Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS Professor Me. Artur Lemes Moretti Professora Me. Natália Cândido Homem GRADUAÇÃO Unicesumar C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a Distância; MORETTI, Artur Lemes; HOMEM, Natália Cândido. Mecânica e resistência dos materiais. Artur Lemes Moretti; Natália Cândido Homem. Reimpressão Maringá-Pr.: UniCesumar, 2018. 203 p. “Graduação - EaD”. 1. Mecânica. 2. Resistência . 3. Estática 4. EaD. I. Título. ISBN 978-85-459-0548-6 DD - 22 ed. 620.1 CIP - NBR 12899 - AACR/2 Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828 Reitor Wilson de Matos Silva Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho Pró-Reitor de EAD Willian Victor Kendrick de Matos Silva Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD - Núcleo de Educação a Distância Direção Operacional de Ensino Kátia Coelho Direção de Planejamento de Ensino Fabrício Lazilha Direção de Operações Chrystiano Mincoff Direção de Mercado Hilton Pereira Direção de Polos Próprios James Prestes Direção de Desenvolvimento Dayane Almeida Direção de Relacionamento Alessandra Baron Gerência de Produção de Conteúdo Juliano de Souza Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de Almeida Toledo Coordenador de Conteúdo Marcia Fernanda Pappa Design Educacional Amanda Peçanha Dos Santos Yasminn Talyta Tavares Zagonel Iconografia Ana Carolina Martins Prado Projeto Gráfico Jaime de Marchi Junior José Jhonny Coelho Arte Capa André Morais de Freitas Editoração Humberto Garcia da Silva Ellen Jeane da Silva Revisão Textual Talita Dias Tomé Danielle Loddi Ilustração Bruno Cesar Pardinho Marta Kakitani Viver e trabalhar em uma sociedade global é um grande desafio para todos os cidadãos. A busca por tecnologia, informação, conhecimento de qualidade, novas habilidades para liderança e so- lução de problemas com eficiência tornou-se uma questão de sobrevivência no mundo do trabalho. Cada um de nós tem uma grande responsabilida- de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos- sos farão grande diferença no futuro. Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar assume o compromisso de democratizar o conhe- cimento por meio de alta tecnologia e contribuir para o futuro dos brasileiros. No cumprimento de sua missão – “promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento, formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi- tário Cesumar busca a integração do ensino-pes- quisa-extensão com as demandas institucionais e sociais; a realização de uma prática acadêmica que contribua para o desenvolvimento da consci- ência social e política e, por fim, a democratização do conhecimento acadêmico com a articulação e a integração com a sociedade. Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al- meja ser reconhecido como uma instituição uni- versitária de referência regional e nacional pela qualidade e compromisso do corpo docente; aquisição de competências institucionais para o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con- solidação da extensão universitária; qualidade da oferta dos ensinos presencial e a distância; bem-estar e satisfação da comunidade interna; qualidade da gestão acadêmica e administrati- va; compromisso social de inclusão; processos de cooperação e parceria com o mundo do trabalho, como também pelo compromisso e relaciona- mento permanente com os egressos, incentivan- do a educação continuada. Diretoria Operacional de Ensino Diretoria de Planejamento de Ensino Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está iniciando um processo de transformação, pois quando investimos em nossa formação, seja ela pessoal ou profissional, nos transformamos e, consequentemente, transformamos também a sociedade na qual estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando oportu- nidades e/ou estabelecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo. O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens se educam juntos, na transformação do mundo”. Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontram-se integrados à proposta pedagógica, con- tribuindo no processo educacional, complementando sua formação profissional, desenvolvendo competên- cias e habilidades, e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade, de maneira a inseri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais têm como principal objetivo “provocar uma aproximação entre você e o conteúdo”, desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessá- rios para a sua formação pessoal e profissional. Portanto, nossa distância nesse processo de cresci- mento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica. Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e enquetes, assista às aulas ao vivo e participe das discussões. Além dis- so, lembre-se que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de aprendiza- gem, possibilitando-lhe trilhar com tranquilidade e segurança sua trajetória acadêmica. A U TO R( ES ) Professor Me. Artur Lemes Moretti Possui Graduação em Engenharia Química (2014) e Mestrado em Engenharia Química pela Universidade Estadual de Maringá (2016). Atualmente é Doutorando em Engenharia Química no Programa de Pós-graduação em Engenharia Química da Universidade Estadual de Maringá (2016 - 2019). Professora Me. Natália Cândido Homem Possui Graduação em Engenharia Química pela Universidade do Sul de Santa Catarina (2014) e Mestrado em Engenharia Química pela Universidade Estadual de Maringá (2016). Atualmente é Doutoranda em Engenharia Química no Programa de Pós-graduação em Engenharia Química da Universidade Estadual de Maringá (2016 - 2019). SEJA BEM-VINDO(A)! Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a)! Você provavelmente já ouviu falar do desastre ambiental causado pela ruptura da estru- tura da barragem do fundão, em Mariana, na região central de Minas Gerais, em novem- bro de 2015. O rompimento da barragem destruiu o distrito mineiro de Bento Rodrigues e vem sendo considerado o maior desastre do gênero da história mundial nos últimos 100 anos. Se pararmos um segundo para considerar a relevância desse evento, fica clara a importância de você, futuro(a) engenheiro(a), compreender o modo como o material que compõe uma estrutura pode ser afetado por diferentes fatores. A Mecânica e Resistência dos Materiais é um ramo da mecânica que estuda o compor- tamento de estruturas quando submetidas aos mais diversos tipos de carregamentos. Dentre essas estruturas podemos incluir as vigas, barras, eixos e colunas utilizadas na construção civil e em equipamentos industriais, bem como tubulações e vasos de pres- são. Assim, o principal objetivo da Mecânica e Resistência dos Materiais é determinar as tensões e deformações que podem ocorrer nessas estruturas e em seus componentes devido à ação desses carregamentos. Por causa da sua importância e aplicação, esta disciplina é um assunto essencial para os mais diversos campos da engenharia. Dessa forma, é com satisfação que nós, os professores Artur e Natália, desenvolvemos este livro, como parte integrante de um conjunto de materiais voltados ao aprendizado de Mecânica e Resistência dos Materiais. O nossoprincipal objetivo foi apresentar os conteúdos mais importantes e imprescindíveis desta disciplina, para que você, futuro(a) engenheiro(a), possa solidificar e ampliar ainda mais o seu conhecimento teórico neste assunto. Visando simplificar os conteúdos abordados, procuramos expor o conteúdo de uma for- ma objetiva e clara, sempre aliando os conceitos a exemplos práticos. Ao final de cada unidade, você encontrará atividades propostas que ajudarão na melhor fixação e com- preensão dos conceitos apresentados. Você ainda poderá contar com materiais como uma mídia eletrônica, leituras e materiais complementares ao final de cada unidade, e diversas referências, selecionados criteriosamente para complementar e enriquecer seu aprendizado. Desejamos que você tenha um excelente aprendizado! Bons estudos! Artur Lemes Moretti e Natália Cândido Homem APRESENTAÇÃO MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS SUMÁRIO 09 UNIDADE I CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO 15 Introdução 16 Propriedades de Áreas Planas - Centroides e momentos de Inércia 26 Propriedades de Áreas Planas - Teorema do Eixo Paralelo, Produto de Inércia, Rotação de Eixos e Eixos Principais 36 Estática - Fundamentos da Mecânica 41 Estática - Idealização de Estruturas e Diagramas do Corpo Livre 46 Estática - Condições