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de uma func¸a˜o-movimento fx nos instantes t1, t2, t3, t4, t5, t6 e t7. Em t3 e t7, os coeficientes angulares sa˜o negativos, indicando que a velocidade instantaˆnea e´ negativa, e que a partı´cula CEDERJ 118 Gra´ficos do movimento M ´ODULO 1 - AULA 6 esta´, nesses instantes, movendo-se no sentido negativo do eixoOX . Nos instantes t2, t4 e t6, o coeficiente angular e´ nulo, a partı´cula tem velocidade nula e nesse exemplo ela esta´ de fato revertendo o sentido do movimento nesses instantes. Nos instantes t1 e t5, a partı´cula tem velocidade positiva. Note que a velocidade e´ positiva em qualquer instante entre t1 e t2 e entre t4 e t6; e´ negativa entre t2 e t4 e entre t6 e t7. X t4O t1 t2 t3 t5 t6 t7 t fx Fig. 6.13: Retas tangentes ao gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx em sete instantes diferentes. Gra´fico da func¸a˜o-velocidade Do mesmo modo que obtemos o gra´fico de uma func¸a˜o-movimento fx usan- do o eixo das abcissas para representar os instantes do tempo e o eixo das orde- nadas para representar as posic¸o˜es da partı´cula, tambe´m obtemos o gra´fico da func¸a˜o-velocidade . fx usando novamente o eixo das abcissas para representar os instantes do tempo e o eixo das ordenadas para representar as velocidades que a partı´cula tem durante o seu movimento. O eixo das abcissas continua sendo o eixo dos tempos, enquanto o das ordenadas e´ chamado nesse caso de eixo das velocidades. Para representar, nos desenhos, o eixo das velocidades, escrevemos o sı´mbolo de velocidade vx pro´ximo ao eixo. Os pontos que representam a velo- cidade nula, no eixo das velocidades, e o instante zero, no eixo dos tempos, sa˜o em geral coincidentes. Do mesmo modo que um intervalo unita´rio no eixo dos tempos representa uma unidade de tempo, que no caso e´ o segundo, um intervalo unita´rio no eixo das velocidades representa uma unidade de velocidade, que no SI e´ o metro por segundo. Voceˆ sera´ alertado se algum outro tipo de unidade for usada. 119 CEDERJ Gra´ficos do movimento A func¸a˜o-velocidade . fx da´ a velocidade vx da partı´cula a cada instante t: vx = . fx (t). Ela determina pares (t, vx) nos quais vx e´ a velocidade no instante t. Levantando de t uma perpendicular ao eixo dos tempos e trac¸ando de vx = . fx (t) uma perpendicular ao eixo das velocidades, elas se cruzam em um u´nico ponto. Imagine que esse procedimento seja feito para todos os instantes do movimento, determinando assim todos os pares (t, vx) correspondentes a esse movimento. O lugar geome´trico de todos pontos de cruzamento, ou seja, o conjunto de todos esses pares ordenados e´ o que chamamos de gra´fico da func¸a˜o-velocidade . fx. A figura 6.14 mostra um exemplo de gra´fico de func¸a˜o-velocidade . fx e indica que no instante t1, t2 e t3 a partı´cula tem velocidades vx1, vx2 e vx3, respectivamente. Note que o gra´fico da func¸a˜o-velocidade e´ indicado pela mesma letra que simboliza a func¸a˜o-velocidade, como aparece na figura 6.14. vx O vx1 vx2 vx3 t1 t2 t3 t . fx Fig. 6.14: Gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Quando definimos velocidade instantaˆnea, vimos que, dada uma func¸a˜o- movimento fx, obtemos a func¸a˜o que da´ a velocidade instantaˆnea em qualquer instante, a func¸a˜o-velocidade . fx. ´E natural, portanto, que a partir do gra´fico da func¸a˜o-movimento possamos obter o gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Suponhamos enta˜o que o gra´fico de fx seja dado e que o gra´fico de . fx ainda na˜o tenha sido trac¸ado em relac¸a˜o aos eixos dos tempos e das velocidades. Consideremos o mesmo instante t nos dois eixos dos tempos, o usado para o gra´fico de fx e o que sera´ usado para obter o gra´fico de . fx. Levantamos uma perpendicular ao eixo dos tempos do gra´fico de fx ate´ que ela encontre esse gra´fico, digamos, no ponto P indicado na parte