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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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Sabendo que a sua posic¸a˜o inicial e´
x0 = 0m e usando as derivadas
d
dt
[cos(At)] = −A sen(At)
e
d
dt
[sen(At)] = A cos(At) ,
onde A e´ uma constante, determine a func¸a˜o-movimento da partı´cula. De-
termine ainda o perı´odo do movimento (lembre-se que o perı´odo de um
movimento perio´dico e´ o menor intervalo de tempo para que a posic¸a˜o e a
velocidade da partı´cula se repitam).
7. Considere que a velocidade de uma partı´cula seja dada por vx = 3 (1− e−2t).
(a) Descreva qualitativamente como varia a velocidade com o passar
do tempo.
(b) Qual e´ a interpretac¸a˜o, nesse problema, da velocidade de 3m/s?
(c) Supondo que x0 = 0, determine a func¸a˜o-movimento da partı´cula.
CEDERJ 104
De volta a`s func¸o˜es-movimento
M ´ODULO 1 - AULA 5
8. Considere as func¸o˜es-movimento de duas partı´culas, 1 e 2, escritas abaixo:
x1 = fx1(t) = 2t
2 + 10
x2 = fx2(t) = 2t
2 − 20t + 60 .
(a) Verifique inicialmente que fx2(t) = fx1(t−5) e interprete o resultado.
(b) Baseado na resposta do item anteiror, o que significa trocar t por t− t0
numa dada func¸a˜o-movimento? E trocar t por t + t0?
(c) Determine as respectivas func¸o˜es-velocidade e mostre que
f˙x2(t) = f˙x1(t− 5). Interprete o resultado.
9. Utilizando o teorema fundamental do ca´lculo, demonstre que:∫ t1
ti
f(t) dt+
∫ t2
t1
f(t) dt+ ...+
∫ tn
tn−1
f(t) dt+
∫ tf
tn
f(t) dt =
∫ tf
ti
f(t) dt .
Auto-avaliac¸a˜o
Esta aula foi bastante longa e nela voceˆ aprendeu como obter a func¸a˜o-
movimento de uma partı´cula a partir da sua func¸a˜o-velocidade e do conhecimento
de sua posic¸a˜o num dado instante. Voceˆ viu que foi necessa´rio aprender um con-
ceito matema´tico novo, o conceito de integral de uma func¸a˜o. Portanto, na˜o se
preocupe se voceˆ teve de ler muitas vezes alguns trechos da aula para compreen-
der cada conceito que estava sendo exposto. No entanto, apo´s o estudo desta aula,
voceˆ deve ser capaz de responder a todo o questiona´rio, ainda que tenha alguma
dificuldade em uma ou outra questa˜o e solucionar, sem passar aperto, os cinco
primeiros problemas propostos (isso na˜o quer dizer que voceˆ na˜o deva tentar os
quatro u´ltimos; pelo contra´rio, fac¸a-os e se estiverem um pouco difı´ceis, encare-os
como pequenos desafios).
105 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
Aula 6 – Gra´ficos do movimento
Objetivos
• Aprender a usar gra´ficos de func¸o˜es para analisar movimentos retilı´neos.
• Saber, em particular, como interpretar graficamente a velocidade instantaˆnea
de uma partı´cula a partir do gra´fico de sua posic¸a˜o versus tempo.
• Saber como determinar o deslocamento de uma partı´cula num dado inter-
valo de tempo a partir do gra´fico de sua velocidade versus tempo.
Introduc¸a˜o
Recordemos o conceito de gra´fico de uma func¸a˜o. Considere uma func¸a˜o
qualquer do tipo:
f : (ui, uf) −→ lR (6.1)
: u �−→ w ,
onde ui e uf sa˜o dois nu´meros reais e (ui, uf) e´ o intervalo aberto entre ui e uf .
Esse intervalo e´ o domı´nio da func¸a˜o f . O contradomı´nio da func¸a˜o e´ lR . Essa
func¸a˜o faz corresponder a cada nu´mero u no domı´nio (ui, uf) um u´nico nu´mero
real w no contradomı´nio. Para fazer um gra´fico dessa func¸a˜o, precisamos de dois
eixos perpendiculares. Em um desses eixos, que desenhamos normalmente na
horizontal e apontando para a direita, os pontos sa˜o usados para representar os va-
lores da varia´vel u, a varia´vel do domı´nio da func¸a˜o, tambe´m chamada de varia´vel
independente. No outro eixo, que desenhamos normalmente na vertical e apon-
tando para a cima, os pontos sa˜o usados para representar os valores da varia´vel
w, a varia´vel do contra-domı´nio da func¸a˜o, tambe´m chamada de varia´vel depen-
dente. O eixo da varia´vel do domı´nio, no caso u, e´ chamado de eixo das abcissas;
o eixo da varia´vel do contra-domı´nio, no caso w, e´ chamado de eixo das orde-
nadas. O valor da varia´vel que corresponde a um ponto de um eixo e´ chamada
coordenada do ponto e os dois eixos sa˜o chamados coletivamente eixos de co-
ordenadas. Os eixos de coordenadas costumam ser identificados pela letra que
representa a varia´vel representada no eixo. Assim, por exemplo, escrevemos uma
letra u pro´xima a` extremidade do eixo das abcissas e o chamamos de eixo de u. O
procedimento usual, que adotaremos, e´ tomar os dois eixos cruzando-se em suas
origens, isto e´, o ponto de cruzamento dos eixos representa simultaneamente o va-
107 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
lor zero da varia´vel independente e o valor zero da varia´vel dependente. A func¸a˜o
e´ representada por uma curva no plano desses dois eixos.
