Introdução à Análise Vetorial

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Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de sobrevivência
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Prof. Doherty Andrade
Introdução a Análise Vetorial
Para podermos operarmos com estes operadores precisamos carregar o pacote de Álgebra Linear.
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
Campos vetoriais
A . Gradiente (grad), Divergente (diverge) e Rotacional (curl)
Comecemos com o gradiente . Vamos relembrar a definição de gradiente. Dado uma função real g , g(x,y,z), o seu
gradiente é definido por
> 'grad(g,[x,y,z])'=[Diff(g,x),Diff(g,y),Diff(g,z)];
Exemplo
Dado , determinar o gradiente de f. O Maple tem um comando para determinar o gradiente. Use
o camando grad .
> f:=(x,y,z) -> x*y*z;
> grad(f(x,y,z), vector([x,y,z]));
> grad(3*x^2 + 2*y*z, vector([x,y,z]));
Como exemplo calcule o gradiente de g(x,y,z)= .
> grad(sin(x)*exp(x*y*z), vector([x,y,z]));
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Se = podemos determinar o seu gradiente diretamente usando a definição:
> vf:=(x,y,z) -> sin(x)*exp(x*y*z);
> vector([diff(vf(x,y,z),x),diff(vf(x,y,z),y), diff(vf(x,y,z),z)]);
Divergente: dado uma função real g , g(x,y,z) o seu divergente é definido como sendo
> 'diverge(g,[x,y,z])'=Diff(g,x)+ Diff(g,y)+Diff(g,z);
O Maple tem uma rotina para calcular diretamente o divergente de um campo vetorial. Use o camando diverge .
> F := vector([sin(x),exp(x*y*z),x+sin(z)]);
> divF := diverge(F,[x,y,z]);
Rotacional:
Por definição o rotacional de um campo vetorial F= (M, N, P) é dado por
curl F = ( )
O Maple tem também uma rotina para calcular o rotacional (ou o curl , em inglês) de um campo vetorial. Use o
comando curl .
> curlF := curl(F,[x,y,z]);
Mais um exemplo: dado o campo F abaixo, determine o divergente e o seu rotacional.
> F := vector([cos(y*z),-x*z*sin(y*z),-x*y*sin(y*z)]);
> divF := diverge(F,[x,y,z]);
> curlF := curl(F,[x,y,z]);
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Podemos calcular o rotacional e o divergente em pontos particulares, basta substituir no ponto desejado. Vejamos
um exemplo. No ponto ( ), usamos os comandos subs e eval .
> ValuedivF := subs(x=0,y=1,z=Pi,divF);
> ValuedivF := simplify(ValuedivF);
> ValuecurlF := subs(x=0,y=1,z=Pi,eval(curlF));
> ValuecurlF := map(simplify,ValuecurlF);
Mais um exemplo.Considere o campo G dado abaixo. Determine o div G e o curl G
> G := vector([x*z, y*x, y*z]);
> divG := diverge(G,[x,y,z]);
> curlG := curl(G,[x,y,z]);
> H:=vector([xz,xy,yz]);
> divH := diverge(H,[x,y,z]);
> curlH := curl(H,[x,y,z]);
É simples e útil utlizar o operador nabla para reescrever gradiente, divergente e rotacional.
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Integrais de linha
Nesta seção apresentamos um procedimento que calcula a integral de linha. Para isto entramos com o
campo e a curva e obtemos o valor da integral de linha. Quando o campo e a curva estão definidos no
plano a terceira componente é nula.
Sintaxe é 
> Integraldelinha := proc(F,r,range) 
 local t,a,b,P,Q,R,dx,dy,dz,Li,li,f; 
 global x,y,z; 
 t := eval(op(1,range)); 
 a := op(1,op(2,range)); 
 b := op(2,op(2,range)); 
 x := r[1]; 
 dx := diff(x,t); 
 y := r[2]; 
 dy := diff(y,t); 
 if nops(linalg[evalm](F)) = 2 then z := 0; dz := 0; R := 0 
 else z := r[3]; dz := diff(z,t); R := F[3] 
 fi; 
 Q := F[2]; 
 P := F[1]; 
 f := eval(P*dx+Q*dy+R*dz); 
 Li := Integrallinha(P*'dx'+Q*'dy'+R*'dz'); 
 li := int(f,t = a .. b); 
 x := 'x'; 
 y := 'y'; 
 z := 'z'; 
 RETURN(Li = li) 
 end: 
 
