37° Arquivo Tecnicas de Integração Parte 2

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Técnicas de Integração – Subst. Trigonométricas 
3. Substituições Trigonométricas 
Este tipo de substituição pode ser útil para transformar integrais que envolvam: 
em integrais que possam ser calculadas diretamente. 
As substituições mais comuns são: 
 x = a tg θ 
1 
Substituições Trigonométricas 
3. Substituições Trigonométricas (Cont.) 
 x = a sen θ 
 x = a sec θ 
2 
Substituições Trigonométricas 
 Deseja-se que toda substituição usada em uma integração seja 
 inversível para que, posteriormente, possa se voltar à variável original. 
 Contudo, como já foi visto, nessas substituições as funções possuem 
 inversas apenas para valores selecionados de θ. 
 x = a tg θ exige 
 x = a sen θ exige 
 x = a sec θ exige 
3 
Substituições Trigonométricas 
Exemplo 1: Calcule 
Como cos θ > 0 para (-π/2, π/2), a integral torna-se: 
Assim: 
utilizando a substituição x = a sen θ 
4 
Substituições Trigonométricas 
Voltando ao triângulo: 
Sabendo que sen 2θ = 2 senθ cosθ, tem-se: 
Finalmente: 
5 
Exemplo 2: Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do 
eixo x, da região limitada pela curva y = 4(x2 + 4), pelo eixo x e pelas retas 
x = 0 e x = 2. 
Substituições Trigonométricas 
tem-se que: 
Pelo Método do Disco: 
Fazendo: 
6 
Substituições Trigonométricas 
Substituindo a expressão: 
na integral do volume chega-se a: 
7 
Substituições Trigonométricas 
Exercícios: Calcule as integrais abaixo usando a técnica de Substituições 
Trigonométricas. 
 
a. 
 
 
 
 
b. 
 
Resp: 
dx
xx
x

 223
Resp: 
C
x
xx 


2
1
arcsen23 2
8 
Técnicas de Integração 
4. Integração de Funções Racionais por Frações Parciais 
A função (5x – 3)/(x2 – 2x - 3) pode ser escrita como: 
O Método das Frações Parciais consiste em determinar as constantes A e 
B tais que: 
)3(
3
)1(
2
32
35
2 





xxxx
x
Eliminando as frações da equação acima, tem-se: 
Como encontrar estas frações? 
)3()1(32
35
2 





x
B
x
A
xx
x
Coeficientes indeterminados 
Frações 
parciais 
BAxBAxxBxAx  3)(35)1()3(35
9 
Integração por Frações Parciais 
 A última expressão será uma identidade em x se somente se os 
coeficientes de potências iguais a x, nos dois lados, também forem iguais: 
 
Assim, chega-se à afirmativa inicial: 





)2(33
)1(5
BA
BA
284:)2()1(  AA
3B
)3(
3
)1(
2
32
35
2 





xxxx
x
Integrando: 
 





dx
x
dx
x
dx
xx
x
)3(
3
)1(
2
32
35
2
Cxx  )3(ln3)1(ln2
10 
Integração por Frações Parciais 
 Fatores necessários para o sucesso do método 
O sucesso ao escrever uma função racional f(x)/g(x) depende de dois 
fatores: 
 O grau de f(x) deve ser menor do que o grau de g(x), ou seja, a fração 
 deve ser própria. 
 Deve-se conhecer os fatores de g(x). Segundo a teoria, qualquer 
 polinômio com coeficientes reais pode ser escrito como o produto 
 de fatores reais lineares e fatores reais quadráticos. Contudo, na 
 prática, pode ser difícil obter esses fatores. 
 
11 
Integração por Frações Parciais 
 Descrição do Método 
1. Seja (x – r) um fator linear de g(x). Suponha que (x - r)m seja a maior 
 potência de (x – r) que divide g(x). Então, associe a esse fator a soma 
 de m frações parciais. 
Faça isto para cada fator linear distinto de g(x). 
 Exemplo: 
22 )2()2()2(
76






x
B
x
A
x
x
m
m
rx
A
rx
A
rx
A
)(
...
)()( 2
21





12 
Integração por Frações Parciais 
2. Seja (x2 + px + q) um fator quadrático de g(x). Suponha que 
 (x2 + px + q)n seja a maior potência desse fator que divide g(x). 
 Então, associe a esse fator a soma de n frações parciais. 
Faça isso para cada fator quadrático distinto de g(x) que não pode ser 
decomposto como produto de fatores lineares com coeficientes reais. 
 Exemplo: 
Fator irredutível 
2222 )1()1()1()1)(1(
42









x
D
x
C
x
BAx
xx
x
n
nn
qpxx
CxB
qpxx
CxB
qpxx
CxB
)(
...
)()( 222
22
2
11








13 
Integração por Frações Parciais 
3. Iguale a fração original f(x)/g(x) à soma de todas essas frações parciais. 
Elimine as frações da equação resultante, organizando os termos em 
potências decrescentes de x. 
4. Iguale os coeficientes das potências correspondentes de x e resolva o 
sistema de equações resultante para determinar os coeficientes. 
 Exemplo1: Calcule a integral: 



dx
x
x
2)2(
76
Fator linear 
repetido 
22 )2()2()2(
76






x
B
x
A
x
x
)2()2(76 BAAxBxAx 





572
6
BBA
A
14 
Integração por Frações Parciais 
Integrando: 
dx
x
dx
x
dx
x
x







22 )2(
5
)2(
6
)2(
76
C
x
xC
x
x 






)2(
5
)2(ln6
1
)2(
5)2(ln6
1
 Exemplo 2: Calcule a integral 
2222 )1()1()1()1)(1(
42









x
D
x
C
x
BAx
xx
x



dx
xx
x
22 )1)(1(
42
Eliminando-se as frações, chega-se a: 
)1()1)(1()1)((42 222  xDxxCxBAxx
)()2()2()( 23 DCBxCBAxDCBAxCA 
Integração por Frações Parciais 
Igualando os coeficientes, chega-se ao sistema de equações: 
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
xx
x










2222 )1(
1
)1(
2
)1(
12
)1)(1(
42











4
22
02
0
DCB
CBA
DCBA
CA
cuja solução é 
12
12


DC
BA
Integrando: 
C
x
xxx 


1
1
)1(ln2arctg)1(ln 2
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
x









222 )1(
1
)1(
2
)1(
1
)1(
2
16 
Integração por Frações Parciais 
 As constantes que surgem nas frações parciais podem ser obtidas 
atribuindo valores numéricos a x, pois a identidade é verdadeira para 
qualquer valor de x. Obviamente, deve-se escolher um valor numérico 
que simplifique a equação. 
Voltando ao exemplo 1 
22 )2()2()2(
76






x
B
x
A
x
x
)2()2(76 BAAxBxAx 





)2(133:1Para
)1(72:0Para
BAx
BAx 6713:)1()2(  AA
5B
17 
Integração por Frações Parciais 



dx
xx
xx
2
23 122
 Exercícios: Calcule as integrais abaixo utilizando a técnica de 
 Frações Parciais 
a. 
 
 
 
 
 
 
 
b. 
 


dx
x 1
1
2
C
x
x
x 


1
ln2
Resp: 
Cxx  )1(ln
2
1
)1(ln
2
1
Resp: 
18