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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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= 4t+3 e que
a sua posic¸a˜o no instante t = 0s seja 1m. Vamos supor ainda que o movimento
dessa partı´cula esteja definido para t ≥ 0. Determinemos, pois, a sua func¸a˜o-
movimento usando o conceito de integral.
O deslocamento da partı´cula entre t = 0s e um instante arbitra´rio t sa˜o
dados por:
x− x0 =
∫ t
0
(4t′ + 3) dt′ = 2t2 + 3t =⇒ x = 1 + 3t + 2t2 .
Novamente aqui e´ imediato verificar que se derivarmos a func¸a˜o-movimento,
obteremos a func¸a˜o-velocidade:
vx =
dx
dt
=
d
dt
(1 + 3t + 2t2) = 3 + 4t .
Voceˆ ja´ deve estar comec¸ando a se familiarizar com a ide´ia de que para
obtermos a func¸a˜o-velocidade a partir da func¸a˜o-movimento, usamos o conceito
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
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matema´tico de derivada, enquanto para voltarmos a` func¸a˜o-movimento a partir
da func¸a˜o-velocidade, usamos o conceito matema´tico de integral. Mas cuidado,
na˜o se esquec¸a que, conhecida a func¸a˜o-velocidade, podemos obter somente o
deslocamento da partı´cula em um intervalo de tempo qualquer, mas na˜o a sua
func¸a˜o-movimento.
Derivadas e integrais
Nesta sec¸a˜o, faremos uma pausa em nosso estudo do movimento retilı´neo
para fazer um balanc¸o dos resultados matema´ticos que obtivemos ate´ agora. Apro-
veitaremos para apresentar mais alguns resultados que facilitara˜o nosso estudo do
movimento.
O que faremos, antes de tudo, e´ observar que a operac¸a˜o que fizemos ao
passar da func¸a˜o-movimento fx para a func¸a˜o-velocidade
.
fx pode ser feita com
outras func¸o˜es. Essa operac¸a˜o chama-se derivac¸a˜o da func¸a˜o-movimento e a
func¸a˜o resultante e´ chamada de func¸a˜o derivada da func¸a˜o original. Por isso
ja´ havı´amos dito que a func¸a˜o-velocidade e´ a derivada da func¸a˜o-movimento.
Tambe´m a operac¸a˜o que fizemos, para voltar da func¸a˜o-velocidade
.
fx para a
func¸a˜o-movimento fx, pode ser feita para outras func¸o˜es. Essa operac¸a˜o chama-
se integrac¸a˜o da func¸a˜o-velocidade e a func¸a˜o resultante e´ chamada de func¸a˜o
integral da func¸a˜o original. Podemos dizer, portanto, que a func¸a˜o-movimento e´
a func¸a˜o integral da func¸a˜o-velocidade. Vejamos como as ide´ias de derivac¸a˜o e
integrac¸a˜o se aplicam a outras func¸o˜es ale´m de fx e
.
fx.
Vamos considerar uma func¸a˜o qualquer do tipo:
f : (ui, uf) −→ lR (5.36)
: u �−→ w ,
onde ui e uf sa˜o dois nu´meros reais e (ui, uf) e´ o intervalo aberto entre ui e
uf . Esse intervalo e´ o domı´nio da func¸a˜o f . Tal func¸a˜o faz corresponder a cada
nu´mero u, no intervalo (ui, uf), um u´nico nu´mero real w. ´E claro que, no caso da
func¸a˜o-movimento, u representa um instante do tempo e w representa a posic¸a˜o
da partı´cula nesse instante. Agora, contudo, na˜o queremos atribuir nenhum sig-
nificado particular a f . Ela pode ser a func¸a˜o-movimento, mas tambe´m pode ser
uma outra func¸a˜o como, por exemplo, a func¸a˜o que associa a cada temperatura u
a pressa˜o w de um ga´s com volume constante. Deˆ uma olhada agora na definic¸a˜o
de derivada da func¸a˜o-movimento, a equac¸a˜o (4.19) da aula anterior. Podemos
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
tambe´m, para uma func¸a˜o f arbitra´ria, definir derivada de f em u como sendo o
limite:
dw
du
= lim
∆u→0
f(u + ∆u)− f(u)
∆u
. (5.37)
Se esse limite da´ um valor bem determinado, dizemos que a func¸a˜o f tem
derivada em u e que tal derivada e´ igual ao valor dw/du encontrado como resul-
tado do limite. A quantidade dw/du tambe´m e´ chamada de derivada de w em
relac¸a˜o a u. Va´rios sı´mbolos sa˜o usados para representar esta derivada. ´E apenas
uma questa˜o de convenieˆncia ou de gosto qual deles e´ usado. Listamos abaixo
treˆs desses sı´mbolos:
dw
du
=
d
du
w = w′ (5.38)
Se para cada ponto do domı´nio (ui, uf) de f temos uma derivada, enta˜o
temos uma func¸a˜o. Ela associa ao valor u a derivada dw/du encontrada em (5.37).
