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e a cada nu´mero, um
u´nico ponto. A reta na qual foram especificadas a origem, os semi-eixos posi-
tivo e negativo e a correspondeˆncia entre nu´meros e pontos, conforme acabamos
de descrever, e´ chamada de um eixo coordenado. O nu´mero que corresponde
a um ponto do eixo e´ chamado de sua coordenada no eixo, ou em relac¸a˜o ao
eixo. Dizemos que a coordenada de um ponto em relac¸a˜o a um eixo localiza o
ponto em relac¸a˜o ao eixo. ´E claro que a origem tem coordenada zero, os pontos
do semi-eixo positivo teˆm coordenadas positivas e os do semi-eixo negativo, co-
ordenadas negativas (alia´s, e´ apenas por isso que os semi-eixos sa˜o chamados de
positivo e negativo). As coordenadas sa˜o dadas em unidade de comprimento, isto
e´ em metro ou em algum de seus submu´ltiplos decimais, como, por exemplo, o
centı´metro. Se nada for dito sobre a unidade de comprimento de uma coordenada,
fica subentendido que a unidade e´ o metro.
Note que a especificac¸a˜o de um eixo em uma situac¸a˜o concreta exige o uso
de uma re´gua para medir distaˆncias e especificar coordenadas. Em mecaˆnica espe-
ramos poder definir eixos coordenados em situac¸o˜es concretas, grac¸as a` hipo´tese
de que dispomos de re´guas.
Para identificar um eixo coordenado (o que e´ necessa´rio quando va´rios sa˜o
usados em um problema) usamos, ale´m do O da origem, uma outra letra, que
e´ sempre escrita junto ao semi-eixo positivo. O eixo e´ identificado pelo par de
letras. Por exemplo, se a segunda letra e´ X , chamamos o eixo coordenado de eixo
OX . A figura 1.4 mostra um eixo coordenado OX com um ponto arbitra´rio P e
sua coordenada x.
O Xx
P
Fig. 1.4: Ponto P e sua coordenada x (positiva, nesse exemplo).
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
Considere agora treˆs eixos coordenadosOX ,OY eOZ , ortogonais entre si
e com origem comum O. Vamos chamar o conjunto constituı´do pelos treˆs eixos
coordenados ortogonais de sistema de eixos OXYZ. Consideremos um ponto
qualquer P do espac¸o. Existe um u´nico plano perpendicular ao eixo OX que
passa por P ; esse plano intercepta o eixo OX em um ponto bem determinado Px
cuja coordenada nesse eixo chamaremos de x. Usando planos perpendiculares a
OY e OZ tambe´m obtemos nesses eixos pontos Py e Pz com coordenadas y e z,
respectivamente, conforme indicado na figura 1.5.
O
X
Y
Z
x
y
z
P
Px
Py
Pz
Fig. 1.5: Sistema de eixos coordenados tri-ortogonais OXYZ .
Por esse processo a cada ponto P do espac¸o fica associada uma u´nica trinca
(x, y, z). Inversamente, dada uma trinca (x, y, z) tomamos nos eixos OX , OY
e OZ os pontos de coordenadas respectivas x, y e z e nesses pontos passamos
planos perpendiculares aos eixos OX , OY e OZ , respectivamente. Esses planos
se interceptam em um u´nico ponto P do espac¸o. Fica assim estabelecida uma
correspondeˆncia biunı´voca entre os pontos do espac¸o e as trincas de coordenadas,
isto e´, a cada ponto P corresponde uma u´nica trinca (x, y, z) e vice-versa. A trinca
que corresponde desse modo a um ponto e´ chamada de trinca de coordenadas
do ponto em relac¸a˜o ao sistema de eixos OXYZ . Tambe´m chamamos a trinca
simplesmente de coordenadas de P em relac¸a˜o a OXYZ.
Note que as trincas que correspondem aos pontos do eixoOX sa˜o da forma
(x, 0, 0). Qual a forma das trincas que correspondem aos eixos OY e OZ? As
trincas que correspondem ao planoOXY sa˜o da forma (x, y, 0). Qual a forma das
trincas que correspondem ao plano OYZ e ao plano OZX ?
Uma partı´cula em cada instante ocupa um u´nico ponto do espac¸o. As co-
ordenadas da partı´cula em relac¸a˜o a um sistema de eixos OXYZ sa˜o, por
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
M ´ODULO 1 - AULA 1
definic¸a˜o, as coordenadas do ponto que ela ocupa. Desse modo, se a partı´cula esta´
em um ponto cuja trinca de coordenadas em relac¸a˜o a OXYZ e´ (x, y, z) enta˜o a
trinca de coordenadas da partı´cula em relac¸a˜o aOXYZ tambe´m e´ (x, y, z). Dize-
mos que a trinca de coordenadas da´ a posic¸a˜o da partı´cula em relac¸a˜o aOXYZ .
