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17405_Fisica1A_Aulas_1a12_modulo_1_Volume_01

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em relac¸a˜o ao tempo as func¸o˜es em (9.51), obtemos:
vx = −ω R sen(ω t) e vy = ω R cos(ω t) . (9.56)
A velocidade vetorial e´ enta˜o obtida da fo´rmula (9.47):
v = −ωR sen(ω t)ux + ωR cos(ω t)uy . (9.57)
Esse resultado da´ a velocidade em um instante qualquer t. Nele, esta˜o contidas
todas as informac¸o˜es sobre a velocidade da partı´cula no movimento em estudo.
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Em particular, o mo´dulo dessa velocidade e´ dado por:
|v| = ω R . (9.58)
Como ω e R sa˜o duas constantes, e´ constante o mo´dulo da velocidade neste mo-
vimento circular. Ale´m disso, essa velocidade e´ proporcional ao raio da trajeto´ria
circular, sendo a velocidade angular a constante de proporcionalidade.
Eliminando ω entre as equac¸o˜es (9.58) e (9.54), obtemos
Rθ = |v| t . (9.59)
Esse resultado tem um significado simples: Rθ e´ o comprimento do arco de
cı´rculo percorrido pela partı´cula desde o instante zero ate´ o instante t, como e´
o´bvio na Figura 9.11. Sendo |v| constante, a equac¸a˜o (9.59) afirma que esse arco
percorrido pela partı´cula e´ proporcional ao tempo t. Dito de modo sucinto: nesse
tipo de movimento circular, o arco de cı´rculo percorrido pela partı´cula cresce
uniformemente com o passar do tempo. Por causa dessa propriedade, esse mo-
vimento circular e´ chamado uniforme. ´E comum abreviar movimento circular
uniforme por MCU.
A velocidade v do movimento circular uniforme, dada em (9.57), e´ tangente
ao cı´rculo no ponto onde se encontra a partı´cula, pois a velocidade em qualquer
movimento tem a propriedade de ser tangente a` trajeto´ria. ´E instrutivo verificar
essa propriedade na expressa˜o (9.57) da velocidade, como faremos a seguir.
A Figura 9.12 mostra a velocidade vetorial no movimento circular e o aˆngulo
θ = ω t envolvido nas componentes do vetor posic¸a˜o (9.51) e da velocidade veto-
rial (9.57).
Fig. 9.12: Velocidade vetorial no MCU.
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Sendo v tangente a` trajeto´ria circular, a velocidade v e´ perpendicular ao
vetor posic¸a˜o r. Obviamente, o eixo OY e´ perpendicular ao eixo OX . Esses
dois fatos nos levam a` conclusa˜o de que o aˆngulo entre a velocidade v e o eixo
OY e´ igual ao aˆngulo entre o vetor posic¸a˜o r e o eixo OX . De fato, sabemos da
geometria elementar que “dois aˆngulos sa˜o iguais se teˆm lados perpendiculares
dois a dois”. Como consequ¨eˆncia, o aˆngulo que v faz com o eixo OY e´ igual a
θ = ω t. Usando esse aˆngulo e a regra de projec¸a˜o de vetores dada nas fo´rmulas
(8.37) da aula 8, obtemos exatamente as componentes de v que aparecem em
(9.57). De fato, de acordo com (8.37) da aula 8, a componente vx e´ igual ao
mo´dulo de v multiplicado pelo cosseno do aˆngulo que v faz com o eixo OX .
Ora, o mo´dulo de v e´ ω R, em virtude de (9.58), enquanto o dito aˆngulo e´ igual a
(π/2) + θ, de acordo com resultado enunciado mais acima. Portanto, temos:
vx = |v| cos [(π/2) + θ] =
= −ω R sen θ =
= −ω R sen(ω t) , (9.60)
que esta´ de acordo com (9.57). De modo ana´logo, obtemos vy = ω R cos(ω t),
tambe´m em acordo com (9.57).
Vamos agora derivar as func¸o˜es escritas em (9.56) em relac¸a˜o ao tempo para
obter as componentes da acelerac¸a˜o como indicado em (9.50). O resultado obtido,{
ax = −ω2 R cos(ω t);
ay = −ω2 R sen(ω t),
(9.61)
e´ substituido em (9.49) para se obter o vetor acelerac¸a˜odp
a = −ω2 R cos(ω t)ux − ω2 R sen(ω t)uy =
= −ω2 R [ cos(ω t)ux + sen(ω t)uy]. (9.62)
O mo´dulo desse vetor e´ dado por
|a| = ω2 R . (9.63)
Usando a relac¸a˜o (9.58) para eliminar dessa expressa˜o a constante ω, obtemos:
|a| = |v|
2
R
. (9.64)
Portanto, o mo´dulo da acelerac¸a˜o no MCU e´ igual ao quadrado do mo´dulo da
velocidade dividido pelo raio da trajeto´ria circular.
