Prova Limite

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Primeira Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral I – Bioprocessos
Professor Telles		Data 23-04-2013
Orientações: Duração: 1h30 – Sem consulta – Sem uso de calculadoras – Manter o celular desligado
RESPONDA AS QUESTÕES NA FOLHA PAUTADA. DEVOLVA A FOLHA DE QUESTÕES AO PROFESSOR NO FINAL DA PROVA
	ATENÇÃO: AS QUESTÕES DA PROVA SE DISTRIBUEM POR DUAS PÁGINAS.
Questão 1. (Valor 10 pontos) Seja dada uma função f: D	, onde D .. Dê a definição de
Resolução:
Seja f uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o numero a, exceto possivelmente o próprio a. Dizemos então que o limite de f(x) quando x tende a a é L, e escrevemos
se para todo o número Ɛ > 0 houver um número δ > 0 tal que
se 0 < | x – a | < δ então | f(x) – L | < Ɛ
Questão 2. Calcule os limites:
a. (Valor 10 pontos)
Resolução:
O limite acima representado é uma indeterminação que pode ser resolvida aplicando a regra de L'Hospital. Sendo assim, temos: 
Usando as propriedades da multiplicação por constante, obtemos:
Agora, devemos lembrar que o limite dos quocientes é o quociente dos limites:
E que o limite dos produtos é o produto dos limites: 
Temos uma função continua, logo, tomando a igualdade cos (0) = 1; e assumindo que qualquer número multiplicado por 0 resulta em 0, temos a seguinte equação:
b. (Valor 10 pontos)
Resolução:
Aplicando as propriedades dos limites, sabemos que o limite do quociente é o quociente dos limites.
Abrindo o polinômio, temos:
	
Logo, temos o seguinte limite:
 =
c. (Valor 10 pontos)
Para calcular esse limite, racionalizamos a equação e temos:
	
Obtendo então assim:
Usando a regra de multiplicação por contante, extraímos a fração e temos:
 ou 
E já que o limite do quociente é o quociente dos limites:
E o limite das somas é a soma dos limites:
Simplificando a radiação:
Obtemos o seguinte limite:
Assim , caímos em uma indeterminação do tipo ∞/∞ e aplicamos L'Hospital:
E caímos em uma indeterminação do tipo ∞/∞ e aplicamos L'Hospital:
E por fim, temos: 
Questão 3. (Valor 20 pontos) Encontre k ., se possível, de forma que a função f:[0, ∞[→., dada por
Seja continua no intervalo: [0, ∞[
Resolução:
Para que uma função seja continua ela deve atender a três condições de existência.
f é definida em um intervalo aberto contendo a;
 existe.
Quando o =f(a).
Para garantir que a nossa função será continua quando atribuirmos um valor a k, temos que garantir que as três condições sejam contempladas. A primeira, temos o intervalo aberto necessário. Para a segunda condição, precisamos analizar a função, sabemos que o denominador das funções não pode ser 0, logo k de ou de . Outra condição que deve ser contemplada é que o limite de f(k) deve existir, logo, temos x²-2=2x+1 ou x² – 2x – 3 = 0 
 
Já que a função não está definida para números menores que 0, assumimos que a constante k=3
Questão 4. (Valor 10 pontos) Verifique se a função
é contínua em x=2.
Resolução:
Para que uma função seja continua ela deve atender a três condições de existência.
f é definida em um intervalo aberto contendo a;
 existe.
Quando o =f(a).
A função está definida em 2, logo atende a primeira condição, o limite de f(2) existe, seu valor é 24, porém, f(2), sendo assim, a função não é contínua.
Cálculo do limite de 
Pela regra da multiplicação de constantes obtemos: 3
Abrindo o polinômio :
3
Assim, temos: 3, sabemos que todo o polinômio é continuo, logo =f(a). Facilmente deduzimos que 
Questão 5. Seja dada a função g: → com
(Valor 10 pontos) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico da função.
Resolução:
Para calcular assíntotas horizontais, devemos calcular o limite no infinito, sendo assim:
Já que temos uma indeterminação do tipo ∞/∞, aplicamos a regra de L'Hospital e obtemos:	
Novamente em uma indeterminação, aplicamos L'Hopital novamente
Então, uma das assíntotas, quando x tende a -∞ é igual a -5. Repetimos o processo, mas dessa vez tendendo a menos infinito, caindo na mesma indeterminação e obtemos o mesmo resultado.
b. (Valor 10 pontos) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico da função.
Resolução: 
Sabemos que uma assíntota vertical é resultado de um limite tendendo a infinito, em uma função racional, que é o que temos, podemos encontrar esses limites no momento que o denominador tende a 0. No casso da nossa função, encontramos essas assíntotas no ponto x = 3. Para sabermos a equação da reta, calculamos esses limites:
Esse limite não existe, mas podemos calcular os limites laterais:
A partir do esboço do gráfico vemos que tende a mais infinito em 3+ e menos infinito em 3-