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F�sica Aplicada - Aula 00 a 04 + Extra/Aula 00.pdf
Aula 00
Física Aplicada p/ PRF - Policial - 2014/2015 (Com videoaulas)
Professor: Vinicius Silva
Física Aplicada à Perícia de Acidentes
Rodoviários - PRF/2014/2015
Teoria e exercícios comentados
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AULA 00: Apresentação e conceitos iniciais de
Cinemática.
SUMÁRIO PÁGINA
1. Apresentação 2
2. O curso 3
2.1. Metodologias/Estratégias 3
3. A Física em concursos. Por que estudar? 5
4. Cronograma do Curso. 7
5. Estilo das Questões de Física em Concursos 8
6. Estrutura das aulas 9
7. Bibliografia 10
8. A divisão da Física e a Mecânica 12
9. Conceitos iniciais de Cinemática 13
9.1 Referencial 13
9.2 Tempo 14
9.3 Móvel 17
9.3.1 Ponto material 17
9.3.2 Corpo Extenso 18
9.4 Posição, Variação da posição e Espaço percorrido 18
9.5 Movimento e Repouso 20
9.6 Trajetória 21
10. Velocidade escalar média 23
10.1 Diferença entre velocidade média e velocidade
instantânea
24
10.2 Unidades de velocidade 26
11. Questões sem comentários. 28
12. Questões Comentadas 37
13. Gabarito 68
14. Fórmulas utilizadas nas questões 68
Antes de qualquer coisa assista aos vídeos abaixo:
https://www.youtube.com/watch?v=KocrqrRGY0U
https://www.facebook.com/photo.php?v=505997426194137&set=vb.302
014439925771&type=2&theater
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1. Apresentação
Olá caro concurseiro e futuro POLICIAL RODOVIÁRIO FEDERAL!
Esse último nome soa muito bem para você e para nós que fazemos o
Estratégia Concursos!
É com enorme prazer e satisfação que lanço a edição 2014/2015 do meu
curso de Física Aplicada a Perícia de Acidentes Rodoviários para a PRF.
Ano passado tivemos a primeira edição desse curso e foi realmente um
sucesso entre aqueles que compraram o nosso material, não só em Física,
como também em todas as disciplinas.
A título de resultado tivemos o prazer de ter como nosso aluno o 1° lugar
nacional do concurso de 2013, o nosso prezado Matheus, que nos
concedeu uma entrevista exclusiva, contando como foi a sua caminhada
até o alcance da tão sonhada vaga na PRF. Confira essa entrevista e veja
como não é tão difícil como se imagina alcançar um resultado desse
porte.
Meu nome é Vinícius Silva, sou professor de Física. Tenho certeza de que
faremos uma boa parceria rumo ao seu principal objetivo que é a
aprovação no concurso da Polícia Rodoviária Federal.
Deixe que me apresente para você. Sou Natural de São Paulo, mas muito
novo (em 1991) mudei-me para o Fortaleza, capital do meu Ceará, onde
vivi praticamente a maioria da minha vida estudantil, até me tornar um
concurseiro e aí você já sabe como fica a vida de uma pessoa que abraça
o serviço público.
Em 2006 Fiz meu primeiro concurso, para o cargo de Controlador de
Trafego Aéreo Civil da Aeronáutica (DECEA), após lograr êxito no
certame, mudei-me para São José dos Campos - São Paulo, local em que
fiz o curso de formação para o exercício do cargo.
Já em 2008, nomeado para o cargo acima, mudei-me para a cidade de
Recife, e por lá fiquei durante aproximadamente um ano até, no final de
2008, ser nomeado como Técnico Judiciário na Justiça Federal do
Ceará.
Atualmente sou lotado na Subseção de Juazeiro do Norte, interior do
Ceará e aqui estou a quatro anos desempenhando minhas atividades.
Na área da Física, matéria que passarei, a partir desta e nas próximas
aulas, a desvendar e tornar seu entendimento muito mais simples do que
você pensa, minha experiência já vem desde 2006 quando iniciei no
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magistério como professor substituto e monitor em colégios e cursinhos
de Fortaleza.
Hoje, ministro aulas de Física para as mais diversas carreiras, desde a
preparação para vestibulares em geral até a preparação para concursos
mais difíceis da carreira militar como IME e ITA, passando ainda pelas
turmas de Medicina, Direito e Engenharia.
Para concursos, já ministrei cursos escritos para área policial tendo alunos
aprovados em concurso de grande porte como o da PF-2012; PRF-2013 e
PCSP.
Atualmente, escrevo um livro voltado para o público IME e ITA sobre um
assunto que não vai cair na sua prova da PRF, mas que com certeza é um
tema muito fascinante no mundo da Física, a Óptica Ondulatória. Além
disso, desenvolvo outros trabalhos voltados para o público IME ± ITA e
também para o planejamento e organização de estudos voltados para
concursos (coaching para concursos).
Bom, agora que eu já falei sobre minha experiência em concursos e
também com a matéria que irei ministrar aulas para você, vamos passar
à apresentação do nosso curso de Física para a PRF 2014/2015.
2. O curso
O Curso de Física para PRF terá como objetivo principal levá-lo à nota
máxima, contribuindo para que você consiga a sua aprovação nesse
importante concurso que se avizinha.
Foram solicitadas 1.500 vagas junto ao MPOG para o próximo concurso da
PRF que, provavelmente ocorrerá no início de 2015, no máximo. Pode ser
que esse certame até ocorra antes dessa data, por conta da demanda na
PRF que é gigantesca.
Enfim, quando se pede autorização para um concurso desse nível com
essa quantidade de vagas e com o salário que oferece, não podemos ficar
parados esperando o nosso bom e velho edital, temos que correr atrás
dos estudos desde já.
Para atingirmos nosso objetivo principal, vamos usar algumas estratégias
que visam a tornar seu esforço menor e seu aprendizado maior face à
dificuldade natural que todos têm na minha matéria.
2.1 Metodologia/Estratégias
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O curso será teórico com questões comentadas ao final de cada aula,
tornando-se assim um curso completo, com teoria e exercícios
adequados para o fim a que se propõe.
Utilizarei algumas ferramentas na teoria como figuras, bate papo com
um colega muito curioso que vocês logo irão conhecer, aplicações
práticas da teoria e, é claro, muitas e muitas questões resolvidas de
bancas de concursos, e outras criadas por min também, o objetivo desse
curso é preparar você para qualquer banca examinadora.
As questões utilizadas por min serão em sua maioria oriundas de provas
anteriores do CESPE/UNB, uma vez que é a provável banca escolhida
para realizar os concursos da área policial da PRF. Vamos tomar como
base o edital de 2013, uma vez que ele tende a ser pouco modificado,
acredito eu que em Física não sofrerá nenhuma modificação.
No entanto, a Física encontra dificuldades no que diz respeito à
quantidade de questões, pois assim como outras matérias, como por
exemplo, Segurança e Medicina do Trabalho, temos poucas questões de
cada banca.
Para sanar esse problema, vamos utilizar questões de outras bancas,
sobre o mesmo assunto que estiver sendo tratado, além de algumas
questões elaboradas por min e ainda vamos fazer uso de algumas
questões de vestibulares da UNB e outros grandes vestibulares
tradicionais.
Olha aí pessoal o colega de que falei anteriormente, que, de vez em
quando, bate um papo conosco em nossas aulas, com suas perguntas
sempre muito pertinentes.
O nome dele é Aderbal, e ele sempre faz perguntas muito boas; há
aproximadamente 4 anos ele estuda Física comigo e tem aprendido
bastante, entretanto suas perguntas nunca acabam (rsrsrsrsrs).
O Aderbal perguntou se essa mescla de questões não iria desnaturar o
nosso curso voltado para concursos e principalmente para a banca do
Professor, mas essas outras questões
não vão fugir do foco na banca
CESPE?
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CESPE, uma vez que traremos para as aulas questões de outras bancas,
outras elaboradas por min e até questões de vestibulares.
Na verdade, não haverá problema algum em utilizarmos questões dessas
outras fontes; primeiro, porque ainda não temos a definição da banca,
apenas a grande probabilidade de termos o CESPE como organizador;
segundo, porque é preciso fazer é uma seleção daquelas que podem cair
em um concurso da PRF, e esse trabalho caberá a min, que, em tese,
devo ser um profundo conhecedor da maneira de se fazer provas de Física
para concursos.
Portanto, fique tranquilo, pois as questões trazidas para o nosso curso
VHUmR�TXHVW}HV�WRWDOPHQWH�³FDtYHLV´�HP�XPD�SURYD�da PRF.
Ademais, as questões elaboradas por min geralmente serão questões
modificadas para a realidade do seu concurso.
Outro ponto forte do nosso curso será o fórum de dúvidas, que
acessarei diariamente a fim de que você possa ter resposta para as suas
dúvidas o mais rápido possível, tornando a aula mais dinâmica e
otimizando o seu tempo.
Resumindo, você terá ao seu dispor uma aula teórica completa, cheia de
figuras, tabelas, gráficos elucidativos, muitas questões para exercitar
(todas comentadas) e um fórum de dúvidas com respostas quase
³LQVWDQWkQHDV´��UVUVUVUVUV���
Além de todas essas ferramentas no nosso curso, teremos esse ano uma
ferramenta fantástica, que serão as videoaulas de apoio. Serão vídeos
gravados com teoria completa e exercícios comentados em cada aula,
cerca de 5 (cinco) questões resolvidas que você terá para ver, sentindo
assim o curso mais próximo de você.
Em todas as aulas você terá videoaulas de apoio para ajudar o
entendimento e a compreensão.
3. A Física em concursos. Por que estudar?
Você, concurseiro de plantão, acostumado a estudar Direito
Constitucional, Administrativo, Penal, Civil, Processo Civil, Processo Penal,
Contabilidade, Administração e outras matérias que você acha super
legais, deve estar se perguntando por que deve estudar Física para o
concurso da PRF, pois provavelmente serão poucas questões e se eu não
estudar eu chuto tudo em uma letra só e faço o corte, recupero a
pontuação em outras matérias que sou melhor e passo no concurso.
Sinceramente, eu não adotaria essa estratégia!
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Vou tentar explicar por que você deve estudar essa matéria.
A Física é um problema não só para você, mas para a maioria dos
concurseiros. Você provavelmente odiava essa matéria no colégio, adorou
quando entrou na faculdade e se livrou dessa pedra no sapato, mas ela
voltou e agora é um iceberg na sua frente que você deve contornar, caso
queira seu cargo de Policial Rodoviário Federal.
Pois bem, você submeter-se-á a uma prova que conterá conteúdos muito
acessíveis a todos os concurseiros, o que você acha que vai acontecer
com matérias como Administrativo, Constitucional, CTB, Penal, etc. ?
Isso mesmo Aderbal, veja como o nosso amigo é inteligente!
Nobre concurseiro, é isso que geralmente acontece com a maioria dos
concurseiros, eles acabam estudando mais as matérias que mais lhes
agradam, por uma questão bem óbvia: ninguém gosta de sofrer!
Mas se você quiser passar, além de aprender a sofrer um pouco, deverá
fazer um diferencial, e esse diferencial pode ser na prova de Física. Se
você estudar essa matéria com dedicação, usando um material de
qualidade como o nosso, e no dia da prova colocar em prática tudo que
aprendeu, você estará dando um passo muito largo na busca de sua
vaga, e, além disso, terá um diferencial ao seu favor, afinal de contas a
minoria GRV�FDQGLGDWRV�LUi�³GHWRQDU´�QHVVD�PDWpULD�
As maiorias dos candidatos, principalmente aqueles que não se dedicarem
R�VXILFLHQWH��HVWDUmR�FRUUHQGR�R�ULVFR�GH�³OHYDU�FRUWH´�HP�)tVLFD��FRPR�QR�
último concurso da PRF, organizado pela FUNRIO, que previa em seu
edital um número mínimo de questões para não ser eliminado, assim
como o faz a ESAF, e nada obsta que o CESPE adote esse estilo de
pontuação no edital da PRF/2013.
Por todo o exposto acima, acredito que você quer fazer o diferencial,
garantir pontos valiosos e não ser cortado em uma matéria tão
envolvente que, doravante, ficará muito fácil de ser compreendida.
Professor, eu acho
que todo mundo
vai detonar nessas
matérias.
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Portanto, vamos à luta.
4. Cronograma do Curso.
O nosso curso seguirá aproximadamente o último edital para PRF, de
2013, conforme já dito acima.
Abaixo segue um quadro com o cronograma das aulas e os assuntos a
serem tratados em cada uma delas.
CRONOGRAMA
AULA CONTEÚDO DATA
Aula 0
Apresentação do curso. Cinemática
Escalar I - Conceitos iniciais de
cinemática, velocidade média.
07/06/2014
Aula 1
Cinemática Escalar II ± Movimento
Retilíneo e Uniforme (MRU), equações,
gráficos, classificação.
Cinemática Escalar III ± Movimento
Retilíneo e Uniformemente Variado
(MRUV), equações, gráficos,
classificação.
21/06/2014
Aula 2
Cinemática Vetorial e Movimento
circular.
05/07/2014
Aula 3
Dinâmica ± Leis de Newton e suas
aplicações.
19/07/2014
Aula 4
Trabalho, Potência, Energia cinética,
Energia Potencial, Atrito, conservação e
suas transformações.
02/08/2014
Aula 5
Impulso, Quantidade de Movimento e
colisões.
09/08/2014
Aula 6
Estática dos sólidos e Estática dos
fluidos (Princípio de Stevin, Princípio de
16/08/2014
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Ressalto que, caso o edital seja publicado, poderá ser feita alteração nas
datas para que elas atendam ao calendário do concurso, adequando-se à
data de aplicação da prova.
5. Estilo das Questões de Física em Concursos
Esse tema é de muita relevância para quem está iniciando os estudos na
minha matéria e quer garantir valiosos pontos no concurso.
As questões de Física em concursos geralmente abordam situações
práticas; notadamente, o CESPE/UNB tem essa característica marcante
em suas provas.
É fácil ver que as questões elaboradas por essa banca aplicam um
determinado assunto da Física a uma situação cotidiana, geralmente
vivenciada no dia a dia de um PRF e assim torna o entendimento
mais
leve, sem aqueles termos técnicos que não contribuem em nada para o
brilhantismo da questão.
Assim, é essencial que o nosso curso aborde em seus exercícios situações
práticas comuns ao dia a dia de um PRF, tais como, cálculo de
velocidades, velocidades médias, acelerações, excesso de
velocidade, potência de veículos e a velocidade a ser atingida,
sempre tratando temas da Física com a leveza necessária ao bom
entendimento.
Esse será o estilo do nosso curso. Sempre com questões desafiadoras,
mas com uma matemática bem acessível a todos.
Pascal e Princípio de Arquimedes).
Aula 7
Ondulatória: Movimento Harmônico
Simples, Oscilações livres, amortecidas
e forçadas, Ondas Sonoras, efeito
doppler e ondas eletromagnéticas,
frequências naturais e ressonância.
23/08/2014
Aula 8
Óptica geométrica: Reflexão e Refração.
Instrumentos ópticos: características e
aplicações.
30/08/2014
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Ótima pergunta Aderbal!
Se você quer se sair bem e acompanhar com um bom rendimento o curso
de Física para PRF aqui do Estratégia Concursos você precisará de uma
base bem tranquila em matemática, terá de saber resolver equações de
primeiro e segundo graus, análise de gráficos, um pouco de
geometria, deverá ainda saber o cálculo de razões trigonométricas
como seno, cosseno e tangente, entre outros temas simples da
matemática que o concurseiro da PRF já deve saber, ou pelo menos já
deve estar estudando.
Muito bem Aderbal, você e todos os concurseiros que querem uma vaga
na PRF devem adotar a mesma estratégia, ou seja, estudar com
antecedência e com bons materiais, todos os assuntos cobrados no edital,
vale a pena adquirir o pacote completo para a PRF no site do Estratégia.
6. Estrutura das aulas
Antes de começarmos o conteúdo propriamente dito nesta aula 00, que
versará sobre um tema interessantíssimo que são as bases conceituais
da cinemática e o cálculo de velocidades médias, vamos apresentar
para você a estrutura das nossas aulas.
As nossas aulas serão compostas da seguinte forma:
Professor, o que eu vou ter
que saber para poder
acompanhar bem o seu
curso?
Ah professor, isso aí é moleza,
afinal eu já estudo isso direto
nas aulas de Matemática aqui
do Estratégia.
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¾ Teoria completa sobre o tema que ela se presta a explicar, recheada
de exemplos em forma de exercícios para já ir deixando você
familiarizado com a forma com que o assunto é cobrado.
¾ Lista de questões sem os comentários para que você já teste seus
conhecimentos.
¾ Lista das questões com os comentários.
¾ Gabarito.
¾ Fórmulas matemáticas utilizadas na aula.
Essa última parte da aula é uma das mais importantes para você, uma
vez que as fórmulas matemáticas são o grande problema de boa parte
dos concurseiros, principalmente quando o assunto é Física.
Nessa parte da aula constará uma lista de todas as fórmulas utilizadas
nas questões da aula, como se fosse uma lista com os artigos de lei que
foram necessários para a resolução das questões de Administrativo, por
exemplo.
Assim, você poderá ir formando o seu banco de dados de fórmulas, que
será muito útil naquela revisão que você fará às vésperas da prova.
Lembrando que essas fórmulas, quando possível, conterão formas
alternativas de memorização (formas mnemônicas, visuais, etc.)
7. Bibliografia
Caro concurseiro, eu sei que indicar livros de consulta não é uma tarefa
das mais fáceis, pois no mercado você encontra obras para todos os
gostos e bolsos.
Mas conforme manda o figurino, vou indicar alguns livros que considero
ideais para candidatos ao cargo de PRF. São livros de ensino médio, é
claro! A nossa função aqui é fazer com que você passe, e nesse diapasão,
não recomendaria livros de ensino superior, por não agregarem nenhum
YDORU�QD�VXD�FDPLQKDGD�³FRQFXUVtVWLFD´�H�WDPEpP�SRUTXH�YmR�GHVDQLPi-
los no estudo da Física.
Lista:
1. Tópicos de Física, dos autores Helou, Gualter e Newton.
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2. Física Clássica, dos autores Caio Sérgio Calçada e José Luiz
Sampaio.
3. Fundamentos de Física, dos autores Ramalho, Nicolau e
Toledo.
Os livros acima têm uma teoria bem acessível, são muito bem ilustrados e
os seus exercícios são bem razoáveis.
Fique certo de que as questões da PRF não exigirão conhecimentos além
daqueles do Ensino Médio.
Então vamos à luta, pois tenho certeza de que você está interessado em:
¾ Compor os quadros da PRF e garantir um salário de
aproximadamente R$ 6.500,00 (SEIS MIL E QUINHENTOS
REAIS)!
¾ Alcançar a tão sonhada estabilidade.
¾ Contribuir para o progresso da nação participando do combate ao
crime nas estradas federais brasileiras
Vai querer fazer parte dos próximos vídeos como aqueles que você viu no
início dessa aula?
Comece a realizar seu sonho a partir de agora!
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8. A divisão da Física e a Mecânica
Antes de iniciarmos os conceitos da aula de hoje, é interessante sabermos
o que vamos estudar nesse curso e onde esse assunto está inserido
dentro dos ramos da Física.
A Física é uma ciência natural e tem por finalidade o estudo dos
fenômenos da natureza, suas observações, estudos e conclusões
baseadas em leis básicas enunciadas há muito tempo por alguns
estudiosos dessa matéria.
A Física Clássica se divide em três grandes ramos:
¾ Mecânica: É a parte da Física que estuda o movimento, o
repouso e o equilíbrio dos corpos.
¾ Termologia: É a parte da Física que se preocupa com os fenômenos
térmicos, o seus estudos envolvem temperatura, calorimetria, gases
e as leis da termodinâmica.
¾ Óptica: É a parte da Física que estuda a luz e os principais
fenômenos que ocorrem com ela quando da sua propagação.
¾ Ondulatória: Estuda as ondas em geral, suas propriedades e
fenômenos.
¾ Eletricidade: Estuda os fenômenos elétricos e se divide em
eletrostática, que é o estudo das cargas elétricas em repouso; e
eletrodinâmica, que é o estudo das cargas elétricas em movimento.
¾ Eletromagnetismo: Envolve os estudos de eletricidade e
magnetismo, sendo este último o estudo dos fenômenos
magnéticos.
Portanto, você pode notar que a Física tem várias ramificações, e alguns
concursos cobram assuntos que estão espalhados por todas elas. Mas a
PRF é boazinha com você, e cobrará apenas uma boa parte de Mecânica.
(rsrsrsrs)
A mecânica, por sua vez, se divide em mais 3 ramos:
¾ Cinemática: Estuda o movimento sem levar em conta as suas
causas
¾ Dinâmica: Estuda o movimento e as suas causas.
¾ Estática: Estuda o equilíbrio dos corpos.
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O conteúdo da PRF envolve quase toda a mecânica por um motivo muito
VLPSOHV�� R� REMHWR� GH� WUDEDOKR� GRV� 35)¶V� HVWi� WRWDOPHQWH� OLJDGR� DR�
movimento dos corpos que trafegam pelas estradas federais brasileiras.
Portanto, é de suma importância que o bom Policial Rodoviário saiba
conceitos básicos de mecânica e aplique no seu dia a dia de trabalho.
9. Conceitos iniciais de Cinemática
Conceitos básicos de cinemática é um dos assuntos que escolhi para essa
aula inaugural e nos dará base para o estudo de toda cinemática e, por
que não dizer, de toda a mecânica.
Esses conceitos, de agora em diante, serão abordados sempre que
necessário, então fique ligado porque vamos utilizá-los durante todo o
nosso curso. Eles nos ajudarão no embasamento de outros temas e ainda
são cobrados em algumas questões simples, mas que sempre deixam os
candidatos na dúvida.
9.1 Referencial
Referencial é um corpo (ou conjunto de corpos) em relação ao qual são
definidas as posições de outros corpos e também são estudados os
movimentos deles.
Professor, e por que a PRF
cobra principalmente
mecânica?
Professor, o conceito parece
simples, mas eu nunca entendi
DTXHOD� FpOHEUH� IUDVH�� ³depende
GR�UHIHUHQFLDO´.
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Calma Aderbal, não se preocupe que eu vou tentar tirar a sua dúvida, que
também pode ser a do nosso colega concurseiro.
Quando estamos estudando algum fenômeno ou grandeza, a depender do
referencial adotado, ou seja, do ponto de referencia adotado, esse
fenômeno ou grandeza apresenta comportamentos distintos, dizemos que
aquilo que está sendo estudado depende do referencial.
Para ficar mais claro, vejamos um exemplo:
Quando você, nobre concurseiro, for um PRF, certamente se deparará
com a situação de perseguição policial, afinal de contas é, entre outras
coisas, para isso que você receberá R$ 6.500,00 por mês.
Imagine a situação hipotética de uma perseguição policial na qual uma
viatura da PRF que tem seu velocímetro marcando 100km/h e
persegue um veículo suspeito cujo velocímetro marca 90km/h.
1HVVD� VLWXDomR� XPD� SHUJXQWD� SRGHULD� VHU� IHLWD�� ³4XDO� D� YHORFLGDGH� GD�
YLDWXUD´"
A resposta mais coerente seria a célebre frase que o Aderbal perguntara:
³GHSHQGH�GR�UHIHUHQFLDO´�
Se a pergunta for: em relação à Terra ou a qualquer observador fixo na
Terra, como por exemplo, o patrulheiro que ficou no posto de fiscalização,
a resposta é simples e direta: V = 100km/h.
Agora se a pergunta fosse: em relação ao veículo suspeito, a resposta
seria um pouco diferente, pois para o veículo suspeito a situação se passa
como se a viatura se aproximasse apenas com 100km/h ± 90km/h =
10km/h, pois o os 90km/h que a viatura possui do seu total de 100km/h
não influenciam em nada em relação ao referencial em movimento do
veículo suspeito.
Viu como é fácil entender o que é referencial. Referencial é um sistema de
referência em relação ao qual se estuda um movimento.
Outras grandezas da cinemática além da velocidade também variam de
acordo com o referencial adotado. Vamos ver isso adiante, nos próximos
itens.
9.2 Tempo
Tempo é um conceito muito primitivo, associamos tempo a uma sucessão
de eventos que acontecem.
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Não precisamos de muitos comentários por aqui, vamos apenas
diferenciar duas coisas bem simples que são o instante de tempo e o
intervalo de tempo.
a) Instante de tempo:
Instante de tempo é um momento no qual aconteceu alguma coisa
durante uma sucessão de eventos.
Observe o exemplo abaixo:
Em uma viagem pela rodovia BR 116 um veículo passou pelo marco do
Km 310 às 10h50min10s medido no relógio de pulso do motorista.
Podemos afirmar, no exemplo acima que o veículo passou pelo marco Km
310 no instante 10h50min10s, pois foi neste momento que aconteceu o
evento passagem. Simples assim.
b) Intervalo de tempo:
Por outro lado, intervalo de tempo é um pouco diferente de instante de
tempo. Toda grandeza física representada por um intervalo é escrita com
uma letra grega, o famoso ' ³GHOWD´�
Portanto, o intervalo de tempo seria representado no papel da seguinte
forma
't
Ocorre que todo intervalo de uma grandeza é a subtração da grandeza
final pela grandeza inicial, assim o intervalo de tempo seria:
't = tfinal ± tinicial
Podemos concluir que intervalo de tempo é o instante de tempo final
subtraído do instante de tempo inicial.
Um exemplo pra ficar mais claro:
Na prova da PRF de 2009, em uma questão de cinemática,
precisamente a questão de número 26 do caderno nº. 1, o candidato
precisava encontrar o intervalo de tempo entre dois eventos (a passagem
de um veículo por um posto de fiscalização policial). É claro que a questão
não era apenas pra calcular o intervalo de tempo, porque assim seria uma
questão de matemática e não de Física (rsrsrsrs).
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O enunciado segue abaixo:
(PRF-2009/FUNRIO) Ao longo de uma estrada retilínea, um carro
passa pelo posto policial da cidade A, no km 223, às 9h 30min e 20 s,
conforme registra o relógio da cabine de vigilância. Ao chegar à cidade B,
no km 379, o relógio do posto policial daquela cidade registra 10h 20
min e 40 s. O chefe do policiamento da cidade A verifica junto ao chefe
do posto da cidade B que o seu relógio está adiantado em relação àquele
em 3min e 10 s. Admitindo-se que o veículo, ao passar no ponto exato
de cada posto policial, apresenta velocidade dentro dos limites permitidos
pela rodovia, o que se pode afirmar com relação à transposição do
percurso pelo veículo, entre os postos, sabendo-se que neste trecho o
limite de velocidade permitida é de 110 km/h?
Note então que os termos destacados envolvem a grandeza tempo,
simplificando o enunciado, a banca afirma que um veículo passou em um
posto policial A às 9h 30min e 20 s e depois passou por um posto B às
10 h 20 min e 40 s e ainda afirmou que há um adiantamento de 3min e
10s do relógio do posto A em relação ao relógio do posto B.
Eu inclusive já publiquei um artigo com a resolução completa dessa
questão, no entanto, nesse momento apenas me limitarei ao cálculo do
't. Vejamos.
't = tfinal - tinicial
Mas antes vamos arrumar o relógio A, que na verdade, em relação ao
relógio B (nosso relógio de referência) marcaria 9h 30min e 20s ± 3min
e 10s = 9h 27min e 10s.
