Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 4
A´REA 2
1o Semestre de 2014
Prof. Francisco Brito(Turmas – Q2 e Q6 )
Departamento de Matema´tica, sala A248
Telefone: 2126 -7663
Enderec¸o eletroˆnico: brito@dmat.ufpe.br
LISTA DE EXERC´ICIOS CORRESPONDENDO A` TERCEIRA UNIDADE
Os problemas que seguem foram propostos em exerc´ıcios escolares em per´ıodos anteriores. Para
localizar no tempo, a prova que originou um problema dado, cada um deles tera´ uma sigla do tipo (n-
pq,uv), onde n e´ 1 ou 2 para indicar o semestre, pq, e´ o ano e uv pode assumir os valores, pe (primeiro
exerc´ıcio), sc (segunda chamada) ou pf (prova final). Como a`s vezes acontece de um professor fazer
modificac¸o˜es em uma questa˜o de um exerc´ıcio escolar no momento de aplica´-lo, e eu na˜o tive acesso a
nenhuma dessas mudanc¸as, pode ser que alguns desses problemas na˜o correspondam exatamente ao que
foi proposto nas avaliac¸o˜es.
1- (1991-2) Considere o problema
ut = α
2uxx , 0 < x < l, t > 0
u(0, t) = 0
ux(l, t) + γu(l, t) = 0
onde α, γ e l sa˜o constantes. Se u(x, t) = X(x)T (t) e´ soluc¸a˜o desse problema, encontre as equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias e condic¸o˜es de contorno que as func¸o˜es X e T satisfazem.
2- (1991-2) Usando o fato de que a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial parcial utt = a
2uxx e´ da forma
u(x, t) = φ(x+ at) + φ(x− at), resolva o problema de valor inicial
utt = a
2uxx
u(x, 0) = e−x2 ,−∞ < x < +∞
ut(x, 0) = 0
3- (1989-2) Dada a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, f(x) = cosαx, x ∈ [−pi, pi], α ∈ (0, 1) constante,
use a se´rie de Fourier da mesma para mostrar que
cot(αpi) =
1
pi
(
1
α
−
∞∑
n=1
2α
n2 − α2
)
.
4- (1989-2) Determine a soluc¸a˜o do problema
uxx = ut
u(0, t) = u(1, t) = 0
u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ 1/2
1− x, 1/2 ≤ x ≤ 1
1
5- (1989-2) Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para calcular u(x, t), 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0, se
utt = uxx
u(0, t) = 0, ux(l, t) = 0, ut(x, 0) = 0
u(x, 0) = sen(pix2l )
6- (1995-2) Resolva o problema de contorno
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(x, 0) = 1, 0 < x < 1
u(0, t) = 1, u(1, t) = 2, t > 0
7- (1995-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial e de contorno:
uxx = utt, 0 < x < pi, t > 0,
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t ≥ 0,
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi,
u(x, 0) = |x− pi2 | − pi2 , 0 ≤ x ≤ pi.
8- (1991-1) Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2 que no intervalo [0, 1] e´ definida por
f(x) =
{ −x, se − 1 ≤ x ≤ 0
x, se 0 ≤ x ≤ 1.
a) Calcule a se´rie de Fourier de f .
b) Calcule os valores da se´rie acima nos pontos x = 0, e x = 2.
c) Use o item (b) para mostrar que
pi2
8
= 1 +
1
32
+
1
52
+ · · ·
9- (1995-1) Considere uma barra de comprimento ` com uma distribuic¸a˜o inicial de temperaturas
dada por f(x) = − cos
(
pi(2x+`)
2`
)
, 0 ≤ x ≤ `, e com as extremidades te´rmicamente isoladas.
a) Determine a distribuic¸a˜o de temperaturas u(x, t) da barra em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
10- (1995-1) Use separac¸a˜o de varia´veis para resolver o seguinte problema de calor para t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ pi:
ut = 7uxx
ux(0, t)− 2u(0, t) = 0
ux(pi, t)− u(pi, t) = 0
u(x, 0) = sen(x),
encontrando as EDO’s associadas bem como suas condic¸o˜es de fronteira.
11- (1995-1) Considere o problema de valor inicial e de contorno
utt = 4uxx
u(0, t) = 0 = u(2, t) = 0
u(x, 0) = 0
ut(x, 0) = 1, 0 < x < 2.
a) Mostre que un(x, t) = sen
npix
2 sen(npit), n = 1, 2, . . . , e´ soluc¸a˜o da EDP e satisfaz a todas as
condic¸o˜es do problema com excec¸a˜o da u´ltima.
b) Use un(x, t), n ≥ 1 para encontrar uma soluc¸a˜o para o problema dado.
