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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA -UAMat DISCIPLINA: EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS LINEARES Aluno(a): Lista de Exerc´ıcios n011 Teoria Geral dos Sistemas Lineares (01.) Nos itens a seguir transforme a equac¸a˜o dada num sistema de equac¸o˜es lineares de primeira ordem. (a) y′′ + 0, 5y + 2y = t , (b) t2y′′ + ty′ + sen(t)y = cos(t) , (c) y′′′ + ty′ + t2y′ + t3y = ln(t) , (d) y(4) − y = 0 . (02.) Nos itens a seguir transforme o PVI para cada equac¸a˜o num PVI para um sistema de equac¸o˜es de primeira ordem. (a) y′′ + 0, 25y′ + 4y = 2cos(3t), y(0) = 1, y′(0) = −2, (b) y′′ + p(t)y′ + q(t)y = g(t), y1(0) = y0, y ′(0) = y1. (03.) Transforme o par de equac¸o˜es de segunda ordem y′′ + 3z′ + 2y = 0 , z′′ + 3y′ + 2z = 0 num sistema de quatro equac¸o˜es de primeira ordem nas varia´veis x1 = y, x2 = y ′, x3 = z, x4 = z ′ . (04.) Considere as func¸o˜es vetoriais X1(t) = ( t 1 ) , X2(t) = ( t2 2t ) . (a) Calcule o Wronskiano de X1 e X2; (b) Em quais intervalos X1 e X2 sa˜o L.I.? (c) Que conclusa˜o se pode tirar sobre os coeficientes do sistema de equac¸o˜es diferen- ciais satisfeito por X1 e X2? (d) Encontre este sistema de equac¸o˜es diferenciais e verifique a conclusa˜o de (c). (05.) Considere as func¸o˜es vetoriais X1(t) = ( t2 2t ) , X2(t) = ( et et ) . Responda as mesmas perguntas do Exerc´ıcio (04). 1 (06.) Determine os conjuntos fundamentais de soluc¸o˜es dos sistemas obtidos nos itens (d) dos exerc´ıcios (04) e (05) tais que X1(1) = ( 1 0 ) , X2(1) = ( 0 1 ) . (07.) Verifique se as func¸o˜es dadas formam um Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es para os sistemas correspondentes. Se sim, escreva a soluc¸a˜o geral do mesmo. (a)X1(t) = ( et −et ) , X2(t) = ( e−t e−t ) , X ′ = ( 0 −1 −1 0 ) X . (b)X1(t) = ( 2e7t e7t ) , X2(t) = ( −2e−5t e−5t ) , X3(t) = ( 2e7t − 2e−5t e7t + e−5t ) , X ′ = ( 1 12 3 1 ) X . (c)X1(t) = e 2t e2t 0 , X2(t) = 0e4t e4t , X3(t) = e 6t 0 e6t , X ′ = 4 −2 2 −1 3 1 1 −1 5 X . (d)X1(t) = e −2t e−2t e−2t , X2(t) = e 2t −e2t e2t , X3(t) = −e −4t e−4t e−4t , X ′ = −3 −2 31 0 −3 1 −2 −1 X. (e)X1(t) = e −3t e−3t 0 , X2(t) = 0e−5t e−5t , X ′ = −5 2 −21 −4 −1 −1 1 −6 X. 2
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