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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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ponto P
no gra´fico de fx. Repetindo o procedimento para todos os instantes t, obtemos o
gra´fico inteiro da func¸a˜o-movimento. Vemos com isso que, de fato, o gra´fico da
func¸a˜o-movimento e´ obtido do gra´fico da func¸a˜o-velocidade e do conhecimento
da posic¸a˜o da partı´cula em um instante particular. Em geral na˜o sabemos os valo-
res exatos das a´reas sob o gra´fico de
.
fx, de modo que na˜o podemos obter o gra´fico
exato de fx. No entanto, o que e´ importante em nosso estudo e´ saber esboc¸ar, pelo
menos em algumas situac¸o˜es mais simples, o gra´fico da func¸a˜o movimento a par-
tir da forma do gra´fico da func¸a˜o-velocidade (e do conhecimento da posic¸a˜o da
partı´cula em um instante particular).
127 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
Exemplo 6.4
A Figura 6.21 mostra, a` esquerda, o gra´fico de uma func¸a˜o-velocidade
.
fx e a`
direita, o esboc¸o do correspondente gra´fico da func¸a˜o-movimento fx. Vejamos
como ele foi obtido por meio da ana´lise que segue.
vx
t0 t1
t2 t3
t t0 t1 t2
t3
t
X
x0
x1
Fig. 6.21: `A direita temos um esboc¸o do gra´fico de fx a partir do gra´fico de
.
fx, que aparece a` esquerda.
Ao reconstruirmos o gra´fico de fx
a partir do gra´fico de
.
fx, devemos
tambe´m ter em mente que o co-
eficiente angular da reta tangente
ao gra´fico de fx, no instante t,
deve coincidir com a velocidade
vx =
.
fx (t) da partı´cula nesse
instante.
Primeiramente, marcamos nos eixos a` direita a posic¸a˜o conhecida e o ins-
tante correspondente, que chamamos de x0 e t0, respectivamente. Consideremos
no gra´fico de
.
fx, a` esquerda, a a´rea alge´brica A[
.
fx]
t
t0
com t variando de t0 a t1.
Nesse intervalo, temos uma a´rea alge´brica que cresce de zero ao valor positivo
A[
.
fx]
t1
t0 . Por isso, o gr´afico de fx, a` direita, foi desenhado como uma curva que
cresce de x0 ate´ um valor x1 = x0 + A[
.
fx]
t1
t0 , que e´ maior do que x0. Quando t se
torna maior do que t1, uma a´rea alge´brica negativa comec¸a a ser adicionada a` a´rea
alge´brica de t0 a t1, de modo que a a´rea total vai diminuindo. Por isso, o gra´fico
a` direita e´ uma curva que comec¸a a decrescer a partir do ponto em que t = t1.
No gra´fico a` esquerda, temos o fato de que em algum instante t2, a a´rea alge´brica
negativa de t1 a t2 cancela a positiva de t0 a t1. No gra´fico a` direita, temos enta˜o a
func¸a˜o retomando o valor x0 no instante t2. A partir de t2, a a´rea alge´brica sob a
curva de
.
fx continua a receber mais contribuic¸o˜es negativas e, portanto, continua
a diminuir. Consequ¨entemente, tambe´m diminui no gra´fico a` direita o valor de
fx(t) quando t se torna maior do que t2. Em algum instante t3, a a´rea alge´brica
negativa entre t2 e t3 cancela o valor x0, de modo que a partı´cula esteja em x = 0
no instante t = t3; a func¸a˜o fx corta, nesse instante, o eixo horizontal. Com esse
tipo de ana´lise, pode-se obter o formato aproximado do resto do gra´fico de fx.
CEDERJ 128
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
Vamos finalizar esta aula com uma observac¸a˜o sobre a propriedade (6.8).
Na verdade, ela na˜o e´ uma propriedade exclusiva da func¸a˜o-velocidade
.
fx. De
fato, definindo a´rea alge´brica sob o gra´fico de uma func¸a˜o qualquer do mesmo
modo que definimos anteriormente para a func¸a˜o-velocidade, obtemos:
a a´rea alge´brica sob o gra´fico de uma func¸a˜o qualquer em um certo
intervalo do domı´nio e´ igual a` integral da func¸a˜o nesse intervalo.
No caso de uma func¸a˜o arbitra´ria, podemos verificar facilmente essa propri-
edade com o mesmo me´todo usado para verifica´-la com a func¸a˜o-velocidade.