Exemplos
1 - Aqui desejamos calcular a integral de linha de ao longo da curva
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 , t pertencente ao intervalo 
> Integraldelinha([x,y+2,0],[t-sin(t),1-cos(t),0],t=0..2*Pi);
Vamos visualizar o campo e a c urva num só desenho
> F:=vector([x,y+2,0]);
> with(plots):
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> curva:=spacecurve([t-sin(t),1-cos(t),0],t=0..2*Pi):
> display({campo,curva});
2- - Aqui desejamos calcular a integral de linha de ao longo da curva
 , t pertencente ao intervalo 
> Integraldelinha([-z,y+2,-x],[sin(t),cos(t),t^2],t=0..2*Pi);
Vamos visualizar o campo F e acurva
> F:=vector([-z,y+2,-x]);
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> curva:=spacecurve([sin(t),cos(t),t^2],t=0..2*Pi):
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> display({campo,curva});
3- - Aqui desejamos calcular a integral de linha de ao longo da curva
C(t) = (-sin(t), cos(t), -t), t pertencente ao intervalo 
> Integraldelinha([-z*x,y^2+2*x,-x*y],[-sin(t),cos(t),-t],t=-2*Pi..2*Pi);
Visualizamos o campo e a a curva e analisar a interação entre eles.
> with(plots):
> F:=vector([-z*x,y^2+2*x,-x*y]);
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> curva:=spacecurve([-sin(t),cos(t),-t],t=0..2*Pi):
> display({campo,curva});
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Mais um exemplo no espaço .
> restart:with(linalg):
> vf:=[2*x,2*y,1];
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
Para plotar um campo 3-dimensional, precisamos da biblioteca "plots" --
> with(plots):
> fieldplot3d(vf,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);
Uma integral de linha em três dimensões envolve integrar um campo vetorial F sobre um caminho.
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Vamos relembrar isto para o campo de vetores dado acima e para a hélice cônica:
> ch:=[t*cos(8*t),t*sin(8*t),t,t=0..2];
> spacecurve(ch);
Plotamos o campo de vetores e a curva juntos para obter uma idéia do que esperamos da integral de
linha:
> F:=fieldplot3d(vf,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2):
> G:=spacecurve(ch):
> display3d({F,G});
Integrais de linha em 3 dimensões sao análogas a aquelas de duas dimensões.
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> linhaint3d:=proc(vf,cv)
> Int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4])=int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4]);
> end:
> with(linalg):
> linhaint3d(vf,ch);
Positivo, como esperado.
Interpretação
Trabalho realizado em deslocar um particula ao longo de uma curva na presença do campo F.
Ou a integral de linha de F ao longo da curva C, 
mede a concordancia da circulação do campo F com a orientação da curva C.
Campos conservativos
1. Introdução
Se : --> está definido sobre a região do e existe g: --> R tal que = F,
então
dizemos que é um campo conservativo e que é um potencial para .
No cálculo de gradientes, vamos usar um pacote de Álgebra Linear. Vamos relembrar a definição de gradiente.
> with(linalg):
> 'grad(g,[x,y,z])'=[Diff(g,x),Diff(g,y),Diff(g,z)];
Exemplo 1: Seja . Este é um campo conservativo e é um potencial
para .
> grad(x*y*z, [x,y,z]);
Lembramos que se = F, e se : --> é uma função diferenciável definida sobre o intervalo
[a, b], então
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 = = . '( ). Isto é Regra da Cadeia para derivadas de
funções compostas.
Assim, se integrarmos dea ,
 = .
Concluímos que se é um campo conservativo e descreve uma curva fechada , então = 0,
onde a integral é tomada sobre a curva fechada.
Exemplo 2: A função F(x,y,z) = [y, -x, 0] não é um campo conservativo, pois tomando a curva como sendo um
círculo de raio 1 no plano x-y, vemos que
> Int(dotprod([sin(t),-cos(t)],[diff(cos(t),t),diff(sin(t),t)]),t=0..2*Pi)
 = int(dotprod([sin(t),-cos(t)],[diff(cos(t),t),diff(sin(t),t)]),t=0..2*Pi);
2. Como reconhecer se F é conservativo I?
Teorema 1 : Seja continuo em uma região do . São equivalentes:
(a) é conservativo.
(b) A integral de linha é independente do caminho.
Este é um ótimo resultado. A parte mais interessante deste teorema é a implicação (b) implica (a).
Exemplo 1 (de novo): Vimos que é conservativo, assim pelo teorema 1, a integral
sobre qualquer caminho fechado do é zero. Tomemos como exemplo o circulo no plano x-y.
> F:=(x,y,z)->[y*z,x*z,x*y];
 x:=t->cos(t); y:=t->sin(t); z:=t->0;
 Int('F(x(t),y(t),z(t))[1]'*'D(x)(t)',t=0..2*Pi)
 + Int('F(x(t),y(t),z(t))[2]'*'D(y)(t)',t=0..2*Pi)
 + Int('F(x(t),y(t),z(t))[3]'*'D(z)(t)',t=0..2*Pi) =
 int(F(x(t),y(t),z(t))[1]*D(x)(t),t=0..2*Pi)
 + int(F(x(t),y(t),z(t))[2]*D(y)(t),t=0..2*Pi)
 + int(F(x(t),y(t),z(t))[3]*D(z)(t),t=0..2*Pi);
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Exemplo 2 (de novo): Vimos que a integral sobre qualquer curva fechada não é necessariamente zero para este
exemplo. Vamos ver, de outro modo, que não existe g tal que
 and = -x.
Se existisse uma tal g, então as derivadas parciais mistas deveriam ser iguais.
Isto é,
-1 = = = 1.
Uma contradição.
3. Como reconhecer se é conservativo II?
Teorema 2: Seja e suponha que , , e , juntos com
suas primeiras derivadas são continuas em uma região simples . São equivalentes:
(a) é um campo conservativo sobre ,
(b) = , = , e = em .
Exemplo 1: Vamos verificar as derivadas mistas com o campo . Vemos que o campo é
conservativo.
> x:='x': y:='y': z:='z':
 F:=(x,y,z)->[y*z,x*z,x*y];
 diff(F(x,y,z)[1],y),diff(F(x,y,z)[2],x);
 diff(F(x,y,z)[1],z),diff(F(x,y,z)[3],x);
 diff(F(x,y,z)[3],y),diff(F(x,y,z)[2],z);
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Exemplo 2:nao é consevativo
> F:=(x,y,z)->[y,-x,0];
 diff(F(x,y,z)[1],y),diff(F(x,y,z)[2],x);
 diff(F(x,y,z)[1],z),diff(F(x,y,z)[3],x);
 diff(F(x,y,z)[3],y),diff(F(x,y,z)[2],z);
4. Como encontrar o potencial?
É importante saber como determinar o potencial para um campo conservativo. A técnica é simples e poder ser
programada.
O Maple V já tem uma rotina para determinar o potencial de um campo. Veja os comandos.
Exemplo 1 (mais uma vez):
> F:=(x,y,z)->[y*z,x*z,x*y];
 potential(F(x,y,z),[x,y,z],'h');
 h;
Exemplo 2 (mais uma vez):
> F:=(x,y,z)->[y,-x,0];
 potential(F(x,y,z),[x,y,z],'g');
 