de Equilíbrio 53 Considerações Finais 59 Referências 60 Gabarito UNIDADE II TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO 63 Introdução 64 Tensões e Deformações 68 Tensão e deformação de Cisalhamento 72 Diagrama Tensão-Deformação 78 Elasticidade, Plasticidade e Fluência 84 Estruturas Estaticamente Indeterminadas SUMÁRIO 10 91 Considerações Finais 98 Referências 99 Gabarito UNIDADE III ANÁLISE DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO 103 Introdução 104 Estado Plano de Tensões 109 Tensões Principais e Tensões de Cisalhamento Máximas 114 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões 119 Lei de Hooke para o Estado Plano de Tensões 121 Estado Plano de Deformações 126 Considerações Finais 130 Referências 131 Gabarito UNIDADE IV REAÇÕES VINCULARES E ESFORÇOS INTERNOS 135 Introdução 136 Reações Vinculares 141 Condições de Carga SUMÁRIO 11 144 Força Cortante e Momento Fletor 148 Relações Entre Cargas, Forças Cortantes e Momentos Fletores 152 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor 159 Considerações Finais 164 Referências 165 Gabarito UNIDADE V APLICAÇÕES EM TUBULAÇÕES E VASOS DE PRESSÃO 169 Introdução 170 Natureza das Tensões 172 Vasos de Pressão Esféricos e Cilíndricos 178 Tensões na Superfície Interna 182 Tensões na Superfície Externa 189 Carregamentos Combinados 195 Considerações Finais 201 Referências 202 Gabarito 203 CONCLUSÃO U N ID A D E I Professor Me. Artur Lemos Moretti Professora Me. Natália Cândido Homem CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Objetivos de Aprendizagem ■ Apresentar conceitos básicos e avançados das propriedades das áreas planas. ■ Revisar conceitos fundamentais da mecânica aplicados em resistência dos materiais. ■ Definir estratégias para a representação de estruturas. ■ Apresentar as equações fundamentais da estática voltadas às aplicações em resistência dos materiais. Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■ Propriedades de áreas planas – Centroides e Momentos de Inércia ■ Propriedades de áreas planas – Teorema do Eixo Paralelo, Produto de Inércia, Rotação de Eixos e Eixos Principais ■ Estática – Fundamentos da Mecânica ■ Estática – Idealização de estruturas e diagramas do corpo livre ■ Estática – Condições de equilíbrio INTRODUÇÃO Olá caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à Unidade 1! Um dos pré-requisitos para que possamos compreender inicialmente qualquer tipo de estrutura, independentemente de sua complexidade (podemos considerar estruturas aqui como vigas, treliças, parafusos, pórticos, qualquer peça de uma máquina que atua em uma linha de produção etc.), é entender a forma como ela pode ser afetada por tensões, as quais são distribuídas ao longo dos elementos que a compõem. Assim, é imprescindível que você, como futuro(a) engenhei- ro(a), saiba identificar e calcular as propriedades das figuras geométricas desses elementos. Por esse motivo, a Unidade I apresentará alguns conceitos básicos de matemática, mecânica e estática, aplicados à resistência dos materiais. Os Tópicos 1 e 2 apresentam uma breve revisão das propriedades de figuras geométricas planas. Nesses tópicos, serão discutidos os conceitos e as equações necessários para a determinação de propriedades de figuras geométricas como os centróides, momentos de inércia e produto de inércia, dentre outros. Os Tópicos 3, 4 e 5 apresentam uma revisão de conceitos fundamentais da mecânica aplicados em resistência dos materiais. No Tópico 3, alguns concei- tos sobre forças e leis fundamentais da física, necessários para o entendimento do comportamento de estruturas, serão relembrados. A idealização de estrutu- ras e a construção de diagramas de corpo livre serão apresentadas no Tópico 4, como parte fundamental e introdutória ao último tópico, que abordará as equa- ções fundamentais da estática voltadas às aplicações em resistência dos materiais. Todos os conceitos apresentados no decorrer desta unidade são de extrema importância, uma vez que muitos deles serão utilizados ao longo das próximas unidades. Lembre-se de reforçar seu conhecimento realizando as atividades de estudo, apresentadas ao final da unidade. Bons estudos! Introdução Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 15 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E16 PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS - CENTROIDES E MOMENTOS DE INÉRCIA Caro(a) aluno(a), vamos começar este tópico relembrando alguns conceitos básicos que nos auxiliarão na compreensão do comportamento de forças que podem afetar os materiais. ÁREA A área de uma superfície é uma das principais propriedades das figuras geomé- tricas e pode ser definida como a medida de espaço delimitada pelo seu contorno. Cada figura geométrica possui uma área diferente, de acordo com seu formato. A unidade de medida de uma área é o comprimento (L) ao quadrado, ou seja, L². Podemos representá-la utilizando o sistema internacional de medidas (SI), sendo as unidades mais utilizadas o metro ao quadrado (m²) e o centímetro ao quadrado (cm²). Calcular a área de figuras planas regulares é relativamente simples, uma vez que já existem fórmulas matemáticas prontas para isso. No caso de superfícies Propriedades de Áreas Planas - Centroides e Momentos de Inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 17 planas com contornos complexos, podemos generalizar o conceito de área como sendo a soma de elementos infinitesimais de área dA, em um determinado domí- nio A, disposto nas coordenadas x e y (Figura 1). y dA x Figura 1 - Área de uma superfície A área (A) dessa superfície pode, então, ser obtida por meio da integral apre- sentada na Equação 1. Uma outra propriedade geométrica importante é a posição do centroide de uma figura plana. CENTROIDEDE FIGURAS PLANAS Sabe-se que todos os corpos estão sujeitos à ação da gravidade, causada pelo efeito da força peso. Consequentemente, se uma superfície plana for dividida em vários pequenos elementos, essas partículas também sofrerão com a força peso (força vertical de cima para baixo). O centroide é considerado o centro geométrico de uma figura (GERE; GOODNO, 2010). Para figuras geométricas simples, como o quadrado, a posi- ção do centroide é óbvia (Figura 2). AA = ∫ d (1) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E18 y C xx y Figura 2 – Centroide de um quadrado No caso de figuras geométricas mais complexas, desde que sejam compostas por materiais homogêneos, o centróide coincidirá com o centro de gravidade do corpo. Ficou confuso? Podemos explicar de uma maneira mais simples, a par- tir de um exemplo: Exemplo 1: imagine uma viga suspensa por meio da aplicação de uma força. Caso essa força esteja sendo aplicada em seu centroide, ela permanecerá na horizontal, como pode ser observado na Figura 3(a). Já no caso de a força estar sendo aplicada em outro ponto (diferente do centroide), essa viga apresentará inclinação, porém ainda permanecerá sujeita à ação da gravidade, como pode- mos ver na Figura 3(b). (a) C (b) C Figura 3 – Centroide de um corpo qualquer Propriedades de Áreas Planas - Centroides e Momentos de Inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 19 CÁLCULO DO CENTROIDE DE FIGURAS PLANAS Neste item vamos aprender dois métodos para calcular o centroide de figuras planas. Para isso, começaremos considerando a seguinte figura plana com geo- metria qualquer (Figura 4): y C dA x x x y y Figura 4 – Figura plana de geometria qualquer Pelo método de integração, para obtermos o centroide dessa figura, devemos realizar a integração de toda área A, como está demonstrado nas Equações 2 e 3: As integrais ∫xdA e ∫ydA são conhecidas como primeiro momento ou momento estático de área em relação aos eixos x e y, respectivamente, e representam a soma dos produtos das áreas diferenciais e de suas coordenadas. As integrais ∫dA representam a área total A da forma. x = A∫ d dA∫ x (2) y = A∫ d dA∫ y (3) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E20 Algumas fi guras com formatos diferenciados podem ser decompostas em várias fi guras menores, mais simples, de geometria conhecida. Para essas fi gu- ras, é possível obter o centroide por meio de um método simplifi cado, conhecido como método das áreas compostas, que elimina a necessidade de utilizar inte- gração. Esse método pode ser utilizado em casos onde a área e a localização do centroide sejam conhecidas (GERE e GOODNO, 2010; HIBBELER, 2010; TIMOSHENKO e GERE, 1983). Para isso, os símbolos de integração são