12- (1995-1) Dados a func¸a˜o f(x) = 1− x, 0 ≤ x ≤ 1, ı´mpar, e perio´dica de per´ıodo 2, e que a sua se´rie
de Fourier e´
∞∑
n=1
2
npi
sen(npix),
determine:
2
a) Os pontos x onde a se´rie acima converge, bem como o valor da soma da mesma nestes pontos.
b) O valor de
∞∑
n=1
1
n2
a partir da se´rie dada.
13- (1995-2)
a) (1,5 pt) Seja f : R→ R a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que f(x) = |x| para −1 ≤ x ≤ 1. Determine
a se´rie de Fourier de f .
b) (1,0 pt) Seja g : R→ R a func¸a˜o de per´ıodo 2, tal que g(x) = −1 para −1 < x ≤ 0, e g(x) = 1
para 0 < x ≤ 1. Determine a se´rie de Fourier de g. Esta se´rie converge para g(x), para todo
x ∈ R ?
Sugesta˜o para o item(b): que relac¸a˜o existe entre f e g ?
14- ( 1995-2)
a) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor:
uxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
ux(0, t) = ux(1, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = x, 0 < x < 1
b) Calcule lim
x→∞u(x, t), onde u(x, t) e´ a soluc¸a˜o do item (a).
15- ( 1995-2) (a) Verifique que u(x, t) = 12 [f(x− at) + f(x+ at)] + 12a
∫ x+at
x−at
g(s)ds e´ soluc¸a˜o de:

a2uxx = utt, −∞ < x, t < +∞
u(x, 0) = f(x), −∞ < x < +∞
ut(x, 0) = g(x), −∞ < x < +∞
b) Resolva o problema: 
uxx = utt, 0 < x < 1, 0 < t
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) = sen(2pix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
16- ( 1995-2) Seja u(x, t) a soluc¸a˜o de:
uxx = utt, 0 < x < 1, −∞ < t < +∞
u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 ≤ t
u(x, 0) =
∞∑
1
knsen(npix), 0 ≤ x ≤ 1
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1
a) Mostre que E(t) =
∫ 1
0
(u2t (x, t) + u
2
x(x, t))dx e´ constante
b) Use a identidade de Parseval para concluir que E(t) ≡ pi22
∞∑
1
n2k2n
17- (1995-2) Considere uma barra meta´lica de comprimento 1 que esta´ te´rmicamente isolada tanto
nas laterais quanto nas extremidades. Supondo que para o material da barra, α2 = 1, e, que a
distribuic¸a˜o inicial de temperaturas na barra e´ dada por u(x, 0) = x, 0 < x < 1, determine:
a) A distribuic¸a˜o de temperaturas na barra, u(x, t) em um instante t > 0 qualquer.
b) Qual e´ a temperatura de equil´ıbrio da barra?
18- (1998-2) Considere a func¸a˜o perio´dica f , de per´ıodo 2pi definida por
f(x) = |x|, −pi ≤ x ≤ pi.
3
(a) (1, 0 pts) Verifique(com detalhes) que a expansa˜o em se´rie de Fourier de f e´
pi
2
− 4
pi
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 cos(2k − 1)x.
(b) (1, 0 pts) Use o item (a) para mostrar que
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2 =
pi2
8
.
(c) (1, 0 pts) Use (a) e a igualdade de Parseval para calcular a soma da se´rie
∞∑
k=1
1
(2k − 1)4 .
19- (1998-2) Seja f a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi definida por:
f(x) =
{
0, −pi ≤ x < 0,
senx, 0 ≤ x < pi.
(a) (1, 0 pts) Calcule a expansa˜o em se´rie de Fourier de f .
(b) (1, 0 pts) Se a expansa˜o se escreve como
a0
2
+
∞∑
n=1
ancosnx+ bnsennx, calcule o valor de
∞∑
n=1
an.
(c) (1, 0 pts) Como em (b), calcule
∞∑
n=1
(a2n + b
2
n).
20- (2012-2,f)Considere a func¸a˜o f : [0, 4] −→ R, definida por,
f(x) =
{
x, 0 < x < 2
4− x, 2 < x < 4.