Exemplo 3:
> F:=(x,y,z)->[exp(y+2*z),x*exp(y+2*z),2*x*exp(y+2*z)];
 potential(F(x,y,z),[x,y,z],'g');
 g;
Exemplo 4:
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> F:=(x,y,z)->[exp(x)*sin(y)+2*y,exp(x)*cos(y)+2*x-2*y,0];
 potential(F(x,y),[x,y,z],'g');
 g;
 grad(exp(x)*sin(y)+2*x*y-y^2,[x,y,z]);#testando
>
Área de uma superfície
Para calcular a área de uma superfície M, vamos considerar uma parametrização para M.
onde
E= . que é o produto interno entre os dois vetores tangentes.
G= . que é o produto interno entre os dois vetores tangentes.
F= . que é o produto interno entre os dois vetores tangentes.
1 . Como exemplo, tomemos a esfera de raio a e centro na origem. Uma parametrização para a esfera é dada por
onde pertence ao intervalo e pertence ao intervalo .
> sigma:= (u,v) -> vector([a*sin(v)*cos(u), a*sin(v)*sin(u), a*cos(v)]);
> sigma[u]:=vector([diff(a*sin(v)*cos(u),u), diff(a*sin(v)*sin(u),u), diff(a*cos(v),u)]);
> sigma[v]:=vector([diff(a*sin(v)*cos(u),v), diff(a*sin(v)*sin(u),v), diff(a*cos(v),v)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[u]));
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> G:= simplify(dotprod(sigma[v],sigma[v]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[v]));
> E[e]:=unapply(E,(u,v));
> F[f]:= unapply(F,(u,v));
> G[g] := unapply(G,(u,v));
> normaN:=(u,v)->sqrt(E[e](u,v)*G[g](u,v)-(F[f](u,v))^2);#a^2*sin(v);
> Area(M):=int(int(normaN(u,v), v=0..Pi),u=0..2*Pi);
Podemos escrever um procedimento que calcula todos os elementos E, F e G da primeira forma fundamental e
calcular a integral de superfície. Vou fazer isto depois...
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
2 . Calcule a área da superfície dada por com 
A superfície pode ser parametrizada por
onde pertence ao intervalo e pertence ao intervalo .
> sigma:= (r,u) -> vector([r*cos(u), r*sin(u), r]);
> sigma[r]:=vector([diff(r*cos(u),r), diff(r*sin(u),r), diff(r,r)]);
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> sigma[u]:=vector([diff(r*cos(u),u), diff(r*sin(u),u), diff(r,u)]);;
> E:= simplify(dotprod(sigma[r],sigma[r]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[u]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[r]));
> E[e]:=unapply(E,(r,u));
> F[f]:= unapply(F,(r,u));
> G[g] := unapply(G,(r,u));
> normaN:=(u,v)->sqrt(E[e](u,v)*G[g](u,v)-(F[f](u,v))^2);
>
> Area(M):=int(int(normaN(r,u), u=0..2*Pi),r=0..2);
3 . Calcule a área da helicóide, superfície parametrizada por
onde pertence ao intervalo e pertence ao intervalo .
Vamos tomar a=2.
> sigma:= (u,v) -> vector([v*cos(u), v*sin(u), 2*u]);
> plot3d([v*cos(u), v*sin(u), 2*u],u=0..2*Pi,v=0..2);
 
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> sigma[u]:=vector([diff(v*cos(u),u), diff(v*sin(u),u), diff(2*u,u)]);
> sigma[v]:=vector([diff(v*cos(u),v), diff(v*sin(u),v), diff(2*u,v)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[u]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[v],sigma[v]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[v]));
> E[e]:=unapply(E,(u,v));
> F[f]:= unapply(F,(u,v));
> G[g] := unapply(G,(u,v));
> normaN:=(u,v)->sqrt(E[e](u,v)*G[g](u,v)-(F[f](u,v))^2);
>
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> Area(M):=int(int(normaN(u,v), u=0..2*Pi),v=0..2);
4 . Calcule a área toro, superfície parametrizada por
onde e pertencem ao intervalo .
Vamos tomar a=1 e b=3.
> sigma:= (u,v) -> vector([(3+1*cos(phi))*cos(theta), (3+1*cos(phi))*sin(theta), 1*sin(phi)]);
> plot3d([(1+.1*cos(phi))*cos(theta), (1+.1*cos(phi))*sin(theta), .1*sin(phi)],\phi=0..2*Pi,theta=0..2*Pi, title=
`toro com b=1 e a=.1`);#
 #b=10 e a=.1
> sigma[phi]:=vector([diff((3+1*cos(phi))*cos(theta),phi), diff((3+1*cos(phi))*sin(theta),phi),
diff(1*sin(phi),phi)]);
> sigma[theta]:=vector([diff((3+1*cos(phi))*cos(theta),theta), diff((3+1*cos(phi))*sin(theta),theta),
diff(1*sin(phi),theta)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[phi],sigma[phi]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[theta],sigma[theta]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[phi],sigma[theta]));
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> E[e]:=unapply(E,(phi,theta));
> F[f]:= unapply(F,(phi,theta));
> G[g] := unapply(G,(phi,theta));
> normaN:=(u,v)->sqrt(E[e](phi,theta)*G[g](phi,theta)-(F[f](phi,theta))^2);
> Area(M):=int(int(normaN(u,v), phi=0..2*Pi),theta=0..2*Pi);
Integral de um campo escalar sobre uma superfície
Para calcular integral de um campo escalarsobre uma superfície M, precisamos de uma parametrização para
M. Calculamos a integral sobre o domíno de .
Exemplo 1: calcular a integral de sobre o primeiro octante da esfera de raio 2.
Uma parametrização para a esfera é dada por R:
> restart:
> with(linalg):
 
