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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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ao gra´fico da velocidade versus o tempo.
exemplo de gra´fico de uma func¸a˜o-acelerac¸a˜o (gra´fico inferior). Nesse gra´fico,
em qualquer instante t o valor da func¸a˜o, isto e´, a ordenada no gra´fico, e´ a
acelerac¸a˜o da partı´cula nesse instante. No gra´fico da func¸a˜o-velocidade, essa
mesma acelerac¸a˜o e´ dada pelo coeficiente angular do gra´fico no ponto correspon-
dente ao instante t. A figura 7.3 mostra os gra´ficos da velocidade e da acelerac¸a˜o
de um mesmo movimento. Em alguns instantes escolhidos, a acelerac¸a˜o e´ indi-
cada nos dois gra´ficos.
vx(m/s)
2m/s2 −2m/s2
4m/s2
t(s)1 2 3 6
ax(m/s2)
t(s)1 2 3 6
4
2
−2
Fig. 7.3: A acelerac¸a˜o, que e´ uma ordenada no gra´fico da acelerac¸a˜o versus tempo, e´ ao mesmo tempo um coeficiente
angular no gra´fico da velocidade versus o tempo.
CEDERJ 150
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
Na aula 6, aprendemos tambe´m que a a´rea alge´brica sob o gra´fico de veloci-
dade versus tempo de uma partı´cula nos fornece o seu deslocamento no intervalo
de tempo considerado, uma vez que a velocidade e´ a derivada da posic¸a˜o. Do
mesmo modo, podemos afirmar que a a´rea alge´brica sob o gra´fico de acelerac¸a˜o
versus tempo de uma partı´cula nos dara´ a variac¸a˜o de sua velocidade no intervalo
de tempo considerado. Essa propriedade e´ consequ¨eˆncia direta da equac¸a˜o (7.13),
que da´ a velocidade a partir da func¸a˜o-acelerac¸a˜o. De fato, nessa equac¸a˜o, a inte-
gral e´ dada pela a´rea sob o gra´fico da func¸a˜o-acelerac¸a˜o entre os instantes t0 e t.
Essa a´rea e´ representada pelo sı´mbolo A[
..
fx]
t
t0
e esta´ indicada na figura 7.4.
ax
t0 t t
A[
..
fx]
t
t0
vx − vx0
..
fx
Fig. 7.4: A variac¸a˜o de velocidade num certo instante e´ dada, no gra´fico da acelerac¸a˜o versus o tempo, pela a´rea alge´brica
sob o gra´fico nesse mesmo intervalo.
De acordo com a equac¸a˜o (7.13), essa a´rea A[
..
fx]
t
t0
e´ igual a` diferenc¸a vx −
vx0. Portanto, a velocidade vx em um instante t qualquer e´ obtida adicionando-se
essa a´rea ao valor vx0 da velocidade em um instante particular t0: vx = vx0+A[
..
fx
]tt0 . Em suma: sabendo-se a velocidade em um u´nico instante, e medindo a´reas sob
o gra´fico da func¸a˜o-acelerac¸a˜o, podemos determinar a velocidade em um instante
qualquer.
Exemplo 7.6
A figura 7.5 mostra o gra´fico da acelerac¸a˜o versus o tempo de um certo movi-
mento.
Suponha que seja conhecida a velocidade da partı´cula no instante
t = 0s; digamos que ela seja dada por vx0 = 2m/s. Examinando a figura,
voceˆ podera´ encontrar o valor da velocidade em qualquer instante que desejar.
Por exemplo, nos instantes 1 s, 2 s, 3 s, 4 s, 5 s, 6 s, 7 s, 8 s, 9 s e 10 s, as ve-
locidades sa˜o, respectivamente, 3m/s, 5m/s, 6m/s, 6m/s, 5, 5m/s, 4, 5m/s,
4m/s, 4, 5m/s, 5, 5m/s e 6, 5m/s. O aspecto algo esquisito desse gra´fico tem
por finalidade facilitar o ca´lculo das a´reas, sem ter de recorrer a integrais para isso.
151 CEDERJ
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
ax(m/s2)
2
1
−1
1 2 3
4 5 6 7
8 9 10 t(s)
..
fx
Fig. 7.5: As a´reas sob este gra´fico da acelerac¸a˜o versus o tempo permitem obter facilmente a variac¸a˜o da velocidade em
qualquer intervalo do tempo.
Movimento de queda livre
Nesta sec¸a˜o, vamos estudar um caso particular de movimento, com o qual
todos no´s estamos muito familiarizados. Este tipo de movimento faz parte do
cotidiano de cada um de no´s e, sob certas circunstaˆncias, e´ aproximadamente
um MRUV: trata-se do movimento de queda livre dos corpos. De uma forma
gene´rica, dizemos que um corpo esta´ executando um movimento de queda livre
se o seu movimento for vertical, isto e´, se tiver a direc¸a˜o que passe pelo centro da
Terra, e se na˜o sofrer nenhuma ac¸a˜o que na˜o seja a da forc¸a gravitacional da Terra
e a da resisteˆncia oferecida pelo ar que esta´ a sua volta. Por exemplo, quando uma
pedra e´ abandonada pro´xima a` superfı´cie da Terra, ou mesmo quando e´ lanc¸ada
verticalmente para cima, ela ira´ descrever um movimento de queda livre.