Resumo
Nesta aula, voceˆ aprendeu como desenhar gra´ficos de func¸o˜es de uma forma
geral. Particularmente, voceˆ viu como trac¸ar os gra´ficos da func¸a˜o-movimento fx
e da func¸a˜o-velocidade f˙x versus tempo. Aprendeu a extrair informac¸o˜es impor-
tantes de ambos os gra´ficos. Por exemplo, voceˆ aprendeu que a velocidade me´dia
de uma partı´cula no intervalo de tempo [t1, t2] pode ser obtida a partir do gra´fico
da func¸a˜o-movimento, simplesmente, pelo coeficiente angular da reta secante que
liga os pontos (t1, fx(t1)) e (t2, fx(t2)) desse gra´fico. Ja´ a velocidade instantaˆnea
da partı´cula num instante t′ pode ser obtida desse mesmo gra´fico, pelo coeficiente
angular da reta tangente a esse gra´fico no ponto (t′, fx(t′)). Em relac¸a˜o ao gra´fico
da func¸a˜o-velocidade versus tempo, voceˆ aprendeu que a a´rea alge´brica sob esse
gra´fico, em um certo intervalo [t1, t2], corresponde ao deslocamento da partı´cula
nesse intervalo. De um modo geral, a a´rea alge´brica sob o gra´fico de uma func¸a˜o
em um certo intervalo e´ a integral da func¸a˜o nesse intervalo.
Questiona´rio
1. Dado um gra´fico da posic¸a˜o de uma partı´cula versus o tempo, como se
obte´m graficamente a velocidade me´dia da partı´cula no intervalo [ta, tb]?
2. Dado um gra´fico da posic¸a˜o de uma partı´cula versus o tempo, como se
obte´m graficamente a velocidade da partı´cula num certo instante t1?
3. Dado um gra´fico da posic¸a˜o de uma partı´cula versus o tempo, explique
como trac¸ar o gra´fico correspondente da func¸a˜o-velocidade versus o tempo.
129 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
4. Seja ti o instante em que uma partı´cula inverte o sentido de seu movimento.
O que podemos dizer sobre o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico
de posic¸a˜o versus tempo, no ponto do gra´fico dado por (ti, fx(ti))?
5. O que significa a´rea alge´brica sob o gra´fico de uma func¸a˜o num certo inter-
valo da varia´vel independente?
6. Dado um gra´fico da func¸a˜o-velocidade versus tempo de uma partı´cula, como
se obte´m graficamente o deslocamento da partı´cula entre os instantes
t1 e t2?
7. Dado somente o gra´fico da velocidade versus tempo de uma partı´cula, po-
demos obter o gra´fico da func¸a˜o de posic¸a˜o versus tempo da partı´cula?
Problemas propostos
1. Considere o MRU dado por x = a + bt. Trace em cada caso indicado
abaixo o gra´fico de posic¸a˜o versus tempo correspondente, indicando na fi-
gura os significados das grandezas a e b: (i) a > 0 e b > 0, (ii) a > 0
e b < 0, (iii) a > 0 e b = 0; (iv) a < 0 e b > 0, (v) a < 0 e b < 0,
(vi) a < 0 e b = 0; (vii) a = 0 e b > 0, (viii) a = 0 e b < 0, (ix) a = 0 e
b = 0.
2. Considere que o MRU descrito por uma partı´cula seja dado por
x = x0 + vx(t− t0), onde x0 < 0, vx > 0 e t0 > 0.
(a) Trace o gra´fico de posic¸a˜o versus tempo desse MRU, indicando na
figura todas as grandezas que aparecem nessa equac¸a˜o.
(b) Determine as coordenadas do ponto de intersec¸a˜o entre o gra´fico e o
eixo das ordenadas (eixo das posic¸o˜es). Determine tambe´m as coor-
denadas do ponto de intersec¸a˜o entre o gra´fico e o eixo das abcissas
(eixo dos tempos).
CEDERJ 130
Gra´ficos do movimento
M ´ODULO 1 - AULA 6
3. Quais dentre os gra´ficos de velocidade versus tempo mostrados representam
um MRU?
vx
t
(a)vx
t
(c)
vx
t
(b)vx
t
(d)
Fig. 6.22: Gra´ficos de velocidade versus tempo do problema 3.
4. Dado o gra´fico da posic¸a˜o versus tempo de uma partı´cula:
x(m)
70
20
t(s)50
Fig. 6.23: Gra´fico da posic¸a˜o versus tempo da partı´cula no problema 4.
(a) Esboce o gra´fico da velocidade versus tempo dessa partı´cula no
intervalo [0, 50].
(b) Determine a a´rea alge´brica sob o gra´fico de velocidade versus tempo
no intervalo [0, 50].
5. Dado o gra´fico da posic¸a˜o versus tempo de uma partı´cula:
(a) Esboce o gra´fico de velocidade versus tempo dessa partı´cula
no intervalo [0, 50].
131 CEDERJ
Gra´ficos do movimento
(b) Quanto vale a a´rea alge´brica sob esse gra´fico de velocidade versus
tempo no intervalo [0, t1]?
(c) Quanto vale a a´rea alge´brica sob esse gra´fico no intervalo [0, 50]?
x(m)
30
−20
t(s)50t1=5
Fig. 6.24: Gra´fico da posic¸a˜o versus