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> f := (x,y,z)->x+z^2;
> sigma:= (u,v) -> vector([2*sin(v)*cos(u), 2*sin(v)*sin(u), 2*cos(v)]);
> sigma[u]:=vector([diff(2*sin(v)*cos(u),u), diff(2*sin(v)*sin(u),u), diff(2*cos(v),u)]);
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> sigma[v]:=vector([diff(2*sin(v)*cos(u),v), diff(2*sin(v)*sin(u),v), diff(2*cos(v),v)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[u]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[v],sigma[v]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[u],sigma[v]));
> normaN:=(u,v)->2^2*sin(v);
> fsigma:=(u,v)-> 2*sin(v)*cos(u)+ (2*cos(v))^2;
> Integralsobre(M):=Int(Int(fsigma(u,v)*normaN(u,v),
v=0..Pi/2),u=0..Pi/2)=int(int(fsigma(u,v)*normaN(u,v), v=0..Pi/2),u=0..Pi/2);
Exemplo 2: calcular a integral de sobre a superfície do plano no
primeiro octante.
Uma parametrização para a superfície é dada por = 
Note que nesta parametrização x pertence a [0,3] e y pertence a [0,2].
> restart:
> with(linalg):
 
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> f := (x,y,z)->x+y;
> sigma:= (x,y) -> vector([x, y, 6-2*x-3*y]);
> sigma[x]:=vector([diff(x,x), diff(y,x), diff(6-2*x-3*y,x)]);
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> sigma[y]:=vector([diff(x,y), diff(y,y), diff(6-2*x-3*y,y)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[x],sigma[x]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[y],sigma[y]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[x],sigma[y]));
> E[e]:=unapply(E,(x,y));
> F[f]:= unapply(F,(u,v));
> G[g] := unapply(G,(x,y));
> normaN:=(x,y)->sqrt(E[e](x,y)*G[g](x,y)-(F[f](x,y))^2);
> fsigma:=(x,y)-> x+ y;
> Integralsobre(M):=Int(Int(fsigma(x,y)*normaN(x,y), y=0..(6-
2*x)/3),x=0..3)=int(int(fsigma(x,y)*normaN(x,y), y=0..(6-2*x)/3),x=0..3);
Exemplo 3: calcular a integral de sobre a superfície parte do parabolóide
 e .
Uma parametrização para a superfície é dada por = ( )
Note que nesta parametrização o domínio de R é o disco de centro 0 e raio 1.
Uma parametrização alternativa pode ser
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onde r pertence a [0,1] e pertence .
> restart:
> with(linalg):
 
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> f := (r,theta,z)->15*r^2*(sin(theta))^2;
> sigma:= (r,theta) -> vector([r*cos(theta), r*sin(theta), r^2]);
> sigma[r]:=vector([diff(r*cos(theta),r), diff(r*sin(theta),r), diff(r^2,r)]);
> sigma[theta]:=vector([diff(r*cos(theta),theta), diff(r*sin(theta),theta), diff(r^2,theta)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[r],sigma[r]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[theta],sigma[theta]));
> F:= simplify(dotprod(sigma[r],sigma[theta]));
> E[e]:=unapply(E,(r,theta));
> F[f]:= unapply(F,(r,theta));
> G[g] := unapply(G,(r,theta));
> normaN:=(r,theta)->sqrt(E[e](r,theta)*G[g](r,theta)-(F[f](r,theta))^2);
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> fsigma:=(r,theta)-> 15*r^2* (sin(theta))^2;
> Integralsobre(M):=Int(Int(fsigma(r,theta)*normaN(r,theta),
theta=0..2*Pi),r=0..1)=int(int(fsigma(r,theta)*normaN(r,theta), theta=0..2*Pi),r=0..1);
Você vai precisar de calcular a seguinte integral
Aqui vai a resposta.
> Int(15*Pi*r^3*sqrt(1+4*r^2),r=0..1)=int(15*Pi*r^3*sqrt(1+4*r^2),r=0..1);
Agora vamos ao caso da parametrização mais complicada.....
> restart:
> with(linalg):
 
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> f := (x,y,z)->15*y^2;
> sigma:= (x,y) -> vector([x, y, x^2+y^2]);
> sigma[x]:=vector([diff(x,x), diff(y,x), diff(x^2+y^2,x)]);
> sigma[y]:=vector([diff(x,y), diff(y,y), diff(x^2+y^2,y)]);
> E:= simplify(dotprod(sigma[x],sigma[x]));
> G:= simplify(dotprod(sigma[y],sigma[y]));
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> F:= simplify(dotprod(sigma[x],sigma[y]));
> E[e]:=unapply(E,(x,y));
> F[f]:= unapply(F,(x,y));
> G[g] := unapply(G,(x,y));
> normaN:=(x,y)->sqrt(E[e](x,y)*G[g](x,y)-(F[f](x,y))^2);
> fsigma:=(x,y)-> 15*y^2;
Esta integral parece complicada.......
> Integralsobre(M):=Int(Int(fsigma(x,y)*normaN(x,y), y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-
x^2)),x=0..1)=int(int(fsigma(x,y)*normaN(x,y), y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=0..1);
 
