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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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de a, ou o negativo do mo´dulo de a. Podemos enunciar
esse resultado do modo que segue.
Se a e´ um vetor qualquer na direc¸a˜o de um vetor unita´rio u, enta˜o:
a = ±|a|u . (8.14)
Vamos usar agora um sistema de eixos coordenados OXYZ e considerar
um vetor unita´rio na direc¸a˜o de cada eixo, com sentido igual ao sentido positivo
do eixo. Vamos chamar ux, uy e uz os vetores unita´rios com a direc¸a˜o e sentido
dos eixos OX , OY e OZ , respectivamente, conforme ilustrado na figura 8.16.
Fig. 8.16: Os vetores unita´rios ux, uy e uz .
Vamos agora demonstrar que qualquer vetor a pode ser escrito em termos
dos treˆs unita´rios ux, uy e uz. Para facilitar a compreensa˜o da demonstrac¸a˜o,
vamos acompanha´-la considerando o exemplo da figura 8.17.
Os unita´rios ux, uy e uz
tambe´m sa˜o representados,
respectivamente, por i, j e k, ou
por xˆ, yˆ e zˆ.
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
O
X
Y
Z
a1
a2
a3
Py
Px P’
P
a12
Fig. 8.17: Construc¸a˜o geome´trica para verificar que o vetor a pode ser escrito em termos dos vetores unita´rios ux, uy e
uz .
Seja uma seta representativa de a com inı´cio na origem O do sistema de
eixos OXYZ . Seja P o ponto final da seta. O vetor a e´ enta˜o representado pela
seta
−→
OP . Baixando de P uma perpendicular ao plano OXY , ela encontra esse
plano em um ponto que chamamos P ′. Desse ponto P ′ trac¸amos uma perpen-
dicular ao eixo OX , que encontra esse eixo no ponto que chamamos Px, e uma
perpendicular ao eixo OY , que encontra esse eixo em um ponto que chamamos
Py. Sejam os seguintes vetores: a1 associado a` seta
−→
OPx, a2 associado a` seta
−→
OPy, a12 associado a` seta
−→
OP ′ e a3 associado a` seta
−→
P ′P . Por construc¸a˜o, temos:
a = a12 + a3 e a12 = a1 + a2 .
Desse modo, podemos escrever:
a = a1 + a2 + a3 . (8.15)
Mas a1 tem a mesma direc¸a˜o de ux e, portanto, e´ o produto de um nu´mero por ux.
Chamando esse nu´mero ax, temos a1 = ax ux. Analogamente, a2 tem a mesma
direc¸a˜o de uy, e a3, a mesma direc¸a˜o de uz. Portanto, existem nu´meros ay e az,
tais que a2 = ay uy e a3 = az uz. Obtemos, pois:
a1 = ax ux , a2 = ay uy e a3 = az uz . (8.16)
Em virtude da propriedade (8.14), temos enta˜o: ax = ±|a1|, ay = ±|a2| e az =
±|a3|, mas, no momento, na˜o estamos interessados nessa informac¸a˜o. Usando
os resultados (8.16) em (8.15), concluı´mos que existem nu´meros ax, ay e az, tais
que:
a = ax ux + ay uy + az uz . (8.17)
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
M ´ODULO 1 - AULA 8
Fica demonstrado, enta˜o, que qualquer vetor pode ser escrito em termos dos
unita´rios ux, uy e uz. Mais do que isso, mostramos com a equac¸a˜o (8.17), que a
expressa˜o de um vetor em termos dos unita´rios e´ a soma dos produtos de nu´meros
pelos vetores unita´rios. Surge naturalmente a questa˜o: sera´ que existe uma outra
trinca de nu´meros a′x, a′y e a′z tais que o mesmo vetor a seja escrito como
a = a′xux + a′yuy + a′zuz?
Para responder a essa pergunta, vamos supor, inicialmente, que exista uma
outra trinca de nu´meros a′x, a′y e a′z, que nos permita escrever:
a = a′x ux + a
′
y uy + a
′
z uz. (8.18)
Comparando essa expressa˜o com a equac¸a˜o (8.17), escrevemos:
a′x ux + a
′
y uy + a
′
z uz = ax ux + ay uy + az uz,
donde se conclui que:
(a′x − ax)ux + (a′y − ay)uy + (a′z − az)uz = 0. (8.19)
Mas os vetores unita´rios ux, uy e uz sa˜o diferentes de zero e na˜o sa˜o coplanares,
pois sa˜o todos perpendiculares entre si. Portanto, eles sa˜o vetores que gozam
da propriedade (8.13). Essa propriedade, aplicada a` equac¸a˜o (8.19), nos permite
concluir que (a′x − ax) = 0, (a′y − ay) = 0 e (a′z − az) = 0, isto e´,
a′x = ax , a
′
y = ay e a
′
z = az. (8.20)
Essas equac¸o˜es mostram que, para cada vetor a, existe somente uma trinca de
nu´meros ax, ay e az capaz de tornar verdadeira a expressa˜o (8.17) para o vetor a.
