Exercícios de Cálculo 1

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Exercícios Complementares 
 
Questões Objetivas 
 
Questão 01: Marque a opção que contém a expressão que representa o perímetro P de um 
quadrado, em função do comprimento d de sua diagonal. 
(a) 
(b) √ 
(c) √ 
(d) 
 √ 
 
 
 
Questão 02: Analise se cada afirmativa, a seguir, é verdadeira ou falsa. 
 | | | |. 
 Se | | | | então . 
 A expressão | | descreve uma situação em que a distância entre um ponto de 
coordenada t na reta real e o ponto de coordenada -2 é exatamente 1. 
Assinale a classificação correta: 
(a) V, F, F. 
(b) V, V, V. 
(c) F, V, V. 
(d) F, F, F. 
 
Questão 03: São feitas as seguintes afirmativas, incompletas. 
 
O número √ é real se e somente se ----- . 
O número √ é real se e somente se ----- . 
O número 
 
√ 
 é real se e somente se ----- . 
 
Assinale a opção que contém as expressões que completam corretamente as afirmativas acima, 
respectivamente: 
 
(a) . 
(b) . 
(c) . 
(d) . 
 
Questão 04: As soluções da equação modular | | | | são: 
(a) ou . 
(b) ou . 
(c) ou . 
(d) ou . 
 
Questão 05: Um cabo elétrico deve ser levado de um 
poste A até um poste B, sobre um canal, cuja largura é 
m10
, como mostra a figura. Como a distância entre os 
postes A e B é muito longa, será utilizado um poste 
auxiliar C. Sabendo-se que o custo do cabeamento sobre 
o rio é de R$ 100,00/metro, e sobre a terra é de R$ 
50,00/metro, assinale a expressão que permite determinar o custo total deste cabeamento, em 
função do ângulo 
x
 indicado na figura. 
(a) ( ) 
 
 
 ( ). 
(b) ( ) 
 
 
 ( ). 
(c) ( ) ( ) . 
(d) ( ) ( ) . 
 
Questão 06: Analise se cada afirmativa, a seguir, é verdadeira ou falsa. 
 Seja f uma função real qualquer e sejam c e d pontos do seu domínio, tais que 
)()( dfcf 
. 
Então, podemos afirmar que 
dc 
. 
 É sempre possível dividir por uma função exponencial. 
 Se 
f
 é uma função decrescente no intervalo 
I
 e 
0)( xf
, para todo 
Ix
, então, 
)(
1
)(
xf
xh 
 é decrescente em 
I
. 
Assinale a classificação correta: 
(a) V, F, F. 
(b) V, V, V. 
(c) F, V, F. 
(d) F, F, F. 
 
Questão 07: Selecione a alternativa que contém a função inversa de ( ) . 
(a) ( ) 
 
 
 
(b) ( ) 
 
 
 
 
 
 
(c) ( ) 
 
 
 
(d) ( ) (
 
 
)
 
 
 
Questão 08: Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento 
particular. Quando colocada em meio de cultura, sua população cresce, dobrando sua quantidade 
a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1.000 bactérias desse tipo foi colocada em 
meio de cultura. Considerando essas informações, são feitas as afirmativas, a seguir. Classifique-
as em Verdadeiras ou Falsas. 
 A população destas bactérias, após 6 dias em meio de cultura, será de ( ) . 
 A expressão para a população P, de bactérias, em função do tempo t, em dias, é dada por 
 ( ) . 
 A expressão para a população P, de bactérias, em função do tempo t, em dias, é dada por 
 ( ) 
 
 . 
 
Assinale a classificação correta: 
(a) V, V, F. 
(b) F, V, V. 
(c) F, V, F. 
(d) V, F, V. 
 
Questão 09: A figura, a seguir, ilustra o gráfico de uma função quadrática 
f
. 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dele, assinale a afirmativa, INCORRETA, a respeito da função 
f
. 
(a) ( ) . 
(b) ( ) ( ) . 
(c) ( ) . 
(d) O intercepto do gráfico ocorre no ponto de ordenada . 
 