 
 
 
 
 
Integral de um campo vetorial sobre uma superfície
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Interpretação física para a integral de superfície de um campo vetorial: se F é um campo vetorial de
velocidade associado ao escoamento de um fluido em cada ponto de uma região W, o fluxo ou a taxa
de escoamento por unidade de tempo através de uma superfície S contida em W é dado pela integral
de F sobre S.
Interpretação
Interpretação física para a integral de superfície de um campo vetorial: se F é um campo vetorial de
velocidade associado ao escoamento de um fluido em cada ponto de uma região W, o fluxo ou a taxa
de escoamento por unidade de tempo através de uma superfície S contida em W é dado pela integral
de F sobre S.
Mede o fluxo do fluido (liquido) no instante t através da superficie, isto é, mede é o volume por unidade de tempo
que atravessa M do lado negativo para o positivo menos o que atravessa do lado positivo para o negativo.
Exemplo 1
Exemplo 1 : Seja um campo vetorial e a superfície M parametrizada por
 e , onde pertence a [ ] e pertence a [ ].
Calcule a integral de F sobre a superfície M.
> with(linalg):
 
> F := vector([x,y,z]);
> R := vector([cos(u)*sin(v),sin(u)*sin(v),cos(v)]);
 
> plot3d([cos(u)*sin(v),sin(u)*sin(v),cos(v)],u=0..2*Pi,v=0..Pi);
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> Ru := map(diff,R,u);
 
> Rv := map(diff,R,v);
O vetor normal a superficie é dada por
> NormalS := crossprod(Ru,Rv);
> NormalS := map(simplify,NormalS);
 
> H := subs(x=R[1],y=R[2],z=R[3],dotprod(NormalS,F));
> H := simplify(H);
 
> Int(Int(H,u=0..2*Pi),v=0..Pi)=int(int(H,u=0..2*Pi),v=0..Pi);
 
