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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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de uma func¸a˜o-movimento
fx nos instantes t1, t2, t3, t4, t5, t6 e t7. Em t3 e t7, os coeficientes angulares sa˜o
negativos, indicando que a velocidade instantaˆnea e´ negativa, e que a partı´cula
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
esta´, nesses instantes, movendo-se no sentido negativo do eixoOX . Nos instantes
t2, t4 e t6, o coeficiente angular e´ nulo, a partı´cula tem velocidade nula e nesse
exemplo ela esta´ de fato revertendo o sentido do movimento nesses instantes. Nos
instantes t1 e t5, a partı´cula tem velocidade positiva. Note que a velocidade e´
positiva em qualquer instante entre t1 e t2 e entre t4 e t6; e´ negativa entre t2 e t4 e
entre t6 e t7.
X
t4O t1 t2 t3 t5 t6 t7 t
fx
Fig. 6.13: Retas tangentes ao gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx em sete instantes diferentes.
Gra´fico da func¸a˜o-velocidade
Do mesmo modo que obtemos o gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx usan-
do o eixo das abcissas para representar os instantes do tempo e o eixo das orde-
nadas para representar as posic¸o˜es da partı´cula, tambe´m obtemos o gra´fico da
func¸a˜o-velocidade
.
fx usando novamente o eixo das abcissas para representar os
instantes do tempo e o eixo das ordenadas para representar as velocidades que a
partı´cula tem durante o seu movimento. O eixo das abcissas continua sendo o
eixo dos tempos, enquanto o das ordenadas e´ chamado nesse caso de eixo das
velocidades. Para representar, nos desenhos, o eixo das velocidades, escrevemos
o sı´mbolo de velocidade vx pro´ximo ao eixo. Os pontos que representam a velo-
cidade nula, no eixo das velocidades, e o instante zero, no eixo dos tempos, sa˜o
em geral coincidentes.
Do mesmo modo que um intervalo unita´rio no eixo dos tempos representa
uma unidade de tempo, que no caso e´ o segundo, um intervalo unita´rio no eixo
das velocidades representa uma unidade de velocidade, que no SI e´ o metro por
segundo. Voceˆ sera´ alertado se algum outro tipo de unidade for usada.
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Gra´ficos do movimento
A func¸a˜o-velocidade
.
fx da´ a velocidade vx da partı´cula a cada instante t:
vx =
.
fx (t). Ela determina pares (t, vx) nos quais vx e´ a velocidade no instante t.
Levantando de t uma perpendicular ao eixo dos tempos e trac¸ando de vx =
.
fx (t)
uma perpendicular ao eixo das velocidades, elas se cruzam em um u´nico ponto.
Imagine que esse procedimento seja feito para todos os instantes do movimento,
determinando assim todos os pares (t, vx) correspondentes a esse movimento. O
lugar geome´trico de todos pontos de cruzamento, ou seja, o conjunto de todos
esses pares ordenados e´ o que chamamos de gra´fico da func¸a˜o-velocidade
.
fx. A
figura 6.14 mostra um exemplo de gra´fico de func¸a˜o-velocidade
.
fx e indica que no
instante t1, t2 e t3 a partı´cula tem velocidades vx1, vx2 e vx3, respectivamente. Note
que o gra´fico da func¸a˜o-velocidade e´ indicado pela mesma letra que simboliza a
func¸a˜o-velocidade, como aparece na figura 6.14.
vx
O
vx1
vx2
vx3
t1 t2 t3 t
.
fx
Fig. 6.14: Gra´fico da func¸a˜o-velocidade.
Quando definimos velocidade instantaˆnea, vimos que, dada uma func¸a˜o-
movimento fx, obtemos a func¸a˜o que da´ a velocidade instantaˆnea em qualquer
instante, a func¸a˜o-velocidade
.
fx. ´E natural, portanto, que a partir do gra´fico da
func¸a˜o-movimento possamos obter o gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Suponhamos
enta˜o que o gra´fico de fx seja dado e que o gra´fico de
.
fx ainda na˜o tenha sido
trac¸ado em relac¸a˜o aos eixos dos tempos e das velocidades. Consideremos o
mesmo instante t nos dois eixos dos tempos, o usado para o gra´fico de fx e o
que sera´ usado para obter o gra´fico de
.
fx. Levantamos uma perpendicular ao eixo
dos tempos do gra´fico de fx ate´ que ela encontre esse gra´fico, digamos, no ponto
P indicado na parte superior da figura 6.15. Nesse ponto, trac¸amos a reta tan-
gente ao gra´fico de fx e medimos o coeficiente angular da reta. Ele e´ a velocidade
vx no instante t. Especificamos no eixo das velocidades o ponto correspondente
ao valor obtido para vx e, desse ponto, trac¸amos uma perpendicular a esse eixo.