Questão 10: Classifique cada afirmativa, abaixo, como Verdadeira (V) ou Falsa (F): 
(i) As funções ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 são inversas uma da outra. ( ) 
(ii) A função ( ) é par. ( ) 
(iii) Se ( ) for uma função ímpar definida para todos os números reais, devemos ter ( ) . ( ) 
 
Assinale a opção que contém a sequência de classificação CORRETA: 
(a) F, F, V. 
(b) F, V, F. 
(c) V, F, F. 
(d) V, V, V. 
 
Questão 11: As afirmativas, abaixo, seguem incompletas. Analise-as. 
(i) O domínio da função ( ) 
 
√ 
 é __________. 
 
(ii) A imagem da função ( ) é ________. 
 
Assinale a alternativa que contém as expressões que completam, corretamente, as afirmativas 
apresentadas, respectivamente: 
(a) . 
(b) . 
(c) . 
(d) . 
 
Gabarito 
(01)C (02)A (03)D (04)A (05)A (06)C (07)B (08)A (09)B (10)A (11)C 
 
Resolução: 
 
Questão 01: Marque a alternativa que contém a expressão que representa o perímetro P 
de um quadrado em função do comprimento d de sua diagonal. 
 
Solução: O perímetro de um polígono é a soma dos comprimentos dos seus lados. No 
caso de um quadrado de lado L, temos então que . Mas esta é uma relação entre o 
perímetro e o lado, e o exercício pede a relação entre o perímetro e a diagonal. 
Vamos então encontrar uma relação entre o lado e a diagonal do quadrado, usando o 
Teorema de Pitágoras: 
 
Logo, temos que 
 
√ 
. Substituindo esta expressão em temos 
 
√ 
. 
Racionalizando temos 
 
√ 
 
√ 
√ 
 
 √ 
 
 √ . 
 
 
Questão 02: Analise se cada afirmativa é verdadeira ou falsa 
 | | | | 
 Se | | | | então 
 A expressão | | descreve uma situação em que a distância entre um ponto de 
coordenada t na reta real e o ponto de coordenada -2 é exatamente 1. 
 
Solução: Vamos analisar cada item separadamente 
 
 Um ponto de coordenada e seu simétrico ( de coordenada ) estão à mesma 
distância da origem. Logo a afirmativa é VERDADEIRA. 
 Considere o contraexemplo: se e . Observe que | | | |, mas . 
Logo a afirmativa é FALSA. 
 A distância entre um ponto de coordenada a um ponto de coordenada é dada por 
| |. Logo a distância entre um ponto de coordenada t na reta real e o ponto de 
coordenada -2 é expressa por | |. Portanto a expressão que representa 
corretamente a situação descrita é | | . A afirmativa é FALSA. 
 
 
Questão 03: São feitas as seguintes afirmativas, incompletas. 
 
O número √ é real se e somente se ----- . 
O número √ é real se e somente se ----- . 
O número 
 
√ 
 é real se e somente se ----- . 
 
 
Solução: Vamos analisar cada item separadamente 
 
 Como não existem raízes reais de números negativos, para que o número √ seja real 
é necessário e suficiente que . 
 Usando o raciocínio descrito acima, devemos ter . Logo . 
 Para que o número 
 
√ 
 seja real são necessárias duas condições: que √ seja real 
(logo ) E TAMBÉM que o denominador seja não nulo, logo . Portanto 
 
 
 
Questão 04: As soluções da equação modular | | | | são: 
Como os módulos das expressões e são iguais, podemos afirmar que 
estas expressões representam números reais iguais OU simétricos. 
Portanto devemos ter OU ( ). 
A primeira equação pode ser reescrita como e tem soluções ou 
 . A segunda equação pode ser reescrita e tem como soluções 
 ou . 
 