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Comparando o vetor acelerac¸a˜o (9.62) e o vetor posic¸a˜o (9.53), concluı´mos
que no MCU vale a relac¸a˜o:
a = −ω2 r . (9.65)
Dado que ω2 e´ positivo, obte´m-se dessa igualdade que no MCU a acelerac¸a˜o tem
a mesma direc¸a˜o e o sentido contra´rio do vetor posic¸a˜o r. Consequ¨entemente, a
acelerac¸a˜o no MCU aponta sempre para o centro da trajeto´ria circular. Por esse
motivo, ela e´ chamada acelerac¸a˜o centrı´peta, dado que centrı´peta significa “que
pede o centro”. A Figura 9.13 ilustra o vetores posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o
no MCU.
Centrı´peta: centr(i/o)-peto; vem
de centripe`te, adaptado do termo
cientı´fico latino criado por
Newton; centrı´peta ⇒ latim
centrum ‘centro’ + latim pet�ere
‘dirigir-se a’. (Houaiss, A.
Diciona´rio de Lı´ngua
Portuguesa. Rio de Janeiro: Ed.
Objetiva, 2001, p. 673).
Fig. 9.13: Vetores posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o no MCU.
Acelerac¸a˜o centrı´peta na˜o existe
apenas no MCU, mas em todo
movimento na˜o retilı´neo. No
caso particular do MCU, a
acelerac¸a˜o centrı´peta aponta para
o centro da trajeto´ria circular
associada a esse movimento. No
caso de um movimento curvilı´neo
qualquer, a acelerac¸a˜o centrı´peta
da partı´cula, quando ela esta´ em
um ponto P de sua trajeto´ria,
aponta para o chamado centro de
curvatura de sua trajeto´ria nesse
ponto, como veremos na aula 11.
A expressa˜o (9.64) do mo´dulo da acelerac¸a˜o centrı´peta, que obtivemos de-
rivando,vetor posic¸a˜o da partı´cula, duas vezes, em relac¸a˜o ao tempo, e calculando
o mo´dulo do resultado dessa derivac¸a˜o, tambe´m pode ser obtido por uma ana´lise
mais geome´trica do MCU. Isso sera´ feito mais adiante.
Todas as caracterı´sticas do MCU foram obtidas das func¸o˜es-movimento
(9.51). O caminho de volta tambe´m e´ possı´vel, ou seja, partindo das caracterı´sticas
de que o movimento e´ circular e uniforme, digamos com raio R e velocidade an-
gular ω, pode-se chegar a`s func¸o˜es-movimento (9.51). Em linhas gerais, para
cumprir tal objetivo, voceˆ deve seguir o seguinte procedimento: comece usando
a caracterı´stica de que a trajeto´ria e´ circular. Escolha um sistema de eixos OXY
no qual a origem O coincida com centro do cı´rculo. Desse modo, o vetor posic¸a˜o
da partı´cula tera´ mo´dulo igual ao raio R do cı´rculo. Escolha o eixo OX passando
pela posic¸a˜o da partı´cula no instante t = 0 e o eixo OY de modo que o movi-
mento circular se processe no sentido anti-hora´rio, de OX para OY . Use agora a
caracterı´stica de que o movimento e´ uniforme para escrever que o aˆngulo θ entre
o vetor posic¸a˜o e o eixo OX no instante t e´ dado por θ = ω t. Use esse aˆngulo
e o mo´dulo do vetor posic¸a˜o para achar as suas projec¸o˜es nos eixos OX e OY .
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Com isso, voceˆ tera´ chegado a`s func¸o˜es-movimento (9.51). Voceˆ esta´ convidado
a fazer em detalhe esse raciocı´nio que acabamos de esboc¸ar.
Resumo
Nesta aula, utilizamos o conceito de vetor, aprendido na aula
anterior, para definir va´rias grandezas importantes na descric¸a˜o do movimento
de uma partı´cula. Definimos deslocamento vetorial de uma partı´cula, ou sim-
plesmente deslocamento da partı´cula, num certo intervalo de tempo e, a partir
desse conceito, definimos velocidade me´dia da partı´cula num dado intervalo de
tempo como sendo o seu deslocamento nesse intervalo dividido pela durac¸a˜o do
intervalo. Introduzimos o conceito de velocidade instantaˆnea de uma partı´cula,
ou simplesmente velocidade da partı´cula, como sendo o limite de velocidades
me´dias para intervalos de tempo tendendo a zero em torno do instante conside-
rado. Em outras palavras, a func¸a˜o-velocidade vetorial e´ a derivada temporal
da func¸a˜o vetorial de . Definimos acelerac¸a˜o me´dia de uma partı´cula num certo
intervalo de tempo como sendo a sua variac¸a˜o de velocidade nesse intervalo di-
vidida pela durac¸a˜o do intervalo e, de modo ana´logo a` definic¸a˜o de velocidade
instantaˆnea, definimos a func¸a˜o vetorial de acelerac¸a˜o como a derivada temporal
de sua func¸a˜o-velocidade