Essa func¸a˜o costuma ser representada por f ′, de modo que podemos escrever:
dw
du
= f ′(u). (5.39)
Portanto, a derivada de f em u e´ o valor da func¸a˜o f ′ em u. A func¸a˜o f ′ e´
chamada de func¸a˜o derivada de f . Desse modo, podemos dizer que a derivada
em u e´ o valor da func¸a˜o derivada em u.
´E claro que obtemos a func¸a˜o derivada de f a partir da definic¸a˜o (5.37):
f ′(u) = lim
∆u→0
f(u + ∆u)− f(u)
∆u
. (5.40)
Voceˆ notou que representamos a func¸a˜o derivada de f pela letra f seguida
de uma plica: f ′ (leˆ-se: f linha). Quando a varia´vel u do domı´nio e´ o tempo t, no
lugar da plica tambe´m se usa um pontinho em cima da letra. ´E o que temos feito
ao representar por
.
fx a func¸a˜o derivada da func¸a˜o-movimento fx.
Note que na definic¸a˜o de derivada dada em (5.37), temos a diferenc¸a ∆u e
a diferenc¸a f(u + ∆u)− f(u), que podemos representar por ∆w. Desse modo, a
definic¸a˜o (5.37) pode ser escrita abreviadamente da seguinte maneira:
dw
du
= lim
∆u→0
∆w
∆u
. (5.41)
A frac¸a˜o ∆w/∆u e´ a variac¸a˜o de w por unidade de variac¸a˜o de u. Expressa
qua˜o ra´pido w varia em um intervalo de u ate´ u + ∆u. No limite em que ∆u
tende a zero, obtemos a derivada dw/du, que mede qua˜o ra´pido w varia com u
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
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em um certo valor de u. O significado da derivada dw/du depende do significado
das grandezas w e u. Ja´ sabemos que no caso em que w e´ a posic¸a˜o da partı´cula
em uma reta e u e´ o tempo, a derivada dw/du tem o significado de velocidade
instantaˆnea, isto e´, de rapidez com que a posic¸a˜o varia com o tempo em um dado
instante do tempo. No caso de w representar a pressa˜o de um ga´s com volume
mantido constante e u sua temperatura, dw/du representa a rapidez com que a
pressa˜o varia com a temperatura, a uma dada temperatura. Os exemplos podem
multiplicar-se, mas e´ melhor procurar entender cada um, a` medida que se fizer
necessa´rio. Guardemos por enquanto apenas a ide´ia de que dw/du da´ a rapidez
com que w varia com u para um preciso valor de u.
Ja´ calculamos derivadas de diversas func¸o˜es-movimento, de modo que na˜o
e´ necessa´rio agora considerar exemplos de ca´lculo de derivadas. No u´ltimo pro-
blema proposto na aula anterior, por exemplo, voceˆ aprendeu que a derivada da
func¸a˜o fx(t) = tn (n e´ um inteiro positivo e uma constante C foi igualada a 1)
e´ dada por
.
fx (t) = n t
n−1
. Esse resultado na˜o depende do fato de que a func¸a˜o
considerada e´ uma func¸a˜o-movimento, de modo que, usando os sı´mbolos gerais
desta sec¸a˜o, podemos escrever o resultado supracitado como:
d
du
un = nun−1 , (5.42)
isto e´, a derivada de uma poteˆncia inteira e´ igual ao expoente multiplicado pela
poteˆncia inteira de grau imediatamente inferior.
Embora possa parecer estranho ou inu´til (de fato na˜o e´ uma coisa nem ou-
tra) e´ perfeitamente possı´vel definir func¸a˜o constante. ´E uma func¸a˜o como em
(5.36), que associa a qualquer valor de u um mesmo valor w, que, nesse contexto,
preferimos chamar de c, isto e´: f(u) = c, para qualquer u. Por exemplo: se
f(u) = 7, f e´ a func¸a˜o constante que associa a qualquer valor de u o nu´mero 7.
Pois bem, aplicando a` func¸a˜o constante a definic¸a˜o de derivada (5.37), obtemos
que sua derivada e´ zero: f ′(u) = 0. Escrevemos esse resultado como:
d
du
c = 0 (5.43)
e o memorizamos como: a derivada de uma constante e´ zero. No seu curso de
Ca´lculo, voceˆ aprendera´ que a derivada tem diversas propriedades importantes,
que facilitam imensamente o ca´lculo das derivadas de diversas func¸o˜es. Vamos
citar algumas dessas propriedades, deixando para o curso de Ca´lculo as suas
demonstrac¸o˜es.
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De volta a`s func¸o˜es-movimento
Comecemos com uma func¸a˜o w = f(u). Suponhamos que voceˆ multiplique
o valor w da func¸a˜o por uma constante c: c w = c f(u). Dizer que c e´ constante
significa que c na˜o depende de u,