 
 Questão 05: Um cabo elétrico deve ser levado de um 
poste A até um poste B sobre um canal cuja largura é 
m10
, como mostra a figura. Como a distância entre os 
postes A e B é muito longa, será utilizado um poste 
auxiliar C. Sabendo-se que o custo do cabeamento 
sobre o rio é de R$ 100,00/metro e sobre a terra é deR$ 50,00/metro, assinale a expressão que permite determinar o custo total deste 
cabeamento em função do ângulo 
x
 indicado na figura. 
 
Solução: O custo total do cabeamento será dado (em reais) pela expressão 
 ( ) ( ) ( ) (**) 
Observe o triângulo retângulo ao lado, em que a medida d representa 
o comprimento de cabo sobre o rio. Note ainda que representa 
a medida de cabo sobre a terra. 
Como 
 
 
, temos 
 
 
. 
Temos também que 
 
 
 
 
 
 
 portanto 
 
 
. 
Substituindo em (**) encontramos 
 ( ) (
 
 
) [ 
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
Colocando-se 
 
 
 em evidência temos o resultado 
(a) ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
Questão 06: Analise se cada afirmativa é verdadeira ou falsa 
 Seja f uma função real qualquer e sejam c e d pontos do seu domínio tais que 
)()( dfcf 
. Então podemos afirmar que 
dc 
. 
 É sempre possível dividir por uma função exponencial. 
 Se 
f
 é uma função decrescente no intervalo 
I
 e 
0)( xf
 para todo 
Ix
 então 
)(
1
)(
xf
xh 
 é decrescente em 
I
. 
 
Solução: Vamos analisar cada item separadamente: 
 Observe a função ( ) . Perceba que pontos distintos do domínio possuem a 
mesma imagem (logo a função não é injetiva), pois ( ) ( ) por exemplo. 
Logo a afirmativa é FALSA. 
 Como não pertence ao conjunto imagem da função exponencial, a afirmativa 
é VERDADEIRA. 
 Como 
0)( xf
 para todo 
Ix
 então 
)(
1
)(
xf
xh 
 está definida em 
I
. Uma vez 
que 
f
 é uma função decrescente no intervalo em 
I
 podemos afirmar que à 
medida que os valores de aumentam, os valores de 
f
 diminuem. Como 
)(
1
)(
xf
xh 
, os valores de devem aumentar. Portanto é crescente em 
I
, e a 
afirmativa é FALSA. 
 
 
Questão 07: Selecione a alternativa que contém a função inversa de ( ) 
Solução: 
Vamos reescrever a função e tentar isolar o termo em . Para isso, teremos que 
inverter as operações presentes em . Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trocando-se a notação de por e vice-versa (porque pontos do domínio da pertencem à 
imagem da temos 
 (
 
 
)
 
 
 
 
Questão 08: Um tipo especial de bactéria caracteriza-se por uma dinâmica de crescimento 
particular. Quando colocada em meio de cultura, sua população cresce, dobrando sua 
quantidade a cada 8 horas. Sabe-se que uma população inicial de 1.000 bactérias desse 
tipo foi colocada em meio de cultura. Considerando essas informações são feitas as 
seguintes afirmativas: 
 A população destas bactérias após 6 dias em meio de cultura será de ( ) 
 . 
 A expressão para a população P, de bactérias, em função do tempo t em dias é dada 
por ( ) . 
 A expressão para a população P, de bactérias, em função do tempo t em dias é dada 
por ( ) 
 
 
 
Solução: Como a população inicial é de 1000 bactérias, temos . Uma vez que a 
população dobra a cada 8 horas, para entender o que acontece a cada dia que passa 
(como foi pedido no problema) temos que calcular quantos intervalos de 8 horas cada dia 
contém. Logo, se o tempo t for dado em dias, teremos 3t intervalos de 8 horas. 
Assim, ( ) . 
Portanto ( ) ( ) , o que valida a primeira afirmativa. 
Por propriedades de potências, ( ) ( ) , o que 
automaticamente valida a segunda alternativa e invalida a terceira. 
 