Visualizamos o campo e a superficie. Note que o campo atravessa toda a superfície deixando-a para trás.
> with(plots):
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> superf:=plot3d([cos(u)*sin(v),sin(u)*sin(v),cos(v)],u=0..2*Pi,v=0..Pi):
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> display({campo,superf});
Consideremos agora o campo G dado por -F e vamos refazer as contas e o desenho .
É claro que a integral vai trocar de sinal e assim o resultado é .
Vejamos então a ilustração com este novo campo.
> G := vector([-x,-y,-z]);
> with(plots):
> campo:=fieldplot3d(G,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> superf:=plot3d([cos(u)*sin(v),sin(u)*sin(v),cos(v)],u=0..2*Pi,v=0..Pi):
> display({campo,superf});
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Veja o outro Exemplo.
Exemplo 2
Exemplo 2
O campo é e a parametrização da superfície é
onde pertence a [ ] e pertence a [ ].
> F := vector([x,y,-2*z]);
> R := vector([a*cos(u)*cos(v),a*sin(u)*cos(v),a*sin(v)]);
> Ru := map(diff,R,u);
> Rv := map(diff,R,v);
> NormalS := crossprod(Ru,Rv);
> NormalS := map(simplify,NormalS);> H := subs(x=R[1],y=R[2],z=R[3],dotprod(NormalS,F));
> H := simplify(H);
> Int(Int(H,u=0..Pi/2),v=0..2*Pi)=int(int(H,u=0..Pi/2),v=0..2*Pi);
> with(plots):
Vamos visualizar o campo e a superfície juntos
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
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> superf:=plot3d([2*cos(u)*cos(v),2*sin(u)*cos(v),2*sin(v)],u=0..Pi/2,v=0..2*Pi):
> display({campo,superf});
Exemplo 3
Exemplo 3
O campo é e a parametrização da superfície é 
onde pertence a [ ] e r pertence a [0,2].
> F := vector([x*z,2,4*y]);
> R := vector([r*cos(u),r*sin(u),r^2]);
> Rr := map(diff,R,r);
> Ru := map(diff,R,u);
> NormalS := crossprod(Rr,Ru);
> NormalS := map(simplify,NormalS);
> H := subs(x=R[1],y=R[2],z=R[3],dotprod(NormalS,F));
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> H := simplify(H);
> Int(Int(H,r=0..2),u=0..2*Pi)=int(int(H,r=0..2),u=0..2*Pi);
> with(plots):
Vamos visualizar o campo e a superfície juntos
> campo:=fieldplot3d(F,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> superf:=plot3d([r*cos(u),r*sin(u),r^2],r=0..2,u=0..2*Pi):
> display({campo,superf});
Teorema de Green
Dado um campo de vetores F(x,y)= (P,Q) de classe (no plano) e uma curva C simples fechada
C^1 , o teorema de Green estabelece uma igualdade entre a integral de linha do campo F sobre C e a
integral dupla de ( ) sobre a região limitada pela curva C. Onde C é orientada positivamente.
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Preste atenção na orientação da curva.
Vamos ver alguns exemplos
Exemplo1
> restart:
> with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> with(plots):
> curva:=[cos(t),sin(t),t=0..2*Pi];
A parte da variação do parametro é muito importante, além da orientação.
Podemos plotar a curva:
> plot(curva);
Vamos considerar o campo vetorial . Aqui = e .
> vf:=[-y,x];
> F:=fieldplot(vf,x=-2..2,y=-2..2):
> G:=plot(curva):
> display({F,G});
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Como o campo de vetores é sempre na direção da curva, esperamos que a integral de linha seja
positiva.
Para avaliar a integral de linha, nós precisamos substituir a parametrização no campo de vetores, e
então integrar o produto interno:
> vpar:=subs(x=curva[1],y=curva[2],vf);
> Int(dotprod(vpar,diff([curva[1],curva[2]],t)),curva[3]);
> value(");
Vamos manter a curva e trocar o sinal do campo de vetores e observar o que acontece.
Vamos considerar o campo vetorial . Aqui = e .
> vf:=[y,-x];
> F:=fieldplot(vf,x=-2..2,y=-2..2):
> G:=plot(curva):
> display({F,G});
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Como o campo de vetores é sempre na direção oposta a da curva, esperamos que a integral de linha
seja negativa.
Para avaliar a integral de linha, faremos como antes:
> vpar:=subs(x=curva[1],y=curva[2],vf);
>
Int(dotprod(vpar,diff([curva[1],curva[2]],t)),curva[3])=int(dotprod(vpar,diff([curva[1],curva[2]],t)),curva[3]);
Como era esperado.
Um procedimento em Maple para calcular integral de linha no plano (assumindo x,y and t com seus
papeis usuais) é dado por:
> Linhaint2:=proc(vf,curve)
> Int(dotprod(subs(x=curve[1],y=curve[2],vf),diff([curve[1], curve[2]],t)),curve[3])=
int(dotprod(subs(x=curve[1],y=curve[2],vf),diff([curve[1], curve[2]],t)),curve[3]) ;
> end:
Para usar este procedimento basta entrar com o campo de vetores e a curva, previamente definidos.
Veja o exemplo, com o campo e a curva anteriormente defininidos. Testando:
> Linhaint2(vf,curva);
Ou usando o Teorema de Green:
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> Int(Int(diff(vf[2],x)-diff(vf[1],y),y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1)= Linhaint2(vf,curva);
Que é o esperado.
Exemplo
Use o teorema de Green para calcular a integral do campo ao longo da elipse
 no sentido anti-horário.
Pelo Teorema de Green para calcular a integral de linha do campo F ao longo da curva, basta calcular uma integral
dupla sobre a região encerrada pela elipse. Vamos fazer os dois:
> curva:=[cos(t),2*sin(t),t=0..2*Pi];
> vf:=[y+3*x,2*y-x];
> F:=fieldplot(vf,x=-2..2,y=-2..2):
> G:=plot(curva):
> display({F,G});
Como o campo não concorda com o sentido da curva, espera-se que o valor da integral seja negativo.
> Linhaint2(vf,curva);
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Agora vamos calcular a integral dupla dada pelo teorema de Green.
> Int(Int(-2,y=-2*sqrt(1-x^2)..2*sqrt(1-x^2)),x=-1..1)=int(int(-2,y=-2*sqrt(1-x^2)..2*sqrt(1-x^2)),x=-1..1);
Teorema de Stokes (4 exemplos)
STOKES
O teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva simples
fechada C do a uma integral de superficie tendo C como bordo.
Vamos ver alguns exemplos.
Como na integral de linha, o passo fundamental no cálculo de uma integral de superficie é a
parametrização da superficie -- como sempre usaremos e como parâmetros. Se a superficie já
é expressa como , a parametriza ção mais simples é: . Suponha que
o bordo de S seja dado pela curva ch.
Interpretação para rot F
Do teorema de Stokes podemos obter uma interpretação para o rotacional de um campo F.
Tomemos um ponto p da superficie M e em torno dele um disco de raio r pequeno. Podemos supor que rot F (p)
seja constante neste disco, assim temos que