Sejam treˆs vetores e1, e2 e e3 que satisfazem duas propriedades. A primeira
e´ que qualquer vetor a pode ser escrito em termos de e1, e2 e e3 de acordo com a
expressa˜o a = a1 e1 +a2 e2 +a3 e3, na qual a1, a2 e a3 sa˜o nu´meros. A segunda e´
que na˜o existe mais do que uma trinca de nu´meros a1, a2 e a3 que permite escrever
a citada expressa˜o para a. Dizemos enta˜o que os treˆs vetores formam uma base
de vetores. Vimos que o conjunto dos vetores ux, uy e uz satisfazem essas duas
propriedades e, portanto, podemos afirmar que eles formam uma base. Esses treˆs
vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares entre si, embora essas propriedades na˜o
sejam necessa´rias para formar uma base. Quando a base tem essas propriedades
suplementares, ela e´ chamada de base ortonormal. Uma base ortonormal, como
a constituı´da pelos vetores ux, uy e uz, tem a vantagem de facilitar os ca´lculos,
como veremos a seguir.
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
Chamamos ax, ay e az de componentes escalares do vetor a na base de
vetores ux, uy e uz. Chamamos ax de componente escalar de a ao longo de ux
ou, simplesmente, de componente x do vetor a. As componentes ay e az teˆm
denominac¸o˜es ana´logas.
Quando se estuda pela primeira vez a teoria dos vetores, na˜o e´ incomum
confundir as grandezas que sa˜o vetores com as que sa˜o nu´meros. Uma boa verifi-
cac¸a˜o de que estamos alertas para esta questa˜o consiste em distinguir com clareza
as componentes escalares das componentes vetoriais de um vetor. Componen-
tes vetoriais de um vetor a sa˜o os vetores que, somados, da˜o a. Tomemos como
exemplo a pro´pria expressa˜o (8.17): a = ax ux + ay uy + az uz. Os vetores ax ux
e ay uy + az uz somados da˜o a. Portanto, sa˜o duas componentes vetoriais de a.
Tambe´m os vetores ax ux, ay uy e az uz somados da˜o a, logo, sa˜o treˆs componen-
tes vetoriais de a. Ja´ os nu´meros ax, ay e az sa˜o as componentes escalares do vetor
a na base dos vetores ux, uy e uz. Assim, por exemplo, ax e´ uma componente es-
calar, um nu´mero, enquanto ax ux e´ uma componente vetorial, ou seja, um vetor,
dado pelo produto do nu´mero ax pelo vetor ux. Uma u´ltima palavrinha de alerta
quanto a essa questa˜o: e´ comum fazermos refereˆncia a`s componentes escalares
e vetoriais simplesmente como componentes. Nesse caso, pelo contexto, devera´
estar claro a qual dos dois tipos de componentes estaremos nos referindo.
O uso de uma base reduz va´rios ca´lculos que fazemos com vetores a ca´lculos
com as suas componentes escalares. Isso constitui uma grande vantagem, pois
as componentes escalares sa˜o nu´meros com os quais calculamos com mais faci-
lidade. Vejamos algumas propriedades de vetores descritas em termos de suas
componentes na base ux, uy e uz .
O vetor nulo 0 pode ser escrito na base ux, uy e uz como 0 = 0ux +0uy +
0uz, isto e´, suas componentes sa˜o todas iguais a zero. Como so´ existe uma trinca
de componentes para cada vetor, se tivermos 0 = ax ux + ay uy + az uz, somos
obrigados a concluir que ax = 0, ay = 0 e az = 0. Temos, enta˜o:
ax ux + ay uy + az uz = 0 ⇐⇒ ax = 0 ay = 0 e az = 0 , (8.21)
isto e´,
um vetor e´ nulo se, e somente se, suas componentes sa˜o iguais a zero.
Sejam dois vetores a e b que teˆm as seguintes expresso˜es em termos da base
ux, uy e uz:
a = ax ux + ay uy + az uz e b = bx ux + by uy + bz uz . (8.22)
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Movimentos na˜o-retilı´neos e vetores
M ´ODULO 1 - AULA 8
A igualdade desses vetores e´ equivalente a` equac¸a˜o:
ax ux + ay uy + az uz = bx ux + by uy + bz uz ,
da qual obtemos:
(ax − bx)ux + (ay − by)uy + (az − bz)uz = 0 .
Usando nessa igualdade a propriedade (8.21), obtemos: ax − bx = 0, ay − by = 0
e az − bz = 0, isto e´, ax = bx, ay = by e az = bz . Temos, pois, a propriedade:
a = b ⇐⇒ ax = bx , ay = by e az = bz , (8.23)
que pode ser enunciada da seguinte forma:
dois vetores sa˜o iguais se, e somente se, suas respectivas componentes
forem iguais.
Tambe´m temos as propriedades