 
Questão 09: A figura a seguir ilustra o gráfico de uma função quadrática 
f
. 
 
 
 
 
 
 
 
A partir dele, assinale a afirmativa INCORRETA a respeito da função 
f
. 
Solução: Como a função f é quadrática, e possui raízes e , podemos afirmar 
que f possui a seguinte fatoração: ( ) ( )( ). Como o ponto (1,12) pertence 
ao gráfico da função, sabemos que ( ) . Substituindo 
 ( ) ( )( ) 
Logo , portanto ( ) ( )( ) . 
A partir daí calculam-se os valores pedidos: 
( ) ( ) ( ) ( ) (V) 
( ) ( ) ( ) (F) 
( ) ( ) ( ) ( ) (V) 
( ) ( ) , logo o intercepto do gráfico ocorre no ponto de ordenada . (V) 
 
 
Questão 10: Classifique cada afirmativa, abaixo, como Verdadeira (V) ou Falsa (F): 
(i) As funções ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 são inversas uma da outra. 
(ii) A função ( ) é par. 
(iii) Se ( ) for uma função ímpar definida para todos os números reais, devemos ter ( ) . 
Assinale a alternativa que contém a sequência de classificação CORRETA: 
Solução: 
(i) Basta verificar se ( ( )) . Calculando: 
 ( ( )) 
 ( ) 
 
 
( 
 
 ) 
 
 
 
 
 
A afirmativa é falsa. Observe que a inversa de 
4
)(
3x
xf 
 é ( ) 
( )
 
 
 
. 
 
(ii) Para que 
h
 seja uma função par devemos ter 
)()( xhxh 
. Como
xxxh  2)(
, temos 
 ( ) ( ) ( ) ( ). Portanto a função não é par, e a afirmativa é falsa. 
 
(iii) Se 
)(xF
 for uma função ímpar definida para todos os números reais, devemos ter 
)()( xFxF 
para todo 
Rx
 (e em particular para 
0x
). Seja então 
CF )0(
. 
Então, 
CFF  )0()0(
, pois 
F
 é ímpar. Portanto, , ou . Então, 
0)0( F
é a afirmativa verdadeira. 
 
 
Questão 11: As afirmativas abaixo seguem incompletas. Analise-as. 
(i) O domínio da função ( ) 
 
√ 
 é __________. 
(ii) A imagem da função ( ) é ________. 
Assinale a alternativa que contém as expressões que completam corretamente as afirmativas 
apresentadas, respectivamente: 
Solução: 
(i) Para analisar o domínio da função ( ) 
 
√ 
, observamos que existem a princípio duas 
restrições a serem feitas: o denominador deve ser não nulo, e o termo deve ser não 
negativo. Em resumo devemos ter , o que acontece para qualquer valor de . 
 
(ii) Como sabemos que para todo , devemos ter 
 . Portanto . 
 
 
Questões Abertas 
 
Questão 01: Seja ( ) . Encontre uma função tal que: 
(a) ( )( ) 
(b) (
 
 
) ( ) 
(c) ( ( )) 
 
Questão 02: Classifique as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas. JUSTIFIQUE todas as 
respostas: 
(a) Dados dois pontos quaisquer no plano, existe uma função linear cujo gráfico os contém. 
(b) A função inversa de é 
 
 
 
 
Questão 03: Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a 
recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por ( ) ( 
 
 
 ). A 
capacidade máxima de carga é , e é medido em segundos. 
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado. 
(b) Calcule quanto tempo levará para recarregar o capacitor 90% de sua capacidade, se . 
 
Questão 04 
(a) Faça o gráfico de para alguns valores de A (escolha valores positivos, negativos, 
maiores ou menores que 1). Descreva o efeito de A sobre o gráfico. 
 