rot F. n = 1/(area do disco) *int(F, curva)
O lado direito é circulação por unidade de área, assim o rotacional de F em p mede a circulação do campo F por
unidade de área.
Se colocarmos uma roda minucusla com pás no ponto p, cujo eixo coincide com com n(p), espera-se um
movimento dessa roda. Se o eixo dessa roda é paralelo ao vetor rot F(p) tem-se maior intensidade de movimento
das pás.
Exemplo1
> restart:with(linalg):
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> vf:=[2*x,2*y,1];
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
Para plotar um campo 3-dimensional, precisamos da biblioteca "plots" --
> with(plots):
> fieldplot3d(vf,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2);
Uma integral de linha em três dimensões envolve integrar um campo vetorial F sobre um caminho.
Vamos relembrar isto para o campo de vetores dado acima e para a hélice cônica:
> ch:=[t*cos(8*t),t*sin(8*t),t,t=0..2];
> spacecurve(ch);
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Plotamos o campo de vetores e a curva juntos para obter uma idéia do que esperamos da integral de
linha:
> F:=fieldplot3d(vf,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2):
> G:=spacecurve(ch):
> display3d({F,G});
Integrais de linha em 3 dimensões sao análogas a aquelas de duas dimensões.
> linhaint3d:=proc(vf,cv)
> Int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4])=int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4]);
> end:
> with(linalg):
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> linhaint3d(vf,ch);
Positivo, como esperado.
Exemplo 2
Por exemplo, encontrar o fluxo do campo de vetores
> vf:=[-4*y,2*z,3*x];
através da parte do parabolóide acima do plano . Note que quando ,
temos um circulo: . Neste caso o bordo é o circulo situado no plano .
Usamos a parametrização simples para a superficie:
> surf:=[x,y,10-x^2-y^2];
com a varia ção :
> rg:=[y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2),x=-3..3];
O gráfico:
> F:=fieldplot3d(vf,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5):
> G:=plot3d(surf,x=-3..3,y=-3..3):
> display({F,G});
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A normal unitária superior é dada por:
> N:=crossprod(diff(surf,x),diff(surf,y));
> n:=norm( ", 2 );
> N1:=N/n;
> rotvf:= curl(vf, [x,y,z]);
> Int(Int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2)),x=-3..3)=int(int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(9-
x^2)..sqrt(9-x^2)),x=-3..3);
Vamos testar calculando a integral de linha.
> vf:=[-4*y,2*z,3*x];
> ch:=[3*cos(t),3*sin(t),1,t=0..2*Pi];
> spacecurve(ch);
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> F:=fieldplot3d(vf,x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2):
> G:=spacecurve(ch):
> display3d({F,G});
> linhaint3d(vf,ch);
Que era o esperado!
Exemplo 3
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Seja um campo de vetores e S a superficie e C o traço de S sobre o
plano xy.
Calcule sobre a curva C.
Vamos usar o Teorema de Stokes.
A superfície é parametrizada por 
A curva é parametrizada por 
onde t pertence a [ ] .
> restart:with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> vf:=[3*z,4*x,2*y];
Para plotar um campo 3-dimensional, precisamos da biblioteca "plots" --
> with(plots):
> c:=[3*cos(t),3*sin(t),0,t=0..2*Pi];
> spacecurve(c);
> F:=fieldplot3d(vf,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
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> H:= plot3d(9-x^2-y^2, x=-4..4, y=-4..4):
> G:=spacecurve(c):
> display3d({F,G,H});
> linhaint3d:=proc(vf,cv)
> Int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4])=int(dotprod(subs(x=cv[1],y=cv[2],z=cv[3],vf),
diff([cv[1],cv[2],cv[3]],t)),cv[4]);
> end:
> with(linalg):
> linhaint3d(vf,c);
Ou então calculando a integral de superfície.
Usamos a parametriza ção simples para a superficie:
> surf:=[x,y,9-x^2-y^2];
com a varia ção :
> rg:=[y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2),x=-3..3];
> N:=crossprod(diff(surf,x),diff(surf,y));
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> n:=norm( ", 2 );
> N1:=N/n;
> rotvf:= curl(vf, [x,y,z]);
> Int(Int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2)),x=-3..3)=int(int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(9-
x^2)..sqrt(9-x^2)),x=-3..3);
Que era o esperado.
Exemplo 4
Seja um campo de vetores e M é a região encerrada pela elipse que está
no plano com vetor normal (1,2,2) que projetada no plano xy é a circunferencia .
Calcule sobre M..
Vamos usar o Teorema de Stokes.
A equação plano que contém a elipse é 
Assim a superfície é parametrizada por 
onde (x,y) pertencem ao domínio dado pelo disco 
> restart:with(linalg):
Warning, new definition for norm
Warning, new definition for trace
> vf:=[1/3*(y^3+3), 1/3*(12-x^3), 1/3*(z^3-3)];
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Para plotar um campo 3-dimensional, precisamos da biblioteca "plots" --
> with(plots):
> F:=fieldplot3d(vf,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
> H:= plot3d(2-y-x/2, x=-1..1, y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)):#d=4
> c:=[cos(t),sin(t),0,t=0..2*Pi];
> G:=spacecurve(c):
> display3d({F,G,H});
Calculando a integral de superfície.
Usamos a parametriza ção simples para a superficie, escolhendo um d qualquer.
> surf:=[x, y, d/2-y-x/2];
com a varia ção :
> rg:=[y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2),x=-1..1];
> N:=crossprod(diff(surf,x),diff(surf,y));
> n:=norm(", 2 );
>
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> N1:=N/n;
> rotvf:= curl(vf, [x,y,z]);
> Int(Int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1)=int(int(dotprod(rotvf,N),y=-sqrt(1-
x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1);
Teorema de Gauss (3 exemplos)
A integral (tripla) do divergente do campo F sobre qualquer região G do espaço pode ser calculada
usando uma integral de superfície sobre a fronteira de G.
Interpretação
Exemplo 0
2. Exemplos: Calcular o divergente nos seguintes casos
a) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y)->[x,y];
> diverge(F(x,y),[x,y]);
b) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y)->[-y,x];
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> diverge(F(x,y),[x,y]);
c) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y)->[x/(x^2+y^2),y/(x^2+y^2)];
> diverge(F(x,y),[x,y]);
 