Portanto, o intervalo de tempo 't seria:
't = tfinal - tinicial = 10h 20min e 40s ± 9h 27min e 10s
't = 53min e 30s
Note que o cálculo do 't não é tão simples como era o do instante de
tempo, a questão ainda pode atrapalhar a nossa vida inserindo esse
adiantamento de um relógio em relação ao outro e dificultar o raciocínio.
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9.3 Móvel
Móvel é um conceito muito simples, em diversas questões de prova a
banca pode se referir a esse termo, que nada mais é do que um corpo
que pode se movimentar de acordo com os ditames que o problema
especificar em seu enunciado.
Um móvel pode ser um bloco, um veículo, um helicóptero, uma pessoa,
etc.
9.3.1 Ponto material
Ponto material é um conceito um pouco mais difícil de entender, mas não
se preocupe que vamos tornar a sua vida fácil.
Ponto material é um móvel ou um corpo cujas suas dimensões não são
importantes/relevantes para a análise do problema.
Um exemplo bem simples: Uma formiga caminhando num campo de
futebol da magnitude do maracanã.
É claro que o tamanho da formiga não será relevante para saber se ela
está mais próxima da linha de fundo ou do círculo central do campo.
Já pensou se em cada problema desse você tivesse que responder assim:
³D�SDWD�GD�IUHQWH�GD�IRUPLJD�HVWi�D�XPD�GLVWkQFLD�GH�;�PHWURV�GD�WUDYH�
enquanto que a pata traseira está a uma distância de X + 0,0000001
mm. Os problemas seriam realmente impraticáveis.
Outro exemplo bem simples, que veremos em breve na nossa aula 01 é a
ultrapassagem de móveis. Quando queremos analisar o tempo que leva
para um corpo ultrapassar outro, é interessante que você saiba se
estamos lidando com um corpo extenso ou com um ponto material, pois
se estivermos tratando de um ponto material, a ultrapassagem será
completada quando um corpo alcançar o outro, não se levando em conta
as dimensões de cada um deles na análise do problema.
Veja as figuras abaixo e responda em qual delas temos um ponto
material.
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Figura 1
Figura 2
Resposta: É na figura 2 que temos pontos materiais, pois as dimensões
dos veículos nem foram citadas no problema, e não devem importar na
resolução de problemas envolvendo a cinemática de seus movimentos.
9.3.2 Corpo Extenso
Após entender o ponto material, fica muito mais fácil de compreender que
o corpo extenso é o oposto. Se um ponto material é um móvel ou corpo
cujas dimensões não são relevantes para a resolução dos problemas, o
corpo extenso apresenta dimensões consideráveis.
No maracanã, uma formiga tem dimensões irrelevantes e por isso é
tratada como ponto material. Por outro lado, um helicóptero pousado
sobre o campo tem dimensões relevantes em um problema de Física.
No ultimo exemplo do tópico anterior, podemos notar que no caso da
figura 1 os caminhões são tratados como corpos extensos, pois suas
dimensões são relevantes na resolução dos problemas, inclusive a figura
apresenta o valor do comprimento do caminhão, informação muito
importante para, por exemplo, o cálculo do tempo de ultrapassagem.
9.4 Posição, Variação da posição e Espaço percorrido
Posição é a medida da distância que um corpo guarda da origem de um
referencial, medida ao longo dele. Pode ser positiva ou negativa, de
acordo com a origem do sistema de referência. Geralmente simbolizada
pela letra ³6´
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Note, no desenho acima, que uma das posições da bola é S = +2m.
Poderíamos ter posições negativas, como no caso do móvel posicionado
antes da origem.
Variação da posição, por sua vez, é o famoso 'S, que nada mais é do que
a diferença entre a posição final e a posição inicial de um móvel
quando em movimento sobre uma trajetória em um determinado
referencial. Observe a figura abaixo:
A posição final do corpo é SF = 9m enquanto que a posição inicial é S0 =
4m. Portanto, a variação da posição ou 'S = 5m.
Basta você subtrair as posições.
Note, deste conceito, que podemos ter três situações distintas para o 'S:
¾ Positivo: Quando a posição final é maior que a inicial. Nesse caso o
corpo está se movendo no sentido positivo da trajetória.
¾ Negativo: Quando a posição final é menor que a inicial. Nesse caso
o corpo está se movendo no sentido negativo da trajetória.
¾ Nulo (zero!): Quando as posições final e inicial são iguais. Nesse
caso corpo sai e volta para a mesma posição.
Espaço percorrido é o espaço efetivo (sem levar em conta se o corpo está
a favor ou contra a trajetória, verificando apenas a distância efetivamente
percorrida) que o corpo percorre quando em movimento em um
determinado sistema de referência. Observe a figura abaixo:
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Nela, podemos afirmar que o corpo ao se mover da posição S0 = +2m
para a posição SF = -2m, percorreu uma distância efetiva de 4m.
Assim, no cálculo o espaço percorrido ou distância percorrida, não se
levam em conta sinais ou sentidos positivos ou negativos. Todas as
distâncias são consideradas em módulo.
A consequência mais direta é o fato de que a distância percorrida é, se
houver movimento em relação a um referencial, sempre positiva.
9.5 Movimento e Repouso
Esses dois conceitos devem gerar muita confusão na cabeça sua cabeça,
e agora você vai ver como nunca foi tão fácil entender movimento e
repouso.
Você deve se lembrar do conceito de referencial. Se não lembrar volte
algumas páginas para refrescar a memória. Acredito que o conceito de
posição você também se lembra, afinal de contas acabamos de ver no
item anterior.
Movimento e repouso então são duas situações físicas as quais podemos
resumir em dois conceitos bem simples:
¾ Movimento: Um corpo está em movimento em relação a um
referencial R, se a sua posição muda com o passar do tempo, em
relação a R.
¾ Repouso: Um corpo está em repouso em relação a um referencial
R, se a sua posição não muda com o passar do tempo, em
relação a R.
Observe que esses dois conceitos dependem do referencial adotado.
Fixado o referencial, basta ver se a posição do corpo muda ou se se
mantém constante ao longo do tempo.
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Na figura acima, podemos fazer algumas observações:
¾ O ônibus amarelo encontra-se em movimento em relação ao
observador fixo na Terra
¾ O ônibus encontra-se em repouso em relação a um observador fixo
dentro do ônibus.
¾ O Senhor de camisa roxa encontra-se em repouso em relação à
terra, pois sua posição não muda em relação à Terra. Por outro lado
o Senhor de camisa roxa encontra-se em movimento em relação ao
ônibus, pois a medida que o tempo passa a sua posição muda em
relação ao ônibus, ele vai ficando mais próximo do ônibus.
¾ As duas pessoas que se encontram dentro do ônibus encontram-se
em repouso uma em relação a outra, pois suas posições se mantêm
as mesmas.
¾ As pessoas dentro do ônibus
encontram-se em movimento em
relação à Terra, pois suas posições mudam com o passar do tempo.
Ufa! Viram quantas possibilidades de situações de movimento e repouso
podemos ter nessa situação aparentemente simples.
9.6 Trajetória
Esse é o último conceito básico que precisamos aprender antes de
adentrar nos cálculos de velocidade média.
Trajetória é um conceito bem tranquilo. Podemos defini-la como sendo a
linha geométrica que o corpo descreve em relação a um referencial
quando em movimento em relação a esse referencial.
A trajetória pode assumir o formato de diversas figuras geométricas
como, por exemplo, retas, curvas, elipses, parábolas, etc.
Note que é mais um conceito que depende do referencial adotado, ou
seja, a trajetória de um corpo pode ser ³$´ em relação ao referencial 1,
ao passo que pode ser ³%´ em relação ao referencial 2.
Para ficar mais claro vamos a um exemplo:
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Na figura acima, um avião deixa cair uma bomba para que exploda na
Terra.
Se eu lhe perguntasse qual a trajetória da bomba, qual seria a sua
resposta?
Exatamente Aderbal, a trajetória é um conceito relativo, portanto,
precisamos saber o referencial para responder à pergunta.
Pois bem, em relação à Terra, qual seria a trajetória da bomba?
Em relação à Terra, é fácil: basta notar que o corpo além da queda,
sofrerá um movimento na horizontal, devido a velocidade do avião, que é
compartilhada pela bomba.
Assim, a trajetória será uma curva parabólica, em relação à Terra.
Por outro lado, a trajetória da bomba em relação ao piloto do avião ou a
qualquer um que esteja dentro dele será uma reta vertical, pois aquele
movimento horizontal que a bomba sofre, o avião e todos que estão
dentro dele também sofrem, assim não se nota o movimento horizontal
da bomba de dentro do avião, apenas o vertical.
Ora professor, eu lhe responderia com
RXWUD�SHUJXQWD��³HP�UHODomR�D�TXHP´"
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10. Velocidade escalar média
Chegamos a parte mais prática da nossa aula 00. É a partir daqui que
talvez você comece a ter dificuldades e meu papel é fazer as coisas
ficarem fáceis para você.
Velocidade média é um conceito fácil, que você provavelmente já utilizou
no seu dia a dia. Imagine a situação abaixo descrita, a qual tem relação
direta com o conceito de velocidade média.
³(P� XPD� YLDJHP�� YRFr� Mi� GHYH� WHU� IHLWR� D� VHJXLQWH� afirmação: se eu
mantiver uma velocidade média de X km/h chego ao meu destino em Y
KRUDV´.
Você talvez não saiba, mas nessa situação você utilizou o conceito de
velocidade média. Veja abaixo o conceito.
Velocidade média é a variação da posição ocorrida em um referencial por
unidade de tempo.
Matematicamente,
total
total
SV
t
' '
Parece simples, e é simples mesmo.
No exemplo da viagem, o que você fez foi calcular o tempo, e não a
velocidade média, mas tudo se passa da mesma forma.
Portanto, o que devemos fazer para calcular a velocidade média de um
corpo é dividir o 'Stotal pelo 'ttotal.
Observe o exemplo prático abaixo:
Qual é a velocidade média do veículo representado na figura acima?
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É simples mesmo. Basta calcular o 'Stotal e dividi-lo pelo 'ttotal.
Portanto,
total
total
final inicial
final inicial
SV
t
S SV
t t
190km 30kmV
2h 0h
160kmV
2h
V 80km / h
' '
� �
� �
As questões mais difíceis de velocidade média são aquelas em que o
percurso é dividido em várias partes, obrigando o aluno a fazer vários
cálculos, e serão principalmente elas que cairão na sua prova.
Não se preocupe, nas questões comentadas iremos trabalhar com
bastantes exercícios desse tipo, envolvendo vários cálculos na mesma
questão.
10.1 Diferença entre velocidade média e velocidade instantânea
Observe que a velocidade média calculada no último exemplo do item
anterior (80km/h) não nos permite afirmar que durante todo o intervalo
de tempo de 2h o veículo desenvolveu essa velocidade de modo
constante. Provavelmente, em virtude de condições adversas de trânsito
o veículo deve ter desenvolvido velocidades menores e por vezes maiores
que a velocidade média de 80km/h.
É daí que nasce o conceito de velocidade instantânea.
Velocidade instantânea seria a velocidade que o corpo possui num
determinado instante de tempo, e você já sabe o que é instante de
tempo, é aquele momento considerado em si só.
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Caro Aderbal, a velocidade instantânea é aquela que aparece no
velocímetro do seu carro e do nosso nobre aluno.
Observe um exemplo que ocorre comigo com frequência:
Moro atualmente em Juazeiro do Norte, no interior do Ceará, região do
Cariri. Em minhas viagens com a família para Fortaleza (visitar os pais)
geralmente levo 6 horas para percorrer os 540km que separam as duas
cidades na trajetória da BR 116.
Qual é a velocidade média desenvolvida por min durante uma de minhas
viagens de carro para a capital alencarina?
É fácil ver que será:
total
total
SV
t
540kmV
6h
V 90km / h
' '
Professor, onde eu posso
observar a velocidade
instantânea?
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Portanto, na média, percorri 90km a cada hora.
Mas vocês acham mesmo que com mulher e filha dentro do carro é
possível percorrer a cada hora noventa quilômetros, durante um trajeto
de 540km? A resposta é negativa!
Geralmente durante uma viagem longa temos algumas paradas para
reabastecimento, alimentação, etc.
Então como é possível desenvolver uma velocidade média de 90km/h?
É simples, basta desenvolver velocidades instantâneas maiores durante o
movimento, isso significa que em alguns vários momentos da viagem eu
desenvolvi velocidades instantâneas de 100km/h, 120km/h, 140km/h,
para compensar os momentos de paradas e de velocidades reduzidas.
Acredito que agora você compreendeu o conceito de velocidade média.
10.2 Unidades de velocidade
Esse é outro tema muito importante que aparece sempre em provas para
fazer você errar, algo que doravante não acontecerá mais.
Existem várias unidades de velocidade e você deve estar atento para a
transformação entre elas.
A unidade utilizada pelo Sistema Internacional (SI) é o m/s (metro por
segundo).
Essa unidade, no entanto, não é a mais usual. No
nosso dia a dia as
velocidades são expressas na maioria das vezes em Km/h.
A unidade do resultado será dada de acordo com os dados fornecidos na
questão. Se em uma questão são fornecidas distâncias em Km e tempos
em h, a resposta será em Km/h. Por outro lado, se as distâncias foram
expressas em m e os tempos em s, a velocidade será fornecida em m/s.
Professor, mas se na
questão ele fornecer os
dados em uma unidade e
pedir a resposta em
outra? Como eu faço?
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Boa pergunta!
É isso que gera muitos erros. O candidato bem preparado então deve
transformar as unidades, e isso é feito de acordo com o quadro abaixo:
Exemplos:
¾ 36km/h = 10m/s
¾ 72km/h = 20m/s
¾ 108km/h = 30m/s
¾ 54km/h = 15m/s
Eu não recomendaria, a princípio, transformar a distância, depois
transformar o tempo e finalmente dividir um pelo outro.
Existem outras unidades menos comuns, mas que poderemos abordar
durante as questões.
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11. Questões sem comentários.
Chegamos à parte mais interessante da aula, vamos expor aqui algumas
questões que versam sobre os assuntos tratados na teoria. Conforme
explicitado anteriormente, há alguns assuntos em que as questões serão
oriundas de provas de vestibulares, outras serão adaptadas por min, mas
o objetivo de treinamento, fixação da teoria e adaptação à banca será
plenamente atingido.
1. Um automóvel aproxima-se de um paredão, como ilustra a figura:
Acerca da situação acima, julgue os itens abaixo:
1.1 o automóvel está em movimento em relação ao paredão.
1.2 o paredão está em movimento em relação ao automóvel.
1.3 o paredão está em repouso em relação ao solo.
1.4 o motorista está em repouso em relação ao automóvel, mas em
movimento em relação à superfície da Terra.
1.5 o paredão está em repouso em relação ao automóvel.
2. Um barco da Polícia Federal em movimento retilíneo está sendo
seguido pelo helicóptero Patrulha 05, da PRF, que voa em altitude
constante, sempre na mesma vertical que passa pelo barco, a fim de dar
DSRLR�j�RSHUDomR�SROLFLDO�LQWLWXODGD�³FDoD�DR�WHVRXUR�SHUGLGR´. Considere o
barco e o helicóptero pontos materiais. Julgue os itens abaixo:
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2.1 O barco e o helicóptero, em relação a um ponto da superfície da
Terra, estão em repouso.
2.2 O helicóptero está em movimento em relação ao barco.
3. Em certo instante, um automóvel encontra-se no km 120 de uma
rodovia. Em outras palavras, o espaço do automóvel nesse instante é
igual a 120 km. Julgue os itens abaixo:
3.1 o automóvel já percorreu 120 km certamente.
3.2 o automóvel está em movimento no referido instante, no sentido da
trajetória.
3.3 o automóvel, nesse instante, está em repouso.
3.4 o automóvel encontra-se a 120 km do km 0, medidos ao longo da
trajetória.
3.5 a distância do local em que o automóvel está até o km 0, medida em
linha reta, é 120 km necessariamente.
4. Um automóvel parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no
mesmo sentido até o km 90. Aí chegando, retorna pela mesma rodovia
até o km 20.
&DOFXOH�� SDUD� HVVH� DXWRPyYHO�� D� YDULDomR� GH� HVSDoR� �ƩV�� H� D� GLVWkQFLD�
percorrida (d):
a) na ida;
b) na volta;
c) na ida e na volta juntas.
5. Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma rodovia,
sempre no mesmo sentido. Determine a variação de espaço e a distância
percorrida por ele.
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6. Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma rodovia, indo
sempre no mesmo sentido até o km 0. Qual a variação de espaço e qual a
distância percorrida por ele?
7. Um caminhão parte do km 30 de uma rodovia, leva uma carga até o
km 145 dessa mesma estrada e volta, em seguida, para o km 65.
Determine:
a) a variação de espaço do caminhão entre o início e o final do percurso;
b) a distância percorrida pelo caminhão nesse percurso.
8. Júlia está andando de bicicleta, com velocidade constante, quando
deixa cair uma moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair.
Considere desprezível a resistência do ar. Assinale a alternativa em que
melhor estão representadas as trajetórias da moeda, como observadas
por Júlia e por Tomás.
9. Na ausência de resistência do ar, um objeto largado sob um avião
voando em linha reta horizontal com velocidade constante:
a) subirá acima do avião e depois cairá.
b) rapidamente ficará para trás.
c) rapidamente ultrapassará o avião.
d) oscilará para a frente e para trás do avião.
e) permanecerá sob o avião.
10. Considere um carrinho movendo-se uniformemente sobre uma
trajetória retilínea, plana e horizontal. Num certo instante, uma pessoa
que está no carrinho arremessa uma bolinha verticalmente para cima.
Desprezando a resistência do ar, indique a alternativa correta:
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a) Uma pessoa que está no referencial da terra dirá que a bola se moveu
para trás e não poderá retornar ao ponto de partida.
b) Uma pessoa que está no referencial do carrinho dirá que a bola se
moveu para trás e não poderá retornar ao carrinho.
c) Uma pessoa que está no referencial do carrinho verá a bola realizar
uma trajetória parabólica, caindo novamente sobre o carrinho.
d) Uma pessoa que está no referencial da terra verá a bola realizar uma
trajetória parabólica, caindo novamente sobre o carrinho.
11. Você está no mastro de um barco que está em movimento retilíneo
uniforme. Você deixa cair uma bola de ferro muito pesada. O que você
observa?
a) A bola cai alguns metros atrás do mastro, pois o barco desloca-se
durante a queda da bola.
b) A bola cai ao pé do mastro, porque ela possui inércia e acompanha o
movimento do barco.
c) A bola cai alguns metros à frente do mastro, pois o barco impulsiona a
bola para a frente.
d) Impossível responder sem saber a exata localização do barco sobre o
globo terrestre.
e) A bola cai fora do barco, porque este, livre da massa da bola, acelera-
se para a frente.
12. (CESPE-CBM-DF/2011) Se um veículo, trafegando em uma
rodovia, percorrer 225 km em 2 horas e 15 minutos, então, nesse
percurso, a sua velocidade média será de 100 km/h.
13. (Vinicius Silva). Diante de um posto da PRF, há uma fila de
aproximadamente 300 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem
de maneira uniforme 150 veículos, que aguardam a fiscalização policial.
Iniciada a fiscalização, veículos passam pelo posto durante 2 min, com
uma velocidade média de 1 m/s. responda:
13.1 Os veículos, nesse problema, são considerados pontos materiais ou
corpos extensos?
13.2 Qual o número de veículos que passaram pela fiscalização?
13.3 Qual o comprimento da fila que restou fora do posto de fiscalização?
14. (PRF-2009/FUNRIO) Ao longo de uma estrada retilínea, um carro
passa pelo posto policial da cidade A, no km 223, às 9h 30min e 20 s,
conforme registra o relógio da cabine de vigilância. Ao chegar à cidade B,
no km 379, o relógio do posto policial daquela cidade registra 10h 20 min
e 40 s. O chefe do policiamento da cidade A verifica junto ao chefe do
posto da cidade B que o seu relógio está adiantado em relação àquele em
3min e 10 s. Admitindo-se que o veículo, ao passar no ponto exato de
cada posto policial, apresenta velocidade dentro dos limites permitidos
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pela rodovia, o que se pode afirmar com relação à transposição do
percurso pelo veículo, entre os postos, sabendo-se que neste trecho o
limite de velocidade permitida é de 110 km/h?
A) Trafegou com velocidade média ACIMA do limite de velocidade.
B) Trafegou com velocidade sempre ABAIXO do limite de velocidade.
C) Trafegou com velocidade média ABAIXO do limite de velocidade.
D) Trafegou com velocidade sempre ACIMA do limite de velocidade
E) Trafegou com aceleração média DENTRO do limite permitido para o
trecho.
15. (UFC-CE) Um motorista lançou, no gráfico mostrado abaixo, a
distância por ele percorrida (medida em km), em função do consumo de
combustível (medido em litros) de seu veículo. Sobre o desempenho
médio do veículo (definido pela razão distância percorrida/litro
consumido). Julgue os itens abaixo:
15.1. Foi melhor nos primeiros 600 km percorridos;
15.2. Entre 600 km e 1 090 km percorridos, foi de 7 km/litro;
15.3. Foi superior a 9 km/litro no percurso representado pelos 1 090 km
mostrados no gráfico;
15.4. No percurso total, é a média aritmética dos desempenhos médios
mencionados acima, nos itens 1 e 2.
16. (Vunesp-SP) $R�SDVVDU�SHOR�PDUFR�³NP����´�GH�XPD�URGRYLD��XP�
PRWRULVWD� Yr� XP� DQ~QFLR� FRP� D� LQVFULomR�� ³$%$67(&,0(172� (�
RESTA85$17(�$����0,18726´��&RQVLGHUDQGR�TXH�HVVH�SRVWR�GH�VHUYLoRV�
VH�HQFRQWUD�MXQWR�DR�PDUFR�³NP����´�GHVVD�URGRYLD��SRGH-se concluir que
o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma
velocidade média, em km/h, de:
a) 80. b) 90. c) 100. d) 110. e) 120.
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17. (PUC-MG) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são
sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada
velocidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde).
Considerando-se que a distância entre sinais sucessivos é de 175 m e que
o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do sinal
seguinte é de 9,0 s, a velocidade média com que os veículos devem
trafegar nessa avenida para encontrar os sinais sempre abertos é:
a) 60 km/h. b) 50 km/h. c) 70 km/h. d) 40 km/h.
18. (UEL-PR) Um homem caminha com velocidade VH = 3,6 km/h, uma
ave, com velocidade VA = 30 m/min e um inseto, com velocidade VI = 60
cm/s. Essas velocidades satisfazem a relação:
a) VI > VH > VA.
b) VA > VI > VH.
c) VH > VA > VI.
d) VA > VH > VI.
e) VH > VI > VA.
19. (FCC ± SEED ± SE ± PROFESSOR DE ENSINO BÁSICO) Um
homem, um cão e um gato movem-se com velocidades de módulos VH =
5,4 km/h, VC = 72 m/min e Vg = 140 cm/s, respectivamente. Essas
velocidades obedecem a relação:
(A) VH > VC > Vg
(B) VH > Vg > VC
(C) VC > Vg > VH
(D) VC > VH > Vg
(E) Vg > VH > VC
20. (FCC/2011 ± SEDUC-SP ± PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA)
Uma pessoa vê uma descarga elétrica na atmosfera e, 3,0 s após, ouve o
trovão que ocorre no local da tempestade. Lembrando que a velocidade
do som no ar úmido é de 340 m/s e a velocidade da luz é de 3,0 . 108
m/s, a pessoa pode estimar que o fenômeno ocorreu a uma distância de,
em km,
(A) 9,0 . 105
(B) 2,7 . 103
(C) 6,3 . 102
(D) 37
(E) 1,0
21. (CESPE/2006 ± SEDUC-PA ± PROFESSOR DE FÍSICA) Considere
que dois automóveis separados a uma distância de 375 km inicialmente,
deslocam se um ao encontro do outro com velocidades constantes e
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iguais a 60 km/h e 90 km/h, respectivamente. Nessa situação, os
automóveis se encontrarão após
A) 1 h.
B) 1 h e 30 min.
C) 2 h.
D) 2 h e 30 min.
22. (UFC-CE/adaptada) Um automóvel é dirigido ao longo de uma
estrada caracterizada por zonas alternadas de velocidades permitidas de
40 km/h e 60 km/h. Se o motorista mantém rigorosamente essas
velocidades nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo
comprimento, é correto afirmar que a velocidade média, em km/h, em
um trecho correspondente a um número par de zonas vale 48 km/h.
23. (Vinícius Silva) Para multar motoristas com velocidade superior a
90 km/h, um Policial Rodoviário Federal aciona seu cronômetro quando
avista o automóvel passando pelo marco ³A´ e faz a leitura no cronômetro
quando vê o veículo passar pelo marco ³B´, situado a 1 500 m de A. Um
motorista SDVVD�SRU�³$´�D�����km/h e mantém essa velocidade durante
10 segundos, quando percebe a presença do guarda. Que velocidade
média ele deverá manter em seguida para não ser multado?
24. (SEDUC-SP-FCC) Um corredor percorre uma distância x(t) (medida
em metros) ao longo de uma estrada reta. A função x(t) é
aproximadamente dada por
A velocidade média entre 3 e 9 segundos é
(A) 7,0 m / s
(B) 11,66 m / s
(C) 6,66 m / s
(D) 2,66 m / s
(E) 3,66 m / s
25. (SEDUC-ES-CESPE) Suponha que, simultaneamente, um carro parta
de São Paulo para o Rio de Janeiro com velocidade constante de
120km/h, e outro, do Rio de Janeiro para São Paulo com velocidade
constante de 100km/h, ambos seguindo a mesma estrada. Com base
nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro é de 400km, julgue os itens a seguir.
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25.1 Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min.
25.2 Se o carro que partiu de São Paulo percorrer 100km com uma
velocidade de 100km/h e 200km com uma velocidade de 50km/h, então,
para conseguir perfazer o trajeto em 5h e 30min, o motorista, no último
trecho deverá desenvolver uma velocidade superior a 180km/h.
25.3 Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até
São Paulo na mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele
deverá ser superior a 160km/h
25.4 Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais
rodoviários medem as velocidades médias dos carros.
26. (Perito Polícia Civil ± PE) Um carro de policia partiu do Recife às
10 h e 40 min e chegou a Vitória de Santo Antão às 11 h e 20 min. Se a
distância total percorrida foi de 56 km, determine a velocidade média do
veículo.
A) 82 km/h
B) 84 km/h
C) 86 km/h
D) 88 km/h
E) 90 km/h
27. (Perito Polícia Civil
± PR)
Tempo (h:min) 03:02 03:06 03:11 03:16 03:24
Hodômetro (km) 1583,5 1586,9 1594,3 1598,4 1615,1
A velocidade média de um automóvel que se desloca em linha reta
(movimento retilíneo) cuja quilometragem e o tempo são dados na tabela
acima, é de, aproximadamente:
a) 1,43 km/min
b) 1,38 km/min
c) 0,85 km/min
d) 0,79 km/min
e) 0,75 km/min
28. (CESGRANRIO ± 2012 ± PETROBRÁS ± TÉC. OPERAÇÃO JR.) Um
móvel percorre a trajetória retilínea apresentada na figura a seguir.
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As velocidades médias do móvel nos trechos 1 e 2 são, respectivamente,
iguais a 1,0 m/s e 6,0 m/s. Qual é, aproximadamente, em m/s, a
velocidade média do móvel no percurso todo (trechos 1 e 2)?
