 
 
Um polígono é convexo se dois quaisquer de seus vértices estão sempre 
de um mesmo lado de qualquer reta que contém um lado do polígono, ou 
se ao ligar dois pontos contidos no polígono, o segmento resultante estará 
dentro da figura. 
2. Polígonos convexos e côncavos 
Exemplo de polígono convexo Exemplo de polígono côncavo 
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Triângulos 
2.1. Polígonos Convexos 
Definição 
Figura plana limitada por três segmentos de reta 
(a que se chamam lados). 
Classificação quanto aos lados 
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Triângulos 
2.1. Polígonos convexos 
Classificação quanto aos ângulos 
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2.1. Polígonos convexos 
Quadriláteros - do latim - "quadri" quatro + "latus" lados. 
É um polígono que tem quatro lados, quatro vértices, quatro ângulos e duas 
diagonais. 
 
 
Paralelogramo 
do latim - 
"parallelogrammum". 
do grego -
"parallelógrammon" 
 
É um quadrilátero cujos 
lados opostos são 
paralelos e congruentes 
e os ângulos opostos 
também são congruentes 
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2.1. Polígonos 
convexos 
Quadriláteros 
Trapézio 
do latim 
“trapeziu", 
do grego 
"trapézion" = mesa. 
 
É um quadrilátero que 
tem dois lados 
paralelos que são as 
bases do trapézio. 
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2.2. Polígonos regulares 
Polígonos Regulares 
Um polígono é regular se é convexo e se 
todos os seus lados e ângulos são 
congruentes. 
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2.2. Polígonos regulares 
Polígonos Regulares 
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2.2. Polígonos regulares 
Polígonos Regulares 
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2.2. Polígonos regulares 
Polígonos Regulares 
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2.2. Polígonos regulares 
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2.2. Polígonos regulares 
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3. Sólidos geométricos 
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3.1. Poliedros 
POLIEDROS: do grego - poli (muitas) + edro (face). 
 
Os poliedros fazem parte do pensamento grego, foram 
estudados pelos grandes filósofos da antiguidade e tomaram 
parte nas suas teorias sobre o universo. 
 
Poliedro é todo sólido limitado por polígonos planos. 
Os polígonos, chamados faces do poliedro, são colocados 
lado a lado, não pertencentes ao mesmo plano, definindo um 
trecho fechado no espaço. 
 
O ângulo entre duas faces é chamado ângulo diedro. 
 
Os lados são chamados arestas do poliedro. 
 
Os vértices dos polígonos coincidem com os vértices do 
poliedro. 
 
As arestas que saem de um mesmo vértice formam um 
ângulo sólido do poliedro. 
 
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3.1. Poliedros 
 Os poliedros são divididos em três grupos: 
 
I - Os regulares – são apenas 5 
(tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro) 
Poliedros formados por polígonos regulares de um único tipo. 
 
II - Os semi-regulares – são apenas 13 
(tetratroncoedro, cuboctatroncoedros, dodecaicositroncoedros) 
Poliedros formados por polígonos regulares de mais de um tipo. 
 
III - Os irregulares (pirâmides e prismas).23 
 
Os Sólidos de Platão 
Para ele, a explicação de tudo, como tudo existia estava nos cinco sólidos perfeitos: 
o hexaedro – seis faces quadradas (Terra), 
 
 
o tetraedro 
quatro faces triangulares (Fogo), 
 
 
o octaedro 
oito triângulos equiláteros (Ar), 
 
 
 
o icosaedro 
vinte triângulos equiláteros (Água) e 
 
 
 
o dodecaedro – doze pentágonos regulares 
(O elemento que permearia todo o Universo). 
3.1. Poliedros regulares 
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3.1. Poliedros semi-regulares 
Sólidos de Arquimedes - ou poliedros semi-regulares são poliedros convexos cujas 
faces são polígonos regulares de mais de um tipo. Todos os seus vértices são 
congruentes, isto é, existe o mesmo arranjo de polígonos em torno de cada vértice. 
Além disso, todo vértice pode ser transformado em outro vértice por uma simetria 
do poliedro. Existem apenas treze poliedros arquimedianos. 
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3.2. Poliedros irregulares 
PRISMA - Poliedro irregular formado por duas bases poligonais, paralelas e iguais e 
por faces laterais que são paralelogramos. 
PRISMA RETO 
Arestas laterais 
Perpendiculares à base 
PRISMA OBLIQUO 
Arestas laterais obliquas à 
base 
PRISMA REGULAR 
Além de reto, possui 
base poligonal regular 
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3.2. Poliedros irregulares 
PARALELEPÍPEDO - É o prisma que tem paralelogramos como base. Assim sendo, 
todas as suas faces são paralelogramos, possuindo portanto, 6 faces, 12 arestas e 
8 vértices. Por possuir faces paralelas duas a duas, qualquer face pode ser tomada 
como base. 
ORTOEDRO 
É o paralelepípedo que 
possui suas faces iguais a 
quadrados e retângulos. Os 
ângulos são sempre retos 
ROMBOEDRO 
É o paralelepípedo que 
possui suas faces iguais ao 
losango. 
TRONCO DE PRISMA 
Quando um prisma é 
seccionado por um 
plano não paralelo à 
base. 
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3.2. Poliedros irregulares 
PIRÂMIDE - Poliedro irregular tendo por base um polígono e arestas laterais 
convergentes à um vértice que é o ápice do sólido, formando faces triangulares.. 
PIRÂMIDE RETA 
O eixo é perpendicular à 
base 
PIRÂMIDE OBLIQUA 
O eixo é obliquo à base 
PIRÂMIDE REGULAR 
Além de reta, possui 
base poligonal regular 
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PESQUISA INTERNET 
 
Desenho, Geometria e Arquitetura On-Line 
disponível em www.mat.uel.br/geometrica 
 
Programa de Formação Contínua em 
Matemática para Professores do 1º ciclo – 
2006/07-pdf disponível em www.ipg.pt 
 
 Referências Bibliográficas 
CHING, Francis D. K. Arquitetura – 
Forma, espaço e ordem. São Paulo: 
Martins Fontes, 2002. 
 
SILVA, Arlindo (et al.) Desenho Técnico 
Moderno. Rio de Janeiro: : 
LTC, 2006. 
GIESECKE, Frederick E. Comunicação 
gráfica moderna. Porto Alegre: 
 Bookman, 2002.