substituídos por símbolos de soma- tória fi nita e as equações 2 e 3 tomam a seguinte forma: Nas equações 4 e 5, e representam as coordenadas dos centroides de x e y de cada elemento, respectivamente, e a somatória ΣA representa a soma das áreas das partes componentes. Para facilitar o entendimento, o cálculo do centroide de uma fi gura por este método será demonstrado no Exemplo 2. A localização de alguns centroides é especifi cada pelas condições de sime- tria. Nos casos em que a área tem um eixo de simetria, seu centróide locali- za-se ao longo daquele eixo. (Russel C.) x = ∑ A A∑ x˜ (4) y = ∑ A A∑ y˜ (5) Propriedades de Áreas Planas - Centroides e Momentos de Inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 21 Exemplo 2: vamos considerar a seção transversal da mesma viga do exemplo anterior, com as seguintes medidas: 7,52cm 20cm 7,52cm 5,08cm 25,4cm Figura 5 – Viga para cálculo do Centroide Inicialmente, é importante que você saiba onde posicionar os eixos x e y. Pela Figura 6 podemos perceber que o eixo y foi posicionado ao longo do eixo de simetria e que posicionamos o eixo x ao longo da base da área. Dessa forma, temos que x=0 e, para obter o valor de y, o próximo passo é dividir a figura em figuras geométricas menores. Se observarmos com atenção, a viga é formada por retângulos (Figura 6). C C C y x 1 3 2 Figura 6 – Viga dividida em 3 retângulos CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E22 A fi gura pode, então, ser dividida em 3 retângulos, e a localização do cen- troide de cada um deles pode ser calculada individualmente. Para isso, vamos construir uma tabela da seguinte maneira: Tabela 1 – Tabela para o cálculo do centroide 1 0 36,68 150,4 0 5516,67 2 0 20,22 129,0 0 2608,38 3 0 3,76 150,4 0 565,50 Σ - - 429,80 - 8690,56 Fonte: os autores. Finalmente, aplicamos a Equação 5, para encontrar . Substituindo os valores calculados na tabela, temos: Utilizamos aqui a viga propositalmente, pois, sendo ela uma fi gura de geo- metria simétrica, é possível comprovar o resultado dos cálculos de forma simples. Observe novamente a Figura 6. Imagine que, desta vez, posicionamos o eixo x de forma simétrica, da mesma forma que o eixo y. Nesse caso, o centroide loca- liza-se, então, na interseção dos eixos, coincidindo com a posição que obtivemos pelo método das áreas compostas. O centroide é uma propriedade geométrica importante, pois é necessário para o dimensionamento de equipamentos como vigas, correias, polias, engre- nagens, parafusos, eixos, dentre outros, muito utilizados na vida profi ssional de um engenheiro. y = ∑ A A∑ y˜ = A +A +A1 2 3 y A +y A +y A˜1 1 ˜2 2 ˜3 3 (a) 0, 2 cmy = 429,80 (cm²) 8690,56 (cm )3 = 2 2 (b) Propriedades de Áreas Planas - Centroides e Momentos de Inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 23 Repare que ao introduzirmos o cálculo do centroide de figuras planas, men- cionamos as integrais ∫ xdA e ∫ ydA, e comentamos que elas são conhecidas como primeiro momento. Para prosseguirmos, você deve saber que em algumas apli- cações da resistência dos materiais existe a necessidade de obtermos um segundo momento, também conhecido como momento de inércia. MOMENTO DE INÉRCIA O momento de inércia nada mais é do que a resistência à rotação de um corpo em torno de um eixo. Considere uma figura plana com área A (Figura 7): y C dA x x y Figura 7 – Figura plana de geometria qualquer Também conhecido como segundo momento, nesse caso, os elementos de área dA são multiplicados pelo quadrado da distância a partir do eixo de referência. Dessa forma, os momentos de inércia de uma área plana em relação aos eixos x e y são dados pelas Equações 6 e 7. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E24Nessas equações, x e y são as coordenadas do elemento diferencial da área dA (GERE e GOODNO, 2010). Para melhor visualizar a aplicação das Equações 6 e 7 no cálculo do momento de inércia de uma figura, observe o Exemplo 3. Exemplo 3: considere o retângulo de largura b e altura h (Figura 8 - a). Se os eixos forem posicionados em seu centroide e considerarmos um elemento de área diferencial dA em formato de uma faixa horizontal estreita, de largura b e altura dy, temos então a Figura 8 (b): y y dA dA x xb 10cm h 16cm dx dy (a) (b) h 2 h 2 b 2 b 2 - - y y dA dA x xb 10cm h 16cm dx dy (a) (b) h 2 h 2 b 2 b 2 - - Figura 8 – Momentos de inércia de um retângulo Podemos expressar o momento de inércia Ix, em relação ao eixo x, da seguinte maneira: dA ²bdyIx = ∫ y2 = ∫ 2 h h/2 y = 12 bh³ (a) Propriedades de Áreas Planas - Centroides e Momentos de Inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 25 Da mesma forma, se considerarmos um elemento de área diferencial dA em formato de uma faixa vertical estreita, de altura h e largura dA (Figura 8 - b), podemos expressar o momento de inércia Iy em relação ao eixo y, da seguinte maneira: Substituindo os valores de b e h (Figura 8 (a)) nas Equações a e b temos, então: Perceba que o cálculo dos momentos de inércia dos eixos x e y resultou em valores diferentes. Isso ocorre porque o retângulo é uma figura assimétrica. No caso de uma figura simétrica, os momentos de inércia dos eixos x e y apresen- tariam valores idênticos. dA ²hdxIy = ∫ x2 = ∫ 2 b/2 x = 12 hb³ (b) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E26 PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS - TEOREMA DO EIXO PARALELO, PRODUTO DE INÉRCIA, ROTAÇÃO DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Se o momento de inércia em relação a um centroide for conhecido, é possível determinar o momento da área em torno de um eixo paralelo correspondente utilizando o teorema dos eixos paralelos. Considere a Figura 9, em que se deseja calcular o momento de inércia da área A em torno do eixo x, paralelo a x’, a uma distância d. x y y’ d xcC A dA Figura 9 – Teorema dos eixos paralelos Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 27 Aplicando-se a definição do momento de inércia para o cálculo desta pro- priedade em torno do eixo x, temos as seguintes equações: Na equação 10, o primeiro termo corresponde ao cálculo do momento de inércia em relação ao eixo xc (Ixc). O segundo termo é zero, pois corresponde ao cálculo do momento de primeira ordem em torno do centroide (GERE e GOODNO, 2010). O momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo em seu plano (Ix) é igual ao momento de inércia em relação a um eixo centroidal (Ixc) mais o produto da área e o quadrado da distância entre os dois eixos (d²A). Como consequência disso, o momento de inércia aumenta conforme se aumenta a distância ao eixo centroidal, isso porque, para uma dada direção, o momento de inércia em relação ao eixo centroidal é o menor momento de inér- cia de uma área (GERE; GOODNO, 2010). Em outras palavras, caro(a) aluno(a), é mais fácil fazer girar um objeto em torno de um eixo que passa pelo centroide do que qualquer outro eixo! Exemplo 4: para ilustrar o teorema dos eixos paralelos, considere o retângulo da Figura 10. Sabe-se que o momento em relação ao eixo xc é Ixc = bh³/12 . Qual o momento em relação ao eixo x? Resolução: da Figura 10, notamos que a distância entre os eixos xc e x é , h/2 assim, aplicando o teorema dos eixos paralelos: Propriedades de Áreas Planas - Eixos dAIx =∫ (y )′ + d 2 (8) (y dy )dAIx =∫ 2′ + 2 ′+ d2 (9) dA d dA AIx =∫ y2′ + 2 ∫ y′ + d2 (10) dAIx =∫ (y )′ + d 2 (8) (y dy )dAIx =∫ 2′ + 2 ′+ d2 (9) dA d dA AIx =∫ y2′ + 2 ∫ y′ + d2 (10) dAIx =∫ (y )′ + d 2 (8) (y dy )dAIx =∫ 2′ + 2 ′+ d2 (9) dA d dA AIx =∫ y2′ + 2 ∫ y′ + d2 (10) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E28 Figura 10 – Teorema dos eixos paralelos em um retângulo Com o teorema dos eixos paralelos, é possível determinar o momento de inér- cia de áreas compostas, conforme será demonstrado no Exemplo 5. Exemplo 5: a Figura 11 mostra a seção transversal de uma viga T. Calcule o momento de inércia em torno do eixo x’, centroide da área. AIx = Ixc + d 2 (a) bhIx = 12 bh3 + ( )2 h 2 (b) Ix = 12 bh3 + 4 bh3 (c) Ix = 3 bh3 (d) AIx = Ixc + d 2 (a) bhIx = 12 bh3 + ( )2 h 2 (b) Ix = 12 bh3 + 4 bh3 (c) Ix = 3 bh3 (d) AIx = Ixc + d 2 (a) bhIx = 12 bh3 + ( )2 h 2 (b) Ix = 12 bh3 + 4 bh3 (c) Ix = 3 bh3 (d) AIx = Ixc + d 2 (a) bhIx = 12 bh3 + ( )2 h 2 (b) Ix = 12 bh3 + 4 bh3 (c) Ix = 3 bh3 (d) x h b xc yc h 2 Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 29 2cm 5cm 10cm 1,5cm 1,5cm 8cm 8 cm C x’ 4 cm Figura 11 – Viga em formato de T Resolução: a área foi separada em dois retângulos, como pode ser observado na Figura 