(a) Encontre a expansa˜o em se´rie de Fourier de senos da func¸a˜o f . (2,0 pt)
(b) Resolva o problema : (1,0 pt)
uxx = utt, 0 < x < 4, t > 0
u(0, t) = 0, u(4, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 4
ut(x, 0) = 0, x > 0
21- (2012-2,sc) Considere a func¸a˜o f(x) = x2, 0 ≤ x < pi.
(a) Encontre a expansa˜o em se´rie de Fourier de senos da func¸a˜o f . (2,0 pt)
(b) Identifique os pontos em que a extensa˜o perio´dica ı´mpar de f coincide com o valor da se´rie
obtida em (a). (1,0 pt)
(b) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor: (2,0 pt)
4uxx = ut, 0 ≤ x ≤ pi,
u(0, t) = 0, u(pi, t) = 100, t > 0,
u(x, 0) = x2 + 100xpi , 0 ≤ x ≤ pi.
22- (2010-1,3) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2pi, que no intervalo [−pi, pi] e´ dada
por f(x) = x2/4.
(a) Encontre a se´rie de Fourier da func¸a˜o f ; (2,0 pt.)
(b) Esboce o gra´fico da se´rie de Fourier da func¸a˜o f , no intervalo [−pi, 3pi]; (1,0 pt.)
(c) Use (a), e o teorema de Fourier para calcular
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
. (1,0 pt.)
23- (2010-1,3) Use o me´todo de separac¸a˜o de varia´veispara resolver o problema: (3,0 pts)
tuxx = ut, 0 < x < 1, t > 0
u(0, t) = u(1, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = sen(3pix), 0 ≤ x ≤ 1.
4
24- (2010-1,3) Encontre as soluc¸o˜es fundamentais(auto-func¸o˜es) para o seguinte problema: (3,0 pts)
uxx = utt, 0 ≤ x ≤ pi/2, t > 0
ux(0, t) = u(
pi
2 , t) = 0, t > 0
ut(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ pi/2.
25- (2010-1,f) Dada a func¸a˜o f : (0, pi) −→ R, definida por, f(x) = 10,
(a) Encontre a se´rie de Fourier da expansa˜o ı´mpar e perio´dica de per´ıodo 2pi de f . (2,0 pt.)
(b) Resolva o problema de conduc¸a˜o de calor:
100uxx = ut, 0 < x < pi, t > 0
u(0, t) = u(pi, t) = 0, t > 0
u(x, 0) = 10, 0 < x < pi.
(2,0 pt.)
26- (2009-1,3) Considere a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 4, que no intervalo (−2, 2] e´ dada por
f(x) =

x+ 1 , se −2 < x ≤ −1,
1− x2 , se −1 ≤ x ≤ 1,
x− 1 , se 1 < x ≤ 2.
a) Esboce o gra´fico de f no intervalo [−3, 5).
(1,0 pt)
b) Se S(x) denota o valor da se´rie de Fourier de f em x, esboce o gra´fico de S no intervalo [−3, 5).
(1,0 pt)
c) Calcule o coeficiente a0 da expansa˜o em se´rie de Fourier da func¸a˜o f .
(1,0 pt)
d) Usando a notac¸a˜o habitual para os coeficientes de Fourier de uma func¸a˜o, calcule a soma da
se´rie
∞∑
n=1
an.
(1,0 pt)
Observe que na˜o e´ necessa´rio calcular os an para poder calcular a soma acima.
27- (2009-1,3) Seja v(x, t) soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial
a vxx − b vt + c v = 0 , (1)
com a, b, c, constantes positivas. Considere a nova func¸a˜o u(x, t) tal que
v(x, t) = eδ t u(x, t) ,
onde δ e´ uma constante na˜o-nula.
a) Encontre a equac¸a˜o diferencial satisfeita por u. (1,0 pt)
b) Mostre que e´ poss´ıvel escolher δ tal que a equac¸a˜o para u e´ a equac¸a˜o do calor. Dessa forma,
resolver a equac¸a˜o (1) reduz-se a resolver a equac¸a˜o do calor. (1,0 pt)
c) Use o me´todo descrito acima para resolver o problema
vxx − vt + v = 0, 0 < x < 1, t > 0
v(0, t) = 0,
v(1, t) = 0,
v(x, 0) = 1.
(1,0 pt)
28- (2009-1,3) Encontre func¸o˜es φ e ψ tais que
u(x, t) = φ(x+ t) + ψ(x− t)
seja soluc¸a˜o do problema
utt = uxx, −∞ < x <∞,
u(x, 0) = x,
ut(x, 0) = 1.
Escreva explicitamente a soluc¸a˜o encontrada. (3,0 pt)
5