(b) Faça o gráfico de para alguns valores de B (escolha valores positivos, negativos, 
maiores ou menores que 1). Descreva o efeito de B sobre o gráfico. 
(c) Descreva o efeito das constantes A e B no gráfico de . 
 
Questão05: A função demanda para um determinado produto ( ) é linear, onde p é o preço 
por unidade em reais e q é a quantidade demandada. Se p aumenta R$5,00 a pesquisa mostra 
que q cai duas unidades. Além disso, são compradas duas unidades se o preço for de R$550,00. 
 
(a) Encontre uma fórmula para 
(i) q como função linear de p. 
(ii) p como função linear de q. 
 
(b) Desenhe um gráfico com q no eixo horizontal. 
 
Questão 06: A altura (em m) de um arbusto em uma dada fase do seu desenvolvimento 
pode ser expressa pela função ( ) ( ), onde o tempo é dado em anos. 
 
Frente ao exposto, desenvolva: 
I - Qual o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 para 1,5m? 
II - Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase do desenvolvimento, tenha sua altura 
expressa pela função ( ) ( ). Verifique, apresentando os devidos cálculos, que a 
diferença ( ) ( ) é uma constante. 
 
Questão 07: Um fato interessante é que uma função qualquer, não necessariamente par ou 
ímpar, sempre pode ser decomposta na soma de uma função par com uma ímpar! De fato, 
observe: 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
(a) Chamando g(x) e h(x), a primeira e a segunda parcelas, respectivamente, mostre que a função 
g é par e que a função h é ímpar. 
(b) Mostre também que se a função dada inicialmente é par ou ímpar, então a função h ou g é 
nula, respectivamente. 
 
Questão 08: Sob certas condições, uma determinada cultura de bactérias começa com 200 
indivíduos e triplica a cada meia hora. 
A partir da afirmativa acima: 
I - Calcule quantas bactérias existem após uma hora e meia. 
II - Escreva uma expressão que permita calcular quantas bactérias existem após t horas. 
III - Indique, através de cálculos, o tempo gasto para a população atingir 32400 indivíduos. 
 
Questão 09: Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de 
uma circunferência e de um quadrado. Se é o lado do quadrado, exprima a área total 
englobada pelas duas figuras com uma função de . 
 
Questão 10: Uma cultura de bactérias tem, originalmente, 500 bactérias. Depois de 9 horas a 
cultura tem 1500 bactérias. Supondo que o crescimento é exponencial, calcule quantas bactérias 
a cultura terá após 6 horas. 
 
Resolução 
 
Questão 01: Seja ( ) . Encontre uma função tal que: 
(a) ( )( ) 
(b) (
 
 
) ( ) 
(c) ( ( )) 
Solução: 
(a) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Logo, para encontrar ( ) devemos efetuar a divisão ( ) 
 
 
. 
 Portanto ( ) . 
 
(b) (
 
 
) ( ) 
 ( )
 ( )
 . Logo, devemos ter ( ) ( ). 
Portanto ( ) ( ) 
 
(c) ( ( )) ( ) 
Aqui precisamos escrever a expressão a partir da expressão . Observe que 
 ( ) ( ) . 
Logo ( ) . 
 
 
Questão 02: Classifique as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas. JUSTIFIQUE todas as 
respostas: 
Solução: 
 
 Dados dois pontos quaisquer no plano, existe uma função linear cujo gráfico os contém. 
 
FALSO. Caso os pontos estejam alinhados verticalmente existe uma reta que os contém, mas 
não é o gráfico de uma função linear. 
 
 A função inversa de é 
 
 
 
 
FALSO. Se então 
 . Portanto a função inversa é ( ) . 
 