11. Como visto anteriormente, o momento de inércia de um retângulo em relação ao centroide é dado por I=bh³/12. Aplicando o teorema dos eixos paralelos para cada retângulo e somando os resultados: Propriedades de Áreas Planas - Eixos dI = ∑ I + A y2 (a) b h b h d dI = 112 1 3 1 + 112 2 3 2 + A1 2 y,1 + A1 2 y,2 (b) ×2×10 ×8×3 ] 2×10×(8, 5 ) ×3×(4, 5 , ) ] I = [ 112 3 + 112 3 + [ 5 − 5 2 + 8 4 − 1 5 2 (c) 46 cm I = 6 4 (d) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E30 O momento de inércia de uma área é, de maneira geral, diferente para cada eixo. Determinar os momentos de inércia mínimos e máximos é importante em algumas aplicações de projeto mecânico e estrutural (HIBBELER, 2010). Antes de determiná-los, entretanto, é necessário definir o produto de inércia. PRODUTO DE INÉRCIA O produto de inércia de uma área A, mostrada na Figura 12, é definido como: Ixy =∫ xydA (12) y C A dA x x y Pela definição, cada elemento de área dA é multiplicado pelo produto de suas coordenadas. Dessa forma, o produto de inércia pode ser positivo, negativo ou zero, dependendo da localização da área em relação aos eixos coordenados. É possível notar, pela Figura 13, que se a área se encontra inteira no pri- meiro quadrante (Q1), o produto de inércia é positivo, pois cada elemento dA tem coordenadas x e y positivas, ou seja: Ixy,Q1 =∫ xydA > 0 (13) Figura 12 – Produto de inércia Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 1998 . 31 Se a área se encontra no segundo quadrante (Q2), o produto de inércia é negativo, pois cada elemento tem uma coordenada y positiva e uma coordenada x negativa. Aplicando a definição, obtém-se: Ixy,Q2 = ∫(− x)ydA =− ∫ xydA < 0 (14) Um pensamento semelhante pode ser aplicado para se analisar o terceiro quadrante (Q3) (que possui produto de inéricia positivo) e o quarto quadrante (Q4) (que possui momento de inércia negativo). Faça este exercício! Aplique a Equação 12 quando as coordenadas x e y são as duas negativas (3° quadrante) e quando apenas a coordenada y é negativa (4° quadrante). Ficou em dúvida quanto ao sinal do produto de inércia? Olhe na Figura 13! y -y Q2 Q1 Q3 Q4 Ixy < 0 Ixy > 0 Ixy > 0 Ixy < 0 x -x x y Figura 13 – Sinal do produto de inércia, de acordo com o quadrante em que a área está localizada Definido o produto de inércia, é possível apresentar uma forma de se obter os momentos de inércia mínimos e máximos. Propriedades de Áreas Planas - Eixos CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E32 ROTAÇÃO DE EIXOS E EIXOS PRINCIPAIS Observe a Figura 14. Nela uma área arbitrária A é apresentada junto com dois sistemas de eixos coordenados. As coordenadas do elemento de área dA para o primeiro é (x,y). Os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a esses eixos são: dA y y x x y’ y’ x’ x’ Figura 14 – Elemento de área dA em eixos coordenados xy e x’y’ Os eixos x’ e y’ possuem a mesma origem que os eixos xy, entretanto encon- tram-se rotacionados em um ângulo θ no sentido anti-horário. Neste sistema, as coordenadas do elemento dA é x’ e y’ e os momentos de inércia e o produto de inércia em relação a esses eixos são: dAIx =∫ y2 (15) dAIy =∫ x2 (16) ydAIxy =∫ x (17) dAIx =∫ y2 (15) dAIy =∫ x2 (16) Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 33 Propriedades de Áreas Planas - Eixos A relação entre Ix' Iy' e Ix'y' com Ix, Iy e Ixy é dada pelas seguintes equações: Essas relações são conhecidas como equações de transformação para momen- tos e produto de inércia. Em projeto mecânico ou estrutural, às vezes é necessário calcular os momentos e produto de inércia para uma área em relação a um conjunto de eixos x’ e y’ inclinados quando são dados os valores de θ, Ix, Iy e Ixy (HIBBELER, 2010). As equações 21 a 23 mostram que os momentos variam com a inclinação dos eixos x’ e y’. Os valores de θ em que são observados os momentos máxi- mos ou mínimos são chamados de eixos principais de inércia para a área (HIBBELER, 2010). Se θp é o ângulo que define a orientação dos eixos que fornece os momentos de inércia máximos ou mínimos, θp é dado resolvendo-se a seguinte equação: dAIx′ = ∫ y′2 (18) dAIy′ = ∫ x′2 (19) ydAIxy′ ′ = ∫ x′ ′ (20) A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2 I +Ix y + 2 I −Ix y − Ixy (21) cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2 I +Ix y − 2 I −Ix y + Ixy (22) sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2 I −Ix y + Ixy (23) g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) ydAIxy′ ′ = ∫ x′ ′ (20) A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2 I +Ix y + 2 I −Ix y − Ixy (21) cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2 I +Ix y − 2 I −Ix y + Ixy (22) sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2 I −Ix y + Ixy (23) g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) ydAIxy′ ′ = ∫ x′ ′ (20) A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2 I +Ix y + 2 I −Ix y − Ixy (21) cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2 I +Ix y − 2 I −Ix y + Ixy (22) sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2 I −Ix y + Ixy (23) g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) ydAIxy′ ′ = ∫ x′ ′ (20) A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2 I +Ix y + 2 I −Ix y − Ixy (21) cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2 I +Ix y − 2 I −Ix y + Ixy (22) sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2 I −Ix y + Ixy (23) g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) ydAIxy′ ′ = ∫ x′ ′ (20) A relação entre e com , e é dada pelas seguintes equações:Ix′ Iy′ Ixy′ ′ Ix Iy Ixy cos (2θ) sen(2θ) Ix′ = 2 I +Ix y + 2 I −Ix y − Ixy (21) cos (2θ) sen(2θ) Iy′ = 2 I +Ix y − 2 I −Ix y + Ixy (22) sen (2θ) cos(2θ) Ixy′ ′ = 2 I −Ix y + Ixy (23) g(2θ ) − t p = Ixy(I −I )/2x y (24) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E34 Essa equação possui duas raízes separadas por um ângulo de 90°. Um valor de θp fornece o momento de inércia mínimo enquanto o outro fornece o máximo valor do momento de inércia. A intensidade dos valores míni- mos e máximos de momento de inércia são dados pelas seguintes relações: Exemplo 6: calcule os momentos principais de inércia para a área da seção trans- versal da viga mostrada na Figura 15 em relação ao eixo que passa pelo centroide C. Sabe-se que: , 0×10 mIx = 2 9 −3 4 , 0×10 mIy = 5 6 −3 4 − , 0×10 mIxy = 3 0 −3 4 Imin = 2 I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ix y Imáx = 2 I +Ix y + √( )2I −Ix y 2 + Ix y 2 2 Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 35 Resolução: a Equação (24) fornece os ângulos de inclinação dos eixos prin- cipais x’ e y’: Os momentos principais de inércia são calculados pelas Equações (25) e (26) Propriedades de Áreas Planas - Eixos C y x 0,4m 0,4m 0,1m 0,1m 0,6m 0,1m g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy 2 (I −I )x y = −3,00×10−3 2 (2,90×10 −5,60×10 )−3 −3 = 2 2 (a) θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy 2 (I −I )x y = −3,00×10−3 2 (2,90×10 −5,60×10 )−3 −3 = 2 2 (a) θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy 2 (I −I )x y = −3,00×10−3 2 (2,90×10 −5,60×10 )−3 −3 = 2 2 (a) θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) g(2θ ) − − − , 2 t p = Ixy 2 (I −I )x y = −3,00×10−3 2 (2,90×10 −5,60×10 )−3 −3 = 2 2 (a) θ rctg(− , 2) 2 p = a 2 2 (b) θ 14, ° e 2θ − 5, °2 p = 1 2 p = 6 8 (c) 7, ° e θ − 2, °θp = 5 1 p = 3 9 (d) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E36 Imin = 2 I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ixy (e) Imin = 2 2,90×10 +5,60×10−3 −3 −√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (f) , 6×10 mm Imin = 0 9 −3 4 Imin = 2 2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (g) , 4×10 mImin = 7 5 −3 4 Imin = 2 I +Ix y − √( )2I −Ix y 2 + Ixy (e) Imin = 2 2,90×10 +5,60×10−3 −3 −√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −32 + ( 3 0 −3 (f) , 6×10 mm Imin = 0 9 −3 4 Imin = 2 2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 (g) , 4×10 mImin = 7 5 −3 4 I = 2 2,90×10 +5,60×10−3 −3 +√( ) − , 0×10 )22,90×10 −5,60×10−3 −3 2 + ( 3 0 −3 2 Estática - Fundamentos da Mecânica Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 37 ESTÁTICA - FUNDAMENTOS DA MECÂNICA Caro(a) aluno(a)! Nos tópicos que seguem, apresentaremos alguns conceitos básicos de física e geometria analítica aplicados à Mecânica e Resistência dos Materiais. Em física, revisaremos conceitos relacionados à estática, enquanto que, em geometria analítica, alguns conceitos sobre vetores serão importantes. Sinta-se à vontade para utilizar suas apostilas de física e geometria analítica ou outro material com o qual você tenha mais facilidade. A estática é uma área da mecânica e, segundo Shames (2002), mecânica é a ciência que estuda o comportamento dinâmico dos corpos quando sob ação de perturbações mecânicas, como as forças. Como esse comportamento se encontra presente em muitas situações na vida profissional de um engenheiro, a mecânica pode ser considerada como o núcleo fundamental de grande parte da análise em engenharia. CONCEITOS BÁSICOS Dentre os conceitos básicos da mecânica, neste livro serão utilizados os concei- tos de força e de corpo rígido. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E38 Força é a ação de um corpo sobre outro. Quando aplicada em um corpo, a força tende a mover o corpo na direção de sua ação. Uma força é bem carac- terizada quando ficam claros: o seu valor (ou módulo), a direção de sua ação (direção) e seu ponto de aplicação (sentido). Dessa forma a força é uma gran- deza vetorial. Além de tender o movimento, a aplicação de uma força provoca certo grau de deformação do corpo. Quando o grau de deformação é muito pequeno, ao ponto de ser desprezível, dizemos que temos um corpo rígido, ou seja, um corpo que não sofre qualquer deformação quando sujeito à aplicação de uma força. Ficou confuso (a)? Olhe a Figura 16 (a). Nesta figura se deseja determinar as for- ças transmitidas ao solo como resultado de uma carga P. Se muito pequena, a carga P provocará na viga uma pequena deflexão e será possível analisar o problema de maneira simples e direta, desconsiderando a geometria deformada. Entretanto, se uma análise mais precisa for necessária, deve-se conhecer a posição da carga na viga após ocorrer a deformação. Como mostrado de maneira exagerada, na Figura 16 (b). P (a) (b) P P’ P (a) (b) P P’ Figura 16 – Hipótese do corpo rígido em (a) e Viga deformável em (b) Fonte: os autores. Análises precisas são mais complicadas, pois podem conduzir a cálculos mais complexos. Em algumas situações, a precisão que se quer obter só é atin- gida utilizando-se uma análise mais detalhada das deformações. Você pode se perguntar: quando vou utilizar uma análise mais complexa e quando vou Estática - Fundamentos da Mecânica Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 39 usar uma análise mais simples? O princípio fundamental, caro(a) estudante, é efetuar simplificações consistentes com a precisão requerida para os resul- tados (SHAMES, 2002). Como as forças são grandezas vetoriais, são válidos todos os conceitos que foram dados em álgebra vetorial, dentre eles, o conceito de módulo, multipli- cação por escalar, adição e subtração de vetores, decomposição de vetores além dos produtos escalares e vetoriais entre vetores. Dentre os conceitos que envol- vem vetores, é necessário diferenciar igualdade e equivalência entre vetores. IGUALDADE E EQUIVALÊNCIA DE VETORES Em mecânica, é comum o surgimento de vetores iguais e vetores equivalentes. Dois vetores são iguais se eles possuem o mesmo módulo, direção e sentido. Observe a Figura 17, prezado(a) aluno(a), nela, três forças F1, F2 e F3 são apli- cadas em uma barra. Notamos que as forças F1 e F2 são igualmente inclinadas em relação à barra, possuem mesmo comprimento e têm o mesmo sentido. De acordo com a definição que foi dada, essas forças são iguais. A força F3, entre- tanto, possui metade do módulo que as forças anteriores. Dessa forma, o vetor F3 é diferente dos vetores F1 e F2. F1=100 kN 2m 1m 1m A F2=100 kN F3=50 kN Figura 17 – Forças iguais e equivalentes atuando em uma barra a R = m (27) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E40 Por outro lado, dois vetores são equivalentes em relação a determinada propriedade se cada um deles produz o mesmo efeito sobre essa propriedade. Confuso (a)? Observe novamente a Figura 17. Se a propriedade que estivermos avaliando for o momento em relação ao ponto A, nota-se que a Força F1 possui momento igual a 200 kNm, a força F2 tem momento igual a 300 kNm e a força F3 tem momento igual a 200 kNm. Veja que situação: vetores iguais (F1 e F2) produzem momentos diferentes, enquanto vetores diferentes (F1 e F3) produzem momentos iguais. Duas conclusões importantes: a primeira é, de acordo com a definição apresentada dois parágrafos acima, F1 e F3 são equivalentes. A segunda é mais importante: vetores iguais não são necessariamente equivalentes! Além disso, vetores diferentes podem ser equivalentes! Isso ocorre porque a equivalência depende da situação em análise. Quando se analisam as forças, não podemos deixar de falar a respeito das leis que elas obedecem: as leis de Newton. LEIS DE NEWTON Para se trabalhar de maneira satisfatória muitas situações que serão apresen- tadas neste livro, é necessário relembrar o conjunto das leis que fundamentam toda a mecânica: as leis de Newton (HALLIDAY e RESNICK e WALKER, 2009). Pela primeira lei de Newton, se nenhuma força resultante atua sobre o corpo, sua velocidade não pode mudar, em outras palavras, se o corpo se encon- tra em repouso ele permanece em repouso e se este se encontra em movimento, permanece em movimento. Pela segunda lei de Newton, a força aplicada em um corpo (R) é igual ao produto da massa (m) pela sua aceleração (a), como descrito na Equação 27. Neste livro, como estamos considerando a estática, as estruturas apresentadas deverão permanecer em repouso! Sendo assim, a aceleração é nula! R= ma (27) Estática - Fundamentos da Mecânica Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 41 Já a terceira lei de Newton será muito aplicada no decorrer deste livro! Preste atenção! Quando dois corpos interagem, um par de forças com mesmo módulo e direção, mas com sentido contrário, surge. Na Figura 18 (a), uma barra com peso W é suportada por dois apoios, A e B. De acordo com a terceira lei de Newton, da interação entre a barra e os apoios devem surgir forças de mesma intensidade e módulo, mas com sentido contrá- rio. Essas forças estão representadas na Figura 18 (b), por RA e RB. Vale notar que o par ação e reação não se anula, pois são aplicadas em corpos diferentes. (b) -RA -RBwA B w (a) A RA RB B Figura 18 – Barra suspensa por apoios em (a) e os pares ação e reação em cada suporte em (b) 2O momento (ou torque) de uma força mede a capacidade que a força tem em fazer um corpo girar. Mede-se o torque multiplicando-se a componente da força que de fato promove a rotação (componente tangencial) pela dis- tância ao eixo de rotação. Fonte: os autores, baseados em Halliday, Resnick e Walker (2009). CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E42 Caro(a) aluno(a), com os conceitos apresentados, estamos prontos para entrar nos últimos tópicos desta unidade, nos quais serão apresentadas formas de representar sistemas estruturais de maneira simples e como se analisar as for- ças em diagramas do corpo livre. ESTÁTICA - IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS E DIAGRAMAS DO CORPO LIVRE No novo dicionário Aurélio da língua portuguesa (DE HOLANDA FERREIRA e FERREIRA e DOS ANJOS, 2009), a palavra estrutura é definida como a parte de uma construção que se destina a resistir a cargas, dentre outras definições. Neste tópico, vamos introduzir alguns conceitos sobre análise e representa- ção de estruturas e demonstrar sua importância na mecânica e resistência dos materiais. Estática - Idealização de Estruturas e Diagramas do Corpo Livre Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 43 IDEALIZAÇÃO DE ESTRUTURAS O primeiro passo de um projeto geralmente é avaliar a estrutura que desejamos dimensionar, para que possamos entender a forma como esta é afetada por for- ças distribuídas ao longo dos elementos que a compõem. Para isso, é comum que os projetistas utilizem de seus apoios e das cargas aplicadas (LEET e UANG e GILBERT, 2014). Considere o pórtico rígido de aço estrutural da Figura 19 (a). A B D h R R L (b) C wL 2 w wL 2 carga de neve viga mestra tirante paredegraute place de base ligação rígida L (a) A B D C h Figura 19 – (a) Pórtico rígido soldado com carga de neve e (b) pórtico idealizado no qual a análise Fonte: baseado em Leet et al. (2014). A Figura 19 (b) representa o esboço simplificado da Figura 19 (a). As linhas de comprimento L e altura h representam a viga e as colunas, respectivamente. Leet et al. (2014) apresentam duas suposições para criar este esboço: a pri- meira é de que, embora a carga máxima aplicada na viga mestra do pórtico possa ser criada pelo acúmulo desigual de neve úmida e pesada, pode-se projetar o pór- tico para uma carga uniforme w equivalente. Essa suposição pode ser feita desde que a carga equivalente produza nas barras forças com a mesma magnitude da carga real. A segunda suposição utilizada é a de que, embora alguma restrição rotacional obviamente se desenvolva na base das colunas, é possível desprezá-la e presumir que os apoios reais podem ser representados por articulações fixas. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E44 Essa suposição pode ser feita pois, em primeiro lugar, não há nenhum proce- dimento simples para avaliar a restrição rotacional. Sabe-se também que, nesse caso, a restrição rotacional é modesta, ocorrendo somente devido à deformação de flexão da placa, ao alongamento dos parafusos e aos pequenos movimentos laterais da parede. Por fim, os autores alegam que a suposição de uma articula- ção fixa na base é conservadora. A idealização de uma estrutura leva ao desenvolvimento de um modelo físico simplificado, no qual a análise estrutural será baseada. Para que possamos desenvolver esse modelo para qualquer tipo de estrutura, devemos aprender a construir diagramas de corpo livre. DIAGRAMA DO CORPO LIVRE De uma forma geral, construir um diagrama de corpo livre é, basicamente, deter- minar e isolar, sem qualquer ambiguidade, o corpo específico a ser analisado e representar claramente todas as forças que atuam sobre o corpo. Parece simples, não é? Entretanto, a construção incorreta de um diagrama de corpo livre conduzirá a resultados errados. Por esse motivo, esta etapa é considerada a mais impor- tante na solução de problemas da mecânica (SHAMES, 2002). Após a decisão do isolamento do corpo ou do conjunto de corpos, passamos a tratar esse corpo como um único corpo isolado, e somente após construirmos cuidadosamente o diagrama de corpo livre é que as equações de equilíbrio devem ser escritas. Exemplo 7: considere a estrutura apresentada na Figura 20. As cargas F1 e F2 são conhecidas, assim como o peso W da viga. Sabe-se que a viga está em equilíbrio, e que sua pequena deflexão não afeta consideravelmente as forças transmitidas ao solo. O ponto de apoio da viga na extremidade direita está sobre roletes (ou seja, pode haver movimento horizontal, de compressão ou de tração, ou tam- bém, a contração térmica da viga). Determine as forças transmitidas ao solo por meio do diagrama de corpo livre, visando o projeto de uma fundação capaz de suportar adequadamente a estrutura. Estática - Idealização de Estruturas e Diagramas do Corpo Livre Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 45 w F1 F2 Figura 20 – Viga sob a ação de cargas Como vimos anteriormente, o primeiro passo para construir o diagrama é iso- lar o corpo livre. Nesse caso, o corpo rígido que pode ser isolado para análise é a viga. O diagrama de corpo livre desta figura é, então, dado por: w Ѳ F1 R1 F2 R2 Figura 21 – Diagrama de corpo livre da viga CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E46 A força R1 (posicionada na extremidade esquerda da viga) é uma força des- conhecida de reação, relacionada com a força de ação que passa pelo ponto A, e que possui direção θ. A força R2 (posicionada na extremidade direita da viga) é uma força desconhe- cida de direção vertical. Por causa dos roletes, a força exercida horizontalmente pelo solo é desprezível, pois ela é muito pequena. A partir do momento em que as 3 forças desconhecidas R1, R2, e θ sejam iden- tificadas (assim como as outras forças que estão atuando sobre a viga), podemos escrever as equações de equilíbrio para essa estrutura. Estática - Condições de Equilíbrio Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 47 ESTÁTICA - CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Caro(a) aluno(a), você lembra das leis de Newton? As duas primeiras leis apresentam em sua definição o conceito de força resultante (R). A força resultante para qualquer sistema de forças é definida como sendo a soma vetorial de todas as forças presentes no sistema. Como vetores apresentam componentes nas direções x e y, as equações 28 e 29 são as que definem a força resultante em um sistema complanar de forças, ou seja, sistemas de forças que estão em um plano. De maneira semelhante, o momento resultante (M) produzido pela força resultante sobre um eixo de referência através de um ponto deve ser igual à soma de todos os momentos produzidos por todas as forças que com- põem o sistema de forças original (LEET; UANG; GILBERT, 2009). Ou de maneira matemática: ixo x→RE x = ∑ Fx (28) ixo y→RE y = ∑ Fy (29) d dM = R = ∑ F i i +∑ Mi (30) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E48 Os conceitos apresentados ficam mais claros quando aplicados. Para isso, dê uma olhada na Figura 22, pois ela apresenta a ação de três forças ao longo da extensão de uma viga, fixa no ponto A e imóvel. Pela equação 28, a força resultante ao longo do eixo x é nula, pois não existem forças nesta direção! Já pela equação 29, a força resultante ao longo da direção vertical (eixo y) é: Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: F1=200 kN 1m A F2=100 kN F3=50 kN 1,5m 2m x y Figura 22 – Viga sob ação de três forças Ou seja, podemos substituir o sistema de forças pela força resultante Ry = 350 kN e essa força deve produzir um momento com intensidade de 450 kNm em rela- ção ao eixo A. 00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: d d d d dM = R = ∑ F i i + ∑ Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) 00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: d d d d dM = R = ∑ F i i + ∑ Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) 00 00 0 50 kNRy = F 1 + F 2 + F 3 = 2 + 1 + 5 = 3 (31) Além disso, o momento produzido por essas forças em relação ao eixo A é: d d d d dM = R = ∑ F i i + ∑ Mi = F 1 1 + F 2 2 + F 3 3 + 0 (32) 00×1 00×1, 0×2 50 kNm M = 2 + 1 5 + 5 = 4 (33) Estática - Condições de Equilíbrio Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 49 Mas onde deve ser aplicada essa força? Não pode ser em qualquer lugar! A força resultante deve ser equivalente ao sistema de forças original, caso contrário o problema todo é modificado. Essa resposta nos é dada ao se aplicar a equação 30! Na Figura 23, substituímos o conjunto de forças pela força resultante, dis- tante do ponto A a uma distância d. A aplicação da equação 30 resulta em: A Ry=350 kN d x y Figura 23 – Sistema equivalente ao apresentado na Figura 22 Portanto, o sistema apresentado na Figura 23 com d =1,29 m é equivalente ao sistema apresentado na Figura 22. dM = R (34) 50 50 d4 = 3 (35) , 9 m d = 1 2 (36) dM = R (34) 50 50 d4 = 3 (35) Substituir o conjunto de forças e momentos que atuam em um corpo ape- nas pela força resultante e pelo momento resultante não muda o problema. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E50 No início do problema, foi dito que a viga estava fixa no ponto A e que era imóvel, lembra? Por imóvel, entenda que o corpo está em repouso. Estar em repouso é o mesmo que estar em estado de equilíbrio estático. Nessa situa- ção, tanto aceleração linear quanto aceleração angular são iguais a zero (LEET e UANG e GILBERT, 2009). Como consequência disso, a força e o momento resultantes são nulos. Ou seja: Em outras palavras, prezado(a) aluno(a), as equações 37 e 38 estabelecem que a estrutura não está se movendo em nenhuma direção, enquanto a equação 39 garante que esta não está girando. Você pode se perguntar: mas se a viga na Figura 23 está parada e não está girando, como a força resultante é diferente de zero? Isso se deve, caro(a) aluno(a), porque na figura dada não levamos em consideração, de maneira proposital, a ação de todas as forças! Lembra-se da terceira lei de Newton? Se aplicarmos no caso estudado, a parede vai reagir à força resultante, com mesmo módulo e direção, mas no sen- tido contrário, como mostrado na Figura 24. Dessa forma, o estado de equilíbrio é caracterizado! A força resultante no sistema é nula, o que torna o momento resultante nulo também. ixo x→RE x = 0 (37) ixo y→RE y = 0 (38) M = 0 (39) Estática - Condições de Equilíbrio Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 51 Figura 24 – Reação da força resultante Exemplo 8: calcule as reações para as vigas da Figura 25. O apoio em B não trans- mite nenhuma força horizontal. Considere: sen (θ) = 0,8 e cos (θ) = 0,6 Figura 25 – Cálculo das reações Ry=350 kN RA=-Ry d=1,29m x y A B D F=25 kN C 10m 5m 5m θ CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E52 