(A) 2,0
(B) 2,7
(C) 3,0
(D) 3,5
(E) 4,7
29. (CBM-PA/2003 ± CESPE) Cinemática ² que vem da palavra grega
kínema e significa movimento ² é uma área da Física que estuda os
movimentos sem se preocupar com suas causas ou seus efeitos. Ela faz
uma análise apenas descritiva do movimento, em que o referencial tem
uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os
itens subsequentes.
29.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as
conclusões dependem do referencial em relação ao qual a análise está
sendo feita.
29.2 Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre
caem com a mesma aceleração.
29.3 Se, em uma corrida de Fórmula 1, um piloto desenvolveu a
velocidade média de 387 km/h, conclui-se que ele manteve essa
velocidade em pelo menos 50% do tempo da corrida.
29.4 Se uma pessoa caminhou até o seu trabalho a um passo por
segundo, sendo que a cada passo percorreu 0,5 m, e levou 30 minutos
nessa caminhada, então a distância percorrida foi igual a 1.200 m.
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12. Questões Comentadas
Gostou das questões, é um trabalho hercúleo encontrar questões de física
de concursos públicos, por isso tive que retirar algumas de vestibulares,
outras adaptei e algumas outras de outras bancas, mas confiem em min,
que na Física, diferentemente do Direito e outros ramos das ciências
sociais, a forma de abordagem é parecida, não diferindo muito de banca
para banca.
Vamos aos comentários das questões.
1. Um automóvel aproxima-se de um paredão, como ilustra a figura:
Acerca da situação acima, julgue os itens abaixo:
1.1 o automóvel está em movimento em relação ao paredão.
1.2 o paredão está em movimento em relação ao automóvel.
1.3 o paredão está em repouso em relação ao solo.
1.4 o motorista está em repouso em relação ao automóvel, mas em
movimento em relação à superfície da Terra.
1.5 o paredão está em repouso em relação ao automóvel.
Comentário:
1.1 Correto. Note que para o paredão a posição do automóvel está
variando, a medida que o tempo passa o carro diminui a sua posição,
estando, portanto, em movimento em relação ao paredão.
1.2 Correto. A recíproca é verdadeira, tomando agora o referencial no
carro, podemos afirmar que o paredão está diminuindo a sua posição a
medida que o tempo passa, estando portanto em movimento em relação
ao carro. Ademais, podemos afirmar que o paredão está em movimento
em relação ao carro com a mesma velocidade do carro medida em seu
velocímetro.
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1.3 Correto. Em relação ao solo, note que o paredão não muda a sua
posição, pois se mantém fixo ao solo, estando, portanto em repouso em
relação ao solo.
1.4 Correto. O motorista está em repouso em relação ao carro, pois sua
posição em relação ao automóvel não muda com o tempo, ele está o
tempo todo ocupando a posição do banco do motorista. Por outro lado,
em relação à Terra, o motorista está em movimento, pois sua posição
está mudando com o passar do tempo. Podemos afirmar que o motorista
está se movendo com a mesma velocidade do carro, pois todos que se
encontram no referencial em movimento compartilham de sua velocidade.
1.5 Incorreto. Conforme comentado no item 1.2, o paredão está em
movimento em relação ao carro.
2. Um barco da Polícia Federal em movimento retilíneo está sendo
seguido pelo helicóptero Patrulha 05 da PRF que voa em altitude
constante, sempre na mesma vertical que passa pelo barco, afim de dar
DSRLR�j�RSHUDomR�SROLFLDO�LQWLWXODGD�³FDoD�DR�WHVRXUR�SHUGLGR´�Considere o
barco e o helicóptero pontos materiais. Julgue os itens abaixo:
2.1 O barco e o helicóptero, em relação a um ponto da superfície da
Terra, estão em repouso.
2.2 O helicóptero está em movimento em relação ao barco.
Comentário:
2.1 Incorreto. O barco e o helicóptero estão em movimento em relação à
Terra, pois mudam as suas posições em relação à Terra continuamente,
com o passar do tempo.
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2.2 Incorreto. Nesse caso o helicóptero está em repouso em relação ao
barco, pois eles mantêm sempre a mesma posição, não variando a
posição então teremos repouso relativo e não movimento.
3. Em certo instante, um automóvel encontra-se no km 120 de uma
rodovia. Em outras palavras, o espaço do automóvel nesse instante é
igual a 120 km. Julgue os itens abaixo:
3.1 o automóvel já percorreu 120 km certamente.
3.2 o automóvel está em movimento no referido instante, no sentido da
trajetória.
3.3 o automóvel, nesse instante, está em repouso.
3.4 o automóvel encontra-se a 120 km do km 0, medidos ao longo da
trajetória.
3.5 a distância do local em que o automóvel está até o km 0, medida em
linha reta, é 120 km necessariamente.
Comentário:
3.1 Incorreto. Não se pode afirmar com certeza que o automóvel
percorreu 120km, pois ele pode ter partido do km 100, km 50, km 10, ou
até mesmo do km 120. A afirmativa estaria correta se pudéssemos
afirmar que o móvel partiu do km 0.
3.2 Incorreto. Nada foi dito em relação à velocidade do corpo, não se
pode afirmar se o corpo está em movimento ou repouso, pois não há
informações suficientes para afirmar se o corpo está modificando a sua
posição do km 120.
3.3 Incorreto. Assim como no item anterior nada se pode afirmar acerca
da situação de movimento ou repouso do corpo.
3.4 Correto. Na trajetória, pode-se afirmar que o móvel está a uma
distância de 120km da origem (km 0).
3.5 Incorreto. Veja que no item anterior foi comentado categoricamente
que os 120km de distância são medidos ao longo da trajetória, mas nada
se pode afirmar acerca da distância entre os pontos que ligam o km 0 e o
km 120, pois a estrada pode ser retilínea ou curvilínea. Sendo ela
curvilínea, a distância em linha reta seria menor que 120 km.
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Claro Aderbal, veja a figura abaixo:
1RWH�TXH��VH�D�HVWUDGD�IRU�FXUYLOtQHD��D�UHWD�TXH�OLJD�RV�SRQWRV�³3´�H�³4´�
deverá ser menor que 120 km.
4. Um automóvel parte do km 12 de uma rodovia e desloca-se sempre no
mesmo sentido até o km 90. Aí chegando, retorna pela mesma rodovia
até o km 20.
&DOFXOH�� SDUD� HVVH� DXWRPyYHO�� D� YDULDomR� GH� HVSDoR� �ƩV�� H� D� GLVWkQFLD�
percorrida (d):
a) na ida;
b) na volta;
c) na ida e na volta juntas.
Comentário:
a) Na ida o 'S é a diferença entre as posições inicial e final. Logo, 'S =
90 km ± 12 km = 78 km.
A distância percorrida é também igual a 78 km, pois essa foi,
efetivamente, a distância percorrida pelo veículo.
Professor, ainda não entendi como a
distância entre a origem (km 0) e o km
120 pode ser diferente de 120km , o Sr.
pode mostrar em uma figura?
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b) Na volta, o 'S = 20km ± 90km = -70km. O valor negativo se dá por
conta do sentido do movimento, contrário á trajetória.
O espaço percorrido é igual ao módulo do 'S, pois a distância
efetivamente percorrida foi de 70 km.
c) Em todo o percurso o 'S = 20km ± 12km = 8km. Enquanto a distância
percorrida efetivamente foi de 78 (ida) + 70 (volta) = 148 km.
5. Um automóvel deslocou-se do km 20 até o km 65 de uma rodovia,
sempre no mesmo sentido. Determine a variação de espaço e a distância
percorrida por ele.
Comentário: Questão simples, apenas para fixar o conceito de 'S que é
a variação da posição de um corpo na trajetória que ele perfaz.
Portanto, 'S = 65km ± 20km = 45km.
6. Um caminhão fez uma viagem a partir do km 120 de uma rodovia, indo
sempre no mesmo sentido até o km 0. Qual a variação de espaço e qual a
distância percorrida por ele?
Comentário: Mais uma simples, de aplicação direta da fórmula do 'S. A
diferença é que nessa questão o 'S é negativo, uma vez que o caminhão
está percorrendo o caminho contrário à trajetória.
Portanto, 'S = 0km ± 120km = - 120km.
7. Um caminhão parte do km 30 de uma rodovia, leva uma carga até o
km 145 dessa mesma estrada e volta, em seguida, para o km 65.
Determine:
a) a variação de espaço do caminhão entre o início e o final do percurso;
b) a distância percorrida pelo caminhão nesse percurso.
Comentário:
a) 'S = Sfinal - Sinicial = 65km ± 30km = 35km. Observe que o 'S não leva
e conta o que ocorre no meio do caminho, pouco importa para a resposta
desse item se o caminhão foi até o km 120 ou km 180 ou até o km
10000000000..., o que importa aqui é que ele voltou até o km 65, tendo
partido do km 30.
b) Nesse item é diferente, a distância percorrida leva em conta sim todo o
trajeto do caminhão. Veja:
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d = [145km - 30km (ida)] + [145km ± 65km (volta)] = 115km + 80km =
195km.
A distância percorrida pode ser dada pela soma dos módulos dos '6¶V�QD�
ida e volta em um percurso envolvendo inversão de sentidos de
movimento.
8. Júlia está andando de bicicleta, com velocidade constante, quando
deixa cair uma moeda. Tomás está parado na rua e vê a moeda cair.
Considere desprezível a resistência do ar. Assinale a alternativa em que
melhor estão representadas as trajetórias da moeda, como observadas
por Júlia e por Tomás.
Comentário:
Essa questão é um clássico no estudo da trajetória.
Para entendê-la bem você precisa lembrar-se de que a trajetória depende
do referencLDO�� SRLV� HP� UHODomR� D� XP� UHIHUHQFLDO� ³$´� XP� FRUSR� WHP� XP�
FRPSRUWDPHQWR�� HQTXDQWR�TXH�HP� UHODomR�D�RXWUR� UHIHUHQFLDO� ³%´�� SRGH�
ter outra trajetória a depender da situação física.
Na questão acima, em relação a Tomás, que está parado na rua, a moeda
apresenta duas velocidades, quais sejam, uma vertical, devido à ação da
gravidade local, e outra horizontal, pois a moeda estava na bicicleta
(Júlia) que possuía velocidade horizontal.
Portanto, em relação a Tomás a moeda possui as velocidades
representadas na figura abaixo:
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Trajetória
parabólica
Por outro lado, em relação à Júlia, a moeda não possui movimento
horizontal, pois Júlia continua na bicicleta, não importando para ela a
velocidade horizontal que a moeda adquirira por conta de estar no bolso
de Júlia.
Trajetória
retilínea
Assim, a alternativa mais adHTXDGD�SDUD�UHVSRVWD�p�R�LWHP�³&´.
9. Na ausência de resistência do ar, um objeto largado sob um avião
voando em linha reta horizontal com velocidade constante:
a) subirá acima do avião e depois cairá.
b) rapidamente ficará para trás.
c) rapidamente ultrapassará o avião.
d) oscilará para a frente e para trás do avião.
e) permanecerá sob o avião.
Comentário:
Note que esta questão foi praticamente resolvida na questão anterior.
A trajetória do objeto em relação ao avião é uma reta, pois a velocidade
horizontal que o objeto possuía não faz diferença para quem está no
avião, que também possui a mesma velocidade horizontal.
Trajetória
retilínea
Assim, em relação ao avião o objeto estará exatamente abaixo dele após
ser largado e durante a sua queda também.
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Para quem está dentro do avião o objeto apenas caiu, não tendo se
deslocado horizontalmente, mas em relação à Terra esse movimento
horizontal deve ser considerado.
Resposta: alternativa E
10. Considere um carrinho movendo-se uniformemente sobre uma
trajetória retilínea, plana e horizontal. Num certo instante, uma pessoa
que está no carrinho arremessa uma bolinha verticalmente para cima.
Desprezando a resistência do ar, indique a alternativa correta:
a) Uma pessoa que está no referencial da terra dirá que a bola se moveu
para trás e não poderá retornar ao ponto de partida.
b) Uma pessoa que está no referencial do carrinho dirá que a bola se
moveu para trás e não poderá retornar ao carrinho.
c) Uma pessoa que está no referencial do carrinho verá a bola realizar
uma trajetória parabólica, caindo novamente sobre o carrinho.
d) Uma pessoa que está no referencial da terra verá a bola realizar uma
trajetória parabólica, caindo novamente sobre o carrinho.
Comentário:
a) Errado. Para quem está na Terra, a trajetória do objeto é a seguinte:
Velocidade do
arremesso vertical
Trajetória parabólica
Velocidade do
carrinho
Portanto, a trajetória da bola é parabólica para quem está fixo na Terra.
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b) Errado. Para quem está no carrinho, mais uma vez não fará diferença
a
velocidade horizontal do carrinho. Assim, o movimento da bolinha é
apenas vertical, assim:
Velocidade do
arremesso vertical
Portanto, para quem está no carrinho, a bola apenas subirá e voltará a
cair no carrinho, se ele mantiver a sua velocidade horizontal constante.
c) Errado. O item está incorreto por conta da trajetória, que afirmou ser
parabólica. Na verdade a trajetória é vertical para cima e depois para
baixo, em relação ao carrinho.
d) Correto. Alternativa que deve ser assinalada no gabarito, pois retrata
fielmente o que ocorre com a bola para quem está na Terra, observando
um movimento composto por uma velocidade horizontal e outra vertical,
originando uma parábola. O fato de voltar a cair no carrinho se justifica
pela constância da velocidade do carrinho.
Velocidade do
arremesso vertical
Trajetória parabólica
Velocidade do
carrinho
11. Você está no mastro de um barco que está em movimento retilíneo
uniforme. Você deixa cair uma bola de ferro muito pesada. O que você
observa?
a) A bola cai alguns metros atrás do mastro, pois o barco desloca-se
durante a queda da bola.
b) A bola cai ao pé do mastro, porque ela possui inércia e acompanha o
movimento do barco.
c) A bola cai alguns metros à frente do mastro, pois o barco impulsiona a
bola para a frente.
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d) Impossível responder sem saber a exata localização do barco sobre o
globo terrestre.
e) A bola cai fora do barco, porque este, livre da massa da bola, acelera-
se para a frente.
Comentário:
Mais uma questão que se resolve baseada nos comentários já explicitados
nas questões anteriores.
O referencial é quem está no barco, e para quem está no referencial
apenas a velocidade vertical de queda é relevante, pois tanto o barco
como você e a bola compartilham da mesma velocidade horizontal.
Assim, a bola deverá cair ao pé do mastro, pois possui inércia (tendência
de manter seu movimento horizontal) e acompanha o movimento do
barco.
Resposta: Alternativa B
12. (CESPE-CBM-DF/2011) Se um veículo, trafegando em uma
rodovia, percorrer 225 km em 2 horas e 15 minutos, então, nesse
percurso, a sua velocidade média será de 100 km/h.
Comentário:
Questão de aplicação de fórmula de velocidade média. Bem simples, o
candidato só deve ficar ligado nas unidades, pois o intervalo de tempo
está em horas e minutos, portanto devemos fazer uma transformação.
't = 2h + 15min, mas 15min é igual a ¼ de hora ou 0,25 hora, assim, 't
= 2,25h.
O 'S é simples, pois o veículo percorre 225km, sem maiores dúvidas
quanto a isso.
Logo,
SV
t
225kmV
2,25h
V 100km / h
' '
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13. (Vinicius Silva). Diante de um posto da PRF, há uma fila de
aproximadamente 300 m de comprimento, ao longo da qual se distribuem
de maneira uniforme 150 veículos, que aguardam a fiscalização policial.
Iniciada a fiscalização, veículos passam pelo posto durante 2 min, com
uma velocidade média de 1 m/s. responda:
13.1 Os veículos, nesse problema, são considerados pontos materiais ou
corpos extensos?
13.2 Qual o número de veículos que passaram pela fiscalização?
13.3 Qual o comprimento da fila que restou fora do posto de fiscalização?
Comentário:
13.1 Primeiramente vamos determinar quantos metros ocupa cada carro
na fila:
300mL
150veículos
2mL
veículo
Logo, cada veículo ocupa um espaço de 2m.
Assim, em uma questão como essa as dimensões do carro são relevantes
para o problema, o que faz com que sejam considerados corpos extensos.
13.2 Para saber quantos veículos passaram pela fiscalização, devemos
verificar qual o comprimento da fila que passará pelo posto no intervalo
de tempo de 2min, a uma velocidade média de 1m/s.
S V t
S 1m / s 2.60s
S 120m
' u'
' u
'
Logo, como a cada 2 m temos um carro, então um total de 120/2 = 60
veículos passará pelo posto nos 2 minutos.
13.3. Como passaram 120m de fila durante o movimento, ficará ainda
uma fila de 180m de comprimento de fora da fiscalização. Note que a fila
remanescente equivale a um total de 90 veículos.
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14. (PRF-2009/FUNRIO) Ao longo de uma estrada retilínea, um carro
passa pelo posto policial da cidade A, no km 223, às 9h 30min e 20 s,
conforme registra o relógio da cabine de vigilância. Ao chegar à cidade B,
no km 379, o relógio do posto policial daquela cidade registra 10h 20 min
e 40 s. O chefe do policiamento da cidade A verifica junto ao chefe do
posto da cidade B que o seu relógio está adiantado em relação àquele em
3min e 10 s. Admitindo-se que o veículo, ao passar no ponto exato de
cada posto policial, apresenta velocidade dentro dos limites permitidos
pela rodovia, o que se pode afirmar com relação à transposição do
percurso pelo veículo, entre os postos, sabendo-se que neste trecho o
limite de velocidade permitida é de 110 km/h?
A) Trafegou com velocidade média ACIMA do limite de velocidade.
B) Trafegou com velocidade sempre ABAIXO do limite de velocidade.
C) Trafegou com velocidade média ABAIXO do limite de velocidade.
D) Trafegou com velocidade sempre ACIMA do limite de velocidade
E) Trafegou com aceleração média DENTRO do limite permitido para o
trecho.
Comentário:
Essa questão foi comentada na parte aberta do Estratégia Concursos, no
meu primeiro artigo para o site. Segue abaixo o comentário utilizado
nessa oportunidade.
Para o cálculo da velocidade média, devemos usar uma fórmula bem
conhecida de vocês, a boa e velha:
VM='STOTAL/'tTOTAL
Essa fórmula nos fornece o valor da velocidade média.
A nossa questão agora se resume a encontrar o valor de 'STOTAL e 'tTOTAL
e depois basta dividir um valor pelo outro e verificar a alternativa correta.
1) Cálculo de 'STOTAL:
'STOTAL é o deslocamento total que um corpo tem durante a execução de
um movimento em um determinado referencial. Na questão da PRF é bem
fácil de se notar que o deslocamento total do corpo em relação à terra foi
justamente a distância que separa os dois postos de policiais, e pode ser
calculado subtraindo-se os valores dos marcos quilométricos de cada
posto, portanto,
'STOTAL = 379km ± 223km o 'STOTAL = 156km
2) Cálculo de 'tTOTAL:
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'tTOTAL nos dará um pouco mais de trabalho para calcular, uma vez que a
questão possui um detalhe muito importante que é o adiantamento de um
relógio em relação ao outro que caso isso não existisse, para o cálculo do
'tTOTAL bastaria a subtração direta dos valores de cada marcação de
tempo. No entanto o relógio do posto A está adiantado em 3min e 10s em
relação ao relógio do posto B. Então, tomando como referência o relógio
B, temos que a marcação correta do relógio A seria:
9h 30min e 20s ±
3min e 10s = 9h 27min e 10s
Subtraindo as marcações teríamos a seguinte conta para o cálculo correto
de 'tTOTAL:
'tTOTAL = tfinal - tinicial = 10h 20min e 40s ± 9h 27min e 10s
'tTOTAL = 53min e 30s
Antes de aplicar a fórmula, temos ainda que transformar esse valor de
minutos e segundos acima para horas, o que faremos transformando tudo
para segundos e depois dividindo por 3600s que é a quantidade de
segundos que temos em uma hora:
53min e 30s = 53u60 + 30 = 3210s o 3210s/(3600s/h) = 0,9h
Portanto, 'tTOTAL | 0,9h.
Finalmente, podemos proceder à aplicação da fórmula inicial e daí tirar o
valor da velocidade média.
VM = 'STOTAL/'tTOTAL
VM = 156/0,9 | 173,33 km/h
Agora ficou fácil marcar a alternativa correta!
3RGH�PDUFDU�FRP�VHJXUDQoD�R�LWHP�³$´�
6y�SDUD�ILQDOL]DU��RV�LWHQV�³%´�H�³&´�IDODP�DSHQDV�HP�³YHORFLGDGH´��R�TXH�
é bem diferente de velocidade média. Quando a alternativa menciona
velocidade, ela está se referindo a qualquer velocidade dentro do
intervalo de tempo, e sobre isso nada podemos afirmar, pois pode ser que
o veículo tenha se deslocado durante um certo intervalo de tempo com
uma velocidade superior à máxima permitida, como também com uma
velocidade inferior à máxima permitida, a esse respeito nada se pode
afirmar pois o enunciado não esmiuçou o tipo de movimento que ocorreu
entre os postos policiais. Assim só podemos avaliar a velocidade média,
não podendo afirmar nada a respeito da velocidade a cada instante.
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15. (UFC-CE) Um motorista lançou, no gráfico mostrado abaixo, a
distância por ele percorrida (medida em km), em função do consumo de
combustível (medido em litros) de seu veículo. Sobre o desempenho
médio do veículo (definido pela razão distância percorrida/litro
consumido). Julgue os itens abaixo:
15.1. Foi melhor nos primeiros 600 km percorridos;
15.2. Entre 600 km e 1 090 km percorridos, foi de 7 km/litro;
15.3. Foi superior a 9 km/litro no percurso representado pelos 1 090 km
mostrados no gráfico;
15.4. No percurso total, é a média aritmética dos desempenhos médios
mencionados acima, nos itens 1 e 2.
Comentário:
15.1 Correto. O consumo nos primeiros 600km foi de 50 litros, o que
corresponde a um desempenho de 600km/50litros = 12km/litro.
Entre 600km e 1.090km a distância percorrida foi de 490km e o consumo
foi de 70litros, o que corresponde a um desempenho de 7km/litro.
Portanto, no primeiro trecho o desempenho foi melhor do que no
segundo.
15.2 Correto. O item já está comentado no item anterior. Desempenho
de 7km/litro.
15.3 Correto. No total a distância percorrida foi de 1.090km, e o
consumo foi 120 litros.
Logo, o desempenho foi de 1.090km/120litro | 9,1km/litro.
15.4 Incorreto. Veja que a média aritmética dos consumos é de
[12km/litro +7km/litro]/2 = 19/2 km/litro = 9,5 km/litro.
Lembre-se de que a média aritmética entre dois números a e b é dada
por: MA = (a+b)/2.
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16. (Vunesp-SP) $R�SDVVDU�SHOR�PDUFR�³NP����´�GH�XPD�URGRYLD��XP�
PRWRULVWD� Yr� XP� DQ~QFLR� FRP� D� LQVFULomR�� ³ABASTECIMENTO E
5(67$85$17(�$����0,18726´��&RQVLGHUDQGR�TXH�HVVH�SRVWR�GH�VHUYLoRV�
VH�HQFRQWUD�MXQWR�DR�PDUFR�³NP����´�GHVVD�URGRYLD��SRGH-se concluir que
o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma
velocidade média, em km/h, de:
a) 80. b) 90. c) 100. d) 110. e) 120.
Comentário:
Questão simples, mais uma aplicação da fórmula da velocidade média.
VM = 'S/'t = (245km ± 200km)/0,5 hora = 45km/0,5hora = 90 km/h.
Resposta: alternativa B
17. (PUC-MG) Numa avenida longa, os sinais de tráfego são
sincronizados de tal forma que os carros, trafegando a uma determinada
velocidade, encontram sempre os sinais abertos (onda verde).
Considerando-se que a distância entre sinais sucessivos é de 175 m e que
o intervalo de tempo entre a abertura de um sinal e a abertura do sinal
seguinte é de 9,0 s, a velocidade média com que os veículos devem
trafegar nessa avenida para encontrar os sinais sempre abertos é:
a) 60 km/h. b) 50 km/h. c) 70 km/h. d) 40 km/h.
Comentário:
Questão simples, mais uma aplicação da fórmula da velocidade média.
O 'S nesse caso será de 175m, que é a distância que separa os dois
sinais, enquanto que o 't = 9,0s que é o tempo que um sinal fica aberto.
Portanto, para que um carro sempre encontre os sinais abertos ele deverá
manter uma velocidade média de:
VM = 'S/'t = 175m/9,0s = 19,44m/s.
Fique atento para a unidade de medida de velocidade constante nas
opções (km/h), portanto você deve transformar a velocidade de 19,44m/s
para km/h.
Lembrando da transformação:
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VM = 19,44u3,6 = 70km/h
Portanto, a alternativa correta para a questão é o item C.
18. (UEL-PR) Um homem caminha com velocidade VH = 3,6 km/h, uma
ave, com velocidade VA = 30 m/min e um inseto, com velocidade VI = 60
cm/s. Essas velocidades satisfazem a relação:
a) VI > VH > VA.
b) VA > VI > VH.
c) VH > VA > VI.
d) VA > VH > VI.
e) VH > VI > VA.
Comentário:
Resposta: E.
Questão tranquila, mas que devemos estar atentos ás unidades de
medida para velocidade apresentadas no enunciado. Note que sem levar
em conta as unidades e pensando só nos valores que foram fornecidos,
você pensa na seguinte sequência de ordem decrescente:
VI > VA > VH.
Vamos transformar todas as velocidades para a unidade m/s.
¾ VH = 3,6km/h : 3,6 = 1,0 m/s
¾ VA = 30m/60s = 0,5m/s
¾ VI = 60cm/s = 0,6m/s
Logo, a sequência correta para a ordem decrescente é:
VH > VI > VA.
A recomendação é ter muito cuidado com as unidades de medida das
grandezas fornecidas nas questões.
19. (FCC ± SEED ± SE ± PROFESSOR DE ENSINO BÁSICO) Um
homem, um cão e um gato movem-se com velocidades de módulos VH =
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5,4 km/h, VC = 72 m/min e Vg = 140 cm/s, respectivamente. Essas
velocidades obedecem a relação:
(A) VH > VC > Vg
(B) VH > Vg > VC
(C) VC > Vg > VH
(D) VC > VH > Vg
(E) Vg > VH > VC
Resposta: Item B.
Comentário:
Nesse problema, assim como no anterior, a ideia é transformar todas as
velocidades para a mesma unidade de modo a poder compará-las com
segurança.
Primeiramente vamos escolher a unidade comum, que nesse caso será o
m/s, que é a unidade SI, a mais coerente para o caso acima.
A velocidade do homem será dada por:
5,45,4 / / 1,5 /
3,6H
V km h m s m s
A velocidade do cão será dada por:
7272 / min 1,2 /
60C
mV m m s
s
Nesse segundo caso, apenas transformamos o min em s, uma vez que a
distância já estava dada em m.
Por fim, a velocidade do gato será dada por:
140
100140 / 1,4 /G
m
V cm s m s
s
Assim, as velocidades
satisfazem a alternativa B.