 
Questão 03: Após acionado o flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a 
recarregar o capacitor do flash, que armazena uma carga elétrica dada por ( ) ( 
 
 
 ). A 
capacidade máxima de carga é , e é medido em segundos. 
(a) Encontre a função inversa e explique seu significado. 
(b) Calcule quanto tempo levará para recarregar o capacitor 90% de sua capacidade, se . 
Solução: 
 
(a) A função dada no enunciado fornece a relação entre a carga elétrica em função do tempo. 
Sua função inversa, portanto, deve fornecer o tempo gasto para atingir determinada carga 
elétrica. Para encontrá-la precisamos isolar o t na expressão ( ) ( 
 
 
 ). 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
Dividindo os dois lados da equação por 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como é a capacidade máxima de carga, 
 
 
 é não negativo e podemos calcular o 
logaritmo dos dois lados da equação. 
 
 
 
 
 
 
 
E, por propriedades de logaritmos temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto 
 
 
 
(b) Para carregar o capacitor 90% de sua capacidade, teremos . Substituindo este valor 
e na função encontrada no item (a) teremos 
 
 
 
 
 
 
 4,6s 
Questão 04: 
(a) Faça o gráfico de para alguns valores de A (escolha valores positivos, negativos, 
maiores ou menores que 1). Descreva o efeito de A sobre o gráfico. 
(b) Faça o gráfico de para alguns valores de B (escolha valores positivos, negativos, 
maiores ou menores que 1). Descreva o efeito de B sobre o gráfico. 
(c) Descreva o efeito das constantes A e B no gráfico de . 
Solução: 
 (a) 
 
 
 
 
A influencia na amplitude da função ou seja, na magnitude da oscilação. 
(b) 
 
 
 ( )
 
 
Os valores de B influenciam na frequência da oscilação. Valores de B com módulo maior que 1 
aumentam a frequência. Se o módulo for menor que 1 a frequência diminui. 
(c) Os valores de A influenciam na amplitude da função ou seja, na magnitude da oscilação. 
Os valores de B influenciam na frequência da oscilação. Valores de B com módulo maior que 1 
aumentam a frequência. Se o módulo for menor que 1 a frequência diminui. 
 
 
Questão 05: A função demanda para um determinado produto ( ) é linear, onde p é o preço 
por unidade em reais e q é a quantidade demandada. Se p aumenta R$5,00 a pesquisa mostra 
que q cai duas unidades. Além disso, são compradas duas unidades se o preço for de R$550,00. 
(a) Encontre uma fórmula para 
(i) q como função linear de p. 
(ii) p como função linear de q. 
(b) Desenhe um gráfico com q no eixo horizontal. 
 
Solução: 
(a) Como a demanda depende do preço de forma linear, devemos ter 
 
onde a e b são constantes reais (a representa o coeficiente angular da reta que é o 
gráfico da função q, e b representa o coeficiente linear). Para encontrar os valores de a e 
b usaremos os dados contidos no enunciado. 
Se p aumenta R$5,00 a pesquisa mostra que q cai duas unidades. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
Usando essa informação na equação temos 
 
 
 
 
São compradas duas unidades se o preço for de R$550,00. Logo ( ) . 
Substituindo temos 
 
 
 
( ) 
(i) 
 
 
 
(ii) E isolando p teremos ( ) 
 
 
 
 (b) 
 
Questão 06: A altura (em m) de um arbusto em uma dada fase do seu desenvolvimento 
pode ser expressa pela função ( ) ( ), onde o tempo é dado em anos. 
Frente ao exposto, desenvolva: 
I - Qual o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 para 1,5m? 
II - Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase do desenvolvimento, tenha sua altura 
expressa pela função ( ) ( ). Verifique, apresentando os devidos cálculos, que a 
diferença ( ) ( ) é uma constante. 
 
Solução: I - Temos que calcular em que instante de tempo a altura era e em que instante de 
tempo a altura chegou a .Para saber quando a altura era 0,5m ( ) 
 ( ) 
 
 
Para saber quando a altura era 1,5m ( ) 
 ( ) 
 
 
Logo serão necessários anos. 
II – 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 
Logo ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 , portanto constante. 
 
