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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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a t2 = 0, 01 segundo, voceˆ encontrara´ no deslocamento total um erro relativo de
aproximadamente 0, 2%.
Resumo
A velocidade instantaˆnea em um movimento retilı´neo e´ uma medida da ra-
pidez com que a partı´cula esta´ se deslocando a cada instante. A velocidade ins-
tantaˆnea costuma ser chamada simplesmente de velocidade. A cada instante, o
sinal da velocidade indica o sentido do movimento e o mo´dulo indica a rapidez
do movimento. A velocidade e´ obtida usando-se o conceito matema´tico de limite.
Ela e´ o limite de velocidades me´dias quando as durac¸o˜es dos intervalos tendem a
zero.
Dada a func¸a˜o-movimento da partı´cula, e´ possı´vel determinar a velocidade
em cada instante do movimento. Temos enta˜o uma func¸a˜o que chamamos de
func¸a˜o-velocidade. Ela associa a cada instante do movimento o valor da veloci-
dade nesse instante. A func¸a˜o-velocidade e´ a derivada da func¸a˜o-movimento.
As func¸o˜es-movimento e de velocidade sa˜o func¸o˜es contı´nuas, isto e´, suas
mudanc¸as em um intervalo de tempo podem ser ta˜o pequenas quanto se queira,
desde que tomemos um intervalo suficientemente pequeno. A continuidade da
func¸a˜o-velocidade implica no fato de que em intervalos de tempo suficientemente
pequenos todo movimento retilı´neo e´ aproximadamente um MRU.
Questiona´rio
1. O que e´ velocidade instantaˆnea de uma partı´cula em movimento retilı´neo?
2. O que e´ func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula em movimento retilı´neo
3. Como a func¸a˜o-velocidade pode ser obtida a partir da func¸a˜o-movimento?
4. Qual a propriedade que qualquer movimento retilı´neo possui, em interva-
los de tempo suficientemente pequenos, em decorreˆncia da continuidade da
func¸a˜o-movimento?
75 CEDERJ
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
5. ´E possı´vel que em dois movimentos diferentes a func¸a˜o-velocidade seja a
mesma? Em caso afirmativo, deˆ um exemplo de como isso pode ocorrer.
6. Deˆ argumentos para na˜o aceitar que a func¸a˜o-movimento seja descontı´nua
em algum instante.
Problemas propostos
1. A func¸a˜o-movimento de uma partı´cula e´ dada por fx(t) = 8 + B t − 2 t2,
onde B e´ uma constante. Sabendo que a partı´cula inverte o sentido de seu
movimento no instante t = 5 segundos, determine o valor da constante B.
2. Seja a func¸a˜o-movimento fx(t) = A + B t + C t2, onde A, B e C sa˜o treˆs
constantes. Considere as quatro possibilidades:
(a) B e C positivas;
(b) B e C negativas;
(c) B positiva e C negativa;
(d) B negativa e C positiva;
(e) Em quais desses casos ocorre inversa˜o do sentido do movimento?
3. Seja novamente a func¸a˜o-movimento fx(t) = A+B t+C t2. Vamos chamar
x0 e vx0, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade da partı´cula no instante
t = 0, isto e´, x0 = fx(0) e vx0 =
.
fx (0).
(a) Expresse as constantes A e B em termos das constantes x0 e vx0. Su-
ponha tambe´m que seja dada informac¸a˜o de que durante um certo in-
tervalo de tempo ∆t a variac¸a˜o da velocidade da partı´cula seja ∆vx.
(b) Expresse a constante C em termos das constantes ∆t e ∆vx.
(c) Escreva a func¸a˜o-movimento em termos das constantes x0, vx0, ∆t
e ∆vx.
4. Continuando com a func¸a˜o-movimento estudada nos problemas anteriores,
fx(t) = A + B t + C t
2
, consideraremos uma propriedade nota´vel que ela
apresenta: para o tipo de movimento que ela descreve, a velocidade me´dia
em qualquer intervalo de tempo e´ igual ao valor da velocidade instantaˆnea
no meio do intervalo. Representando o intervalo arbitra´rio por [t1, t2], te-
mos:
〈vx〉[t1, t2] = f˙x
(
t1 + t2
2
)
. (4.42)
Demonstre essa propriedade.
CEDERJ 76
Velocidade instantaˆnea no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 4
5. Considere a func¸a˜o-movimento fx(t) = C tn, onde C e n sa˜o duas constan-
tes, sendo n um inteiro positivo. Demonstre que a func¸a˜o-velocidade desse
movimento e´ dada por f˙x(t) = nC tn−1.