20. (FCC/2011 ± SEDUC-SP ± PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA)
Uma pessoa vê uma descarga elétrica na atmosfera e, 3,0 s após, ouve o
trovão que ocorre no local da tempestade. Lembrando que a velocidade
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do som no ar úmido é de 340 m/s e a velocidade da luz é de 3,0 . 108
m/s, a pessoa pode estimar que o fenômeno ocorreu a uma distância de,
em km,
(A) 9,0 . 105
(B) 2,7 . 103
(C) 6,3 . 102
(D) 37
(E) 1,0
Resposta: Item E.
Comentário:
Foi fornecido o intervalo de tempo entre os instantes em que são
percebidos os sons do trovão e em que é percebida a descarga elétrica no
céu.
Logo, o atraso é de 3,0 s.
Trovão Luz
Som Luz
Som Luz
8
Atraso t t
S S
3,0s
V V
1 1
3,0s S.
V V
1 1
3,0s S.
340 3,0.10
1
3,0s S.
340
S 1020m
S 1,020km
' � '
' ' �
§ · ' �¨ ¸© ¹
§ · ' �¨ ¸© ¹
§ · ' ¨ ¸© ¹
'
'
Note, nos cálculos acima, que foi desprezado o termo 1/(3,0.108) | 0,
pois a velocidade da luz é muito grande, sendo um tempo curtíssimo o
que leva para a luz percorrer o espaço de um metro.
A resposta mais coerente, portanto, é o item E.
21. (CESPE/2006 ± SEDUC-PA ± PROFESSOR DE FÍSICA) Considere
que dois automóveis separados a uma distância de 375 km inicialmente,
deslocam se um ao encontro do outro com velocidades constantes e
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iguais a 60 km/h e 90 km/h, respectivamente. Nessa situação, os
automóveis se encontrarão após
A) 1 h.
B) 1 h e 30 min.
C) 2 h.
D) 2 h e 30 min.
Resposta: item D.
Comentário:
Essa questão pode ser resolvida de duas formas: a primeira forma que
vou utilizar é a determinação das equações da posição dos dois móveis,
em relação a um referencial fixo na Terra, e após igualaremos as
equações (encontro) para calcular o instante do encontro.
Essa solução é uma solução que possibilita a resolução de muitos
problemas de encontro de móveis, inclusive quando os movimentos são
de naturezas distintas.
1ª Solução:
375km
y
x
O
A posição inicial de um dos carros é de
375km e a outra é zero, pois está na origem.
Vamos montar as duas equações das
posições e depois igualá-las.
A
B
A 0 A
A
A
B 0 B
B
S S V .t
S 0 60.t
S 60.t
S S V .t
S 375 90.t
igualando :
60.t 375 90.t
150.t 375
t 2,5h
t 2h30min
�
�
�
�
�
A B
VA VB
Perceba, na figura acima, que a velocidade do carro B foi tomada com
sinal negativo, pois ela está contrária à orientação positiva do referencial
xOy.
2ª Solução:
Vamos usar o conceito de velocidade relativa, essa velocidade nós vamos
detalhá-la melhor na aula de movimento relativo, mas por enquanto os
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seus conhecimentos adquiridos até aqui são suficientes para compreender
a resolução e adotá-la nas demais questões.
A velocidade relativa entre dois móveis que se movimentam um de
encontro ao outro, ou seja, em sentidos opostos é a soma das
velocidades, o 'SREL é a distância que um móvel guarda em relação ao
outro.
O 't é constante, seja ele calculado em relação à Terra, ou em relação a
um dos dois carros, pois nessa parte da Física independentemente do
referencial o tempo é o mesmo, inclusive esse é um dos princípios de
Galileu Galilei da mecânica clássica, que foi revisado pela teoria da
relatividade de Einstein.
Portanto, vamos calcular a velocidade relativa entre os móveis:
REL
REL
REL
REL
REL
V 60kmh 90km / h
V 150km / h
S 375km
S
t
V
375km
t
150km / h
t 2,5h 2h30min
�
'
''
'
'
Para você entender melhor a velocidade relativa, pense que agora um dos
carros está se movendo com 150km/h enquanto o outro está parado, é
essa a impressão que você deve ter.
Ambas as soluções nos levam ao mesmo resultado, e era de se esperar
que assim o fizessem.
22. (UFC-CE/adaptada) Um automóvel é dirigido ao longo de uma
estrada caracterizada por zonas alternadas de velocidades permitidas de
40 km/h e 60 km/h. Se o motorista mantém rigorosamente essas
velocidades nas respectivas zonas, e se todas as zonas têm o mesmo
comprimento, é correto afirmar que a velocidade média, em km/h, em
um trecho correspondente a um número par de zonas vale 48 km/h.
Comentário:
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Para o cálculo da velocidade média a fórmula não muda, é sempre a
mesma:
total
total
SV
t
' '
Assim, precisamos encontrar o 'STotal e depois dividi-lo por 'tTotal.
Vamos chamar de L o comprimento de cada zona, que o enunciado
garantiu serem iguais. Logo, o 'STotal = nuL + nuL = 2nL, onde n é um
número inteiro, pois o enunciado garante que teremos um número par de
zonas, portanto, o número de zonas onde a velocidade máxima permitida
é igual a 40km/h é o mesmo onde a velocidade máxima permitida é
60km/h.
Agora precisamos encontrar qual o intervalo de tempo em cada zona. O
intervalo de tempo na primeira zona (VMÁX = 40km/h) será dado por:
1
1
1
1
S
t
V
n L
t
40
''
u'
Analogamente o intervalo de tempo na segunda zona será dado por:
2
2
2
1
S
t
V
n L
t
60
''
u'
Portanto, o 'tTOTAL = 't1 + 't2, assim:
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1 2
TOTAL
TOTAL
n L n L
t t
60 40
5 n L
t
120
n L
t
24
u u' �' �
u u'
u'
Calculando a velocidade média:
TOTAL
TOTAL
TOTAL
média
TOTAL
média
média
média
S 2 n L
n L
t
24
SV
t
2 n LV
n L
24
V 2 24
V 48km / h
' u u
u'
' '
u u u
u
Existe uma fórmula conhecida no mundo da Física, que resolveria essa
questão diretamente apenas com a sua aplicação. Vou preferir apenas
citar a fórmula e alertar-lhe que ela só serve para trechos iguais
percorridos sempre com a mesma velocidade, que é o caso da questão.
1 2
média
1 2
2V VV
V V
�
Onde V1 e V2 são as duas velocidades em cada trecho.
Não recomendo decorar essa fórmula, pois as questões de concursos
tendem a carregar situações bem peculiares nas quais a fórmula acima
não surte efeito.
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23. (Vinícius Silva) Para multar motoristas com velocidade superior a
90 km/h, um Policial Rodoviário Federal aciona seu cronômetro quando
avista o automóvel passando pelo marco ³A´ e faz a leitura no cronômetro
quando vê o veículo passar pelo marco ³B´, situado a 1 500 m de A. Um
motorista SDVVD�SRU�³$´�D�����km/h e mantém essa velocidade durante
10 segundos, quando percebe a presença do guarda. Que velocidade
média ele deverá manter em seguida para não ser multado?
Comentário:
A questão é bem inteligente, e nos traz uma situação nova, em que o
examinador solicita uma velocidade média para que não seja multado.
Vale ressaltar que essa hipótese não é o que ocorre na realidade. Nas
estradas brasileiras os radares medem as velocidades instantâneas e
não as velocidades médias, o que significa que a velocidade medida, que
implicará ou não em multa, é a velocidade do móvel quando ele passa na
região de verificação (geralmente nos fotosensores; ou pardais, para
quem é de outra região).
Feita essa breve explicação, vamos à resolução do problema:
O tempo que o motorista possui para perfazer o trajeto de 1500m dentro
da velocidade média permitida é dado por:
S
t
V
1500m
t
25m / s
t 60s
''
'
'
Lembrando que a velocidade de 90 km/h foi transformada em m/s,
dividindo-se o valor por 3,6.
Portanto, para não ser multado o tempo para perfazer o trajeto é de 60s.
Mas veja que já se passaram 10s com o veículo percorrendo os espaços a
144 km/h. Assim, o veículo já percorreu um espaço correspondente a:
S V t
S 40m / s 10s
S 400m
' u'
' u
'
Logo, o veículo ainda tem 1.100m para percorrer, de um percurso total de
1.500m, e possui um intervalo de tempo de 60s ± 10s = 50s, para assim
totalizar a velocidade média de 90km/h.
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Desta forma, podemos calcular a velocidade média a ser desenvolvida
nesse último trecho:
média
média
média
média
SV
t
1.100mV
50s
V 22m / s
ou
V 22 3,6 79,2km / h
' '
u
24. (SEDUC-SP-FCC) Um corredor percorre uma distância x(t) (medida
em metros) ao longo de uma estrada reta. A função x(t) é
aproximadamente dada por
A velocidade média entre 3 e 9 segundos é
(A) 7,0 m / s
(B) 11,66 m / s
(C) 6,66 m / s
(D) 2,66 m / s
(E) 3,66 m / s
Comentário:
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Questão tranquila, devemos obter o valor das posições final e inicial,
calcular o 'S e depois dividir pelo 't que é facilmente calculado pela
subtração dos valores de instantes de tempo dados.
Note que a posição para t = 3s é calculada utilizando-se a primeira
equação, enquanto que a posição para t = 9s é calculada usando-se a
terceira equação de posição.
Assim,
2
média
média
média
x(3) 3(3) ,p / t 3s
x(3) 27m
e
x(9) 40 3(9),p / t 9s
x(9) 67
logo, x S 67m 27m
S 40m.
SEntão, V
t
40mV
6s
V 6,66m / s
�
' ' �
'
' '
Portanto, a resposta correta é a constante na alternativa C.
25. (SEDUC-ES-CESPE) Suponha que, simultaneamente, um carro parta
de São Paulo para o Rio de Janeiro com velocidade constante de
120km/h, e outro, do Rio de Janeiro para São Paulo com velocidade
constante de 100km/h, ambos seguindo a mesma estrada. Com base
nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro é de 400km, julgue os itens a seguir.
25.1 Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min.
Comentário:
Correto.
A questão pode ser resolvida facilmente usando-se a mudança de
referencial e a velocidade relativa.
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Observe que o carro que parte de São Paulo, em relação ao que parte do
Rio de Janeiro, possui uma velocidade de VRELATIVA = V1 + V2.
VRELATIVA = 120km/h + 100km/h = 220km/h.
O problema agora se passa como se um dos carros estivesse em repouso
e o outro se aproximasse com uma velocidade de 220km/h. É por isso
que você já deve ter visto alguém falando que em colisões frontais as
velocidades dos veículos se somam.
Portanto, para calcular o tempo de encontro, basta usar:
RELATIVO
RELATIVO
S
t
V
400km
t
220km / h
t 1,81h 1,81h 60min/ h
t 109,1min 1h e 49min
''
'
' u
'
25.2 Se o carro que partiu de São Paulo percorrer 100km com uma
velocidade de 100km/h e 200km com uma velocidade de 50km/h, então,
para conseguir perfazer o trajeto em 5h e 30min, o motorista, no último
trecho deverá desenvolver uma velocidade superior a 180km/h.
Comentário:
Correto.
Note que o veículo já percorrera uma distância de 300km, restando ainda
uma distância de 100km a ser percorrida.
O tempo restante pode ser calculado, diminuindo-se de 5h e 30min o
tempo gasto nos dois trechos (de 100 km e 200 km).
Esses tempos são facilmente calculados: a 100km/h, um trecho de
100km leva 1 hora para ser percorrido, enquanto que um trecho de
200km a 50km/h leva 4 horas pra ser percorrido.
Portanto, o tempo total restante é de 5h e 30min ± (4h +1h) = 30min.
Restando ainda 30min para perfazer um trajeto de 100km, o veículo
deverá desenvolver uma velocidade média de Vmédia = 'S/'t =
100km/0,5h = 200km/h.
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Assim, o veículo deverá desenvolver uma velocidade média de 200km/h
para perfazer o trecho de 400km em 5h e 30min.
25.3 Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até
São Paulo na mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele
deverá ser superior a 160km/h
Comentário:
Errado.
Aplicação direta da fórmula:
total
média
total
média
média
SV
t
400kmV
3h
V 133,3km / h
' '
Assim, a velocidade média do veículo nas condições acima é inferior a
160km/h.
25.4 Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais
rodoviários medem as velocidades médias dos carros.
Comentário:
Incorreto.
O item já foi comentado na questão 20, na qual expliquei que os radares
medem a velocidade instantânea, no momento em que o veículo está
passando pelos sensores do radar, instalados geralmente no asfalto.
É por isso que os fotosensores utilizados pelo Estado para aferir a
velocidade desenvolvida não atingem a sua finalidade precípua, que é a
redução de acidentes de veículos por conta de excesso de velocidade, pois
o veículo reduz a velocidade naquele trecho, mas isso não quer dizer que
logo após ele não vá desenvolver velocidades bem superiores à máxima
permitida.
26. (Perito Polícia Civil ± PE) Um carro de policia partiu do Recife às
10 h e 40 min e chegou a Vitória de Santo Antão
às 11 h e 20 min. Se a
distância total percorrida foi de 56 km, determine a velocidade média do
veículo.
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A) 82 km/h
B) 84 km/h
C) 86 km/h
D) 88 km/h
E) 90 km/h
Comentário:
Resposta: B.
Questão de aplicação direta da fórmula da velocidade média.
total
média
total
média
média
média
média
SV
t
56kmV (11h20min 10h40min)
56kmV
40min
56kmV 2 h3
V 84km / h
' '
�
Repare que o intervalo de tempo de 40min foi transformado para horas
(2/3 hora).
27. (Perito Polícia Civil ± PR)
Tempo (h:min) 03:02 03:06 03:11 03:16 03:24
Hodômetro (km) 1583,5 1586,9 1594,3 1598,4 1615,1
A velocidade média de um automóvel que se desloca em linha reta
(movimento retilíneo) cuja quilometragem e o tempo são dados na tabela
acima, é de, aproximadamente:
a) 1,43 km/min
b) 1,38 km/min
c) 0,85 km/min
d) 0,79 km/min
e) 0,75 km/min
Comentário:
Resposta: A.
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Questão de aplicação direta da fórmula da velocidade média.
Observe que o candidato deve utilizar os valores dos extremos da tabela,
para que seja fornecida a velocidade média em todo o percurso.
Logo,
média
média
média
1.615,1km 1.583,5kmV
3h24min 3h02min
31,6kmV
22min
V 1,43km / min
� �
28. (CESGRANRIO ± 2012 ± PETROBRÁS ± TÉC. OPERAÇÃO JR.) Um
móvel percorre a trajetória retilínea apresentada na figura a seguir.
As velocidades médias do móvel nos trechos 1 e 2 são, respectivamente,
iguais a 1,0 m/s e 6,0 m/s. Qual é, aproximadamente, em m/s, a
velocidade média do móvel no percurso todo (trechos 1 e 2)?
(A) 2,0
(B) 2,7
(C) 3,0
(D) 3,5
(E) 4,7
Resposta: Alternativa B.
Comentário:
Para calcular a velocidade média em todo o percurso, precisamos calcular
o 'S total e o 't total, e aplicar a conhecida fórmula que já usamos
exaustivamente durante essa aula demonstrativa.
Assim, o 'S total é fácil de perceber que será a distância total percorrida
pelo corpo, ou seja, 100m + 300m = 400m.
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O tempo total será calculado por meio das velocidades médias fornecidas
em cada trecho:
1
1
1
100
1 /
100
S
t
V
m
t
m s
t s
''
'
'
e
2
2
2
300
6 /
50
S
t
V
m
t
m s
t s
''
'
'
Portanto, o tempo total será de 150s, e a velocidade média durante o
movimento será:
400
150
2,67 /
TOTAL
M
TOTAL
M
M
SV
t
mV
s
V m s
' '
Resposta: Alternativa B
29. (CBM-PA/2003 ± CESPE) Cinemática ² que vem da palavra grega
kínema e significa movimento ² é uma área da Física que estuda os
movimentos sem se preocupar com suas causas ou seus efeitos. Ela faz
uma análise apenas descritiva do movimento, em que o referencial tem
uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os
itens subsequentes.
29.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as
conclusões dependem do referencial em relação ao qual a análise está
sendo feita.
29.2 Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre
caem com a mesma aceleração.
29.3 Se, em uma corrida de Fórmula 1, um piloto desenvolveu a
velocidade média de 387 km/h, conclui-se que ele manteve essa
velocidade em pelo menos 50% do tempo da corrida.
29.4 Se uma pessoa caminhou até o seu trabalho a um passo por
segundo, sendo que a cada passo percorreu 0,5 m, e levou 30 minutos
nessa caminhada, então a distância percorrida foi igual a 1.200 m.
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Comentário:
29.1 Correto. Item simples, depois de passarmos por uma aula
permeada de explicações acerca de referencial. Os estados de movimento
e repouso dependem do referencial adotado, podendo um corpo estar em
repouso em relação a um referencial, enquanto que em relação a outro
pode estar em repouso.
29.2 Correto. Esse item será comentado novamente na aula de
movimento vertical no vácuo, mas posso lhe adiantar que a queda livre é
um movimento no qual um corpo é largado de certa altura e fica sujeito
apenas à aceleração da gravidade, uma vez que se desprezam as forças
dissipativas (atrito, resistência do ar, etc.).
29.3 Incorreto. Nada podemos afirmar acerca da velocidade que foi
mantida pelo carro de corrida apenas conhecendo a velocidade média.
Essa velocidDGH�WHP�R�VHJXLQWH�VLJQLILFDGR��³6H�R�FRUSR�WLYHVVH�PDQWLGR�
YHORFLGDGH�FRQVWDQWH��HVVD�YHORFLGDGH�VHULD�D�YHORFLGDGH�PpGLD´�
29.4 Incorreto. Neste item, basta calcular o espaço percorrido pela
pessoa aplicando a equação da velocidade média, já trabalhada várias
vezes durante essa aula.
.
1 / .30min.60 / min
1800
log ,
1800 .0,5 /
900
S V t
S passo s s
S passos
o
S passos m passo
S m
' '
'
'
'
'
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13. Gabarito
1.1 C 1.2 C 1.3 C 1.4 C 1.5 E 2.1 E 2.2 E 3.1 E
3.2 E 3.3 E 3.4 C 3.5 E 4 * 5. 45km 6
-
120k
m
7. **
8. C 9. E 10. D 11. B 12. 100
km/h
13.1
corpo
extenso
.
13.2.
60
13.3
180m
14. A 15.1 C 15.2 C 15.3 C 15.4 E 16. B 17. C 18. E
19. B 20. E 21. D 22. 48
km/h
23. 79,2
km/h
24. C 25.
CCEE
26. B
27. A 28. B 29.
CCEE
* a) 78km e 78km; b) -70km e 60km; c) 8km e 148km.
** a) 35km b) 185km
14. Fórmulas utilizadas nas questões
final inicial média
final inicial
média
média
1 2
média
1 2
S S S , S V t
S
t t t , t
V
SV
t
2V VV
V V
' � ' u'
'' � '
' '
�
F�sica Aplicada - Aula 00 a 04 + Extra/Aula 01.pdf
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AULA 01: Cinemática Escalar: Conceitos iniciais de cinemática,
Movimentos retilíneo uniforme e uniformemente variado.
SUMÁRIO PÁGINA
1. Conceitos iniciais de Cinemática 2
1.1 Referencial 2
1.2 Tempo 3
1.3 Móvel 5
1.3.1 Ponto material 5
1.3.2 Corpo Extenso 6
1.4 Posição, Variação da posição e Espaço
percorrido 7
1.5 Movimento e Repouso 9
1.6 Trajetória 10
2. Velocidade escalar média 11
2.1 Diferença entre velocidade média e velocidade
instantânea
13
2.2 Unidades de velocidade 14
3. Movimento Retilíneo e Uniforme 16
3.1 Conceito 16
3.2 Classificação do MRU 18
3.3 Equação Horária do MRU 20
3.4 Gráficos do MRU 24
3.4.1 Gráfico S x t do MRU progressivo 25
3.4.2 Gráfico S x t do MRU retrógrado 26
3.4.3 Gráfico V x t do MRU progressivo 27
3.4.5 Gráfico V x t do MRU retrógrado 28
3.4.5 Propriedade do gráfico V x t do MRU 30
4. Movimento Retilíneo e Uniformemente Variado ±
MRUV.
30
4.1 Conceito 31
4.2 Classificação do MRUV 37
5. Equação da velocidade 38
6. Equação horária do espaço 40
7. Equação de Torricelli 43
8. Gráficos 44
8.1 Gráfico do MRUV (V x t) 44
8.2 Gráfico do MRUV (S x t) 46
8.3 Gráfico MRUV (a x t). 50
9. Questões sem comentários 52
10. Questões Comentadas 67
11. Gabarito 115
12. Fórmulas mais utilizadas na aula 115
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1. Conceitos iniciais de Cinemática
Esses conceitos, de agora em diante, serão abordados sempre que
necessário, então fique ligado porque vamos utilizá-los durante todo o
nosso curso. Eles nos ajudarão no embasamento de outros temas e ainda
são cobrados em algumas questões simples, mas que sempre deixam os
candidatos na dúvida.
1.1 Referencial
Referencial é um corpo (ou conjunto de corpos) em relação ao qual são
definidas as posições de outros corpos e também são estudados os
movimentos deles.
Calma Aderbal, não se preocupe que eu vou tentar tirar a sua dúvida, que
também pode ser a do nosso colega concurseiro.
Quando estamos estudando algum fenômeno ou grandeza, a depender do
referencial adotado, ou seja, do ponto de referencia adotado, esse
fenômeno ou grandeza apresenta comportamentos distintos, dizemos que
aquilo que está sendo estudado depende do referencial.
Para ficar mais claro, vejamos um exemplo:
Quando você, nobre concurseiro, for um servidor público, certamente se
deparará por exemplo, com a situação de perseguição policial, caso esteja
estudando para as carreiras policiais.
Imagine a situação hipotética de uma perseguição policial na qual uma
viatura que tem seu velocímetro marcando 100km/h persegue um
veículo suspeito cujo velocímetro marca 90km/h.
Professor, o conceito parece
simples, mas eu nunca entendi
DTXHOD� FpOHEUH� IUDVH�� ³depende
GR�UHIHUHQFLDO´.
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Nessa situação uma pergunta poderia ser feita: ³4XDO�D�YHORFLGDGH�GD�
YLDWXUD´"
A resposta mais coerente seria a célebre frase que o Aderbal perguntara:
³GHSHQGH�GR�UHIHUHQFLDO´�
Se a pergunta for: em relação à Terra ou a qualquer observador fixo na
Terra, como por exemplo, o patrulheiro que ficou no posto de fiscalização,
a resposta é simples e direta: V = 100km/h.
Agora se a pergunta fosse: em relação ao veículo suspeito, a resposta
seria um pouco diferente, pois para o veículo suspeito a situação se passa
como se a viatura se aproximasse apenas com 100km/h ± 90km/h =
10km/h, pois o os 90km/h que a viatura possui do seu total de 100km/h
não influenciam em nada em relação ao referencial em movimento do
veículo suspeito.
Viu como é fácil entender o que é referencial. Referencial é um sistema de
referência em relação ao qual se estuda um movimento.
Outras grandezas da cinemática além da velocidade também variam de
acordo com o referencial adotado. Vamos ver isso adiante, nos próximos
itens.
1.2 Tempo
Tempo é um conceito muito primitivo, associamos ao tempo uma
sucessão de eventos que acontecem.
Não precisamos de muitos comentários por aqui, vamos apenas
diferenciar duas coisas bem simples que são o instante de tempo e o
intervalo de tempo.
a) Instante de tempo:
Instante de tempo é um momento no qual aconteceu alguma coisa
durante uma sucessão de eventos.
Observe o exemplo abaixo:
Em uma viagem pela rodovia BR 116 um veículo passou pelo marco do
Km 310 às 10h50min10s medido no relógio de pulso do motorista.
Podemos afirmar, no exemplo acima que o veículo passou pelo marco Km
310 no instante 10h50min10s, pois foi neste momento que aconteceu o
evento passagem. Simples assim.
b) Intervalo de tempo:
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Por outro lado, intervalo de tempo é um pouco diferente de instante de
tempo. Toda grandeza física representada por um intervalo é escrita com
uma letra grega, o famoso ' ³GHOWD´�
Portanto, o intervalo de tempo seria representado no papel da seguinte
forma:
't
Ocorre que todo intervalo de uma grandeza é a subtração da grandeza
final pela grandeza inicial, assim o intervalo de tempo seria:
't = tfinal ± tinicial
Podemos concluir que intervalo de tempo é o instante de tempo final
subtraído do instante de tempo inicial.
Um exemplo pra ficar mais claro:
Na prova da PRF de 2009, em uma questão de cinemática,
precisamente a questão de número 26 do caderno nº. 1, o candidato
precisava encontrar o intervalo de tempo entre dois eventos (a passagem
de um veículo por um posto de fiscalização policial). É claro que a questão
não era apenas pra calcular o intervalo de tempo, porque assim seria uma
questão de matemática e não de Física (rsrsrsrs).
O enunciado segue abaixo:
(PRF-2009/FUNRIO) Ao longo de uma estrada retilínea, um carro
passa pelo posto policial da cidade A, no km 223, às 9h 30min e 20 s,
conforme registra o relógio da cabine de vigilância. Ao chegar à cidade B,
no km 379, o relógio do posto policial daquela cidade registra 10h 20
min e 40 s. O chefe do policiamento da cidade A verifica junto ao chefe
do posto da cidade B que o seu relógio está adiantado em relação àquele
em 3min e 10 s. Admitindo-se que o veículo, ao passar no ponto exato
de cada posto policial, apresenta velocidade dentro dos limites permitidos
pela rodovia, o que se pode afirmar com relação à transposição do
percurso pelo veículo, entre os postos, sabendo-se que neste trecho o
limite de velocidade permitida é de 110 km/h?
Note então que os termos destacados envolvem a grandeza tempo,
simplificando o enunciado, a banca afirma que um veículo passou em um
posto policial A às 9h 30min e 20 s e depois passou por um posto B às
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10 h 20 min e 40 s e ainda afirmou que há um adiantamento de 3min e
10s do relógio do posto A em relação ao relógio do posto B.
't = tfinal - tinicial
Mas antes vamos arrumar o relógio A, que na verdade, em relação ao
relógio B (nosso relógio de referência) marcaria 9h 30min e 20s ± 3min
e 10s = 9h 27min e 10s.
Portanto, o intervalo de tempo 't seria:
't = tfinal - tinicial = 10h 20min e 40s ± 9h 27min e 10s
't = 53min e 30s
Note que o cálculo do 't não é tão simples como era o do instante de
tempo, a questão ainda pode atrapalhar a nossa vida inserindo esse
adiantamento de um relógio em relação ao outro e dificultar o raciocínio.
1.3 Móvel
Móvel é um conceito muito simples, em diversas questões de prova a
banca pode se referir a esse termo, que nada mais é do que um corpo
que pode se movimentar de acordo com os ditames que o problema
especificar em seu enunciado.
Um móvel pode ser um bloco, um veículo, um helicóptero, uma
pessoa, etc.
Os móveis são separados em dois grandes subgrupos, que são os pontos
materiais e os corpos extensos.
1.3.1 Ponto material
Ponto material é um conceito um pouco mais difícil de entender, mas não
se preocupe que vamos tornar a sua vida fácil.
Ponto material é um móvel ou um corpo cujas suas dimensões não são
importantes/relevantes para a análise do problema.
Um exemplo bem simples: Uma formiga caminhando num campo de
futebol da magnitude do maracanã.
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É claro que o tamanho da formiga não será relevante para saber se ela
está mais próxima da linha de fundo ou do círculo central do campo.