Quando dizemos que estamos
desprezando a resisteˆncia do ar,
significa tambe´m que estamos
supondo que na˜o haja ventos
fortes que possam alterar o
movimento do corpo ou mesmo
desvia´-lo de sua trajeto´ria
retilı´nea.
No entanto, se na˜o impusermos algumas restric¸o˜es a esse tipo de movi-
mento, ele pode tornar-se extremamente complicado. Levar em considerac¸a˜o a
resisteˆncia oferecida pelo ar na queda livre de um corpo e´ uma tarefa muito com-
plicada, uma vez que tal resisteˆncia e´ uma func¸a˜o, entre outras coisas, da velo-
cidade do corpo e da sua forma (veremos que a resisteˆncia do ar aumenta com a
velocidade do corpo). Portanto, se restringirmos nosso estudo a movimentos com
velocidades suficientemente baixas, poderemos, numa primeira aproximac¸a˜o, des-
prezar o efeito da resisteˆncia do ar, tornando assim o nosso problema bem mais
simples de ser resolvido.
CEDERJ 152
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
M ´ODULO 1 - AULA 7
Ale´m disso, se considerarmos apenas os movimentos de queda livre pro´ximos
a` superfı´cie da Terra, a ac¸a˜o gravitacional da Terra sobre o corpo em questa˜o fica
mais simples de ser levada em conta. Verifica-se experimentalmente que sob tais
circunstaˆncias o movimento de queda livre dos corpos e´ com grande precisa˜o um
MRUV.
Mais ainda, verifica-se que todos os corpos em queda livre pro´ximos a` su-
perfı´cie da Terra e com baixas velocidades possuem exatamente a mesma acelera-
c¸a˜o, de mo´dulo igual a 9, 8m/s2. Tal acelerac¸a˜o e´ sempre no sentido do centro
da Terra (a Terra atrai os corpos, como veremos mais adiante). Portanto, o mo-
vimento de uma pedra abandonada a uma certa altura sera´ acelerado ate´ atingir o
solo, enquanto o movimento de uma pedra lanc¸ada para cima a partir do solo sera´
desacelerado durante a subida e acelerado na descida, mas sempre com a mesma
acelerac¸a˜o.
Galileu Galilei foi o primeiro a estudar sistematicamente o movimento de
queda livre dos corpos. Astutamente, o fez por meio de planos inclinados sem
atrito, pois dessa forma conseguia movimentos ana´logos aos da queda livre, pore´m,
com uma acelerac¸a˜o menor, facilitando assim as suas medidas. Logrou em des-
crever corretamente o movimento como um MRUV.
Costuma-se usar a letra g para designar o mo´dulo da acelerac¸a˜o gravi-
tacional, ou seja, g = 9, 8m/s2. Para muitos propo´sitos, pode-se considerar
g ≈ 10m/s2. Nesse curso, sempre que nada for dito sobre o valor de g, estara´
implı´cito o valor g = 10m/s2. A seguir, aplicaremos os conhecimentos adquiri-
dos ate´ aqui para escrever as func¸o˜es-acelerac¸a˜o, de velocidade e de movimento
correspondentes a um movimento de queda livre.
Func¸a˜o-acelerac¸a˜o, func¸a˜o-velocidade e func¸a˜o-movimento na queda livre
Antes de tudo, vamos escolher a origem do eixo vertical, sobre o qual ira´
ocorrer o movimento de queda livre a ser estudado. Por convenieˆncia futura
(quando estivermos estudando movimentos na˜o retilı´neos, como por exemplo o
movimento de proje´teis com inclinac¸o˜es arbitra´rias em relac¸a˜o ao plano horizon-
tal), vamos designar por eixo OY o eixo vertical, situar a origem no solo e esco-
lher o sentido positivo do eixo para cima. Desse modo, a func¸a˜o-acelerac¸a˜o no
movimento de queda livre e´ dada por:
f¨y(t) = −g ,
ou simplesmente
ay = −g ,
153 CEDERJ
Acelerac¸a˜o no movimento retilı´neo
pois, como vimos, a acelerac¸a˜o dos corpos em queda livre e´ constante no tempo.
Para obter a func¸a˜o-velocidade, temos de conhecer a velocidade em um dado ins-
tante. Suponhamos que no instante inicial, t = 0s, a velocidade seja vy0. Com
isso, integrando no tempo, obtemos:
vy = vy0 +
∫ t
0
(−g) dt′ =⇒ vy = vy0 − gt .
Supondo ainda conhecida a posic¸a˜o inicial, dada por y0, integramos uma
vez mais para obter