Derivada - Definições

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IFBA
Ca´lculo 1
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2013
Aula 7
Objetivos
- Obter, por meio de limites, a inclinac¸a˜o da reta tangente a uma curva
num dado ponto pertecente a` curva;
- Obter, por meio de limites, a inclinac¸a˜o da reta normal a uma curva
num dado ponto pertencente a` curva;
- Definir a derivada de uma func¸a˜o em um ponto de seu domı´nio.
0.1 Reta Tangente a Uma Curva
Definic¸a˜o 1. A equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (x0, y0) e (x1, y1) e´ dada por
y − y0 = m(x− x0),
onde m = y1−y0x1−x0 . A m da´-se o nome de coeficiente angular da reta (inclinac¸a˜o da reta).
Observe que m = tg(α) onde α o aˆgulo formado pela reta e o eixo x. Assim,
α = arctg(m).
Exemplo 2. Dados os pontos A(1,−1) e B(2, 1) determine:
i) A inclinac¸a˜o da reta que passa por A e B;
ii) A equac¸a˜o da reta que passa por A e B;
iii) O aˆngulo formado por esta reta e o eixo x.
Soluc¸a˜o: i) m = y1−y0x1−x0 =
1−(−1)
2−1 = 2;
ii) y − y0 = m(x− x0)⇒ y − (−1) = 2(x− 1)⇒ y + 1 = 2x− 2⇒ y = 2x− 3,
iii) α = arctg(2) ≈ 63, 43o.
(1)
Exemplo 3. Consideremos o seguinte problema de encontrar a reta tangente, l, a´ curva y = −0, 4x2 +x+3 que passa
no ponto A(−1, 5; 0, 6).
Soluc¸a˜o: Para resolver este problema podemos estudar como se comportam as retas secantes a` curva y = −0, 4x2+x+3
pelos pares de pontos
P1 = {(−1, 5; 0, 6), (xQ1 , f(xQ1))} , P2 = {(−1, 5; 0, 6), (xQ2 , f(xQ2))} , . . . , Pi = {(−1, 5; 0, 6), (xQi , f(xQi))} ,
de modo que xQi → −1, 5, isto e´, h = −1, 5− xQi → 0.
Para ilustrar, escolhemos as secantes l1, l2 e l3 que passam pelos pontos
P1 = {(−1, 5; 0, 6), (3; 2, 4)} , P2 = {(−1, 5; 0, 6), (2; 3, 4)} e P3 = {(−1, 5; 0, 6), (1; 3, 6)} .
1
li Secante Inclinacao
l1 0, 4x+ 1, 2
2,4−0,6
3−(−1,5) = 0, 4
l2 0, 8x+ 1, 8
3,4−0,6
2−(−1,5) = 0, 8
l3 1, 2x+ 2, 4
3,6−0,6
1−(−1,5) = 1, 2
· · · · · · · · ·
l ????? ?????
(2)
Observe que, a` medida que x→ −1, 5, isto e´, h = −1, 5−xli → 0, temos que as retas secantes comec¸a˜o a se aproximar
da reta tangente l. Assim, a inclinac¸a˜o da reta pode ser obtida pelo ca´lculo do limite:
limh→0
f(−1, 5 + h)− f(−1, 5)
h
.
Pois bem,
limh→0
f(−1, 5 + h)− f(−1, 5)
h
=
limh→0
(−0, 4.(−1, 5 + h)2 + (−1, 5 + h) + 3)− (−0, 4.(−1, 5)2 − 1, 5 + 3)
h
=
limh→0
−0, 4.(2, 25− 3h+ h2)− 1, 5 + h+ 3 + 0, 4.2, 25 + 1, 5− 3
h
=
limh→0
−0, 4.2, 25 + 1, 2h− 0, 4.h2 − 1, 5 + h+ 3 + 0, 4.2, 25 + 1, 5− 3
h
=
limh→0
2, 2h− 0, 4h2
h
= 2, 2.
Logo, a inclinac¸a˜o reta tangente a` curva y = −0, 4x2 + x+ 3 no ponto (−1, 5; 0, 6) e´ dada por m = 2, 2.
Em particular, a equac¸a˜o da reta tangente a esta curva e´
y = 2, 2x+ 3, 9.
Definic¸a˜o 4. A inclinac¸a˜o, m, da reta tangente a` uma curva y = f(x) que passa por um ponto (x0, f(x0) e´ dada por
m = limh→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Exemplo 5. Encontre a reta tangente a` cada curva no ponto indicado:
a) y = 2x+ 1, (1, 3);
b) y = x2 + 2x, (−2, 0);
c) y = 2x , (2, 1);
d) y =
√
x+ 1, (3, 2).
Soluc¸a˜o:
a) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(1 + h)− f(1)
h
= limh→0
(2.(1 + h) + 1)− (2.1 + 1)
h
= limh→0
3 + 2h− 3
h
= limh→0
2h
h
= 2.
2
Logo, a equc¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − 3 = 2(x− 1)⇒ y = 2x+ 1.
b) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(−2 + h)− f(−2)
h
= limh→0
((−2 + h)2 + 2(−2 + h))− ((−2)2 + 2(−2))
h
=
= limh→0
4− 4h+ h2 − 4 + 2h− 0
h
= limh→0
h2 − 2h
h
= limh→0
h− 2
=
− 2.
Logo, a equc¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − 0 = −2(x− (−2))⇒ y = −2x− 4.
c) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(2 + h)− f(2)
h
= limh→0
2
2+h − 22
h
= limh→0
2−2−h
2(2+h)
h
=
limh→0
−h
2(2 + h)
1
h
= limh→0
−1
2(2 + h)
= −1
4
.