Já pensou se em cada problema desse você tivesse que responder assim:
³D�SDWD�GD�IUHQte da formiga está a uma distância de X metros da trave
enquanto que a pata traseira está a uma distância de X + 0,0000001
mm. Os problemas seriam realmente impraticáveis.
Outro exemplo bem simples, que veremos em breve nesta aula é a
ultrapassagem de móveis. Quando queremos analisar o tempo que leva
para um corpo ultrapassar outro, é interessante que você saiba se
estamos lidando com um corpo extenso ou com um ponto material, pois
se estivermos tratando de um ponto material, a ultrapassagem será
completada quando um corpo alcançar o outro, não se levando em conta
as dimensões de cada um deles na análise do problema.
Veja as figuras abaixo e responda em qual delas temos um ponto
material.
Figura 1
Figura 2
Resposta: É na figura 2 que temos pontos materiais, pois as dimensões
dos veículos nem foram citadas no problema, e não devem importar na
resolução de problemas envolvendo a cinemática de seus movimentos.
1.3.2 Corpo Extenso
Após entender o ponto material, fica muito mais fácil de compreender que
o corpo extenso é o oposto. Se um ponto material é um móvel ou corpo
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cujas dimensões não são relevantes para a resolução dos problemas, o
corpo extenso apresenta dimensões consideráveis.
No maracanã, uma formiga tem dimensões irrelevantes e por isso é
tratada como ponto material. Por outro lado, um helicóptero pousado
sobre o campo tem dimensões relevantes em um problema de Física.
No último exemplo do tópico anterior, podemos notar que no caso da
figura 1 os caminhões são tratados como corpos extensos, pois suas
dimensões são relevantes na resolução dos problemas, inclusive a figura
apresenta o valor do comprimento do caminhão, informação muito
importante para, por exemplo, o cálculo do tempo de ultrapassagem.
1.4 Posição, Variação da posição e Espaço percorrido
Posição é a medida da distância que um corpo guarda da origem de um
referencial, medida ao longo dele. Pode ser positiva ou negativa, de
acordo com a origem do sistema de referência. Geralmente simbolizada
pela letra ³6´
Note, no desenho acima, que uma das posições da bola é S = +2m.
Podemos ter ainda posições negativas ou nulas, como no caso do móvel
posicionado antes da origem ou sobre ela.
Variação da posição, por sua vez, é o famoso 'S, que nada mais é do que
a diferença entre a posição final e a posição inicial de um móvel
quando em movimento sobre uma trajetória em um determinado
referencial. Observe a figura abaixo:
A posição final do corpo é SF = 9m enquanto que a posição inicial é S0 =
4m. Portanto, a variação da posição ou 'S = = 9m ± 4m = 5m.
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Basta você subtrair as posições.
Note, deste conceito, que podemos ter três situações distintas para o 'S:
¾ Positivo: Quando a posição final é maior que a inicial. Nesse caso o
corpo está se movendo no sentido positivo da trajetória.
¾ Negativo: Quando a posição final é menor que a inicial. Nesse caso
o corpo está se movendo no sentido negativo da trajetória.
¾ Nulo (zero!): Quando as posições final e inicial são iguais. Nesse
caso corpo sai e volta para a mesma posição.
Espaço percorrido é o espaço efetivo (sem levar em conta se o corpo está
a favor ou contra a trajetória, verificando apenas a distância efetivamente
percorrida) que o corpo percorre quando em movimento em um
determinado sistema de referência. Observe a figura abaixo:
Nela, podemos afirmar que o corpo ao se mover da posição S0 = +2m
para a posição SF = -2m, percorreu uma distância efetiva de 4m.
Assim, no cálculo o espaço percorrido ou distância percorrida, não se
levam em conta sinais ou sentidos positivos ou negativos. Todas as
distâncias são consideradas em módulo.
A consequência mais direta é o fato de que a distância percorrida é, se
houver movimento em relação a um referencial, sempre positiva.
Veja que se o corpo parte da posição +2m e volta para ela, perfazendo a
trajetória acima, ou seja, indo até a posição -2m, o seu 'S é nulo, pois o
corpo saiu e voltou para a mesma posição. No entanto, o espaço
percorrido não foi nulo, muito pelo contrário, o espaço percorrido foi de
4m (ida) + 4m (volta) = 8m (total)
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1.5 Movimento e Repouso
Esses dois conceitos devem gerar muita confusão na cabeça sua cabeça,
e agora você vai ver como nunca foi tão fácil entender movimento e
repouso.
Você deve se lembrar do conceito de referencial. Se não lembrar volte
algumas páginas para refrescar a memória. Acredito que o conceito de
posição você também se lembra, afinal de contas acabamos de ver no
item anterior.
Movimento e repouso então são duas situações físicas as quais podemos
resumir em dois conceitos bem simples:
¾ Movimento: Um corpo está em movimento em relação a um
referencial R, se a sua posição muda com o passar do tempo, em
relação a R.
¾ Repouso: Um corpo está em repouso em relação a um referencial
R, se a sua posição não muda com o passar do tempo, em
relação a R.
Observe que esses dois conceitos dependem do referencial adotado.
Fixado o referencial, basta ver se a posição do corpo muda ou se se
mantém constante ao longo do tempo.
Na figura acima, podemos fazer algumas observações:
¾ O ônibus amarelo encontra-se em movimento em relação ao
observador fixo na Terra, pois sua posição vai diminuindo em
relação ao
homem sentado.
¾ O ônibus encontra-se em repouso em relação a um observador fixo
dentro do ônibus, pois a posição do ônibus é sempre a mesma para
quem está parado dentro do ônibus.
¾ O Senhor de camisa roxa encontra-se em repouso em relação à
terra, pois sua posição não muda em relação à Terra. Por outro lado
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o Senhor de camisa roxa encontra-se em movimento em relação ao
ônibus, pois a medida que o tempo passa a sua posição muda em
relação ao ônibus, ele vai ficando mais próximo do ônibus.
¾ As duas pessoas que se encontram dentro do ônibus encontram-se
em repouso uma em relação a outra, pois suas posições se mantêm
as mesmas.
¾ As pessoas dentro do ônibus encontram-se em movimento em
relação à Terra, pois suas posições mudam com o passar do tempo.
Ufa! Viram quantas possibilidades de situações de movimento e repouso
podemos ter nessa situação aparentemente simples.
1.6 Trajetória
Esse é o último conceito básico que precisamos aprender antes de
adentrar nos cálculos de velocidade média.
Trajetória é um conceito bem tranquilo. Podemos defini-la como sendo a
linha geométrica que o corpo descreve em relação a um referencial
quando em movimento em relação a esse referencial.
A trajetória pode assumir o formato de diversas figuras geométricas
como, por exemplo, retas, curvas, elipses, parábolas, etc.
Note que é mais um conceito que depende do referencial adotado, ou
seja, a trajetória de um corpo pode ser ³$´ em relação ao referencial 1,
ao passo que pode ser ³%´ em relação ao referencial 2.
Para ficar mais claro vamos a um exemplo:
Na figura acima, um avião deixa cair uma bomba para que exploda na
Terra.
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Se eu lhe perguntasse qual a trajetória da bomba, qual seria a sua
resposta?
Exatamente Aderbal, a trajetória é um conceito relativo, portanto,
precisamos saber o referencial para responder à pergunta.
Pois bem, em relação à Terra, qual seria a trajetória da bomba?
Em relação à Terra, é fácil: basta notar que o corpo além da queda
vertical, sofrerá um movimento na horizontal, devido a velocidade do
avião, que é compartilhada pela bomba.
Assim, a trajetória será uma curva parabólica, em relação à Terra.
Por outro lado, a trajetória da bomba em relação ao piloto do avião ou a
qualquer um que esteja dentro dele será uma reta vertical, pois aquele
movimento horizontal que a bomba sofre, o avião e todos que estão
dentro dele também sofrem, assim não se nota o movimento horizontal
da bomba de dentro do avião, apenas o vertical.
2. Velocidade escalar média
É a partir daqui que talvez você comece a ter dificuldades e meu papel é
fazer as coisas ficarem fáceis para você.
Velocidade média é um conceito fácil, que você provavelmente já utilizou
no seu dia a dia. Imagine a situação abaixo descrita, a qual tem relação
direta com o conceito de velocidade média.
³(P� XPD� YLDJHP�� YRFr� Mi� GHYH� WHU� IHLWR� D� VHJXLQte afirmação: se eu
mantiver uma velocidade média de X km/h chego ao meu destino em Y
KRUDV´�
Você talvez não saiba, mas nessa situação você utilizou o conceito de
velocidade média. Veja abaixo o conceito.
Ora professor, eu lhe responderia com
RXWUD�SHUJXQWD��³HP�UHODomR�D�TXHP´"
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³Velocidade média é a variação da posição ocorrida em um
referencial por unidade de tempo´.
Matematicamente,
total
total
SV
t
' '
Parece simples, e é simples mesmo.
No exemplo da viagem, o que você fez foi calcular o tempo, e não a
velocidade média, mas tudo se passa da mesma forma. Você conhecia a
velocidade média e a distância e assim efetuou um cálculo simples para
obter ao intervalo de tempo.
Portanto, o que devemos fazer para calcular a velocidade média de um
corpo é dividir o 'Stotal pelo 'ttotal.
Observe o exemplo prático abaixo:
Qual é a velocidade média do veículo representado na figura acima?
É simples mesmo. Basta calcular o 'Stotal e dividi-lo pelo 'ttotal.
Portanto,
total
total
final inicial
final inicial
SV
t
S SV
t t
190km 30kmV
2h 0h
160kmV
2h
V 80km / h
' '
� �
� �
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As questões mais difíceis de velocidade média são aquelas em que o
percurso é dividido em várias partes, obrigando o aluno a fazer vários
cálculos.
Nesse tipo de questão, basta você ir com calma calculando em partes o
intervalo de tempo e o 'S correspondente.
2.1 Diferença entre velocidade média e velocidade instantânea
Observe que a velocidade média calculada no último exemplo do item
anterior (80km/h) não nos permite afirmar que durante todo o intervalo
de tempo de 2h o veículo desenvolveu essa velocidade de modo
constante. Provavelmente, em virtude de condições adversas de trânsito
o veículo deve ter desenvolvido velocidades menores e por vezes maiores
que a velocidade média de 80km/h.
É daí que nasce o conceito de velocidade instantânea.
Velocidade instantânea seria a velocidade que o corpo possui num
determinado instante de tempo, e você já sabe o que é instante de
tempo, é aquele momento considerado em si só.
Caro Aderbal, a velocidade instantânea é aquela que aparece no
velocímetro do seu carro e do nosso nobre aluno.
Professor, onde eu posso
observar a velocidade
instantânea?
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No Velocímetro acima a velocidade instantânea do veículo no momento
em que a foto foi batida era de 120km/h.
Observe um exemplo que ocorre comigo com frequência:
Moro atualmente em Juazeiro do Norte, no interior do Ceará, região do
Cariri. Em minhas viagens com a família para Fortaleza (visitar os pais)
geralmente levo 6 horas para percorrer os 540km que separam as duas
cidades na trajetória da BR 116.
Qual é a velocidade média desenvolvida por min durante uma de minhas
viagens de carro para Fortaleza?
Basta aplicar a fórmula vista acima:
total
total
SV
t
540kmV
6h
V 90km / h
' '
Portanto, na média, percorri 90km a cada hora.
Mas vocês acham mesmo que com mulher e filha dentro do carro é
possível percorrer a cada hora noventa quilômetros, durante um trajeto
de 540km? A resposta é negativa!
Geralmente durante uma viagem longa temos algumas paradas para
reabastecimento, alimentação,
etc.
Então como é possível desenvolver uma velocidade média de 90km/h?
É simples, basta desenvolver velocidades instantâneas maiores durante o
movimento, isso significa que em alguns vários momentos da viagem eu
desenvolvi velocidades instantâneas de 100km/h, 120km/h, 140km/h,
para compensar os momentos de paradas e de velocidades reduzidas.
Acredito que agora você compreendeu o conceito de velocidade média e
sua diferença em relação à velocidade instantânea.
2.2 Unidades de velocidade
Esse é outro tema muito importante que aparece sempre em provas para
fazer você errar, algo que doravante não acontecerá mais.
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Existem várias unidades de velocidade e você deve estar atento para a
transformação entre elas.
A unidade utilizada pelo Sistema Internacional (SI) é o m/s (metro por
segundo), se você tem dúvidas quanto a isso, volte às tabelas da aula
00, foi lá que eu lhe ensinei como determinar a unidade de uma grandeza
física.
Essa unidade, no entanto, não é a mais usual. No nosso dia a dia as
velocidades são expressas na maioria das vezes em Km/h.
A unidade do resultado será dada de acordo com os dados fornecidos na
questão. Se em uma questão são fornecidas distâncias em Km e tempos
em h, a resposta será em Km/h. Por outro lado, se as distâncias foram
expressas em m e os tempos em s, a velocidade será fornecida em m/s.
Boa pergunta!
É isso que gera muitos erros. O candidato bem preparado então deve
transformar as unidades, e isso é feito de acordo com o quadro abaixo:
Exemplos:
Professor, mas se na
questão ele fornecer os
dados em uma unidade e
pedir a resposta em outra?
Como eu faço?
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¾ 36km/h = 10m/s
¾ 72km/h = 20m/s
¾ 108km/h = 30m/s
¾ 54km/h = 15m/s
Eu não recomendaria, a princípio, transformar a distância, depois
transformar o tempo e finalmente dividir um pelo outro. Prefira
transformar o resultado.
Existem outras unidades menos comuns, mas que poderemos abordar
durante as questões.
3. Movimento Retilíneo e Uniforme
O movimento retilíneo e uniforme é um dos movimentos que são
cobrados em provas de concursos, para estudá-lo você precisa estar
afiado em velocidade média, que foi o assunto que acabamos de tratar.
No seu dia a dia, você certamente já se deparou com situações
envolvendo veículos em MRU.
3.1 Conceito
O Movimento Retilíneo e Uniforme ± MRU é aquele movimento cuja
trajetória é retilínea e o módulo da velocidade se mantém constante
durante todo o movimento.
Desse conceito podemos tirar duas conclusões:
a) Pelo fato de a trajetória ser retilínea, podemos afirmar que não há
curvas no movimento. Assim a aceleração centrípeta do corpo é nula.
Esse assunto não será abordado nessa aula, mas vale a pena explicar
apenas que aceleração centrípeta é uma das componentes da
aceleração e ela só existe quando a trajetória é curvilínea (possui
curvas) como não temos curvas, não temos aceleração centrípeta.
Professor, mas o que é
essa tal aceleração
centrípeta?
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b) Pelo fato de a velocidade se manter constante em módulo, então
podemos afirmar que o movimento não terá aceleração tangencial.
A aceleração tangencial é a componente da aceleração que aparece em
trajetórias retilíneas (retas) ou curvilíneas (possui curvas), mas que tem
por função a modificação do módulo (valor, intensidade) da velocidade.
Assim, a conclusão a que chegamos é que no MRU não há aceleração de
nenhuma natureza, seja ela tangencial ou centrípeta.
Portanto, o vetor velocidade manter-se-á constante em módulo,
direção e sentido.
Como a velocidade se mantém constante, podemos afirmar também que
a velocidade média é sempre a mesma, ou seja, a velocidade média
é sempre igual à velocidade instantânea, que por sua vez é constante
também, durante todo o movimento.
O MRU pode ser representado esquematicamente na forma abaixo:
Qualquer que seja o instante de tempo, a velocidade terá sempre o
mesmo módulo, a mesma direção e também o mesmo sentido.
Desse conceito podemos concluir que para intervalos de tempos iguais,
teremos sempre o mesmo 'S ou espaço percorrido (no caso do MRU
Professor, mas o que é
essa tal aceleração
tangencial?
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não há distinção entre 'S e espaço percorrido). Veja a representação
gráfica abaixo.
Note que para intervalos de tempos iguais a 1s, temos sempre o mesmo
'S ou espaço percorrido de 4m.
Essa é uma das principais consequências do MRU, e pode ser cobrada em
uma questão teórica contextualizada com a prática em qualquer concurso,
principalmente os das áreas policiais.
Esses exemplos ilustram bem o conceito do MRU que você deve ter em
mente no momento da prova, bem como para situar-se nos mais diversos
tipos de movimento que serão estudados no decorrer do nosso curso.
3.2 Classificação do MRU
O MRU pode ser classificado de acordo com o sentido do movimento em
dois tipos. Veja.
a) Movimento Progressivo:
É o movimento no qual o móvel percorre a trajetória no sentido positivo
das posições. Simplificadamente, a favor da trajetória.
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Na figura acima podemos afirmar que a velocidade do corpo é sempre a
mesma (30 km/h) e também que a motocicleta move-se a favor da
trajetória, em movimento progressivo.
Note que no movimento progressivo as posições do corpo aumentam com
o tempo, de modo que as posições finais são sempre maiores que as
iniciais. (Sfinal > Sinicial).
Da observação acima podemos chegar à seguinte conclusão:
final inicial
final inicial
SV
t
S SV , como S S e t 0 (sempre)
t
V 0
' '
� ! ' !'
!
Portanto, a conclusão a que chegamos é que em todo movimento
progressivo a velocidade é positiva.
MOVIMENTO PROGRESSIVO o V > 0
b) Movimento retrógrado:
No movimento retrógrado, os conceitos se invertem.
É o movimento no qual o móvel percorre a trajetória no sentido negativo
das posições. Simplificadamente, contra a trajetória.
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Na figura
acima podemos afirmar que a velocidade do corpo é sempre a
mesma (-30km/h) e também que a motocicleta move-se contra a
trajetória, em movimento retrógrado.
Note que no movimento retrógrado as posições do corpo diminuem com o
tempo, de modo que as posições finais são sempre menores que as
iniciais. (Sfinal < Sinicial).
Da observação acima podemos chegar à seguinte conclusão:
final inicial
final inicial
SV
t
S SV , como S S e t 0 (sempre)
t
V 0
' '
� � ' !'
�
Portanto, a conclusão a que chegamos é que em todo movimento
retrógrado a velocidade é negativa.
MOVIMENTO RETRÓGRADO o V < 0
É fundamental que você, candidato, não confunda a classificação acima
estudada com outro conceito que é o de movimento acelerado e
retardado, estes últimos são dois conceitos bem distintos, que serão
estudados em um momento posterior de nossa aula, quando estivermos
lidando com os movimentos variados.
3.3 Equação Horária do MRU
Nesse ponto iremos estudar a equação horária do MRU, será através dela
que vamos determinar a posição de um corpo de acordo com o tempo.
Fazendo uso da equação horária ou equação do espaço no MRU,
poderemos determinar a posição do móvel em quaisquer instantes
de tempo, para isso bastam ser conhecidas a velocidade do corpo (que
é constante) e a posição inicial dele.
a) Velocidade do corpo (V):
Esse conceito é simples, já vimos que a velocidade de um corpo em MRU
é sempre constante, e essa velocidade é a sua própria velocidade média.
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b) Posição inicial (S0):
A posição inicial de um móvel em MRU é a posição que o móvel ocupa no
início da contagem dos tempos, ou seja, é a posição que o corpo ocupa
quando t0 = 0.
Não Aderbal, cuidado com o S0! A posição inicial não necessariamente
é igual à zero, mas pode ser.
Entenda bem, a posição inicial é o lugar que um móvel encontra-se
quando o movimento começa a ser estudado, e essa posição pode ou não
ser igual a zero.
Observe os exemplos abaixo:
Exemplo:
Um automóvel encontra-se inicialmente no km 0 da BR116 na rotatória da
avenida Aguanambi (que é o marco zero da BR116).
BR116
Km0
CE
O espaço inicial, caso o movimento do corpo comece a ser estudado
quando ele passar pelo km0 será igual à zero, ou seja, S0 = 0.
Exemplo:
Ah professor, esse S0 é aquele que é
sempre igual à zero?
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Por outro lado, caso o movimento do veículo comece a ser estudado
quando este se encontrar na cidade de Juazeiro do Norte, no Ceará, então
a posição inicial do automóvel não será igual à zero. Veja.
BR116
Km 0
CE
BR116
Km 540
CE
No caso acima o espaço inicial ou a posição inicial do móvel é igual a 540
km, ou seja, S0 = 540 km.
Portanto, não pense que o S0 será sempre igual a zero!
Vistos esses conceitos de posição inicial e velocidade, vamos à
demonstração da equação horária ou equação da posição de um corpo em
MRU.
Na figura acima o carrinho do Felipe Massa sai da posição S0 e depois,
num instante de tempo t qualquer, movendo-se com velocidade constante
V, ele encontra-se numa posição S.
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Nossa tarefa é encontrar uma equação que relacione os termos
negritados do parágrafo acima.
Então, vamos partir do conceito, que é o fato de a velocidade ser
constante o tempo inteiro.
� �
� �
' ' ''
� �
� �
�
0 0
0 0 0
0
S
V S V t
t
S S V t t
S S V t t , como na maioria dos movimentos t 0
S S V t
Chegamos assim à famosa fórmula:
0S S V t �
Perceba que essa fórmula irá nos fornecer os valores de S (posição) para
quaisquer instantes de tempo que você quiser.
Observe alguns exemplos:
S0 V S = S0 + Vt
3 m 2 m/s S = 3 +2t
6 m -3 m/s S = 6 ± 3t
0 m 4 m/s S = 4t
Na equação da primeira linha:
¾ S = 3 +2t
S T
3 m 0
7 m 2s
23 m 10s
Assim, você pode calcular qualquer S, conhecendo o valor de t.
Outra aplicação prática da equação da horária é o encontro de móveis e
ultrapassagem de corpos.
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Várias questões de prova envolvem esse fenômeno.
Na ultrapassagem de móveis, caso eles sejam pontos materiais, ela
ocorrerá quando as posições de ambos forem iguais.
Portanto, nas questões de ultrapassagem, podemos determinar as
equações das posições de cada um dos móveis e depois igualamos as
equações a fim de encontrar o instante de tempo no qual os corpos se
encontram.
Nos exercícios comentados vamos nos deparar com muitas questões
desse tipo.
3.4 Gráficos do MRU
O MRU pode ser representado graficamente, aliás, todo movimento pode
ser estudado graficamente. Nesse ponto da aula você precisará lembrar
alguns conceitos das aulas de matemática, precisamente de funções do 1º
grau.
No último ponto da aula chegamos à equação horária ou equação da
posição de um móvel quando em MRU.
0S S V t �
Essa equação pode ter o seu comportamento estudado por meio de um
JUiILFR� QR� SODQR� [2\�� RQGH� QRV� HL[RV� ´[´� H� ³\´� HVWDUmR� SRVWDGRV� RV�
YDORUHV�GH�³W´�H�³6´�UHVSHFWLYDPHQWH�
Assim, substituindo, teremos:
0y S V x
y a b x
�
�
Os valores de S0 e V são constantes e, portanto, podem ser substituídos
SHODV�OHWUDV�³D´�H�³E´��TXH�UHSUHVHQWDP�FRQVWDQWHV�
Da última equação, podemos concluir que o gráfico no plano xOy será
uma reta, pois a função horária passou a ser uma função do primeiro
grau.
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Vamos agora detalhar em cada tipo de movimento o gráfico
correspondente.
3.4.1 Gráfico S x t do MRU progressivo
No MRU progressivo, a velocidade é sempre positiva, se você não se
lembra desse detalhe, volte algumas páginas, onde foi detalhada toda a
classificação do MRU.
$VVLP��FRPR�WHPRV�9�!����SDUD�TXDOTXHU�³W´��E�!���
y a b x �
Logo a reta será crescente.
O gráfico acima representa um MRU progressivo.
É importante verificar que a inclinação da reta está diretamente ligada à
velocidade constante do móvel. Veja.
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S
t
S0
T
Cateto
oposto
Cateto
adjacente
S
0 t
o
n
C.O
tg
C.A
S S
tg
t 0
S
tg
t
tg V
T
�T �
'T '
T
Portanto, a velocidade constante do móvel em MRU é numericamente
igual à tangente do ângulo de inclinação da reta do gráfico (S x t).
Essa propriedade será bastante utilizada nas questões desta aula.
3.4.2 Gráfico S x t do MRU retrógrado
No caso do MRU retrógrado, o móvel percorre a trajetória no sentido
contrário ao sentido positivo dos espaços (marcha à ré).
A diferença é que à medida que o tempo passa, os espaços diminuem,
pois o móvel está se movendo contra a trajetória.
O gráfico continuará sendo uma reta, só que desta vez será uma reta
decrescente. Veja.
S
t
S0
S
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Em relação à observação que fiz no gráfico do movimento progressivo,
podemos afirmar que a mesma observação também é válida para o caso
do movimento retrógrado. Veja.
S
t
S0
T
Cateto
oposto
Cateto
adjacente
S
0
t
0
n
C.O
tg tg
C.A
S S
tg
t 0
S
tg
t
tg V
T � D
�T � �
�'T � '
T
Reta
decrescente
D
Assim, fica provado que a propriedade continua válida.
3.4.3 Gráfico V x t do MRU progressivo
Agora vamos estudar o gráfico V x t do MRU.
Nesse gráfico a análise matemática é bem mais simples, pois a velocidade
do móvel é constante.
Assim,
V K (constante)
Mais uma vez vamos postar os valores de t QR� HL[R� ³[´� H� R� UHVSHFWLYR�
valor de V FRQVWDQWH�QR�HL[R�³\´�
V K (constante)
y K
No gráfico, temos:
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V
t
V
Reta
constante
V > 0
Movimento
Progressivo
Ou seja, não há dificuldades em analisar o gráfico, pois será sempre uma
reta constante, paralela ao eixo dos tempos, uma vez que não haverá
variação do módulo da velocidade em um MRU.
O detalhe que você deve ficar atento é ao fato de que a reta estará
posicionada acima do eixo vertical, pois o movimento é do tipo
progressivo (V > 0).
3.4.4 Gráfico V x t do MRU retrógrado
Caro aluno, nesse ponto a única diferença é que no movimento retrógrado
a velocidade é negativa.
Aderbal, isso foi provado na parte de classificação dos movimentos, mas
YRX�³TXHEUDU�VHX�JDOKR´�H�OKH�GDU�HVVD�³FROKHU�GH�FKi´�
Não se esqueça de que a velocidade está diretamente ligada ao fato de o
movimento estar a favor ou contra a trajetória.
¾ A favor da trajetória: V > 0 (progressivo)
¾ Contra a trajetória: V < 0 (retrógrado)
Professor, por que no movimento
progressivo a velocidade é positiva e
no retrógrado ela é negativa?
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Voltando ao gráfico do MRU retrógrado, estávamos falando acerca da
velocidade negativa no movimento retrógrado.
Assim, o gráfico tem a seguinte representação:
V
t
V
Reta
constante
V < 0
Movimento
Retrógrado
A reta estará posicionada abaixo do eixo dos tempos, por ter a velocidade
sempre valores negativos.
3.4.5 Propriedade do gráfico V x t do MRU
Para finalizar o assunto de Gráficos do MRU, temos que demonstrar uma
propriedade importante que existe no gráfico V x t.
Acima, ficou claro que o gráfico V x t é uma reta paralela ao eixo dos
tempos. Agora vamos verificar uma propriedade importante que será
utilizada na resolução de algumas questões.
Vamos calcular a área abaixo do gráfico (lembre-se de que a área será o
produto da base pela altura do retângulo).