Auto-avaliac¸a˜o
Voceˆ deve ser capaz de responder a`s quatro primeiras perguntas do ques-
tiona´rio e resolver os treˆs primeiros problemas propostos. Isso na˜o quer dizer que
voceˆ na˜o deva tentar responder a todas as questo˜es e fazer todos os problemas
propostos. Por que voceˆ na˜o organiza com seus colegas e ate´ mesmo com o tu-
tor local um grupo de estudos para discutir os conceitos de cada aula e fazer os
problemas mais difı´ceis?
77 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
Aula 5 – De volta a`s func¸o˜es-movimento
Objetivos
• Entender que a func¸a˜o-velocidade de uma partı´cula e a sua posic¸a˜o em um
u´nico instante determinam a func¸a˜o-movimento dessa partı´cula.
• Entender que a func¸a˜o-movimento de uma partı´cula e´ obtida, nesse caso,
por meio do conceito matema´tico de integral.
Introduc¸a˜o
Dadas as velocidades da partı´cula em todos os instantes do movimento e
a posic¸a˜o que ela ocupa em um dado instante particular, e´ possı´vel descobrir
qual e´ o movimento realizado pela partı´cula. Dito de outro modo: a func¸a˜o-
velocidade da partı´cula e sua posic¸a˜o em um instante particular determinam a
func¸a˜o-movimento. A func¸a˜o-movimento e´ obtida, nesse caso, por meio do con-
ceito matema´tico de integral.
Na aula anterior, aprendemos a obter a func¸a˜o-velocidade quando dispomos
da func¸a˜o-movimento, usando o conceito matema´tico de derivada. Se esse con-
ceito e´ o que permite passar da func¸a˜o-movimento para a func¸a˜o-velocidade, o
conceito matema´tico de integral e´ aquele que permite voltar da func¸a˜o-velocidade
para a func¸a˜o-movimento. Saber qual o caminho de ida e volta para passar de uma
dessas func¸o˜es para a outra e´ importante.
Nesta aula, vamos supor que conhecemos as func¸o˜es-velocidade e aprender
o caminho de volta a`s func¸o˜es-movimento.
A func¸a˜o-movimento a partir da func¸a˜o-velocidade
Esta sec¸a˜o sera´ algo longa. Para facilitar o seu estudo, vamos subdividi-la
em cinco partes:
1. O problema a ser resolvido.
2. O ca´lculo que resolve o problema.
79 CEDERJ
De volta a`s func¸o˜es-movimento
3. Comenta´rios sobre o ca´lculo feito e o resultado obtido.
4. A soluc¸a˜o do problema, fornecida pelo resultado do ca´lculo.
5. Um exemplo concreto, no qual mostraremos como funciona a soluc¸a˜o do
problema proposto.
Vale a pena ler e reler essas cinco partes para entender bem o conteu´do desta
sec¸a˜o. O problema proposto e a soluc¸a˜o obtida sa˜o exemplos das belas aquisic¸o˜es
do conhecimento humano que surgem quando Fı´sica e Matema´tica se relacionam.
O PROBLEMA
A func¸a˜o-movimento fx de uma partı´cula da´ a sua posic¸a˜o x em qualquer
instante de tempo t. No entanto, a fim de estabelecer o problema, vamos imaginar
que na˜o conhecemos a func¸a˜o-movimento da partı´cula, mas sim a sua posic¸a˜o
em um particular instante. Vamos chamar esse instante de t0 e essa posic¸a˜o de
x0. Em resumo, estamos supondo aqui que na˜o sabemos quais sa˜o as posic¸o˜es
ocupadas pela partı´cula em todos os instantes do movimento. Sabemos apenas
qual e´ a sua posic¸a˜o em um dado instante do movimento: no instante t0 a partı´cula
esta´ em x0. Ale´m disso, vamos supor que conhecemos qual e´ a velocidade da
partı´cula em qualquer instante do movimento, isto e´, que conhecemos a func¸a˜o-
velocidade
.
fx. Sabemos que essa func¸a˜o nos da´ as velocidades da partı´cula em
todos os instantes do movimento: em cada instante t, a velocidade vx e´ dada
por vx =
.
fx (t). Vamos, a seguir, mostrar como a partir desses dados podemos
determinar a func¸a˜o-movimento. O problema que vamos resolver e´ o seguinte:
conhecendo-se a velocidade de uma partı´cula em qualquer instante
do movimento e a sua posic¸a˜o em um certo instante, determinar o seu
movimento.
Em termos mais matema´ticos, esse problema pode ser assim enunciado:
dada a posic¸a˜o x0 de uma partı´cula em um instante t0 e a sua func¸a˜o-
velocidade
.
fx, determinar a sua func¸a˜o-movimento.