Logo, a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − 1 = −1
4
(x− 2).
d) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(3 + h)− f(3)
h
= limh→0
√
3 + h+ 1−√3 + 1
h
= limh→0
√
h+ 4−√4
h
=
limh→0
√
h+ 4− 2
h
= limh→0
√
h+ 4− 2
h
.
√
h+ 4 + 2√
h+ 4 + 2
= limh→0
h+ 4− 4
h(
√
h+ 4 + 2)
=
= limh→0
h
h(
√
h+ 4 + 2)
= limh→0
1√
h+ 4 + 2
=
1√
4 + 2
=
1
2 + 2
=
1
4
.
Logo, a equc¸a˜o da reta tangente e´ dada por
y − y0 = m(x− x0)⇒ y − 2 = 1
4
(x− 3).
Definic¸a˜o 6. Seja r uma reta de inclinac¸a˜o m 6= 0. A reta s normal a r tem inclinc¸a˜o m′ = − 1m .
Assim, podemos calcular a reta normal a uma curva y = f(x) no ponto (x0, y0) calculando a equac¸a˜o da reta
normal a` curva (que e´ tambe´m normal a` reta tangente). Assim, temos a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 7. A equac¸a˜o da reta normal a` curva y = f(x) no ponto (x0, y0) e´ dada por
y − y0 = − 1
m
(x− x0)
onde m e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a´ curva no ponto (x0, y0).
Exemplo 8. Encontre a reta normal a` cada curva no ponto indicado:
a) y = 3x− 1, (1, 2);
b) y = x2 − 4x+ 1, (0, 1);
c) y =
√
x+ 1, (3, 2).
Soluc¸a˜o:
a) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(1 + h)− f(1)
h
= limh→0
(3(1 + h)− 1)− (3.1− 1)
h
limh→0
3h
h
= 3.
3
Assim, a inclinac¸a˜o da reta normal e´ dada por m′ = − 13 .
Logo, a equc¸a˜o da reta normal e´ dada por
y − y0 = − 1
m
(x− x0) = y − 2 = −1
3
(x− 1).
b) Incialmente, encontremos a inclinac¸a˜o da reta tangente
m = limh→0
f(0 + h)− f(0)
h
= limh→0
h2 − 4h+ 1− 1
h
=
limh→0
h2 − 4h
h
= limh→0h− 4 = −4.
Assim, a inclinac¸a˜o da reta normal e´ dada por m′ = − 1−4 = 14 .
Logo, a equc¸a˜o da reta normal e´ dada por
y − y0 = − 1
m
(x− x0) = y − 1 = 1
4
(x− 0)⇒ y = x
4
+ 1.
c) Pelo Exemplo ?? item d), temos que a inclinac¸a˜o m, da reta tangente, e´ dada por m = 14 . Portanto, a equac¸a˜o da
reta normal a` curva y =
√
x+ 1 no ponto (3, 2) e´ dada por
y − y0 = − 1
m
(x− x0) = y − 2 = − 1
1/4
(x− 3)⇒ y − 2 = −4(x− 3)⇒ y = −4x+ 14.
Exemplo 9. Vejamos a representac¸a˜o geome´trica das retas tangente e normal a` curva y =
√
x+ 1 no ponto (3, 2).
(3)
Definic¸a˜o 10. A derivada de uma func¸a˜o f no ponto (a, f(a)), denotada por f ′(a) e´
f ′(a) = limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
,
desde que o limite exista.
Observe que a derivada no ponto (a, f(a)) nada mais e´ que a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (a, f(a)).
Exemplo 11. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es nos pontos indicados.
a) f ′(2), f(x) = x2 + 1;
b) f ′(0), f(x) = sen(x);
Soluc¸a˜o:
a)
f ′(2) = limh→0
f(2 + h)− f(2)
h
= limh→0
(2 + h)2 + 1− (22 + 1)
h
= limh→0
4 + 4h+ h2 + 1− 5
h
=
= limh→0
4h+ h2
h
= limh→04 + h = 4.
b)
f ′(0) = limh→0
sen(0 + h)− sen(0)
h
= limh→0
sen(h)
h
= 1.
4
Exerc´ıcio 1. Dados os pontos A(0, 3) e B(1, 4) determine:
i) A inclinac¸a˜o da reta que passa por A e B;
ii) A equac¸a˜o da reta que passa por A e B;
iii) O aˆngulo formado por esta reta e o eixo x.
Respostas: i) 1, ii) y = x+ 3, iii) 45o
Exerc´ıcio 2. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a cada curva no ponto dado:
a) y = 3
b) y = 3x− 4, (2, 2);
c) y = x2 − 3, (1,−2);
d) y = 1x−1 , (2, 1);
e) y =
√
x2 + 1, (0, 1);
f) y = cos(x), (0, 1).
Respostas: a) 0, b) 3, c) 2, d) −1, e) 0, f) 0
Exerc´ıcio 3. Econtre a equac¸a˜o da reta tangente a cada curva no ponto dado:
a) y = x2 + 3x− 1, (1, 3);
b) y = 1x , (1, 1).
Respostas: a) y = 5x− 2, b) y = −x+ 2
Exerc´ıcio 4. Encontre a equac¸a˜o da reta normal a cada curva no pornto dado:
a) y = 3x+ 5, (1, 8);b) y =
√
x− 3, (7, 2).
Respostas: a) y − 8 = − 13 (x− 1) ou y = − 13x+ 253 , b) y = −4x+ 30.
Exerc´ıcio 5. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es nos pontos dados.
a) f(x) = 5− 2x2, a = 2;
b) f(x) =
√
x, a = 9;
c) f(x) = x2 +
√
x+ 1x , a = 4.
Respostas: a) −8, b) 16 , c) 13116
5