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V
tt2t1
V
A
2 1
n
A b h
A (t t ) V
A t V
A S
u
� u
' u
'
Portanto, podemos afirmar que no gráfico V x t do MRU a área sob o
gráfico é numericamente igual ao 'S.
N
A S '
4. Movimento Retilíneo e Uniformemente Variado ± MRUV.
Como já foi dito anteriormente o MRUV é um movimento muito
importante, ele está envolvido em frenagens e acelerações, de modo que
a velocidade será sempre variável, é muito comum a análise de cenas
de acidentes de trânsito no qual um perito, por exemplo, ou um PRF faz
uma estimativa de velocidade do veículo a partir da marca de frenagem
na pista, e você vai aprender a fazer isso nas próximas páginas.
Cuidado Aderbal!
Nem todo movimento que possui velocidade variável será um MRUV, mas
todo MRUV possui velocidade variável.
Professor, então se o movimento
tiver velocidade variável então ele é
um MRUV?
Professor, isso tá
parecendo raciocínio
lógico.
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Pois é Aderbal, parece mesmo, mas para você entender bem essa história
de velocidade variável, você precisa é conhecer o conceito de MRUV.
Vamos ao conceito.
4.1 Conceito
2�0589�WHP�FRPR�FRQFHLWR�R�VHJXLQWH��³e�DTXHOH�PRYLPHQWR�TXH�SRVVXL�
trajetória retilínea e aceleração constante´�
Veja que o próprio nome já te dá uma dica:
M o Movimento
R o Retilíneo o trajetória é uma reta
U o Uniformemente o variação uniforme
V o Variado o velocidade variável
Vamos por partes:
a) Trajetória retilínea: isso significa que a trajetória é uma reta, fato
simples de se entender pela própria etimologia da palavra. Isso vai gerar
uma consequência já vista anteriormente, que é o fato de a aceleração
centrípeta ser nula.
Exatamente Aderbal!
É bem previsível que se a trajetória é retilínea, então não pode haver a
aceleração centrípeta, uma vez que esta é responsável pela mudança na
direção do movimento e a direção será sempre a mesma (reta).
b) Aceleração constante: A aceleração é um conceito que você precisa
conhecer antes de prosseguimos no conceito.
Professor, essa tal aceleração
centrípeta é aquela responsável
pela mudança na direção do
movimento?
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*Aceleração
A aceleração trabalhada nesta aula é a aceleração tangencial, ou seja,
tangente à trajetória e tem a função de modificar o módulo da
velocidade.
Assim,
a aceleração é a grandeza cinemática responsável pela
medida do aumento ou redução no valor da velocidade do móvel,
de acordo com o tempo.
Podemos resumir o conceito de aceleração como a grandeza física que
nos indica o ritmo com que a velocidade escalar de um móvel varia.
A aceleração escalar média corresponde à aceleração escalar que o móvel
poderia ter mantido constante num certo intervalo de tempo.
Boa pergunta Aderbal!
Para calcular essa aceleração é muito simples, você e o concurseiro que
estiver acompanhando essa aula terão de memorizar a fórmula abaixo:
t
V
a '
'
É bem previsível a fórmula acima, basta você lembrar-se do conceito de
aceleração, que é a grandeza responsável pela medida da variação da
velocidade, a fórmula então traduz a variação da velocidade no intervalo
de tempo correspondente.
A aceleração é, portanto, a medida da taxa de variação da velocidade no
tempo.
Professor, e como eu
calculo essa
aceleração tangencial
que vamos trabalhar
nessa aula?
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No Sistema Internacional (SI), a unidade para a aceleração escalar média
é o metro por segundo por segundo (m/s/s), que abreviamos por m/s2.
Outras unidades podem ser utilizadas, tais como cm/s2 e km/h2.
Visto o conceito de aceleração, vamos a alguns exemplos para fixar a
ideia de aceleração:
Exemplo (VINÍCIUS SILVA): Um automóvel trafega na BR116 e é
observado por um radar móvel quando passa pelo KM25, às 08:00,
na cidade de Horizonte, com uma velocidade de 15m/s. Ao passar
pelo KM145, às 09:30, sua velocidade foi verificada pelo radar fixo
do posto policial, que registrou o valor de 162km/h. Qual foi a
aceleração média do veículo no seu trajeto de Horizonte até
Russas?
Questão simples, mas que está rodeada de detalhes que devem ser bem
explicados.
Primeiramente veja que o enunciado solicitou o cálculo da aceleração
média, que é a aceleração suposta constante em todo o intervalo de
tempo, o conceito aqui é semelhante ao de velocidade média. Vamos ao
cálculo, depois voltamos a explicar essa história de aceleração média.
Partindo da fórmula que foi colocada, temos:
t
V
a '
'
Precisamos encontrar a variação da velocidade que é a subtração da
velocidade final da inicial, assim:
smsmsmVVV INICIALFINAL /30/15/6,3
162 � � '
Observe que a velocidade em km/h foi transformada para m/s, de acordo
com o que foi explicado na parte inicial desta aula.
Logo, a velocidade aumentou 30m/s durante o trajeto do veículo.
A variação do tempo é simples também, basta subtrair os instantes de
tempo final do inicial. Vejamos.
sxttV INICIALFINAL 54006090min9030:100:0830:09 � � '
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Para obtermos a aceleração, basta aplicar a fórmula:
2/0056,0
5400
/30
sm
s
sm
t
V
a '
'
Ou seja, a velocidade aumentou em média, 0,0056m/s a cada segundo
que se passou. O valor acima foi pequeno por conta do intervalo de
tempo, geralmente as acelerações são calculadas em curtos intervalos de
tempo da ordem dos segundos.
Exemplo (VINÍCIUS SILVA): O condutor de um automóvel de
passeio envolvido em um acidente relatou ao Policial Rodoviário
de plantão que trafegava com uma velocidade de 72km/h no
momento em que avistou o caminhão parado na pista e freou
bruscamente, contudo o espaço entre os veículos não foi
suficiente para evitar o acidente, pois o automóvel ao colidir
estava a uma velocidade de 10m/s. Considerando que o tempo
decorrido desde a pisada no freio e a colisão foi de 5s, calcule a
aceleração do veículo, suposta constante.
Trata-se de mais um bom exemplo de aceleração em movimentos
variados, nesse problema vamos continuar aplicando a fórmula da
aceleração.
t
V
a '
'
Vamos calcular a variação da velocidade, uma vez que a variação do
tempo foi fornecida quase que diretamente (5s).
smsmsmVVV INICIALFINAL /10/6,3
72/10 � � � '
Mais uma vez, tivemos de transformar uma das velocidades dadas em
km/h em m/s.
Portanto a aceleração será dada por:
2/2
5
/10
sm
s
sm
t
V
a � � '
'
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O significado dessa aceleração é que a velocidade do corpo diminuiu (sinal
negativo) 2m/s a cada segundo que passou.
Exemplo: (PM ± OFICIAL ± CESPE/2012) Considere que, durante uma
perseguição policial, uma viatura conduzida por um oficial combatente
tenha atingido 100 km/h em 11,2 s, tendo partido do repouso em um
movimento retilíneo uniformemente acelerado. Nessa situação, o módulo
da aceleração escalar da viatura, nesse percurso, foi
A) inferior a 0,3 m/s².
B) superior ou igual a 0,3 m/s² e inferior a 1 m/s².
C) superior ou igual a 1 m/s² e inferior a 5 m/s².
D) superior ou igual a 5 m/s² e inferior a 9 m/s².
E) superior ou igual a 9 m/s².
Basta usar mais uma vez a definição de aceleração, atentando para o fato
de ter de transformar a velocidade final atingida pelo veículo para a
unidade correta, qual seja, m/s2.
Assim,
2
100 0
3,6
11,2
2,48 /
V
a
t
a
a m s
' '
�
.
Logo, a resposta correta é a alternativa C.
Bom, esses três exemplos ilustram bem a ideia de aceleração e o cálculo
básico do seu valor.
Assim, podemos concluir o seguinte:
x Se a > 0 o V aumenta
x Se a < 0 o V diminui
$JRUD�YDPRV�YROWDU�DR�LWHP�³E´�do conceito de MRUV.
Estávamos afirmando que o MRUV é um movimento cuja aceleração é
constante.
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Portanto, a variação da velocidade em um MRUV pode ser considerada
constante com o tempo, ou seja, a velocidade aumenta ou diminui de
maneira uniforme.
Exatamente Aderbal!
O MRUV tem esse nome porque a velocidade varia de maneira uniforme
e isso quer dizer que a aceleração é constante. Essa ideia tem que ficar
bem sedimentada na sua cabeça.
Lembre-se de que no MRU, para tempo iguais tínhamos espaços iguais
percorridos pelo móvel. No MRUV as coisas mudam um pouco e os
espaços podem aumentar ou diminuir com o tempo.
No esquema abaixo você verifica que no MRUV os espaços podem
diminuir ou aumentar de acordo com a situação apresentada.
x Quando V aumenta espaços maiores no mesmo intervalo de
tempo.
x Quando V diminui espaços menores no mesmo intervalo de
tempo.
Nesse caso como a pessoa
AUMENTA o seu
deslocamento no mesmo
intervalo de tempo então a
velocidade da pessoa
aumenta.
Nesse caso a pessoa em
MRUV DIMINUI o seu
deslocamento no mesmo
intervalo de tempo, então a
velocidade da pessoa
diminui.
Professor, é por isso
que o MRUV é
uniformemente
variado?
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4.2 Classificação do MRUV
Na classificação do MRUV vamos ter que levar em conta 2 parâmetros
para classificá-lo. Vamos analisar a VELOCIDADE e a ACELERAÇÃO, já
que no MRUV a z 0. De acordo com essas duas grandezas, podemos ter
um movimento ACELERADO ou RETARDADO, observe os passos que
devemos acompanhar para uma boa classificação:
x 1º Passo: Analisar a velocidade do movimento, se positiva (a favor
da trajetória) ou negativa (contra a trajetória).
x 2º Passo: Analisar a aceleração do movimento, se positiva ou
negativa.
x 3º Passo: Se V e a tem o mesmo sinal movimento acelerado
Se V e a tem sinais contrários movimento retardado
Exatamente Aderbal!
Pode ser que tenhamos um movimento com aceleração negativa e mesmo
assim ele pode ser acelerado, pois de acordo com o que foi exposto
acima, um movimento acelerado não é aquele que tem aceleração
positiva, e sim aquele que possui velocidade e aceleração com o
mesmo sinal.
É muito importante que seja entendido esse conceito de classificação,
pois é muito comum bons alunos escorregarem nesta casca de banana e
acharem que por ter aceleração positiva o movimento necessariamente
deve ser acelerado.
Podemos montar a seguinte tabela:
VELOCIDADE ACELERAÇÃO MOVIMENTO
POSITIVA (+) POSITIVA (+) ACELERADO E PROGRESIVO
NEGATIVA (-) NEGATIVA (-) ACELERADO E RETRÓGRADO
POSITIVA (+) NEGATIVA (-) RETARDADO E PROGRESSIVO
NEGATIVA (-) POSITIVA (+) RETARDADO E RETRÓGRADO
Professor, então pode ser que eu tenha um
movimento com a < 0 e mesmo assim
pode ser um movimento acelerado? Como
é essa história aí?
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A conclusão é:
x Movimento acelerado: |V| aumenta com o tempo.
x Movimento retardado: |V| diminui com o tempo.
5. Equação da velocidade
Neste item vamos aprender a equação da velocidade, demonstrá-la a
partir do conceito de MRUV.
Ótima pergunta Aderbal!
É simples, o motivo: no MRU a velocidade é constante, não precisa de
equação para estudar o seu comportamento com o tempo. Por outro lado,
no MRUV a velocidade é variável, cabendo uma equação para estudar a
sua variação de acordo com o tempo.
Vamos partir do conceito de aceleração constante. Se a aceleração é
constante, então a aceleração média também é constante, assim:
0,.
),.(
.
00
00
�
� �
' '
'
'
tparataVV
ttaVV
taV
t
V
a
Chegamos à equação da velocidade de um MRUV.
taVV .0 �
Professor, por que
temos uma equação da
velocidade para o
MRUV e para o MRU
não?
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Essa equação é muito parecida com a equação da posição de um MRU a
diferença é que no MRUV, quem é constante é a aceleração e não a
velocidade, portanto, partimos de dois conceitos diferentes para chegar
à equação.
De posse dessa fórmula, podemos encontrar a velocidade do corpo
qualquer que seja o instante de tempo.
Observe os exemplos abaixo:
V0 a Equação V = V0 + a.t
2 m/s 3 m/s2 V = 2 +3.t (SI)
5 m/s -2 m/s2 V = 5 ± 2.t (SI)
-3 m/s -4 m/s2 V = -3 - 4.t (SI)
0 -2 m/s2 V = -2.t (SI)
0 1,0 m/s2 V = 1,0.t (SI)
Vamos tomar as duas primeiras equações e calcular alguns valores para a
velocidade, dado o tempo.
Equação V = V0 + a.t T V
V = 2 +3.t (SI) 1s 5m/s
V = 2 +3.t (SI) 4s 14m/s
V = 5 ± 2.t (SI) 2s 1m/s
V = 5 ± 2.t (SI) 10s -15m/s
6. Equação horária do espaço
A equação horária do espaço é a equação que relacionará as posições de
acordo com o tempo.
Existem diversas formas de se demonstrar a equação do espaço para um
móvel que executa um MRUV, vamos utilizar uma propriedade gráfica
vista nas páginas anteriores, que serve para todo tipo de gráfico, você
entenderá melhor no item em que explicaremos o gráfico da velocidade
em função do tempo.
O gráfico da velocidade em função do tempo será obtido mediante a
equação da velocidade vista no item anterior.
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taVV .0 �
Na equação acima, caso postássemos os valores de V no eixo y e de t no
eixo x, teríamos uma reta inclinada de acordo com o sinal da aceleração,
que neste caso é o coeficiente angular da reta. (os detalhes gráficos serão
explicados no item correspondente, não se preocupe em entender o
gráfico nesse momento, apenas aceite).
Assim, o gráfico será uma reta da seguinte forma:
A propriedade do gráfico de que vamos precisar é a área sob o gráfico,
numericamente igual à variação do espaço, ou seja, �'S = Área.
� �
� �
� �
0
0
0 0
2
0 0
2
0 0
2
,
2
2
2
2
B b
A h
V V
S t comoV V a t
V a t V
S t
a t
S S V t
a t
S S V t
�
� ' �
� � '
� �
� �
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Essa equação relaciona a posição (espaço) e o tempo para um móvel que
executa um MRUV. Observe que se trata de uma equação do 2º grau em
t.
Caso tenhamos a equação podemos também retirar dela dados
importantes acerca do movimento, observe a tabela abaixo onde constam
alguns exemplos de equações horárias:
S0 V0 a Equação
1 m 3 m/s 4 m/s2 S = 1+3t+2t2 (SI)
0 7 m/s 8 m/s2 S = 7t+4t2
0 3 m/s2 -2 m/s2 S = 3t ± t2
0 0 6 m/s2 S = 3t2
5 m 0 -12 m/s2 S = 5 ± 6t2
Note que o número que DFRPSDQKD�R�WHUPR�³W´ é igual à velocidade
inicial V0, já o número que acompanha o termo t2 é igual a a/2(metade
da aceleração) e o termo independente é igual à posição inicial S0.
Exemplo: Um automóvel trafega em MRUV segundo a função horária
S = 12 - 8 t + 4.t2, no S.I. Determine:
a) a sua posição inicial, a sua velocidade inicial e a sua aceleração;
b) a função horária da velocidade;
c) o instante em que o móvel inverte o sentido do movimento;
d) qual a sua posição no instante 10s;
e) classifique o movimento para o instante t = 3s.
Vamos lá!
a) Facilmente identificamos S0 (termo independente), V0 (termo que
acompanha t) e a (dobro do termo que acompanha t2).
S0 = 12m; V0 = -8m/s; a = 8m/s2.
b) Para obter a equação da velocidade, basta aplicar na fórmula já vista
taVV .0 � , assim:
V = -8 + 8.t.
c) para saber o instante em que o móvel, inverte o sentido do
movimento, basta raciocinar: o móvel inverte o sentido do movimento a
partir do momento em que ele para, atingindo assim velocidade nula.
A
SHUJXQWD� SRGH� VHU� UHIHLWD� GD� VHJXLQWH� IRUPD�� ³HP� TXH� LQVWDQWH� D�
YHORFLGDGH�p�QXOD´"
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Para saber em que t, a V é nula, basta igualar a equação da velocidade a
zero.
Assim,
V = -8 + 8.t. => 0 = -8 + 8.t => 8.t = 8 => t = 1s.
d) Para saber a posição do corpo basta substituir o tempo t = 10s na
equação da posição fornecida.
Assim,
S = 12 - 8 t + 4.t2 => S = 12 ± 8.10 + 4.102 = 332m.
e) para t = 3s => V = -8 +8.3 = 16m/s (positiva). Como a aceleração é
também positiva temos as duas grandezas positivas. Portanto o
movimento é acelerado no instante t = 3s.
Com esse exemplo nós concluímos a equação da horária da posição no
MRUV.
*Observação Importante
Para concluir esse ponto da aula, preciso ainda lhe mostrar uma
observação importante acerca da velocidade média em um MRUV.
Observando o gráfico acima, podemos fazer a adaptação abaixo:
22
.
2
212121 vvVvv
t
S
t
vvSA MÉDIA
� � '
''� '
Portando, a velocidade média em um MRUV é igual à média das
velocidades final e inicial em um intervalo de tempo.
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Cuidado com a propriedade acima, pois é válida somente para o MRUV.
7. Equação de Torricelli
A equação de Torricelli estabelece uma relação direta entre velocidades,
aceleração e variação da posição ('S) de um móvel que executa um
MRUV, note que não há a variável tempo nessa equação, veja a
demonstração abaixo:
É muito comum a utilização da equação de Torricelli em frenagens e
acelerações sem o conhecimento do tempo, mas apenas da variação do
espaço.
Tomemos as duas equações que foram demonstradas anteriormente:
1. V = V0 + a.t
2. S = S0 + V0.t + at2/2
Isolemos o tempo na primeira equação obtendo: t = (V ± V0)/2.
Substituímos na segunda equação:
� � � �
� �
2
0 0
0 0
2 2
0 0 0 0 0
2
22
0 0 0 0 0
2 2
0
2 2
0
2
2
2
2 2
2
2
V V V Va
S S V
a a
V V V V V VV Va
S
a a a
V V V V V V VV
S
a a a a a
V V
S
a
V V a S
ª º� �� � « »« »¬ ¼
ª º� � ' � � « »« »¬ ¼
' � � � �
� '
� '
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OBSERVAÇÃO: O sinal da aceleração deve ser levado em consideração
na equação acima, ou seja, quando o movimento tiver aceleração
negativa o termo 2a'S deve ser acompanhado de um sinal negativo.
8. Gráficos
Os gráficos que vamos aprender nesta aula serão em número de 3.
Vamos aprender o gráfico de V x t, no qual observaremos o
comportamento da velocidade com o tempo.
O gráfico S x t também será estudado, aprenderemos nesse ponto como
a posição do corpo varia com o tempo.
Finalmente, vamos aprender o gráfico de a x t, no qual vamos estudar a
aceleração de acordo com o tempo.
8.1 Gráfico do MRUV (V x t)
Sabemos que a equação que rege a variação da velocidade com o tempo
no MRUV é a seguinte:
V = V0 + a.t
Logo, temos uma equação do primeiro grau (função do primeiro grau)
que, quando disposta em um gráfico de eixos ortogonais, resulta em uma
reta.
A inclinação da reWD�VHUi�GDGD�SHOR�YDORU�GH�³D´�TXH�p�R�VHX�coeficiente
angular, V0 é o seu coeficiente linear, o valor onde a reta intercepta o
eixo Y.
Note que a aceleração, por tratar-se do coeficiente angular da reta, será
dado pela tg(T), onde T é o ângulo entre a reta e o eixo horizontal.
(lembre-se de que a tangente de um ângulo agudo é positiva enquanto
que a tangente de um ângulo obtuso é negativa).
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Portanto, uma das propriedades do gráfico (V x t) é a tangente do ângulo
de inclinação.
Outra propriedade importante é a mesma que já foi abordada
anteriormente e envolve o gráfico V x t e a área sob o gráfico. Veja.
³No gráfico de velocidade contra tempo, a área sob o gráfico é
numericamente igual ao '6�GR�PyYHO´�
*OBSERVAÇÕES:
A propriedade acima leva em consideração o sinal de 'S, ou seja,
quando o gráfico estiver abaixo do eixo dos tempos, considera-se um
valor negativo para 'S. Fisicamente significaria um movimento com
velocidade negativa, logo o móvel estaria se deslocando contra a
trajetória, o que significaria um valor negativo para 'S, já que a posição
final é menor que a inicial��R�FRUSR�HVWDULD�VH�PRYLPHQWDQGR�HP�³PDUFKD�
j�Up´.
A propriedade acima se estende a todos os gráficos de velocidade
contra tempo, não apenas para uma reta (MRUV), todos os gráficos de
velocidade contra tempo admitem tal propriedade, até mesmo o do MRU,
conforme foi visto anteriormente.
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8.2 Gráfico do MRUV (S x t)
Lembrando que a equação que rege o movimento uniformemente variado
é:
2
0 0
2
a t
S S V t
� � , podemos afirmar que o gráfico de S contra t é uma
parábola que terá sua concavidade definida pelo sinal da aceleração.
x a positiva para cima.
x a negativa para baixo.
Nesse ponto recomento que você faça uma revisão no estudo da função
do segundo grau. A equação da posição é um exemplo da função do 2º
grau.
Alguns conceitos como concavidade e vértice você vai relembrar caso faça
essa revisão.
Os gráficos então podem ser de dois tipos:
x Concavidade para cima
x Concavidade para baixo
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*Propriedade Importante:
Foi dito em aula anterior que a velocidade é dada pela tangente do
ângulo formado pelo gráfico da posição contra tempo no MRU.
AJRUD� YDPRV� ³H[SDQGLU¶´� HVVD� SURSULHGDGH� SDUD� R� JUiILFR� GH� SRVLomR�
contra tempo no MRUV, mesmo que o gráfico seja uma curva,
podemos afirmar que a tangente da inclinação é numericamente igual
à velocidade, o detalhe é que a velocidade no MRU é constante,
então em qualquer instante a velocidade é sempre a mesma.
Por outro lado, no MRUV a velocidade é diferente em cada
instante, logo teremos que calcular a tangente em cada instante, por
exemplo, se quisermos a velocidade no instante 3s, deveremos
calcular a velocidade naquele instante, que terá um valor distinto da
velocidade no instante 5s, por exemplo.
Acima representamos um gráfico de S
x t, para calcular a velocidade no
LQVWDQWH�³W0´�EDVWD�FDOFXODU�D�WDQJHQWH�GR�kQJXOR�D.
Em outro instante de tempo a inclinação da reta é diferente, motivo pelo
qual a velocidade também o será, o movimento é variado.
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Os gráficos também estão presentes na classificação do MRUV. Veja os
gráficos abaixo, nos quais se apresenta um resumo dos tipos de
movimento e o gráfico correspondente.
Retrógrado
Acelerado
*Observação:
No gráfico acima você notou que há um ponto em que a velocidade
é nula, ou seja, um ponto no qual há uma inversão do movimento que
antes possuía velocidade negativa e a partir de então passa a ter
velocidade positiva (A) e vice e versa.
Exemplo: O gráfico representa a posição de um móvel em movimento
retilíneo de aceleração constante.
a) Qual a posição inicial?
A posição inicial é o S, quando t = 0.
Basta dar uma olhadinha no gráfico e verificar que S0 = 12m, pois é
nesse ponto que o gráfico intercepta o eixo y.
b) Qual o instante em que o móvel muda de sentido?
A mudança de sentido ocorre no vértice da parábola, na qual a
velocidade muda de sinal, a tangente do ângulo deixa de ser positiva e
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passa a ser negativa, pois a inclinação da tangente passa de aguda para
obtusa.
Logo, t = 2s.
Lembre-se: no vértice da parábola o movimento sofre mudança de
sentido.
Se não houver o trecho do vértice, significa que não houve inversão do
movimento e a velocidade do corpo não foi nula em nenhum momento.
c) Determine a função horária das posições.
A função horária da posição será dada por:
2
12
2
2
0
2
00
at
tVSattVSS �� ��
9DPRV�GHWHUPLQDU�RV�YDORUHV�GH�³90´�H�³D´�
Lembre-se de que no item b você afirmou que a velocidade é nula quando
t = 2s.
V = V0 + a.t
0 = V0 + a.2
2a = -V0 ou V0 = -2a
Para S = 0, t = 6s
0 = 12+V0.6+a.62/2
0 = 12 + 6.V0 +18a (dividindo toda a equação por 6)
0 = 2 + V0 + 3a
0 = 2 + -2a + 3a
a = -2m/s2
V0 = -2.(-2) = 4m/s
Logo,
2
2
412
2
2412
ttS
t
tS
��
���
d) Ache a velocidade do móvel no instante de 3s.
Substituindo na equação da velocidade:
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V = V0 + a.t => V = 4 -2t, para t = 3s => V = 4 ± 2.3 = -2m/s.
Veja que no exemplo acima a aceleração é negativa, o que condiz com a
concavidade do gráfico apresentado.
Verifique também que, quando t = 3s, o móvel já inverteu o sentido do
seu movimento, resultando em uma velocidade negativa.
8.3 Gráfico MRUV (a x t).
O gráfico da aceleração é o mais simples, como se trata de uma grandeza
que não sofre variação com o tempo, por ser constante no MRUV,
então:
a = k (função constante)
*Propriedade Importante
x No gráfico de a x t temos uma propriedade importante que é a da
área sob o gráfico, a área é numericamente igual à 'V.
x Atenção! Para acelerações negativas, elas darão como resultado
³áreas negativas´, o que implica em 'V < 0, nada mais normal já
que a aceleração é negativa.
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9. Questões sem comentários
01. (CBM-PA/2003 ± CESPE) Cinemática ² que vem da palavra grega
kínema e significa movimento ² é uma área da Física que estuda os
movimentos sem se preocupar com suas causas ou seus efeitos. Ela faz
uma análise apenas descritiva do movimento, em que o referencial tem
uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os
itens subsequentes.
1.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as
conclusões dependem do referencial em relação ao qual a análise está
sendo feita.
1.2 Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre
caem com a mesma aceleração.
1.3 Se, em uma corrida de Fórmula 1, um piloto desenvolveu a
velocidade média de 387 km/h, conclui-se que ele manteve essa
velocidade em pelo menos 50% do tempo da corrida.
1.4 Se uma pessoa caminhou até o seu trabalho a um passo por
segundo, sendo que a cada passo percorreu 0,5 m, e levou 30 minutos
nessa caminhada, então a distância percorrida foi igual a 1.200 m.
02. (Perito Polícia Civil ± PE) Um carro de policia partiu do Recife às
10 h e 40 min e chegou a Vitória de Santo Antão às 11 h e 20 min. Se a
distância total percorrida foi de 56 km, determine a velocidade média do
veículo.
A) 82 km/h
B) 84 km/h
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C) 86 km/h
D) 88 km/h
E) 90 km/h
03. (CESGRANRIO ± 2012 ± PETROBRÁS ± TÉC. OPERAÇÃO JR.) Um
móvel percorre a trajetória retilínea apresentada na figura a seguir.
As velocidades médias do móvel nos trechos 1 e 2 são, respectivamente,
iguais a 1,0 m/s e 6,0 m/s. Qual é, aproximadamente, em m/s, a
velocidade média do móvel no percurso todo (trechos 1 e 2)?