Muitas vezes dizemos simplesmente que a trinca de coordenadas e´ a posic¸a˜o da
partı´cula em relac¸a˜o a OXYZ .
O sistema de eixos coordenados e´ uma estrutura rı´gida em relac¸a˜o a` qual po-
demos especificar a posic¸a˜o de qualquer ponto do espac¸o ou de qualquer partı´cula.
Tambe´m podemos especificar a posic¸a˜o de qualquer corpo em relac¸a˜o ao sistema
de eixos coordenados, pois qualquer corpo pode ser considerado como um con-
junto de partı´culas e cada partı´cula do conjunto pode ter sua posic¸a˜o especificada
em relac¸a˜o ao sistema de eixos, conforme vimos acima. ´E claro que estamos en-
tendendo que a posic¸a˜o de um corpo fica especificada quando especificamos as
posic¸o˜es das partı´culas que o compo˜em.
O referencial e o movimento
Em princı´pio, podemos na˜o somente determinar a posic¸a˜o de um corpo em
relac¸a˜o a um sistema de eixos coordenados, como tambe´m determinar o instante
em que o corpo ocupa a dita posic¸a˜o. De fato, fazemos a suposic¸a˜o de que, em
mecaˆnica, dispomos na˜o somente de re´guas mas tambe´m de relo´gios. Vamos su-
por que, associado a um sistema de eixos coordenados, temos uma quantidade
ilimitada de relo´gios, tantos quantos forem necessa´rios, todos sincronizados e
em repouso em relac¸a˜o ao sistema de eixos. ´E claro que podemos determinar
se um relo´gio esta´ em repouso em relac¸a˜o ao sistema de eixos. Basta verificar
que, a` medida que o tempo passa, tal como indicado pelo relo´gio, a posic¸a˜o do
pro´prio relo´gio na˜o muda. O sistema de eixos coordenados, junto com as re´guas
e relo´gios, e´ uma estrutura para medir posic¸o˜es e instantes do tempo. Uma tal
estrutura e´ chamada de sistema de refereˆncia ou de referencial. Podemos descre-
ver brevemente um referencial dizendo que e´ um sistema de eixos coordenados
munido de re´guas e relo´gios. Um agente fixo em um referencial e capaz de reali-
zar medic¸o˜es costuma ser chamado de observador. O observador pode ser uma
pessoa ou aparelho programado para medir. ´E conveniente supor que os relo´gios
esta˜o sincronizados em um dado referencial para que haja um u´nico instante do
tempo atribuido a um dado evento. Por outro lado, a exigeˆncia de que os relo´gios
estejam em repouso em relac¸a˜o ao sistema de eixos do referencial tem razo˜es mais
profundas que voceˆ examinara´ quando estudar a chamada relatividade restrita de
Einstein.
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
O sistema de eixos coordenados e´ uma estrutura rı´gida, na qual cada eixo
permanece perpendicular aos outros dois. Na pra´tica, para garantir a rigidez dos
eixos usamos algum corpo rı´gido, ou um sistema rı´gido de partı´culas, para neles
fixar o sistema de eixos. Por exemplo, podemos considerar um sistema de eixos
coordenados fixos nas paredes de uma sala.
Fig. 1.6: Sistema de eixos coordenados OXYZ, fixo nas paredes de uma sala.
Podemos desenhar os eixos nas paredes como mostra a figura 6. Nos es-
tudos teo´ricos simplesmente imaginamos os eixos, como entidades matema´ticas,
fixos nas paredes. Neste exemplo dirı´amos que o referencial e´ fixo na sala, ou na
Terra, pois sala e Terra formam um todo rı´gido. Podemos tambe´m imaginar um
referencial fixo em um automo´vel, como ilustrado na figura 1.7.
Fig. 1.7: Sistema de eixos coordenados OXYZ, fixo na estrutura rı´gida de um automo´vel.
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Noc¸o˜es ba´sicas sobre o movimento
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´E comum na˜o mencionar os relo´gios quando especificamos um referencial.
Escolhemos um sistema de eixos e a existeˆncia dos relo´gios fica subentendida. ´E
por esse motivo que, por simplicidade, nos referimos ao referencial como sendo o
pro´prio sistema de eixos; dizemos algo como: seja o referencial OXYZ...
Deve ter ficado claro que o conceito de posic¸a˜o e´ relativo ao sistema de ei-
xos coordenados que usamos. Por exemplo, em relac¸a˜o a um sistema de eixos,
uma partı´cula