superior da figura 6.15. Nesse ponto, trac¸amos a reta tan- gente ao gra´fico de fx e medimos o coeficiente angular da reta. Ele e´ a velocidade vx no instante t. Especificamos no eixo das velocidades o ponto correspondente ao valor obtido para vx e, desse ponto, trac¸amos uma perpendicular a esse eixo. Ela encontra a perpendicular ao eixo dos tempos levantada de t em um ponto do gra´fico de . fx. Repetindo esse procedimento para todos os instantes do tempo, ob- CEDERJ 120 Gra´ficos do movimento M ´ODULO 1 - AULA 6 temos todos o pontos do gra´fico de . fx. Quando na˜o dispomos dos valores exatos dos coeficientes das retas tangentes ao gra´fico de fx na˜o podemos obter o gra´fico exato de . fx. Mesmo nesse caso, devemos ser capazes de pelo menos esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o-velocidade a partir da forma do gra´fico da func¸a˜o-movimento. Para isso, e´ suficiente encontrar no gra´fico de fx os intervalos em que os coefici- entes angulares das retas tangentes sa˜o positivos, negativos ou nulos. Na figura 6.15, a partir do gra´fico de fx (gra´fico superior), voceˆ deve ser capaz de esboc¸ar o gra´fico de . fx e obter uma curva como a mostrada no gra´fico inferior dessa mesma figura. vx O t1 t4 vx3 vx1 t . fx O X vx1 vx2=0 vx3 vx4=0 t1 t2 t3 t4 fx t Fig. 6.15: O gra´fico da func¸a˜o-velocidade . fx obtido do gra´fico da func¸a˜o-movimento fx. ´E tambe´m possı´vel fazer o caminho inverso, isto e´, obter o gra´fico da func¸a˜o- movimento quando e´ conhecido o gra´fico da func¸a˜o-velocidade, desde que sai- bamos tambe´m a posic¸a˜o da partı´cula em um dado instante. Veremos isso na pro´xima sec¸a˜o. 121 CEDERJ Gra´ficos do movimento Determinando o gra´fico da func¸a˜o-movimento a partir do gra´fico da func¸a˜o-velocidade Na aula anterior, vimos que, dada a func¸a˜o-velocidade . fx e a posic¸a˜o da partı´cula em um instante particular, podemos obter a sua func¸a˜o-movimento fx. Essa propriedade se reflete no fato de que a partir do gra´fico da func¸a˜o-velocidades podemos recuperar o gra´fico da func¸a˜o-movimento fx, se soubermos a posic¸a˜o da partı´cula em um particular instante. Para verificar esse fato, vamos investigar como a posic¸a˜o da partı´cula aparece no gra´fico da func¸a˜o-velocidade. Voltemos inicialmente a` fo´rmula (5.3) que expressa, de forma aproximada, o deslocamento em termos da func¸a˜o-velocidade . fx; ela da´ aproximadamente o deslocamento x− x0 em um intervalo de tempo de t0 a t: x− x0 ≈ . fx (t1)∆t1+ . fx (t2)∆t2 + · · · . fx (tn)∆tn . (6.4) Cada termo da soma a` direita e´ o produto da durac¸a˜o ∆ti de um intervalo de tempo pelo valor . fx (ti) da velocidade em um instante ti dentro do intervalo. Na figura 6.16, aparece o gra´fico de . fx em um trecho em que as velocidades sa˜o positivas e t0 < t.A base do retaˆngulo tem unidade de tempo, digamos segundo, e a altura tem unidade de velocidade, digamos metro por segundo. Portanto, a a´rea do retaˆngulo tem unidade de deslocamento, que e´ dada em metros. No plano onde um dos eixos e´ o eixo dos tempos e o outro, o das velocidades, qualquer a´rea tem dimensa˜o de deslocamento. ti ∆ti t0 t tO vx . fx (ti) Fig. 6.16: ´Areas de retaˆngulos que representam a soma no membro direito da equac¸a˜o (6.4); para fazer a figura, conside- ramos n = 10 e chamamos a atenc¸a˜o para o retaˆngulo de nu´mero i = 7. Nessa figura, o produto . fx (ti)∆ti e´ a a´rea de um retaˆngulo com as seguintes caracterı´sticas: a base do retaˆngulo e´ o intervalo de tempo de durac¸a˜o ∆ti e a altura e´ o valor . fx (ti) da velocidade no instante ti. Portanto, a soma inteira em (6.4) e´ a soma das a´reas de todos os retaˆngulos da figura. Vemos ainda que a soma das a´reas dos retaˆngulos e´ aproximadamente o que chamamos de a´rea CEDERJ 122 Gra´ficos do movimento M ´ODULO 1 - AULA 6 sob o gra´fico de . fx entre t0 e t. Essa a´rea sob o gra´fico e´ precisamente