(A) 2,0
(B) 2,7
(C) 3,0
(D) 3,5
(E) 4,7
04. (FCC/2011 ± SEDUC-SP ± PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA)
Uma pessoa vê uma descarga elétrica na atmosfera e, 3,0 s após, ouve o
trovão que ocorre no local da tempestade. Lembrando que a velocidade
do som no ar úmido é de 340 m/s e a velocidade da luz é de 3,0 . 108
m/s, a pessoa pode estimar que o fenômeno ocorreu a uma distância de,
em km,
(A) 9,0 . 105
(B) 2,7 . 103
(C) 6,3 . 102
(D) 37
(E) 1,0
05. (CESPE/2006 ± SEDUC-PA ± PROFESSOR DE FÍSICA) Considere
que dois automóveis separados a uma distância de 375 km inicialmente,
deslocam se um ao encontro do outro com velocidades constantes e
iguais a 60 km/h e 90 km/h, respectivamente. Nessa situação, os
automóveis se encontrarão após
A) 1 h.
B) 1 h e 30 min.
C) 2 h.
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D) 2 h e 30 min.
06. (VUNESP/2012 SEDUC-SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Numa
academia de musculação, um atleta corre em uma esteira elétrica com
velocidade constante. Após 15 minutos de corrida, ele percebe que
percorreu uma distância de 2,2 km. Contudo, como recebeu uma
orientação de seu treinador para correr 10 km num ritmo de 1 km a cada
6 minutos, para atingir sua meta, o atleta deve
(A) manter sua velocidade.
(B) aumentar sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o
fim.
(C) aumentar
sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o
fim.
(D) diminuir sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o fim.
(E) diminuir sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o fim.
07. (VUNESP/2011 ± PREF. SÃO CARLOS ± PROFESSOR DE
FÍSICA) O gráfico representa o movimento de um objeto.
A velocidade média desse objeto, em m/s, é de
(A) 0,2.
(B) 2.
(C) 5.
(D) 20.
(E) 50.
08. (VUNESP/2012 ± SEDUC/SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) No
gráfico, está representada a distância (S) em função do tempo (t) em que
o sinal do sonar de um submarino atinge o casco de um navio naufragado
e retorna ao ponto de origem após reflexão.
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De acordo com o gráfico, a distância entre o navio e o submarino e a
velocidade de propagação do som são, respectivamente,
(A) 3,3 km e 0,165 m/s.
(B) 3,3 km e 0,33 m/s.
(C) 3,3 km e 330 m/s.
(D) 6,6 km e 330 m/s.
(E) 330 km e 33 m/s.
09. (SEDUC-SP-FCC) Um corredor percorre uma distância x(t) (medida
em metros) ao longo de uma estrada reta. A função x(t) é
aproximadamente dada por
A velocidade média entre 3 e 9 segundos é
(A) 7,0 m / s
(B) 11,66 m / s
(C) 6,66 m / s
(D) 2,66 m / s
(E) 3,66 m / s
10. (SEDUC-ES-CESPE) Suponha que, simultaneamente, um carro parta
de São Paulo para o Rio de Janeiro com velocidade constante de
120km/h, e outro, do Rio de Janeiro para São Paulo com velocidade
constante de 100km/h, ambos seguindo a mesma estrada. Com base
nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro é de 400km, julgue os itens a seguir.
10.1 Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min.
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10.2 Se o carro que partiu de São Paulo percorrer 100km com uma
velocidade de 100km/h e 200km com uma velocidade de 50km/h, então,
para conseguir perfazer o trajeto em 5h e 30min, o motorista, no último
trecho deverá desenvolver uma velocidade superior a 180km/h.
10.3 Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até
São Paulo na mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele
deverá ser superior a 160km/h
10.4 Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais
rodoviários medem as velocidades médias dos carros.
11. (CESPE-UNB ± CEFET-PA ± DIVERSOS CARGOS).
Os gráficos acima, referentes ao deslocamento em função do tempo,
representam movimentos unidimensionais de um corpo em quatro
situações diferentes²W, X, Y e Z. Julgue os itens a seguir, com base
nesses gráficos e nos conceitos de movimento.
I Nas quatro situações representadas nos gráficos, as velocidades médias
são iguais.
II Nas situações representadas, os gráficos W, X e Y mostram que os
valores absolutos das velocidades máximas são iguais.
III Os movimentos representados pelos gráficos W, X e Y são
uniformemente variados e o movimento representado pelo gráfico Z é
uniforme.
IV Pelo gráfico Z, é correto concluir que, no instante de tempo igual a
b/2, o deslocamento do corpo foi de 2a.
A quantidade de itens certos é igual a
A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. E) 4.
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12. (VUNESP ± SP ± Prefeitura de Sorocaba - Engenheiro
Eletricista) Temos um movimento uniformemente variado definido pela
equação de espaço s em função do tempo:
S = t2 + t + 20
A expressão de velocidade v, em função do tempo, será dada por
(A) t + 1
(B) 2t +1
(C) t +10
(D) 2t +10
(E) t
13. (VUNESP ± SP ± Prefeitura de Sorocaba - Engenheiro
Eletricista) Dois corpos têm as seguintes expressões que descrevem
seus movimentos no espaço em função do tempo:
S1 = 32 + 3t + 2t2;
S2 = 30 + 4t + 3t2.
O instante de tempo em que esses dois corpos vão se encontrar será de
(A) 0,5 s.
(B) 0,75 s.
(C) 1 s.
(D) 2 s.
(E) 3 s.
14. (IFMT ± Professor de Física) Um automóvel se move por uma
estrada retilínea obedecendo à seguinte equação horária, onde as
grandezas são expressas no Sistema Internacional de Unidades:
ݔ(t) = 10 + 2ݐ í�ݐ2
Sobre as características do movimento desse móvel, assinale a afirmativa
correta.
A) O maior valor de x corresponde a 10 m.
B) A maior distância que o automóvel poderá estar da origem do sistema
coordenado corresponde a 11 m.
C) A velocidade do automóvel será nula em t = 1 s.
D) Em t = 0, a velocidade do automóvel corresponde a 10 m/s.
15. (IFAC - 2012± Professor de Física) Um móvel "A" movimenta-se
em uma trajetória retilínea com velocidade constante de 72 km/h, quando
passa por um móvel "B" que se encontra em repouso. Se o móvel "B"
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acelerar uniformemente à razão de 2 m/s2, na mesma direção e sentido
do móvel "A", no instante em que é ultrapassado por "A" quanto tempo
levará para que "B" encontre "A"?
a) 40 segundos
b) 0,5 minuto
c) 1 minuto
d) 10 segundos
e) 20 segundos
16. (IFAC - 2012 ± Professor de Física) Com relação à questão
anterior, quantos metros percorrerá o móvel "B" até encontrar o "A"?
a) 200
b) 500
c) 1.600
d) 260
e) 400
17. (IPAD ± PC-PE - 2006 ± Perito Criminal) A posição de um móvel
em movimento retilíneo é dada pela função horária x = 4 + 20t ± 2t2,
onde x está em metros e t em segundos. Podemos afirmar que a
velocidade do corpo é igual à zero, no instante:
A) t = 1 s
B) t = 2 s
C) t = 3 s
D) t = 4 s
E) t = 5 s
18. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Uma partícula em movimento retilíneo
uniformemente variado parte do repouso e atinge uma velocidade v ao
percorrer uma distância d. O tempo decorrido entre o instante da partida
e o instante em que atinge essa velocidade v é:
(A) 2d / v
(B) 3d / 2v
(C) d/v
(D) 2d / 3v
(E) d/ 2v
19. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Um grande
navio petroleiro com velocidade de 15 m/s percorre aproximadamente 20
km até conseguir parar. Supondo que durante a frenagem ele tenha
percorrido uma trajetória retilínea com aceleração constante, pode-se
afirmar que o tempo aproximado gasto nessa manobra, em minutos, é de
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(A) 30.
(B) 45.
(C) 60.
(D) 75.
(E) 90.
20. (IPAD ± PC-PE - 2006 ± Perito Criminal) O gráfico abaixo mostra
as velocidades de dois carros, A e B, que trafegam no mesmo sentido ao
longo de uma via plana e reta. No instante t = 0 os carros estão alinhados
num mesmo semáforo. Após quanto tempo o carro B alcançará o carro A?
A) t = 1 s
B) t = 2 s
C) t = 3 s
D) t = 4 s
E) t = 5 s
21. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) O
gráfico das
velocidades em função do tempo mostrado a seguir refere-se ao
movimento de dois carros que percorrem a mesma trajetória retilínea e
passam pela mesma posição em t = 0s.
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Da análise desse gráfico, é correto afirmar que:
(A) os carros encontram-se no instante t = 2,0 s.
(B) os carros encontram-se no instante t = 4,0 s.
(C) o carro I percorre 20 m nos primeiros 2,0 s de movimento.
(D) o carro II percorre 10 m nos primeiros 2,0 s de movimento.
(E) o carro II percorre 20 m nos primeiros 4,0 s de movimento.
22. (UPE ± POLÍCIA CIVIL ± PE ± AUXILIAR DE PERÍCIA
CRIMINAL)
Um corpo que se movimenta em trajetória retilínea tem sua velocidade
variando em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.
Analise os itens a seguir.
I. No intervalo entre to e t1 , o movimento é uniforme.
II. No intervalo entre t1 e t2 , a aceleração aumenta.
III. A distância percorrida pelo corpo no intervalo de tempo t2 e t3 vale
V2 . (t3 ± t2).
IV. Nos intervalos entre t1 e t2 , o movimento é progressivo e acelerado.
Sobre eles, pode-se afirmar que
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A) os itens I e II estão corretos.
B) todos os itens estão incorretos.
C) todos os itens estão corretos.
D) apenas os itens I e III estão corretos.
E) o item IV está correto.
23. (FDRH ± PC/RS ± 2008 ± Perito Criminal) Um automóvel, em
eficiência máxima, é capaz de aumentar sua velocidade de 0 a 90 km/h
num intervalo de tempo de 12s. Supondo que esse automóvel
movimente-se com aceleração constante ao longo de uma pista de
corridas retilínea, a distância percorrida por ele para atingir a velocidade
final é de, aproximadamente,
a) 7,50 m.
b) 43,3 m.
c) 150 m.
d) 300 m.
e) 540 m.
24. (CESPE/UNB - CEFET ± PA ± 2003) No Manual de Formação de
Condutores, do Código de Trânsito Brasileiro, consta um curso de direção
defensiva que se baseia no seguinte slogan: o bom motorista é aquele
que dirige para si e para os outros. Uma das recomendações importantes
desse curso é que o motorista mantenha seu veículo a uma distância
segura do veículo que vai à sua frente, a fim de evitar colisão em caso de
parada ou mesmo de desvio de percurso repentino. Essa distância segura
é definida tendo como base condições típicas de frenagem. Para avaliar
esse problema, considere a situação representada na figura abaixo.
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Nessa situação, as distâncias indicadas apresentam os seguintes
significados físicos: distância de reação ² é aquela que o veículo percorre
desde o instante em que o motorista percebe a situação de perigo até o
momento em que aciona o pedal do freio; distância de frenagem ² é
aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista pisou
no freio até o momento da parada total do veículo; distância de parada ²
é aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista
percebe o perigo e decide parar até a parada total do veículo, ficando a
uma distância segura do outro veículo, pedestre ou qualquer objeto na
via. A partir das informações acima e com relação à situação apresentada,
julgue os itens a seguir, considerando que o caminhão mostrado na figura
pare repentinamente.
I - O gráfico abaixo poderia representar corretamente o comportamento
da velocidade do carro ² v ² em função do tempo ² t ² do instante em
que o motorista do carro percebe a parada do caminhão até a sua parada
total.
II - Se a velocidade inicial do carro fosse duplicada, a distância de parada
também seria duplicada, caso fossem mantidas as condições de frenagem
típicas.
III - Na situação apresentada, a distância de reação independe da
velocidade inicial do carro.
IV - Nas condições estabelecidas, a distância de frenagem depende da
velocidade inicial do carro.
Estão certos apenas os itens
A) I e III. B) I e IV. C) II e III. D) I, II e IV. E) II, III e IV.
25. (PC-MG -2002 ± Perito Criminal) O gráfico abaixo representa o
movimento de uma partícula com aceleração constante ao longo do eixo
x.
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Qual é o valor dessa aceleração em m/s2?
A) 4
B) 2
C) 8
D) 3
26. (FCC - 2011 ± SEDUC ± SP ± Professor de Física) De uma
estação A, um trem de metrô parte do repouso com aceleração constante
de 1,0 m/s2 até atingir 10 m/s; segue com esta velocidade por 1,0 minuto
e, finalmente, freia com desaceleração constante de 2,0 m/s2, até sua
chegada à estação B, onde para.
A distância entre as duas estações, em m, é de
(A) 600
(B) 625
(C) 650
(D) 675
(E) 700
27. (CESPE/UNB ± 2003 ± CEFET-PA ± Diversos Cargos)
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O gráfico da figura acima mostra a velocidade v de um automóvel em
m/s. Em cada instante t, para 0 d t d 5, a velocidade é expressa pela
função v(t) = 3t + 3. Após 5 s, o automóvel viaja a uma velocidade
constante. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.
I. A velocidade do carro no instante t = 7 s é igual a 18 m/s.
II. O automóvel atinge a velocidade de 50 km/h antes de t = 4 s.
III. A velocidade média durante os 5 primeiros segundos é igual a 10,5
m/s.
Assinale a opção correta.
A) Apenas o item I está certo.
B) Apenas o item II está certo.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
28. (Polícia Civil ± SP ± Perito Criminal ± FCC) O gráfico qualitativo
da velocidade (v), em função do tempo (t), da figura a seguir representa
o movimento de um carro que se desloca em linha reta.
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Considerando que sua posição inicial era o marco zero da trajetória, o
correspondente gráfico horário de sua posição (S), em função do tempo
(t), é
29. (CESPE/UnB) O gráfico abaixo representa as velocidades em função
do tempo para dois carros, A e B, em uma estrada reta. Em t = 0 eles se
encontram no quilômetro zero.
Julgue os itens abaixo.
29.1 A velocidade média desenvolvida pelo carro A nas primeiras duas
horas da viagem é 70km/h.
29.2 Ao final das primeiras duas horas de viagem, o carro B ultrapassa o
carro A.
29.3 Durante as primeiras quatro horas de viagem, cada carro se desloca
em movimento
uniformemente acelerado.
29.4 Nas primeiras duas horas de viagem, a aceleração do carro B é
maior do que a aceleração do carro A.
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29.5 Ao final das primeiras quatro horas de viagem, a distância entre os
dois carros é de 20km.
30. (COMVEST ± POLÍCIA CIVIL/PB ± PERITO CRIMINAL) No
instante em que a luz verde do semáforo acende, um carro ali parado
parte com aceleração constante de 2,0 m/s2. Um caminhão, que circula
na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidade constante de 10
m/s, passa por ele no exato momento da partida. Podemos, considerando
os dados numéricos fornecidos, afirmar que:
a) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo;
b) o carro não alcança o caminhão;
c) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo;
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo.
31. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) A figura representa o gráfico
velocidade versus tempo de uma partícula entre os instantes t=0 e t=t1.
A velocidade escalar média da partícula entre esses instantes é:
(A) 4,5 m/s
(B) 4,0 m/s
(C) 3,0 m/s
(D) 2,5 m/s
(E) 2,0 m/s
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10. Questões Comentadas
01. (CBM-PA/2003 ± CESPE) Cinemática ² que vem da palavra grega
kínema e significa movimento ² é uma área da Física que estuda os
movimentos sem se preocupar com suas causas ou seus efeitos. Ela faz
uma análise apenas descritiva do movimento, em que o referencial tem
uma função importante. Tendo por referência a cinemática, julgue os
itens subsequentes.
1.1 Em uma análise acerca do movimento ou repouso de um corpo, as
conclusões dependem do referencial em relação ao qual a análise está
sendo feita.
1.2 Desprezando-se a resistência do ar, todos os corpos em queda livre
caem com a mesma aceleração.
1.3 Se, em uma corrida de Fórmula 1, um piloto desenvolveu a
velocidade média de 387 km/h, conclui-se que ele manteve essa
velocidade em pelo menos 50% do tempo da corrida.
1.4 Se uma pessoa caminhou até o seu trabalho a um passo por
segundo, sendo que a cada passo percorreu 0,5 m, e levou 30 minutos
nessa caminhada, então a distância percorrida foi igual a 1.200 m.
Comentário:
26.1 Correto. Item simples, depois de passarmos por uma aula
permeada de explicações acerca de referencial. Você deve se lembrar
que alguns dos conceitos iniciais de cinemática, vistos no início da aula,
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são dependentes do referencial, ou seja, dependem do ponto de
referência adotado.
Os estados de movimento e repouso são exemplos desse tipo de
grandeza, podendo um corpo estar em repouso em relação a um
referencial, enquanto que em relação a outro pode estar em repouso.
Um exemplo simples é o de um carro movendo-se a 60km/h, que em
relação a um poste fixo na avenida, está em movimento, no entanto, em
relação ao motorista o carro está em repouso.
Lembre-se: o movimento em relação ao referencial considerado ocorre
quando a distância do corpo varia em relação ao referencial. O repouso,
por outro lado ocorre quando essa distância não varia, ou seja,
permanece constante.
26.2 Correto. Esse item será comentado novamente na aula de
movimento vertical no vácuo, mas posso lhe adiantar que a queda livre é
um movimento no qual um corpo é largado (velocidade inicial igual a
zero) de certa altura e fica sujeito apenas à aceleração da gravidade,
uma vez que se desprezam as forças dissipativas (atrito, resistência do
ar, etc.).
Dessa forma, o corpo todos os corpos caem com a mesma aceleração.
Quem primeiramente percebeu esse fenômeno foi Galileu, e trata-se de
uma de suas maiores contribuições para a ciência.
26.3 Incorreto. Nada podemos afirmar acerca da velocidade que foi
mantida pelo carro de corrida apenas conhecendo a velocidade média.
(VVD�YHORFLGDGH�WHP�R�VHJXLQWH�VLJQLILFDGR��³6H�R�FRUSR�WLYHVVH�PDQWLGR�
YHORFLGDGH�FRQVWDQWH��HVVD�YHORFLGDGH�VHULD�D�YHORFLGDGH�PpGLD´�
Assim, não podemos afirmar o que ocorreu durante o movimento, só
sabemos que se o carro tivesse mantido velocidade constante, ela seria
de 387km/h, nada impedindo que ele mantenha velocidades acima ou
abaixo desse valor em determinados intervalos de tempo.
26.4 Incorreto. Neste item, basta calcular o espaço percorrido pela
pessoa aplicando a equação da velocidade média, já trabalhada várias
vezes durante essa aula.
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±
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.
1 / .30min.60 / min
1800
log ,
1800 .0,5 /
900
S V t
S passo s s
S passos
o
S passos m passo
S m
' '
'
'
'
'
02. (Perito Polícia Civil ± PE) Um carro de policia partiu do Recife às
10 h e 40 min e chegou a Vitória de Santo Antão às 11 h e 20 min. Se a
distância total percorrida foi de 56 km, determine a velocidade média do
veículo.
A) 82 km/h
B) 84 km/h
C) 86 km/h
D) 88 km/h
E) 90 km/h
Comentário:
Resposta: B.
Questão de aplicação direta da fórmula da velocidade média.
total
média
total
média
média
média
média
SV
t
56kmV (11h20min 10h40min)
56kmV
40min
56kmV 2 h3
V 84km / h
' '
�
Repare que o intervalo de tempo de 40min foi transformado para horas
(2/3 hora), você pode fazer isso mediante aplicação de uma regra três
simples (uma hora equivale a 60min ± faça uma regra de três simples).
03. (CESGRANRIO ± 2012 ± PETROBRÁS ± TÉC. OPERAÇÃO JR.) Um
móvel percorre a trajetória retilínea apresentada na figura a seguir.
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As velocidades médias do móvel nos trechos 1 e 2 são, respectivamente,
iguais a 1,0 m/s e 6,0 m/s. Qual é, aproximadamente, em m/s, a
velocidade média do móvel no percurso todo (trechos 1 e 2)?
(A) 2,0
(B) 2,7
(C) 3,0
(D) 3,5
(E) 4,7
Resposta: Alternativa B.
Comentário:
Para calcular a velocidade média em todo o percurso, precisamos calcular
o 'S total e o 't total, e aplicar a conhecida fórmula que já usamos
durante essa aula demonstrativa (ver questão anterior).
Assim, o 'S total é fácil de perceber que será a distância total percorrida
pelo corpo, ou seja, 100m + 300m = 400m.
O tempo total será calculado por meio das velocidades médias fornecidas
em cada trecho:
1
1
1
100
1 /
100
S
t
V
m
t
m s
t s
''
'
'
e
2
2
2
300
6 /
50
S
t
V
m
t
m s
t s
''
'
'
Portanto, o tempo total será de 150s, e a velocidade média durante o
movimento será:
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400
150
2,67 /
TOTAL
M
TOTAL
M
M
SV
t
mV
s
V m s
' '
Resposta: Alternativa B
04. (FCC/2011 ± SEDUC-SP ± PROFESSOR DE EDUCAÇÃO BÁSICA)
Uma pessoa vê uma descarga elétrica na atmosfera e, 3,0 s após, ouve o
trovão que ocorre no local da tempestade. Lembrando que a velocidade
do som no ar úmido é de 340 m/s e a velocidade da luz é de 3,0 . 108
m/s, a pessoa pode estimar que o fenômeno ocorreu a uma distância de,
em km,
(A) 9,0 . 105
(B) 2,7 . 103
(C) 6,3 . 102
(D) 37
(E) 1,0
Resposta: Item E.
Comentário:
Foi fornecido o intervalo de tempo entre os instantes em que são
percebidos os sons do trovão e em que é percebida a descarga elétrica no
céu.
Logo, o atraso é de 3,0 s.
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Trovão Luz
Som Luz
Som Luz
8
Atraso t t
S S
3,0s
V V
1 1
3,0s S.
V V
1 1
3,0s S.
340 3,0.10
1
3,0s S.
340
S 1020m
S 1,020km
' � '
' ' �
§ · ' �¨ ¸© ¹
§ · ' �¨ ¸© ¹
§ · ' ¨ ¸© ¹
'
'
Note, nos cálculos acima, que foi desprezado o termo 1/(3,0.108) | 0,
pois a velocidade da luz é muito grande, sendo um tempo curtíssimo o
que leva para a luz percorrer o espaço de um metro.
A resposta mais coerente, portanto, é o item E.
05. (CESPE/2006 ± SEDUC-PA ± PROFESSOR DE FÍSICA) Considere
que dois automóveis separados a uma distância de 375 km inicialmente,
deslocam se um ao encontro do outro com velocidades constantes e
iguais a 60 km/h e 90 km/h, respectivamente. Nessa situação, os
automóveis se encontrarão após
A) 1 h.
B) 1 h e 30 min.
C) 2 h.
D) 2 h e 30 min.
Resposta: item D.
Comentário:
Essa questão pode ser resolvida de duas formas: a primeira forma que
vou utilizar é a determinação das equações da posição dos dois móveis,
em relação a um referencial fixo na Terra, e após igualaremos as
equações (encontro) para calcular o instante do encontro.
Essa solução é uma solução que possibilita a resolução de muitos
problemas de encontro de móveis, inclusive quando os movimentos são
de naturezas distintas.
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1ª Solução:
375km
y
x
O
A posição inicial de um dos carros é de
375km e a outra é zero, pois está na origem.
Vamos montar as duas equações das
posições e depois igualá-las.
A
B
A 0 A
A
A
B 0 B
B
S S V .t
S 0 60.t
S 60.t
S S V .t
S 375 90.t
igualando :
60.t 375 90.t
150.t 375
t 2,5h
t 2h30min
�
�
�
�
�
A B
VA VB
Perceba, na figura acima, que a velocidade do carro B foi tomada com
sinal negativo, pois ela está contrária à orientação positiva do referencial
xOy.
2ª Solução:
Vamos usar o conceito de velocidade relativa, essa velocidade nós vamos
detalhá-la melhor na aula de movimento relativo, mas por enquanto os
seus conhecimentos adquiridos até aqui são suficientes para compreender
a resolução e adotá-la nas demais questões.
A velocidade relativa entre dois móveis que se movimentam um de
encontro ao outro, ou seja, em sentidos opostos é a soma das
velocidades, o 'SREL é a distância que um móvel guarda em relação ao
outro.
O 't é constante, seja ele calculado em relação à Terra, ou em relação a
um dos dois carros, pois nessa parte da Física independentemente do
referencial o tempo é o mesmo, inclusive esse é um dos princípios de
Galileu Galilei da mecânica clássica, que foi revisado pela teoria da
relatividade de Einstein.
Portanto, vamos calcular a velocidade relativa entre os móveis:
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REL
REL
REL
REL
REL
V 60kmh 90km / h
V 150km / h
S 375km
S
t
V
375km
t
150km / h
t 2,5h 2h30min
�
'
''
'
'
Para você entender melhor a velocidade relativa, pense que agora um dos
carros está se movendo com 150km/h enquanto o outro está parado, é
essa a impressão que você deve ter.
Ambas as soluções nos levam ao mesmo resultado, e era de se esperar
que assim o fizessem.
06. (VUNESP/2012 SEDUC-SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Numa
academia de musculação, um atleta corre em uma esteira elétrica com
velocidade constante. Após 15 minutos de corrida, ele percebe que
percorreu uma distância de 2,2 km. Contudo, como recebeu uma
orientação de seu treinador para correr 10 km num ritmo de 1 km a cada
6 minutos, para atingir sua meta, o atleta deve
(A) manter sua velocidade.
(B) aumentar sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o
fim.
(C) aumentar sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o
fim.
(D) diminuir sua velocidade em 2,4 km/h e mantê-la constante até o fim.
(E) diminuir sua velocidade em 1,6 km/h e mantê-la constante até o fim.
Resposta: Item C.
Comentário:
Primeiramente vamos calcular a velocidade média desenvolvida pelo
atleta até os primeiros 15min:
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média
média
média
S
V
t
2,2km
V
15 h
60
V 8,8km / h
' '
Analisando a meta dada pelo treinador, temos que em um espaço total de
10km percorridos, o tempo deve ser e 60min, pois a cada 1km o tempo
deve ser de 6min.
Foi afirmado que o atleta já percorrera 2,2km, restando ainda um espaço
a ser percorrido de 10km ± 2,2km = 7,8km. Para atingir a meta, basta
que o atleta percorra os 7,8km restantes em 60min ± 15min = 45min.
Logo, a velocidade média a ser desenvolvida é de:
média
média
média
S
V
t
7,8km
V
45 h
60
V 10,4km / h
' '
A conclusão é que o atleta, que desenvolvia uma velocidade média de
8,8km/h deverá aumentar a sua velocidade de 1,6km/h, e passar a
manter constante a sua velocidade de 10,4km/h no restante do tempo
para assim atingir a meta estipulada pelo seu treinador.
07. (VUNESP/2011 ± PREF. SÃO CARLOS ± PROFESSOR DE
FÍSICA) O gráfico representa o movimento de um objeto.
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A velocidade média desse objeto, em m/s, é de
(A) 0,2.
(B) 2.
(C) 5.
(D) 20.
(E) 50.
Resposta: Item B.
Comentário:
Temos aqui uma questão versando acerca do cálculo da velocidade média
de acordo com o gráfico de distância em função do tempo.