> simplify(");
d) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y,z)->[x*y*z,y*z,z]; diverge(F(x,y,z),[x,y,z]);
> diverge(F(x,y,z),[x,y,z]);
e) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y,z)->[x^2*y,y^2*z,z^2*x];
> diverge(F(x,y,z),[x,y,z]);
f) Considere o seguinte campo
Calcule o seu divergente.
> F:=(x,y,z)->[x/(x^2+y^2+z^2),y/(x^2+y^2+z^2),z/(x^2+y^2+z^2)];
 
> diverge(F(x,y,z),[x,y,z]);
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> simplify(");
3. Verificando o teorema em um exemplo
Vamos verificar o teorema na esfera unitária.
Vamos calcular a integral dupla e integral tripla e comparar os resultados.
A integral dupla é escrita como uma integral sobre a superficie da semi-esfera superior mais a integral da semi-
esfera inferior. Depois calculamos a integral tripla.
> assume(signum(1-x^2-y^2)=1);
> F:=(x,y,z)->[x,y,z];
Agora vamos calcular a integral dupla. A integral dupla é escrita com uma integral sobre a semi-esfera superior
mais a integral de superficie sobre a semi-esfera inferior.
> Rn:=(x,y)->[x,y,sqrt(1-x^2-y^2)];
 Rs:=(x,y)->[x,y,-sqrt(1-x^2-y^2)];
Vamos calcular na semi esfera superior
> Nn:=[-diff(Rn(x,y)[3],x),-diff(Rn(x,y)[3],y),1];
> dotprod(F(x,y,z),Nn);
> subs(z=Rn(x,y)[3],");
> simplify(",exp);
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> Int(Int(1/sqrt(1-x^2-y^2),y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1)=int(int(1/sqrt(1-x^2-y^2),y=-sqrt(1-
x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1);
Vamos calcular na semi esfera inferior
> Ns:=[diff(Rn(x,y)[3],x),diff(Rn(x,y)[3],y),-1];
> dotprod(F(x,y,z),Ns);
> subs(z=Rs(x,y)[3],");
> simplify(");
> Int(Int(1/sqrt(1-x^2-y^2),y=-sqrt(1-x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1)=int(int(1/sqrt(1-x^2-y^2),y=-sqrt(1-
x^2)..sqrt(1-x^2)),x=-1..1);
Agora vamos calcular integral tripla. Para fazer este cálculo, basta integrar apenas no primeiro octante. O valor da
integral será 8 vezes o valor encontrado. É o que vamos fazer.
> Int(Int(Int(diverge(F(x,y,z),[x,y,z]),z),y),x)=8*int(int( int(3,z=0..sqrt(1-x^2-y^2)),y=0..sqrt(1-x^2)),x=0..1);
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4. Aplicando o teorema
1 . Seja S a superficie da região T limitada pelos planos z=0, y=0 e y=2 e o paraboloide z=1- 
Se o campo . Vamos usar o Teorema da divergência para calcular a
integral de F sobre a superficie S.
Usando o teorema da divergência, vamos calcular a integral tripla.
> F:=(x,y,z)-> [x+cos(y), y+ sin( z), z+ e^x];
> Int(Int(Int(diverge(F(x,y,z),[x,y,z]),z=0..1-x^2),y=0..2), x=-1..1)=int(int(int(diverge(F(x,y,z),[x,y,z]),z=0..1-
x^2),y=0..2), x=-1..1);
Vamos tomar outro campo
> with(plots): with(linalg):> vf:=[2*x,2*y,1];
> vF:=(x,y,z)-> [2*x,2*y,1];
> F:=fieldplot3d(vf, x=-2..2,y=-2..2,z=-2..2):
> G:=plot3d({0,1-x^2}, x=-1..1,y=0..2):
> display3d({F,G});
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> Int(Int(Int(diverge(vF(x,y,z),[x,y,z]),z=0..1-x^2),y=0..2), x=-1..1)=int(int(int(diverge(vF(x,y,z),
[x,y,z]),z=0..1-x^2),y=0..2), x=-1..1);
Exemplo 1
Como exemplo vamos calcular o fluxo de um campo F dado por através da fronteira do
paralelepípedo G definido por
x pertencente ao intervalo [0,1]
y pertencente ao intervalo [-1,1]
z pertencente ao intervalo [2,3].
O fluxo de F é dado pela integral tripla do div F sobre G.
> wiht(linalg):
> vf:= vector([x^3,2*z,y*z]):
> v := vector([x, y, z]):
 
> diverge(vf, v);
> divF:=diverge(vf,v);
> FluxoF:=Int(Int(Int(divF,z=2..3),y=-1..1),x=0..1)=int(int(int(divF,z=2..3),y=-1..1),x=0..1);
> with(plots):
> F:=fieldplot3d(vf,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3):
Exemplo 2
Seja 
um campo de vetores.Vamos calcular o fluxo de F através de G, onde G é a região do espaço limitada
por
 , x + z =2 e z=0.
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Uma parametrização para esta região é dada por ( em coordenadas cilindricas)
r varia entre 0 e 2
 varia entre 0 e 
z varia entre 0 e .
> wiht(linalg):
> F:= [x^2+sin(y*z), y-x*exp(-x), z^2];
> divF:=diverge(F,[x,y,z]);
> Int(Int(Int(divF,z=0..2-x), y=-sqrt(4-x^2)..sqrt(4-x^2)), x=-2..2);
> divF:= subs(x=r*cos(theta),y=r*sin(theta),z=2-2*cos(theta),divF);
Aqui parece prudente mudar de coordenadas: as velhas conhecidas coordenadas cilindricas.
> Int(Int(Int(r*divF,z=0..2-r*cos(theta)), theta=0..2*Pi),r=0..2)=int(int(int(r*divF,z=0..2-r*cos(theta)),
theta=0..2*Pi),r=0..2);
Exemplo 3
Seja um campo de vetores. Calcule o fluxo de F através do cubo G
limitado pelos planos x=a, y=a, z=a.
> wiht(linalg):
> F:= [x^2, y^2, z^2];
> divF:=diverge(F,[x,y,z]);
> Int(Int(Int(divF,z=0..a), y=0..a), x=0...a)=int(int(int(divF,z=0..a), y=0..a), x=0...a) ;
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