Ela encontra a perpendicular ao eixo dos tempos levantada de t em um ponto do
gra´fico de
.
fx. Repetindo esse procedimento para todos os instantes do tempo, ob-
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
temos todos o pontos do gra´fico de
.
fx. Quando na˜o dispomos dos valores exatos
dos coeficientes das retas tangentes ao gra´fico de fx na˜o podemos obter o gra´fico
exato de
.
fx. Mesmo nesse caso, devemos ser capazes de pelo menos esboc¸ar o
gra´fico da func¸a˜o-velocidade a partir da forma do gra´fico da func¸a˜o-movimento.
Para isso, e´ suficiente encontrar no gra´fico de fx os intervalos em que os coefici-
entes angulares das retas tangentes sa˜o positivos, negativos ou nulos. Na figura
6.15, a partir do gra´fico de fx (gra´fico superior), voceˆ deve ser capaz de esboc¸ar o
gra´fico de
.
fx e obter uma curva como a mostrada no gra´fico inferior dessa mesma
figura.
vx
O t1
t4
vx3
vx1
t
.
fx
O
X
vx1
vx2=0
vx3
vx4=0
t1 t2 t3
t4
fx
t
Fig. 6.15: O gra´fico da func¸a˜o-velocidade
.
fx obtido do gra´fico da func¸a˜o-movimento fx.
´E tambe´m possı´vel fazer o caminho inverso, isto e´, obter o gra´fico da func¸a˜o-
movimento quando e´ conhecido o gra´fico da func¸a˜o-velocidade, desde que sai-
bamos tambe´m a posic¸a˜o da partı´cula em um dado instante. Veremos isso na
pro´xima sec¸a˜o.
121 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
Determinando o gra´fico da func¸a˜o-movimento a partir do gra´fico
da func¸a˜o-velocidade
Na aula anterior, vimos que, dada a func¸a˜o-velocidade
.
fx e a posic¸a˜o da
partı´cula em um instante particular, podemos obter a sua func¸a˜o-movimento fx.
Essa propriedade se reflete no fato de que a partir do gra´fico da func¸a˜o-velocidades
podemos recuperar o gra´fico da func¸a˜o-movimento fx, se soubermos a posic¸a˜o da
partı´cula em um particular instante. Para verificar esse fato, vamos investigar
como a posic¸a˜o da partı´cula aparece no gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Voltemos
inicialmente a` fo´rmula (5.3) que expressa, de forma aproximada, o deslocamento
em termos da func¸a˜o-velocidade
.
fx; ela da´ aproximadamente o deslocamento
x− x0 em um intervalo de tempo de t0 a t:
x− x0 ≈
.
fx (t1)∆t1+
.
fx (t2)∆t2 + · · ·
.
fx (tn)∆tn . (6.4)
Cada termo da soma a` direita e´ o produto da durac¸a˜o ∆ti de um intervalo
de tempo pelo valor
.
fx (ti) da velocidade em um instante ti dentro do intervalo.
Na figura 6.16, aparece o gra´fico de
.
fx em um trecho em que as velocidades sa˜o
positivas e t0 < t.A base do retaˆngulo tem unidade
de tempo, digamos segundo, e a
altura tem unidade de velocidade,
digamos metro por segundo.
Portanto, a a´rea do retaˆngulo tem
unidade de deslocamento, que e´
dada em metros. No plano onde
um dos eixos e´ o eixo dos tempos
e o outro, o das velocidades,
qualquer a´rea tem dimensa˜o de
deslocamento.
ti
∆ti
t0 t tO
vx
.
fx (ti)
Fig. 6.16: ´Areas de retaˆngulos que representam a soma no membro direito da equac¸a˜o (6.4); para fazer a figura, conside-
ramos n = 10 e chamamos a atenc¸a˜o para o retaˆngulo de nu´mero i = 7.
Nessa figura, o produto
.
fx (ti)∆ti e´ a a´rea de um retaˆngulo com as seguintes
caracterı´sticas: a base do retaˆngulo e´ o intervalo de tempo de durac¸a˜o ∆ti e a
altura e´ o valor
.
fx (ti) da velocidade no instante ti. Portanto, a soma inteira
em (6.4) e´ a soma das a´reas de todos os retaˆngulos da figura. Vemos ainda que
a soma das a´reas dos retaˆngulos e´ aproximadamente o que chamamos de a´rea
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Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
sob o gra´fico de
.
fx entre t0 e t. Essa a´rea sob o gra´fico e´ precisamente