w
w
Gra´fico de f
u
P
u
f uui O
Fig. 6.1: Construc¸a˜o do gra´fico de uma func¸a˜o f : u �→ w; cada par de valores u e w, relacionados pela func¸a˜o, determina
um ponto P do gra´fico.
Para ver como se obte´m essa curva, considere um valor u no domı´nio da func¸a˜o. A
esse valor u a func¸a˜o f faz corresponder um u´nico valor f(u), que chamamos de
w, isto e´, w = f(u). O valor u e´ representado por um ponto no eixo das abcissas
e por ele fazemos passar uma reta perpendicular ao pro´prio eixo das abcissas. Ja´
o valor w e´ representado por um ponto no eixo das ordenadas e por ele fazemos
passar uma reta perpendicular ao pro´prio eixo das ordenadas. Essas duas retas se
encontram em um u´nico ponto P do plano dos eixos, como indicado na figura 6.1.
Desse modo, a cada par de valores (u, w) relacionado pela func¸a˜o f , cor-
responde um u´nico ponto P no plano dos eixos. Considerando todos os possı´veis
valores de u, os pontos que lhes correspondem formam uma curva que chamamos
de gra´fico da func¸a˜o f . Vemos que a func¸a˜o determina seu gra´fico. Reciproca-
mente, o gra´fico determina a func¸a˜o, ou seja, dado o gra´fico da func¸a˜o, podemos
determinar exatamente qual e´ a func¸a˜o que lhe da´ origem, exceto por uma certa
liberdade natural que temos de escolher o contradomı´nio da func¸a˜o. Observando
o exemplo dado na figura 6.1, e´ fa´cil entender como se recupera a func¸a˜o a partir
do gra´fico. Vamos repetir esse gra´fico na figura 6.2, que usaremos no raciocı´nio
que segue.
CEDERJ 108
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
w
w
Gra´fico de f
u
P
u
f
uu
i
Pf
Pi
O
Fig. 6.2: Func¸a˜o f : u �→ w sendo determinada a partir do gra´fico; o gra´fico determina qual valor w corresponde a cada
valor u.
Nesse caso, o gra´fico tem dois pontos extremos: Pi e Pf . Baixando, desses
pontos, retas perpendiculares ao eixo das abcissas, elas o encontram nos pontos
u = ui e u = uf , de modo que o domı´nio da func¸a˜o e´ o intervalo (ui, uf). Seja um
valor qualquer u dentro desse intervalo. Do ponto no eixo das abcissas associado
a esse valor levantamos uma perpendicular que encontra o gra´fico em algum ponto
P . Desse ponto P , trac¸amos agora uma perpendicular ao eixo das ordenadas que
encontra esse eixo em um ponto bem determinado. Tal ponto dara´ o valor w que
a func¸a˜o faz corresponder ao valor u do domı´nio. O valor w e´ a imagem de u
pela func¸a˜o f , isto e´: w = f(u). Note que a perpendicular ao eixo das abcissas,
levantada de u, so´ pode encontrar o gra´fico em um u´nico ponto, pois a cada valor
de u uma func¸a˜o so´ faz corresponder um u´nico valor w. Seguindo o procedimento
de levantar perpendiculares a partir do eixo das abcissas ate´ um ponto do gra´fico
e desse ponto trac¸ar uma perpendicular ao eixo das ordenadas, determinamos o
valor da func¸a˜o para todos os valores de seu domı´nio. Isso significa que a func¸a˜o
esta´ determinada, exceto por uma certa liberdade que temos de escolher o con-
tradomı´nio da func¸a˜o. O contradomı´nio tem de ter todos os valores que a func¸a˜o
pode assumir. Como os valores das func¸o˜es que consideramos sa˜o nu´meros re-
ais, podemos simplesmente escolher o contradomı´nio como sendo o conjunto dos
reais.