Resolução: a melhor estratégia, nesse caso, é aplicar as equações 37, 38 e 39 para cada viga. Para isso, separamos a estrutura em dois copos livres, como mostrado na Figura 26. Ainda nesta figura, são mostradas as reações em cada ponto de apoio, que queremos determinar. Note ainda que a força F já está escrita em função de suas componentes (lem- bre-se: Fy = Fsen(θ) e Fx = Fcos(θ). RA,x RA,y RB Rc,x Rc,y C RB Fx = 15 kN Fy = 20 kN RD, y RD, x B D A Figura 26 – Diagrama do corpo livre para cada viga Aplicando as equações de equilíbrio no membro BD da Figura 26. Resolvendo as equações a, b e c, determinamos que RD = 15 kN, RB = 10 kN e RD,y = 10 kN. Com o o valor de RB podemos aplicar as equações de equilíbrio para a viga AC da Figura 26. ixo x→R →15E x = 0 − RD,x = 0 (a) ixo y→R →R 0E y = 0 B − 2 + RD,y = 0 (b) →R ×10 0×5M = 0 B − 2 = 0 (c) Estática - Condições de Equilíbrio Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 53 Resolvendo as equações d, e e f, encontramos RA,x, RC,y = 20/3 kN e RA,y = 10/3 kN. Verificação: aplicando Ry = 0 para a estrutura inteira, com os valores calculados: Caro(a) aluno(a), com esse exemplo foi possível verificar que a aplicação em estruturas com muitas interações se torna mais trabalhosa, mas ainda possível, quando se aplica às condições de equilíbrio estático para cada corpo. , ×25RA,y + RC,y + RD,y − 0 8 = 0 0 , ×253 10 + 3 20 + 1 − 0 8 = 0 0 = 0 ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) →10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) →10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) ixo x→R →RE x = 0 A,x = 0 (d) ixo y→R →R 0E y = 0 A,y − 1 + RC,y = 0 (e) →10×10 5×RM = 0 − 1 C,y = 0 (f) CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS, ESTÁTICA E CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IU N I D A D E54 CONSIDERAÇÕES FINAIS Prezado(a) aluno(a), nesta unidade foram apresentados conceitos fundamentais para uma compreensão inicial da Mecânica e Resistência dos Materiais. Vimos, no Tópico 1, que o centroide é uma propriedade geométrica impor- tante que define o centro geométrico de uma figura e que, para figuras planas, pode ser calculado por dois métodos: o método de integração e o método das áreas compostas. Posteriormente, foi apresentado o conceito de momento de inércia,também conhecido como segundo momento, que está relacionado à rotação de um corpo em torno de um eixo. Em seguida, no Tópico 2, outras propriedades de áreas planas foram apre- sentadas. O teorema dos eixos paralelos se mostrou importante para o cálculo do momento de inércia de figuras planas, em eixos diferentes dos eixos que passam pelo centróide. O produto de inércia foi apresentado, pois é um tema que surge quando se determina os momentos máximos e mínimos. Por fim, o método para calcular esses momentos também foi apresentado. Alguns conceitos fundamentais foram lembrados no Tópico 3. Foi enfatizado que simplificar os cálculos nem sempre é ruim. Além disso, verificou-se que as leis que fundamentam toda a mecânica são as Leis de Newton. No Tópico 4, vimos que o primeiro passo de um projeto geralmente é avaliar a estrutura que será analisada e desenvolver um modelo físico simplificado da estrutura. Esse modelo, denominado diagrama de corpo livre, é considerado a etapa mais importante na solução de problemas da mecânica, pois uma cons- trução incorreta do mesmo conduzirá a resultados errados, e somente após a sua construção é que as equações de equilíbrio podem ser escritas. O Tópico 5 finalizou esta unidade com a apresentação das equações funda- mentais da estática, que definem o estado de equilíbrio estático de um corpo ou uma estrutura. A aplicação em estruturas mostrou que os cálculos, apesar de simples, podem se tornar extensos, à medida que mais corpos são incluídos na análise. 55 Caro(a) aluno(a), embora não nos recor- demos com frequência, vivemos em um mundo repleto de estruturas projetadas e dimensionadas por engenheiros, sejam eles engenheiros civis, químicos, de pro- dução, eletricistas, entre outros. Todas estas estruturas, antes de entrarem em circulação, passam por uma série de tes- tes de controle de qualidade e segurança. Por esse motivo, você como futuro (a) engenheiro (a) de produção deve saber que não está aprendendo sobre resistên- cia dos materiais em vão. O texto abaixo demonstra a ocorrência de problemas em um teste muito comum na avaliação da resistência de um material, chamado “ensaio de rotação”: Grandes peças de máquinas que serão submetidas a rotações prolongadas em alta velocidade costumam ser testadas em um sistema de ensaio de rotação. Nesse sistema, a peça é posta para girar rapi- damente no interior de uma montagem cilíndrica de tijolos de chumbo com um revestimento de contenção, tudo isso den- tro de uma câmara de aço fechada por uma tampa lacrada. Se a rotação faz a peça se estilhaçar, os tijolos de chumbo, sendo macios, capturam os fragmentos para serem posteriormente analisados. Em 1985, a empresa Test Devices, Inc. estava testando um rotor de aço maciço, em forma de disco, com uma massa M = 272 kg e um raio R = 38,0 cm. Quando a peça atingiu uma determinada velocidade angular, os engenheiros que realizavam o ensaio ouviram um ruído seco na câmara, que ficava um andar abaixo e a uma sala de distância. Na investigação, descobri- ram que tijolos de chumbo haviam sido lançados no corredor que levava à sala de testes, uma das portas da sala havia sido arremessada no estacionamento do lado de fora do prédio, um tijolo de chumbo havia atravessado a parede e invadido a cozinha de um vizinho, as vigas estruturais do edifício do teste tinham sido danifica- das, o chão de concreto abaixo da câmara de ensaios havia afundado cerca de 0,5 cm e a tampa de 900 kg tinha sido lan- çada para cima, atravessara o teto e caíra de volta, destruindo o equipamento de ensaio. Os fragmentos da explosão só não penetraram na sala dos engenheiros por pura sorte. Fonte: os autores baseados em Halliday, Resnick e Walker (2009). 56 Considere a viga em formato de L apresentada nas Figuras 1 e 2: Figura 1 Figura 2 Nas quais: Figura 1 Figura 2 a (mm) 150 150 b (mm) 100 100 t (mm) 12 15 1. Determine as coordenadas e do centroide C da Figura 1 e assinale a alternativa correta. a. = 24,49 mm e = 49,49 mm.x y b. = 49,49 mm e = 24,49 mm.x y c. = 20 mm e = 40 mm.x y d. = 35,18 mm e = 0 mm.x y e. = 0 mm e = 49,49 mm.x y b a 0 x y t x1 y1 Ѳt x b a 0 x y C t y t 57 2. Calcule os momentos de inércia Ix e Iy em relação aos eixos x e y para a Figura 1. 3. Calcule para a Figura 2: a. Os momentos de inércia Ix1 e Iy1 em relação aos eixos x1 e y1. b. O produto de inércia Ix1y1 em relação aos eixos x1 e y1. Considere θ = 30º. 4. Com relação à Figura 2, quais os momentos de inércia principais (máximo e mínimo)? 5. Calcular as reações de apoios da estrutura da Figura 3 para P1 = 15 kN, P2 = 10 kN; P3 = 2*P1 e q = 10kN. P1 P2 P3 q 2m 2m 5m 4m N 2m Figura 5 – Estrutura para cálculo das reações de apoio MATERIAL COMPLEMENTAR Estática: Mecânica para Engenharia Autor: Irving H. Shames Editora: Prentice Hall Ano: 2002 Sinopse: o autor faz uma ponte de integração entre as disciplinas básicas da mecânica e as disciplinas mais avançadas do currículo das engenharias e de áreas afi ns. Escrito em estilo claro e apoiado por um grande número de exemplos, exercícios e fi guras, este livro foi totalmente adaptado para o Sistema Internacional de Unidades. A edição em português do Estática, 4ª edição, primeiro volume da série Mecânica para Engenharia de Irving Shames, preenche uma lacuna na bibliografi a técnica e didática. Estática: Resistência do Materiais Autor: Russel C. Hibbeler Editora: Prentice Hall Ano: 2010 Sinopse: o livro, além de apresentar problemas na forma de exemplos ilustrativos, fi guras tridimensionais e exercícios, traz capítulos que mostram problemas propostos em diferentes níveis de difi culdade. Para completar, situações reais são usadas com o objetivo de estimular o interesse do estudante pelo assunto, bem como seções que orientam a solução de problemas diversos. REFERÊNCIAS 59 DE HOLANDA FERREIRA, A. B.; FERREIRA, M. B.; DOS ANJOS, M. Novo dicionário Au- rélio da língua portuguesa. Editora Positivo, 2009. GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos materiais. Pioneira, 2010. HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física, Volume 1, Mecâni- ca. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009. HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. Prentice Hall Brasil, 2010. LEET, K. M.; UANG, C. M.; GILBERT, A. M. Fundamentos da Análise Estrutural. 3. ed. McGraw Hill Brasil, 2014. SHAMES, I. H. Estática: mecânica para engenharia. Prentice Hall Brasil, 2002. TIMOSHENKO, S.; GERE, J. M. Mecânica dos sólidos. LTC, 1983. GABARITO 1. a) 2. 3. 4. Momento de inércia principal mínimo = 4, 88×106 mm4 Momento de inércia principal máximo = 17, 24×106 mm4 5. Horizontal A = 30 kN. Vertical A = 30 kN. Vertical B= 5 kN. 1.) a) 2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4 6 4 , 8×10 mmIy1 = 9 6 6 4 , 3×10 mmIx y1 1 = 6 0 6 4 1.) a) 2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4 6 4 , 8×10 mmIy1 = 9 6 6 4 , 3×10 mmIx y1 1 = 6 0 6 4 1.) a) 2.) 3, 5×10 mmIx = 1 5 6 4 , 79×10 mmIy = 4 0 6 4 3.) 2, 4×10 mmIx1 = 1 4 6 4 , 8×10 mmIy1 = 9 6 6 4 , 3×10 mmIx y1 1 = 6 0 6 4 U N ID A D E II Professor Me. Artur Lemes Moretti Professora Me. Natália Cândido Homem TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Objetivos de Aprendizagem ■ Definir os conceitos de tensão e deformação normais, fundamentais na Mecânica dos Materiais. ■ Definir os conceitos de tensão e deformação de cisalhamento. ■ Demonstrar os diagramas que fornecem o comportamento de materiais utilizados em aplicações na Engenharia.■ Apresentar o comportamento dos materiais quando sujeitos às deformações causadas por cargas. ■ Apresentar ferramentas para analisar problemas quando a aplicação da estática não for suficiente. Plano de Estudo A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: ■ Tensões e Deformações ■ Tensão e Deformação de Cisalhamento ■ Diagrama de Tensão-Deformação ■ Elasticidade, Plasticidade e Fluência ■ Estruturas Estaticamente Indeterminadas Introdução Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 63 INTRODUÇÃO Olá caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à Unidade 2! Você com certeza já andou de elevador, mas já parou pra pensar no esforço que os cabos de aço precisam ao deslocarem esses equipamentos? Imagine a tra- gédia que poderia acontecer caso esses cabos sofressem uma ruptura! E quanto a outras estruturas, como prédios, pontes, máquinas e motores? Para evitar a ocor- rência de acidentes, é imprescindível, em qualquer projeto de estruturas, que as propriedades mecânicas dos materiais utilizados sejam conhecidas. A Unidade II apresentará conceitos importantes para que sejam conheci- das as propriedades de tração, compressão e cisalhamento de corpos carregados axialmente. Nos Tópicos 1 e 2, aprenderemos sobre a tensão e deformação normais, e tensão e deformação de cisalhamento, conceitos fundamentais na mecânica dos materiais e requisitos básicos no projeto de estruturas. Após discutir esses con- ceitos, no Tópico 3 vamos demonstrar como as tensões e deformações podem ser relacionadas por meio de métodos experimentais, como os ensaios de tra- ção e compressão, a fim de se construir diagramas de tensão-deformação que são inerentes e únicos de cada material. Quando sujeitos a cargas, os objetos comportam-se de maneira diferente, de acordo com a carga aplicada. Elementos estruturais comportam-se de maneira diferente quando sujeitos a tensões de certa intensidade. E esse comportamento será abordado no tópico 4. Ainda neste Tópico, algumas considerações sobre os fatores de segurança serão discutidas, umas vez que, na maioria das considera- ções, as falhas estruturais não são bem-vindas. Por último, no Tópico 5, abordaremos um tipo de problema que aparece na análise das deformações, quando a aplicação da estática não é suficiente para a resolução de problemas. Quando isso acontece, as deformações, que foram abor- dadas em tópicos anteriores, devem ser consideradas. Não se esqueça de fazer os exercícios ao final da unidade. Bons estudos! TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IIU N I D A D E64 TENSÕES E DEFORMAÇÕES Caro(a) aluno(a), apresentaremos neste tópico dois conceitos fundamentais na mecânica dos materiais: tensão e deformação (GERE e GOODNO, 2010). TENSÃO NORMAL Inicialmente, considere uma peça retilínea de seção transversal constante, que vamos chamar de barra prismática (Figura 1). Essa barra está sujeita à tração, quando a carga aplicada atuar no sentido externo da peça (Figura 1 -a). Quando a carga estiver sendo aplicada no sentido interno da peça, dizemos que ela está sofrendo uma compressão (Figura 2 -b). P P BC (a) (b) A P P C BA Figura 1- Barra prismática AB tracionada (a) e barra prismática AB comprimida (b) Fonte: os autores. Tensões e Deformações Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 65 Sob a ação das forças P apresentadas na Figura 1 (a), originam-se esforços inter- nos, ou seja, que atuam no interior da barra. Se fizermos um corte imaginário na seção C, podemos isolar a barra AC para análise, como um corpo livre, e os esforços internos passam a se comportar como esforços externos (Figura 2). C σ A Figura 2 - Corpo livre sob a ação de uma força axial P Fonte: os autores. Como pode ser observado na Figura 2, na extremidade direita desse corpo temos um conjunto de forças, que representam a tração exercida pela parte removida do desenho, na parte remanescente. Essa distribuição de forças ocorre porque rea- lizamos o isolamento do corpo por meio do corte imaginário na seção C. Essas forças distribuídas de maneira perpendicular agem de maneira uniforme sobre toda a seção transversal da área desse corpo e possuem uma certa intensidade. A força (P) por unidade de área (A) (ou intensidade das forças distribuídas sobre uma determinada área) é denominada tensão normal (σ). Podemos descrever a tensão normal na seção transversal de uma área A de uma barra submetida a uma carga axial P por meio da Equação 1: (1) No sistema internacional de medidas (SI), a força é expressa em newtons (N) e a área, como mencionamos na Unidade I, é expressa geralmente em metros quadrados ou centímetros quadrados (m² ou cm²). Dessa forma, a unidade de medida da tensão normal é a força por unidade de área, ou seja, newtons por metro quadrado (N/m²), que corresponde à unidade pascal (Pa). É importante ressaltar aqui que, quando a barra estiver sendo tracionada, a tensão normal possuirá um sinal positivo e, quando a barra estiver sendo comprimida, a ten- são normal possuirá um sinal negativo. σ = A P TRAÇÃO, COMPRESSÃO E CISALHAMENTO Reprodução proibida. A rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. IIU N I D A D E66 DEFORMAÇÃO NORMAL Agora, caro(a) aluno(a), imagine uma tira de borracha. Caso essa tira seja esti- cada, você verá claramente que ocorre uma deformação em seu comprimento. Isso acontece porque, quando um corpo sofre uma deformação, ele tende a alte- rar sua forma e dimensão. Algumas dessas mudanças podem ser vistas a olho nu, como o exemplo da tira de borracha. Por outro lado, algumas deformações são praticamente imperceptíveis e só podem ser detectadas por equipamentos de medição precisa. Esse é o caso das deformações que a estrutura de um prédio sofre quando há muitas pessoas andando em seu interior (HIBBELER, 2006). Dessa forma, o termo deformação, representado pela letra grega delta (δ), pode ser definido como a resposta que o material dá aos esforços que são rea- lizados em sua estrutura. Quando essa deformação é dada em relação a uma unidade de comprimento, ela é denominada deformação normal, e é dada pela Equação 2, na qual L representa a unidade de comprimento. (2) Observe que a deformação normal é uma quantidade adimensional. Entretanto, podemos encontrá-la frequentemente representada como uma relação entre uni- dades de comprimento, utilizando as unidades do Sistema Internacional (SI) (m/m, por exemplo). Fique ligado! O conceito de tensão normal definido anteriormente (σ = P/A) só é válido nos casos em que a distribuição de forças ocorre de forma uniforme sobre a seção transversal da barra. Para isso, a força axial P deve estar agindo através do centroide da área da seção transversal. Quando isso não ocorre, e a carga P não age no centroide, tem-se a flexão da barra, o que leva a uma análise mais complexa dessas forças. Por esse motivo, assu- miremos, neste livro, que as forças axiais são sempre aplicadas no centroide das seções transversais. Fonte: os autores baseados em Gere e Goodno (2010). ε = δL Tensões e Deformações Re pr od uç ão p ro ib id a. A rt . 1 84 d o Có di go P en al e L ei 9 .6 10 d e 19 d e fe ve re iro d e 19 98 . 67 Para que você possa entender melhor uma aplicação dos conceitos
Compartilhar