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IFBA Ca´lculo 1 Versa˜o 1 Allan de Sousa Soares Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG Vito´ria da Conquista - BA 2013 Aula 9 Objetivos - Compreender algumas te´cnicas u´teis que auxiliam o ca´lculo de derivadas; - Reconhecer a te´cnica de derivac¸a˜o a ser utilizada em um dado caso. 0.1 Regras e Te´cnicas de Diferenciac¸a˜o Nesta parte veremos um primeiro grupo de regras e te´cnicas de derivac¸a˜o, dentre elas: aregra da poteˆncia, a regra da soma, a regra do produto do quociente, a regra da cadeia e algumas outras. • A Derivada de uma Func¸a˜o Constante: Se c e´ uma constante real, enta˜o d dx (c) = 0. Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = c temos f ′(x) = limh→0 f(x+ h)− f(x) h = limh→0 c− c h = 0. Exemplo 1. Vejamos algumas derivadas de func¸o˜es constantes: a) f(x) = 3⇒ f ′(x) = 0; b) f(x) = √ pi 2 ⇒ f ′(x) = 0. • A Derivada de uma Func¸a˜o Identidade: Se f(x) = x e´ a func¸a˜o identidade, enta˜o d dx (x) = 1. Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = x temos f ′(x) = limh→0 f(x+ h)− f(x) h = limh→0 x+ h− x h = limh→0 h h = 1. • A Derivada da Func¸a˜o Poteˆncia: Se n e´ um nu´mero real qualquer, enta˜o d dx (xn) = nxn−1. Exemplo 2. Vejamos algumas derivadas de func¸o˜es poteˆncias: a) f(x) = x3 ⇒ f ′(x) = 3x2; b) f(x) = 1x2 = x −2 ⇒ f ′(x) = −2x−3 = − 2x3 ; c) f(x) = 3 √ x2 = x2/3 ⇒ f ′(x) = 23x2/3−1 = 23x−1/3 = 23x1/3 = 23 3√x ; d) f(x) = 1√ x = 1 x1/2 = x−1/2 ⇒ f ′(x) = − 12x−1/2−1 = − 12x−3/2 = − 12x3/2 = − 12√x3 ; e) f(x) = x √ x = x.x1/2 = x1+1/2 = x3/2 ⇒ 32x3/2−1 = 32x1/2 = 3 √ x 2 . 1 Agora apresentaremos uma tabela com algumas das derivadas mais utilizadas no ca´lculo. As demonstraremos mais adiante quando necessa´rio. Por hora, utilizaremos esta tabela para uma ilustrac¸a˜o mais rica dos exemplos das regras a seguir: Tabela de Derivadas f(x) f ′(x) c 0 ex ex ax axln|a| ln|x| 1x loga|x| 1xln|a| sen(x) cos(x) cos(x) −sen(x) tg(x) sec2(x) cotg(x) −cosec2(x) sec(x) sec(x)tg(x) cosec(x) −cosec(x)cotg(c) arcsen(x) 1√ 1−x2 arccos(x) − 1√ 1−x2 arctg(x) 11+x2 senh(x) cosh(x) cosh(x) senh(x) tgh(x) sech2(x) 2 • Regra do Mu´ltiplo Constante: Se c for uma constante e f uma func¸a˜o deriva´vel, enta˜o d dx (cf(x)) = c d dx (f(x)). Demonstrac¸a˜o. Se f(x) = c temos d dx (cf(x)) = limh→0 cf(x+ h)− cf(x) h = limh→0 c(f(x+ h)− f(x)) h = c.limh→0 f(x+ h)− f(x) h = c d dx (f(x)). Exemplo 3. Vejamos algumas derivadas: a) f(x) = 4x3 ⇒ f ′(x) = 4.3x2 = 12x2; b) f(x) = −7cos(x)⇒ f ′(x) = −7(−sen(x)) = 7sen(x); • Regra da Soma: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o d dx (f(x) + g(x)) = d dx (f(x)) + d dx (g(x)). Demonstrac¸a˜o. Se F (x) = f(x) + g(x) temos F ′(x) = limh→0 F (x+ h)− F (x) h = limh→0 (f(x+ h) + g(x+ h))− (f(x) + g(x)) h = limh→0 f(x+ h)− f(x) h + limh→0 g(x+ h)− g(x) h = d dx (f(x)) + d dx (g(x)). Exemplo 4. Vejamos algumas derivadas: a) f(x) = x2 + sen(x)⇒ f ′(x) = 2x+ cos(x); b) f(x) = ln|x|+ arcsen(x)⇒ f ′(x) = 1x + 1√1−x2 . • Regra da Diferenc¸a: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o d dx (f(x)− g(x)) = d dx (f(x))− d dx (g(x)). Exemplo 5. Vejamos um exemplo: a) f(x) = tg(x)− log2(x)⇒ f ′(x) = sec2(x)− 1xln|2| • Regra do Produto: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o d dx (f(x).g(x)) = f(x) d dx (g(x)) + g(x) d dx (f(x)). Demonstrac¸a˜o. Se F (x) = f(x).g(x) temos F ′(x) = limh→0 F (x+ h)− F (x) h = limh→0 f(x+ h).g(x+ h)− f(x).g(x) h = = limh→0 f(x+ h).g(x+ h)− f(x+ h)g(x) + f(x+ h)g(x)− f(x).g(x) h = = limh→0 f(x+ h)(g(x+ h)− g(x)) h + limh→0 g(x)(f(x+ h)− f(x)) h = = f(x) d dx (g(x)) + g(x) d dx (f(x)). 3 Exemplo 6. Vejamos algumas derivadas empregando a regra do produto: a) y = xex i) f(x) = x⇒ f ′(x) = 1 ii) g(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex y′ = xex + ex.1 = xex + ex. b) y = √ x(1− x) i) f(x) = √ x = x1/2 ⇒ 12x1/2−1 = 12x−1/2 = 12√x ii) g(x) = 1− x⇒ g′(x) = −1 y′ = x1/2(−1) + (1− x) 1 2 √ x = −√x+ 1− x 2 √ x = −2√x2 + 1− x 2 √ x = 1− 3x 2 √ x . • Regra do Quociente: Se f e g forem func¸o˜es diferencia´veis, enta˜o d dx ( f(x) g(x) ) = g(x) ddx (f(x))− f(x) ddx (g(x)) (g(x))2 . Exemplo 7. Vejamos algumas derivadas empregando a regra do quociente: a) y = sen(x)x3+x−1 i) f(x) = sen(x)⇒ f ′(x) = cos(x) ii) g(x) = x3 + x− 1⇒ g′(x) = 3x2 + 1 y′ = (x3 + x− 1)cos(x)− sen(x)(3x2 + 1) (x3 + x− 1)2 . b) y = e x.ln|x| 3x+1 i) f(x) = exln|x| ⇒ f ′(x) = ex 1x + ln|x|ex = ex ( 1 x + ln|x| ) ii) g(x) = 3x+ 1⇒ g′(x) = 3 y′ = (3x+ 1)ex ( 1 x + ln|x| )− 3exln|x| (3x+ 1)2 . Exemplo 8. Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es: a) y = 4sen(x) + x3; b) y = 2ln|x| − 3.4x; c) y = √ x− 24√ x3 + 3x3 ; d) y = (2− x2)(√x− tg(x)); e) y = sen(x)cos(x)−1 ; f) y = sen(x)(x 2+ex) cos(x)−x2 ; g) y = sen(x)cos(x)ex; Soluc¸a˜o: a) y′ = 4cos(x) + 3x2 b) y′ = 2 1x − 34xln|4| = 2x − 3ln|4|4x c) Separemos em partes: i) f(x) = √ x = x1/2 ⇒ f ′(x) = 12x1/2−1 = 12x−1/2 = 12√x ii) g(x) = 24√ x3 x = 2x−3/4 ⇒ g′(x) = − 64x−3/4−1 = − 64x−7/4 = − 64 4√x7 iii) h(x) = 3x3 = 3x −3 ⇒ h′(x) = −9x−4 = − 9x4 y′ = 1 2 √ x + 6 4 4 √ x7 − 9 x4 4 d) y′ = (2− x2) ( 1 2 √ x − sec2(x) ) + ( √ x− tg(x)).(−2x) e) y′ = (cos(x)−1)cos(x)−sen(x).(−sen(x))(cos(x)−1)2 = cos2(x)−cos(x)+sen2(x) (cos(x)−1)2 = 1−cos(x) (cos(x)−1)2 = − cos(x)−1(cos(x)−1)2 = − 1cos(x)−1 f) Separemos em partes: i) f(x) = sen(x)(x2 + ex)⇒ f ′(x) = sen(x)(2x+ ex) + cos(x)(x2 + ex) ii) g(x) = cos(x)− x2 ⇒ g′(x) = −sen(x)− 2x y′ = (cos(x)− x2)(sen(x)(2x+ ex) + cos(x)(x2 + ex))− sen(x)(x2 + ex)(−sen(x)− 2x) (cos(x)− x2)2 g) Separemos em partes: i) f(x) = sen(x)cos(x)⇒ f ′(x) = sen(x)(−sen(x)) + cos(x)cos(x) = cos2(x)− sen2(x) ii) g(x) = ex ⇒ g′(x) = ex y′ = sen(x)cos(x)ex + ex(cos2(x)− sen2(x)) Exerc´ıcio 1. Calcule as seguintes derivadas: a) y = 35 + 132 b) y = √ xtg(x) c) y = 5 √ x2 − 1√ x d) y = x2 3 √ x2 e) y = arctg(x)sen(x)2x f) y = 2 x(sen(x)+x2) cos(x) Respostas: a) 0, b) tg(x) 2 √ x + √ xsec2(x) ou tg(x)+2xsec 2(x) 2 √ x , c) 2 5 5√ x3 + 1 2 √ x3 , d) 8 3√ x5 3 , e) sen(x)2 x 1+x2 + arctg(x)cos(x)2 x + arctg(x)sen(x)2xln|2|, f) cos(x)(2 xln|2|(sen(x)+x2)+2x(cos(x)+2x))+2x(sen(x)+x2)sen(x) cos2(x) 5
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