Lista de exercícios 2

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Lista 2 – Resumo de Equações de Primeira Ordem 
 
 Parte integral da solução dos problemas em equações diferenciais consiste em identificar o tipo de equação 
diferencial que se apresenta ao aluno, para desta forma sabermos qual algoritmo de resolução aplicar. 
 
1-Equação Diferencial Linear de 1ª Ordem 
 
 
 
 
 
 
Algoritmo: 
a) Integre ; 
b) Ache a exponencial da primitiva de encontrada em b, este é o nosso fator integrante ; 
c) Multiplique toda a equação diferencial por ; 
d) Pela definição de fator integrante, 
e) Integre dos dois lados; 
f) Isole y, atente para o aparecimento de uma constante arbitrária em f; 
 
Simbolicamente: 
 
a) 
b) 
 
 
 
c) 
d) 
 
 
 
 
Observação: A equação de Bernoulli é, em última análise, uma equação deste tipo, uma vez aplicada mudança de 
variável o que nos leva a e a uma equação linear em u(x). Sempre lembrar que uma 
vez encontrada u(x), nós devemos devolver a variável original y, para tal, basta lembrarmos-nos da substituição 
 . 
 
2-Equação Separável 
 
 
 
 
Algoritmo: 
a) Isole de um lado todos os termos em x, e do outro todos os termos em y; 
b) Integre cada lado com respeito a sua variável isolada, não esqueça de um lado adicionar uma constante 
arbitrária C; 
c) Manipule algebricamente a expressão para uma forma que mais lhe convenha; 
Simbolicamente: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) Arranje os termos como preferir; 
Observação: A equação homogênea é, também em última análise, uma equação separável, uma vez 
aplicado mudança de variável 
 
 , pois isto sempre vai nos levar a uma equação separável em termos de u e de 
x. Novamente, uma vez encontrada u(x), retornar a expressão em y. 
Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3-Equação Exata 
 
 
 
 
 
 
 
Algoritmo: 
a) Verifique se é verdadeiro , e ipso facto, a equação é realmente do tipo exata. 
b) Se o fato verificado anteriormente é verdadeiro, é porque existe uma função tal que é verdadeiro 
 . 
c) Usando seus conhecimentos de cálculo III, procure , que é essencialmente o mesmo problema de achar 
uma função potencial no . 
Simbolicamente: 
a) Uma vez que integramos apenas com respeito a x, a constante que aparece 
pode ser muito bem uma função exclusivamente de y; 
b) 
 
 
 ; Desta forma achamos e com isto nossa função potencial; 
c) Arranje como preferir. 
Caso Especial: Quando uma equação da forma não for exata, é possível achar uma 
fator integrante para ela de modo simples de forma a torná-la uma equação exata. O procedimento consiste em 
assumir que exista um fator integrante que é exclusivamente função de x ou exclusivamente função de y e 
partindo deste pressuposto desenvolver uma equação diferencial auxiliar que nos leve a e com isto tornemos a 
equação inicial exata. 
Simbolicamente, temos dois jeitos de encontrar : 
Testando se nos serve: 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verifique se 
 
 
 é mesmo só função de x; 
c) 
 
 
 
d) Multiplique por . A equação se tornará exata; 
Testando se nos serve: 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Verifique se 
 
 
 é mesmo só função de y; 
c) 
 
 
 
d) Multiplique por . A equação se tornará exata; 
Observações: 
a) As hipóteses ou podem ser testadas em qualquer ordem, naturalmente; 
b) Se uma hipótese é verdadeira, já se encontrou um fator integrante, então não faz sentido testar a outra 
hipótese; 
c) Não se esqueça de resolver ; 
Observações Gerais: Os alunos devem notar que todas as equações estudadas até o momento se resumem em 3 
grupos de equações, mesmo as equações estudadas que, a priori, não parecem pertencer a estes grupos, sob uma 
substituição adequada cairão nos 3 casos resumidos nesta ficha.