Função Exponencial

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PMI - Projeto Matemática Interativa 
Função exponencial 
 
0 – Introdução: 
 Vamos estudar um tipo de função que tem aplicações em vários 
processos de modelagem matemática, especialmente naqueles que descrevem 
estudos de demografias para prever o tamanho de populações, nas finanças 
para calcular o valor de investimentos, na arqueologia para datar artefatos 
antigos, na Psicologia para estudar padrões de aprendizado e na indústria para 
estimar a confiabilidade de produtos. 
 Esses modelos usam propriedades e conhecimentos estudados nas 
funções exponenciais básicas. Para isso é preciso saber usar a notação 
exponencial e conhecer as operações algébricas que envolvem tais funções. 
1 – Recapitulando: 
1.1 – Definição: 
 
1.1.1) Se b > 0 e n é um número inteiro positivo então . 
 n fatores 
 
1.1.2) Se b > 0 e m e n são números inteiros positivos, 
, onde é a raiz n-ésima de b. 
 
1.1.3) 
 
1.1.4) b0 = 1 
 
 
 
 
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1.2 – Exemplos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2 – Função exponencial: 
 
2.1 – Definição 
Se b é um número real positivo e diferente de 1 ( , chama-se 
função exponencial de base b, a função que associa a cada número real x o 
número . 
 Para termos uma ideia do aspecto da curva de uma função exponencial, 
vamos considerar os exemplos a seguir. 
 
2.2 – Exemplos: 
a) 
x ... -2 -1 - 1
2
 0 1
2
 1 2 3 ... 
f(x) = 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
y 
O
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Obs: 
1 – A função é sempre crescente. 
2 – Quando x tende a então tende a 0. 
3 – Quando x tende a então tende a . 
 
b) 
x ... -2 -1 - 1
2
 0 1
2
 1 2 3 ... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs: 
1 – A função é sempre decrescente. 
2 – Quando x tende a então tende a . 
3 – Quando x tende a então tende a 0. 
 
 
x 
y
O 
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3 – Resumindo: 
 0 < b < 1 b > 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0 < b <1 
1 – A função é sempre decrescente. Em 
linguagem simbólica: 
 
 
2 – Quando x tende a então 
tende a . 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
 
3 – Quando x tende a então 
tende a 0. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
Se b > 1 
1 – A função é sempre crescente. Em 
linguagem simbólica: 
 
 
2 – Quando x tende a então tende 
a 0. 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
 
3 - Quando x tende a então tende 
a . 
Este fato pode ser descrito em 
linguagem estritamente simbólica da 
seguinte maneira: 
Propriedades comuns às duas funções exponenciais 
1 – O conjunto-imagem é , isto significa dizer que . 
2 – Os gráficos das duas curvas têm por assíntota a reta y = 0. 
3 – Os gráficos das duas curvas passam pelo ponto (0,1). 
4 – Os gráficos das duas curvas passam pelo ponto (1, b). 
x 
y 
O x 
y 
O
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4 – Exercícios: 
∗4.1 – Esboçando os gráficos das curvas dadas por suas equações, podemos 
associar cada esboço uma das figuras 3 ou 4 do resumo feito no item 3. Assim 
associe cada equação abaixo à figura correspondente. 
∗a) ∗b) ∗c) ∗d) 
e) f) g) h) 
 4.2 – Esboce os gráficos das curvas dadas por suas equações em cada caso 
abaixo: 
a) ∗b) h c) 
∗d) e) 
4.3 – Estude os limites no infinito de cada função traçada na questão anterior. 
4.4 – Escreva a equação da assíntota de cada função exponencial esboçada na 
questão 4.2. 
∗4.5 – Use <, > ou = corretamente para completar as sentenças. 
a) b) 
c) d) 
4.6 – Calcule o valor mais simples da expressão . 
4.7 – Calcule o valor mais simples de . 
4.8 – Encontre o valor real de x tal que 
 
 
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∗4.9 – Resolva em IR. 
a) ∗b) ∗c) ∗d) 
e) f) ∗g) ∗h) 
i) j) ∗k) ∗l) 
∗4.10 – Se então determine todos os valores reais de x para os 
quais 
∗4.11 – Um empresário estima que, quando x unidades de certo produto são 
fabricados, podem ser todas vendidas se o preço for p reais, onde p é dado pela 
função demanda . Qual é a receita obtida quando 100 unidades 
do produto são fabricadas? 
∗4.12 – De acordo com os biólogos, o número de bactérias em certa cultura 
pode ser modelado pela função 
 
onde t é o tempo em minutos após o início da observação. Calcule: 
a) A população de bactérias após uma hora do início da observação. 
b) Calcule o número de bactérias após duas horas do início da observação. 
c) Calcule a variação média do número de bactérias durante a segunda hora 
de observação.