 
Questão 07: Um fato interessante é que uma função qualquer, não necessariamente par ou 
ímpar, sempre pode ser decomposta na soma de uma função par com uma ímpar! De fato, 
observe: 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
(a) Chamando g(x) e h(x), a primeira e a segunda parcelas, respectivamente, mostre que a 
função g é par e que a função h é ímpar. 
(b) Mostre também que se a função dada inicialmente é par ou ímpar, então a função h ou g 
é nula, respectivamente. 
Solução: 
(a) Sendo ( ) 
 ( ) ( )
 
 e ( ) 
 ( ) ( )
 
 temos 
 
 ( ) 
 ( ) ( ( ))
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
Logo, g é par. Além disso, 
 ( ) 
 ( ) ( ( ))
 
 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 ( ) 
Logo h é ímpar. 
 
(b) Se a função for par, devemos ter ( ) ( ). Usando essa igualdade na definição de h 
temos 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
Se a função for ímpar, devemos ter ( ) ( ). Usando essa igualdade na definição de g 
temos 
 ( ) 
 ( ) ( )
 
 
 ( ) ( )
 
 
 
 
Questão 08: Sob certas condições, uma determinada cultura de bactérias começa com 200 
indivíduos e triplica a cada meia hora. 
 
A partir da afirmativa acima: 
I - Calcule quantas bactérias existem após uma hora e meia. 
II - Escreva uma expressão que permita calcular quantas bactérias existem após t horas. 
 
III - Indique, através de cálculos, o tempo gasto para a população atingir 32400 indivíduos. 
 
Solução: 
 
 I - Após 30 min a população irá triplicar, e passará a ser indivíduos. Depois de mais meia 
hora, novamente irá triplicar e será de indivíduos. Finalmente, ao se 
passarem novamente 30 minutos teremos indivíduos. 
 II - Observe que o tempo deve ser medido em horas. Já sabemos que ( ) , 
onde T é o número de intervalos de 30 minutos. Como a cada hora temos dois intervalos de meia 
hora, devemos ter ( ) , com t medido em horas. 
III - Quando a população for de 32400 indivíduos teremos . 
Logo . Portanto 
 , o que nos permite afirmar (verifique) que 
 
 
 . 
 
 
Questão 09: Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, e estes tomam a forma de 
uma circunferência e de um quadrado. Se é o lado do quadrado, exprima a área total 
englobada pelas duas figuras com uma função de . 
Solução: Como é o lado do quadrado, será seu perímetro e será o comprimento de 
fio disponível para o comprimento da circunferência. 
Logo , em que representa o raio da circunferência. 
 
A área total englobada pelas duas figuras será dada pela soma da área do 
quadrado de lado e a área do círculo de raio . Logo 
 
 
Para atender ao enunciado devemos expressar a área como uma função da variável , por isso, 
vamos usar a relação para obter 
 
 
. Portanto 
 ( ) 
( ) 
 
 
Lembrando que L representa o comprimento total do fio e é uma constante, neste caso. 
 
 
Questão 10: Uma cultura de bactérias tem, originalmente, 500 bactérias. Depois de 9 horas a 
cultura tem 1500 bactérias. Supondo que o crescimento é exponencial, calcule quantas bactérias 
a cultura terá após 6 horas. 
Solução: Vamos denotar por ( ) a população de bactérias em função do tempo. 
Segundo o enunciado o crescimento é exponencial, logo devemos ter 
 ( ) 
 , onde e são constantes positivas. 
Como a população inicial é de 500 bactérias, . Além disso, foi dado que ( ) 
 . Substituindo essas informações na função teremos 
 
Esta equação nos permite encontrar o valor da constante k. 
 
 
 
 
 
Portanto a função para a população de bactérias pode ser reescrita como 
 ( ) 
 
 
Logo, após 6 horas a população será 
 ( )