9RFr�SRGH�³SHJDU´�TXDOTXHU�YDORU�GH�'S do gráfico e qualquer valor de 't.
Vamos tomar o primeiro 'S, que é de 10m, que tem como tempo
correspondente o de 5s.
Aplicando a fórmula:
sm
s
m
t
SV /2
5
)010( � '
'
Lembre-se que você poderia tomar outros valores de 'S e de 't, bastando
que sejam correspondentes (20m e 10s, 30m e 15s, etc.).
08. (VUNESP/2012 ± SEDUC/SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) No
gráfico, está representada a distância (S) em função do tempo (t) em que
o sinal do sonar de um submarino atinge o casco de um navio naufragado
e retorna ao ponto de origem após reflexão.
De acordo com o gráfico, a distância entre o navio e o submarino e a
velocidade de propagação do som são, respectivamente,
(A) 3,3 km e 0,165 m/s.
(B) 3,3 km e 0,33 m/s.
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(C) 3,3 km e 330 m/s.
(D) 6,6 km e 330 m/s.
(E) 330 km e 33 m/s.
Resposta: Item C.
Comentário:
Questão interessante acerca de um dispositivo muito utilizado em navios
e submarinos, que é o Sonar. O Sonar utiliza o princípio da reflexão das
ondas para calcular distâncias entre corpos.
No gráfico, podemos afirmar que a posição do sinal de sonar variou até
um máximo de 3,3km, quando atingiu a superfície do submarino, foi
refletido e retornou ao ponto de emissão do sinal no mesmo intervalo de
tempo de 10s.
Assim, a distância entre o navio e o submarino vale 3,3km, pois é essa a
distância que o sinal percorre até inverter o sentido de seu movimento.
Perceba que o sentido do movimento é invertido justamente por conta da
mudança de inclinação da reta, que passa de crescente para decrescente
quando a posição é de 3,3km.
A velocidade do som será dada pela boa e velha fórmula para o cálculo da
velocidade média (lembre-se de que a velocidade deve ser transformada
para m/s, pois todas as alternativas trazem valores com essa unidade).
A distância será então de 3,3km = 3.300m.
Calculando então a velocidade em m/s:
3300 330 /
10
S mV m s
t s
' '
09. (SEDUC-SP-FCC) Um corredor percorre uma distância x(t) (medida
em metros) ao longo de uma estrada reta. A função x(t) é
aproximadamente dada por
A velocidade média entre 3 e 9 segundos é
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(A) 7,0 m / s
(B) 11,66 m / s
(C) 6,66 m / s
(D) 2,66 m / s
(E) 3,66 m / s
Resposta: item C.
Comentário:
Questão tranquila, devemos obter o valor das posições final e inicial,
calcular o 'S e depois dividir pelo 't, que é facilmente calculado pela
subtração dos valores de instantes de tempo dados.
A única coisa que você deve ficar mais atento é em relação ao uso de
uma das três equações de acordo com o instante de tempo considerado.
Note que a posição para t = 3s é calculada utilizando-se a primeira
equação, enquanto que a posição para t = 9s é calculada usando-se a
terceira equação de posição.
O intervalo de tempo será de 't = 9s ± 3s = 6s.
Assim,
2
média
média
média
x(3) 3(3) ,p / t 3s
x(3) 27m
e
x(9) 40 3(9),p / t 9s
x(9) 67
logo, x S 67m 27m
S 40m.
SEntão, V
t
40mV
6s
V 6,66m / s
�
' ' �
'
' '
Portanto, a resposta correta é a constante na alternativa C.
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10. (SEDUC-ES-CESPE) Suponha que, simultaneamente, um carro parta
de São Paulo para o Rio de Janeiro com velocidade constante de
120km/h, e outro, do Rio de Janeiro para São Paulo com velocidade
constante de 100km/h, ambos seguindo a mesma estrada. Com base
nessas informações e sabendo que a distância entre São Paulo e Rio de
Janeiro é de 400km, julgue os itens a seguir.
10.1 Os carros deverão se encontrar após 1h e 49min.
Item correto.
Comentário:
A questão pode ser resolvida facilmente usando-se a mudança de
referencial e a velocidade relativa, conforme já foi vista nas questões
anteriores.
Note que as velocidades são contrárias, o que nos leva a uma velocidade
relativa igual a soma das velocidades.
Assim, o carro que parte de São Paulo, em relação ao que parte do Rio de
Janeiro, possui uma velocidade de VRELATIVA = V1 + V2.
VRELATIVA = 120km/h + 100km/h = 220km/h.
O problema agora se passa como se um dos carros estivesse em
repouso e o outro se aproximasse com uma velocidade de
220km/h. É por isso que você já deve ter visto alguém falando que em
colisões frontais as velocidades dos veículos se somam, na verdade
quando se usa essa expressão, estamos falando da velocidade relativa de
um carro em relação ao outro.
Portanto, para calcular o tempo de encontro, basta usar:
RELATIVO
RELATIVO
S
t
V
400km
t
220km / h
t 1,81h 1,81h 60min/ h
t 109,1min 1h e 49min
''
'
' u
'
Para transformar, basta lembrar que a cada 60min temos uma hora.
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10.2 Se o carro que partiu de São Paulo percorrer 100km com uma
velocidade de 100km/h e 200km com uma velocidade de 50km/h, então,
para conseguir perfazer o trajeto em 5h e 30min, o motorista, no último
trecho deverá desenvolver uma velocidade superior a 180km/h.
Correto.
Comentário:
Note que o veículo já percorrera uma distância de 300km, restando ainda
uma distância de 100km a ser percorrida.
O tempo restante pode ser calculado, diminuindo-se de 5h e 30min o
tempo já gasto nos dois trechos (de 100 km e 200 km).
Esses tempos são facilmente calculados: a 100km/h, um trecho de
100km leva 1 hora para ser percorrido, enquanto que um trecho de
200km a 50km/h leva 4 horas pra ser percorrido.
Portanto, o tempo total restante é de 5h e 30min ± (4h +1h) = 30min.
Restando ainda 30min para perfazer um trajeto de 100km (lembre-se de
que o espaço total a ser percorrido é de 400km), o veículo deverá
desenvolver uma velocidade média de Vmédia = 'S/'t = 100km/0,5h =
200km/h.
Assim, o veículo deverá desenvolver uma velocidade média de 200km/h
(superior a 180km/h) para perfazer o trecho de 400km em 5h e 30min.
10.3 Se o carro que partiu do Rio de Janeiro gastar 3 horas para ir até
São Paulo na mesma estrada, a velocidade média desenvolvida por ele
deverá ser superior a 160km/h
Errado.
Comentário:
Aplicação direta da fórmula, acredito que essa foi moleza para você.
total
média
total
média
média
SV
t
400kmV
3h
V 133,3km / h
' '
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Assim, a velocidade média do veículo nas condições acima é inferior a
160km/h.
10.4 Para o controle da velocidade nas estradas, os radares dos policiais
rodoviários medem as velocidades médias dos carros.
Incorreto.
Comentário:
Os radares dos policiais medem a velocidade instantânea, no momento
em que o veículo está passando pelos sensores do radar, sejam eles fixos
ou móveis o que está sendo medido no momento é a velocidade naquele
instante de tempo.
É por isso que os fotosensores utilizados pelo Estado para aferir a
velocidade desenvolvida não atingem a sua finalidade precípua, que é a
redução de acidentes de veículos por conta de excesso de velocidade, pois
o veículo reduz a velocidade naquele trecho em que sabe-se que é
controlado por radares, mas isso não quer dizer que logo após ele não vá
desenvolver velocidades bem superiores à máxima permitida.
11. (CESPE-UNB ± CEFET-PA ± DIVERSOS CARGOS).
Os gráficos acima, referentes ao deslocamento em função do tempo,
representam movimentos unidimensionais de um corpo em quatro
situações diferentes²W, X, Y e Z. Julgue os itens a seguir, com base
nesses gráficos e nos conceitos de movimento.
I Nas quatro situações representadas nos gráficos, as velocidades médias
são iguais.
II Nas situações representadas, os gráficos W, X e Y mostram que os
valores absolutos das velocidades máximas são iguais.
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III Os movimentos representados pelos gráficos W, X e Y são
uniformemente variados e o movimento representado pelo gráfico Z é
uniforme.
IV Pelo gráfico Z, é correto concluir que, no instante de tempo igual a
b/2, o deslocamento do corpo foi de 2a.
A quantidade de itens certos é igual a
A) 0. B) 1. C) 2. D) 3. E) 4.
Resposta: Item A.
Comentário:
I. Incorreto. Vamos calcular as velocidades médias de cada móvel de
acordo com o gráfico. Lembre-se de que devemos aplicar a fórmula
clássica já trabalhada em questões anteriores.
O 'S será calculado subtraindo-se algebricamente os valores dados em
cada gráfico no eixo das ordenadas, uma vez que este é o eixo em que
estão postados os valores das distâncias.
O intervalo de tempo, por outro lado, será obtido pela subtração dos
valores dados no eixo x, ou seja, o eixo das abscissas.
b
a
b
a
t
SV
b
a
b
a
t
SV
b
a
b
a
t
SV
b
a
b
a
t
SV
Z
Z
Y
Y
X
X
W
W
8
0
08
2
0
02
2
0
02
2
0
02
�
� '
'
�
� '
'
�
� '
'
�
� '
'
Foram levados em conta apenas os valores das posições final e inicial,
LQGHSHQGHQWHPHQWH�GR�TXH�DFRQWHFHX�QR�³PHLR´�GR�FDPLQKR�
Note que a velocidade média do móvel Z é diferente das demais,
tornando o item incorreto.
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II. Incorreto. Note, do gráfico, que as inclinações das retas são diferentes
nos diversos gráficos.
Vamos usar a propriedade do gráfico já vista na parte teórica da aula,
onde foi demonstrado que a tangente do ângulo de inclinação é igual à
velocidade.
Calculando as velocidades máximas nos casos W, X, Y:
b
a
b
a
bb
aa
t
SV
b
a
b
a
t
SV
b
a
b
a
t
SV
Y
Y
X
X
W
W
MAX
MAX
MAX
1616
4/3
62
12
02/
06
24
04/
06
o� �
� '
'
�
� '
'
�
� '
'
III. Incorreto. Note que nos 3 primeiros gráficos a velocidade é variável
durante todo o intervalo de tempo, pois há uma inversão, tendo as
velocidades valores distintos, o que descaracteriza o movimento
uniforme. No entanto, para que o movimento seja classificado como
uniformemente variado, é necessário que o gráfico seja uma parábola, e
não é o caso da questão, uma vez que as figuras são retas.
IV. Incorreto.
Basta notar a proporcionalidade que o gráfico gera, pois se trata de uma
reta crescente. Assim, podemos aplicar a seguinte proporção:
aS
b
S
b
a 4
2/
8 ''
Conclui-se que não há nenhum item correto. Resposta: Item A.
12. (VUNESP ± SP ± Prefeitura de Sorocaba - Engenheiro
Eletricista) Temos um movimento uniformemente variado definido pela
equação de espaço s em função do tempo:
S = t2 + t + 20
A expressão de velocidade v, em função do tempo, será dada por
(A) t + 1
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(B) 2t +1
(C) t +10
(D) 2t +10
(E) t
Resposta: item B.
Comentário:
A questão solicita a equação de velocidade, sendo dada a equação da
posição.
Podemos comparar as equações da posição genérica e a que foi dada na
questão.
2
0 0
2
0
0
2
1
. .
2
20
:
20
1 /
1
. 1 2 /
2
S S V t a t
S t t
comparando
S m
V m s
a a m s
� �
� �
A equação da velocidade será então:
tV
taVV
.21
.0
�
�
Uma questão tranquila, apenas para verificar se você compreendeu as
equações da velocidade e da posição no MRUV.
13. (VUNESP ± SP ± Prefeitura de Sorocaba - Engenheiro
Eletricista) Dois corpos têm as seguintes expressões que descrevem
seus movimentos no espaço em função do tempo:
S1 = 32 + 3t + 2t2;
S2 = 30 + 4t + 3t2.
O instante de tempo em que esses dois corpos vão se encontrar será de
(A) 0,5 s.
(B) 0,75 s.
(C) 1 s.
(D) 2 s.
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(E) 3 s.
Resposta: item C.
Comentário:
O instante de encontro será dado no momento em que as posições se
igualarem, logo:
st
t
t
tt
tttt
SS
1
2
31
2
)2.(1.411
02
.3.430.2.332
2
2
22
21
r�
��r�
��
�� ��
Veja que acabamos caindo em uma equação do 2º grau, resolvida por
meio da fórmula de Bahskara.
14. (IFMT ± Professor de Física) Um automóvel se move por uma
estrada retilínea obedecendo à seguinte equação horária, onde as
grandezas são expressas no Sistema Internacional de Unidades:
ݔ(t) = 10 + 2ݐ í�ݐ2
Sobre as características do movimento desse móvel, assinale a afirmativa
correta.
A) O maior valor de x corresponde a 10 m.
B) A maior distância que o automóvel poderá estar da origem do sistema
coordenado corresponde a 11 m.
C) A velocidade do automóvel será nula em t = 1 s.
D) Em t = 0, a velocidade do automóvel corresponde a 10 m/s.
Comentário item por item:
a) Vamos recorrer a um conceito matemático para analisar essa
alternativa. Você deve lembrar-se de que o valor de uma função do
segundo grau pode ser máximo ou mínimo, e também que esse valor
pode ser calculado aplicando-se a fórmula abaixo:
a
tx MAX 4
)( '�
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É o y do vértice da parábola!
Assim, basta aplicar a fórmula e descobrir o valor máximo de x.
mtx
tx
a
tx
MAX
MAX
MAX
11)(
)1.(4
)1.(10.42)(
4
)(
2
�
���
'�
Item falso.
b) Muito cuidado com esse item. Ele parece verdadeiro, ainda mais depois
dos comentários acerca do item a, mas fique ligado, pois a interpretação
correta do item a é a seguinte:
³2�FRUSR�LUi�DWLQJLU�XPD�SRVLomR�Pi[LPD�[� ���P��R�TXH�significa que a
sua distância em relação à origem é igual a d = 11 ± S0 = 11 ± 10 =1m.
Portanto, o item está falso.
c) O instante de inversão de movimento (velocidade nula) pode ser
calculado por meio da equação da velocidade.
Para encontrar os valores acima, procedemos da mesma maneiro com
que fizemos na questão anterior.
2
0 0
2
0
0
2
1
. .
2
10 2
:
10
2 /
1
. 1 2 /
2
S S V t a t
S t t
comparando
S m
V m s
a a m s
� �
� �
� �
Portanto, V = 2 - 2t.
O instante em que a velocidade se torna nula: 0 = 2 ± 2.t => t = 1s.
Portanto o item está correto.
d) Mais um item no qual desejamos saber em que instante a velocidade
do móvel atinge certo valor.
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Conhecendo a equação da velocidade, fica fácil ver que o cálculo da
velocidade instantânea pode ser feito para qualquer instante de tempo.
Calculando a velocidade para t = 0s, temos: V = 2 - 2.0 = 2m/s.
Item falso.
15. (IFAC - 2012± Professor de Física) Um móvel "A" movimenta-se
em uma trajetória retilínea com velocidade constante de 72 km/h, quando
passa por um móvel "B" que se encontra em repouso. Se o móvel "B"
acelerar uniformemente à razão de 2 m/s2, na mesma direção e sentido
do móvel "A", no instante em que é ultrapassado por "A", quanto tempo
levará para que "B" encontre "A"?
a) 40 segundos
b) 0,5 minuto
c) 1 minuto
d) 10 segundos
e) 20 segundos
Resposta: item E.
Comentário:
Trata-se de mais uma questão de encontro de móveis, bastante
comentada até agora em nossos exercícios, e muito cobrada em
concursos. Sem sombra de dúvidas, pode ser cobrada no seu concurso.
Vamos simplificar a situação descrita no enunciado usando o seguinte
esquema:
A
B
VA = 20m/s
aB = 2m/s2
Origem
tS
tS
tVSS
A
A
A
.20
.200
.0
�
�
2
2
2
00
.2.
2
1
.00
..
2
1
.
tS
ttS
tatVSS
B
B
BB
��
��
Igualando
st
ou
t
tt
SS AB
20
0
202
Entenda o raciocínio utilizado na questão:
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x Encontramos a equação da posição do móvel B, usando os
dados já fornecidos. (aceleração, velocidade inicial e posição
inicial, que foi considerada nula)
x Encontramos da mesma forma a equação da posição de A,
lembrando que A está perfazendo um movimento uniforme,
com velocidade constante.
x Depois bastou igualar e resolver mais uma equação do
segundo grau.
16. (IFAC - 2012 ± Professor de Física) Com relação à questão
anterior, quantos metros percorrerá o móvel "B" até encontrar o "A"?
a) 200
b) 500
c) 1.600
d) 260
e) 400
Resposta: Item E.
Comentário:
Agora, basta substituir na equação da posição de B, o instante de tempo t
= 20s para encontrar a posição dele no instante do encontro.
mS
S
tS
B
B
B
400
202
2
Como consideramos a posição inicial igual a zero e o movimento dele é
retilíneo, sempre no mesmo sentido, temos que a distância percorrida é
de 400m.
17. (IPAD ± PC-PE - 2006 ± Perito Criminal) A posição de um móvel
em movimento retilíneo é dada pela função horária x = 4 + 20t ± 2t2,
onde x está em metros e t em segundos. Podemos afirmar que a
velocidade do corpo é igual à zero, no instante:
A) t = 1 s
B) t = 2 s
C) t = 3 s
D) t = 4 s
E) t = 5 s
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Comentário:
Para encontrar o instante em que a velocidade se anula, basta encontrar
a equação da velocidade e logo após impor a condição V = 0, conforme já
fizemos em questão anterior.
Analisando a equação da posição que foi fornecida:
V0 = 20m/s.
a = -4m/s2.
V = 20 ± 4t, fazendo V = 0
=> 0 = 20 - 4t => t = 5s.
Ou seja, para t = 5s, o móvel encontra-se com velocidade nula.
Resposta: item E.
18. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Uma partícula em movimento retilíneo
uniformemente variado parte do repouso e atinge uma velocidade v ao
percorrer uma distância d. O tempo decorrido entre o instante da partida
e o instante em que atinge essa velocidade v é:
(A) 2d / v
(B) 3d / 2v
(C) d/v
(D) 2d / 3v
(E) d/ 2v
Resposta: Item A.
Comentário:
Questão simples, direta e muito interessante, no entanto, exige do
candidato um conhecimento e raciocínio acerca das equações da posição e
velocidade no MRUV.
Vamos primeiramente utilizar a equação da velocidade para determinar o
instante de tempo em que a velocidade V será atingida.
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0 .
0 .
V V a t
V a t
V V
t a
a t
�
�
Agora vamos encontrar o valor da aceleração, que não é bem vinda na
resposta. Para isso podemos usar a equação de Torricelli:
2 2
0
2
2
2. .
2. .
2.
V V a S
V a d
Vd
a
� '
Substituindo a primeira equação nesta última que encontramos:
2V 2. V .
2.
d
t
d
t
V
Portanto, o item correto é o A.
Veja que nessa questão o nosso trabalho foi um pouco maior, no entanto,
conseguimos chegar a resposta de forma didática e interessante.
19. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Um grande
navio petroleiro com velocidade de 15 m/s percorre aproximadamente 20
km até conseguir parar. Supondo que durante a frenagem ele tenha
percorrido uma trajetória retilínea com aceleração constante, pode-se
afirmar que o tempo aproximado gasto nessa manobra, em minutos, é de
(A) 30.
(B) 45.
(C) 60.
(D) 75.
(E) 90.
Resposta: Item B.
Comentário:
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Vamos utilizar a equação de Torricelli para encontrar a aceleração e
depois a equação da posição do MRUV para encontrar o tempo.
Torricelli:
2V 20
2
0
2 2
0
2
2. .
2. .
15
2. 2 20.000
0,0056 /
V a S
V a d
V
a
d
a m s
� '
u
Agora vamos utilizar a equação da velocidade do MRUV e calcular o tempo
aproximado:
0 .
0 15 0,0056.
15 45min
0,0056
V V a t
t
t
�
�
#
Aqui usamos duas equações conhecidas, que são a de Torricelli e a da
velocidade. Acostume-se com questões dessa natureza, em que um
raciocínio não é suficiente para a solução. São essas que irão fazer a
diferença ao seu favor.
20. (IPAD ± PC-PE - 2006 ± Perito Criminal) O gráfico abaixo mostra
as velocidades de dois carros, A e B, que trafegam no mesmo sentido ao
longo de uma via plana e reta. No instante t = 0 os carros estão alinhados
num mesmo semáforo. Após quanto tempo o carro B alcançará o carro A?
A) t = 1 s
B) t = 2 s
C) t = 3 s
D) t = 4 s
E) t = 5 s
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Comentário:
Mais uma questão de encontro de móveis, que, primeiramente, exige
outro conhecimento antes de aplicar a equação da posição dos dois
corpos e igualar.
Muito bem Aderbal, é fundamental para qualquer concurso que cobre
cinemática, resolver os problemas de encontro de móveis e colisões de
corpos.
Note que o carro A mantém a sua velocidade constante, o que caracteriza
um movimento uniforme.
Assim,
tS
tS
tvSS
A
A
.10
100
.0
�
�
. Observe que foi adotado como origem o semáforo
em que os carros se encontram no instante t = 0s.
x Para o carro B: Sua aceleração será calculada por meio da fórmula
Professor, bem que você disse que encontro de
móveis era um assunto importante. Vou estudar
isso bem, pois tem cara de questão de concursos.
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2/5
2
10
sm
t
V
a '
' .
Assim, podemos encontrar a equação da posição de B, sabendo que ele
parte do repouso e que sua posição inicial também é nula, temos:
2
2
2
00
5,2
5
2
1
.00
2
1
.
tS
ttS
attvSS
A
A
A
��
��
Igualando as duas equações obtidas:
22,5 10.
0
4
A BS S
t t
t s
ou
t s
O encontro ocorrerá em t = 4s, uma vez que t = 0 é o encontro inicial
deles no semáforo.
Resposta: item D.
21. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) O gráfico das
velocidades em função do tempo mostrado a seguir refere-se ao
movimento de dois carros que percorrem a mesma trajetória retilínea e
passam pela mesma posição em t = 0s.
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Da análise desse gráfico, é correto afirmar que:
(A) os carros encontram-se no instante t = 2,0 s.
(B) os carros encontram-se no instante t = 4,0 s.
(C) o carro I percorre 20 m nos primeiros 2,0 s de movimento.
(D) o carro II percorre 10 m nos primeiros 2,0 s de movimento.
(E) o carro II percorre 20 m nos primeiros 4,0 s de movimento.
Resposta: Item B.
Comentário:
Essa questão é bem parecida com a questão anterior, e veja que o
mesmo tema foi abordado por duas bancas diferentes, ou seja, na Física,
a abordagem da matéria é bem parecida, independentemente da banca,
isso acontece com muitos conteúdos da minha matéria.
Vamos montar a equação da posição para os dois móveis:
Carro I:
Calculando a aceleração:
20 20 5 /
4,0 0
V
a
t
a m s
' '
� ��
Agora vamos escrever a equação da posição, sabendo que a posição
inicial dos móveis será nula.
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2
0 0
2
2
1
. . .
2
120 .( 5).
2
20 2,5
I
I
S S V t a t
S t t
S t t
� �
� �
�
Veja que foi utilizada a equação do movimento uniformemente variado.
Vamos agora à equação da posição do carro II, lembrando que o
movimento dele é uniforme, com velocidade constante:
0 .
10.II
S S V t
S t
�
Agora basta igualar as equações:
2
2
2
20 2,5
10.
:
20 2,5 10.
4 0
0
4
I
II
S t t
S t
igualando
t t t
t t
t s
ou
t s
�
�
�
Ou seja, o encontro dos carros dar-se-á nos instantes t = 0s ou t = 4s.
Para encontrar os espaços percorridos por cada carro, basta substituir os
valores de ³W´ nas equações acima.
2
2
20 2,5
(2) 20.2 2,5.2
(2) 40 10 30
I
I
I
S t t
S
S m
�
�
�
Para o carro II:
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10.
(2) 10.2 20
(4) 10.4 40
II
II
II
S t
S m
S m
Assim, a resposta correta para a questão é o item B.
22. (UPE ± POLÍCIA CIVIL ± PE ± AUXILIAR DE PERÍCIA
CRIMINAL)
Um corpo que se movimenta em trajetória retilínea tem sua velocidade
variando em função do tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.
Analise os itens a seguir.
I. No intervalo entre to e t1 , o movimento é uniforme.
II. No intervalo entre t1 e t2 , a aceleração aumenta.
III. A distância percorrida pelo corpo no intervalo de tempo t2 e t3 vale
V2. (t3 ± t2).
IV. Nos intervalos entre t1 e t2 , o movimento é progressivo e acelerado.
Sobre eles, pode-se afirmar que
A) os itens I e II estão corretos.
B) todos os itens estão incorretos.
C) todos os itens estão corretos.
D) apenas os itens I e III estão corretos.
E) o item IV está correto.
Resposta: Item E.
Comentário:
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Vamos analisar item a item:
I. Para saber se o movimento é uniforme, basta notar que a velocidade é
uma função constante para o intervalo de tempo entre 0 e 1. Portanto,
item correto.
II. Entre t1 e t2 o movimento ocorre com velocidade crescente. Note que a
figura do gráfico é uma reta, o que nos permite concluir que o movimento
é uniformemente variado, logo teremos uma aceleração constante.
Portanto, o item é incorreto.
III. Entre t2 e t3 o gráfico é uma reta, o que nos permite dizer que o
movimento é uniforme, o 'S pode ser calculado de duas formas: usando
a fórmula 'S = V. 't = V2.(t3 ± t2), ou então usando a área do retângulo
formado no gráfico de t2 a t3, que seria dada por 'S = A = base x altura
= V2.(t3 ± t2). Portanto o item está correto.
IV. Para classificar o movimento como progressivo, basta olhar o sinal da
velocidade, conforme colocamos na teoria, então vamos verificar no
gráfico de V x t, se ele está localizado na parte superior ou inferior do
eixo y (velocidade). Note que o gráfico está na parte positiva do eixo y
(velocidade), portanto o movimento é progressivo, pois V > 0.
Para verificar se o movimento é acelerado, temos que encontrar o sinal da
aceleração, no intervalo de tempo considerado.
Veja que a inclinação da reta é aguda, o que nos permite afirmar que a
velocidade aumenta com o aumento do tempo, assim, podemos dizer que
a aceleração é positiva, a > 0.
Logo, como velocidade e aceleração possuem o mesmo sinal, então o
movimento é acelerado. Portanto, o item é correto.
23. (FDRH ± PC/RS ± 2008 ± Perito Criminal) Um automóvel, em
eficiência máxima, é capaz de aumentar sua velocidade de 0 a 90 km/h
num intervalo de tempo de 12s. Supondo que esse automóvel
movimente-se com aceleração constante ao longo de uma pista de
corridas retilínea, a distância percorrida por ele para atingir a velocidade
final é de, aproximadamente,
a) 7,50 m.
b) 43,3 m.
c) 150 m.
d) 300 m.
e) 540 m.
Resposta: item C.
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Comentário:
Vamos primeiramente encontrar a aceleração, por meio da definição, e
logo após aplicar a equação de Torricelli para determinar o 'S. (lembre-se
da transformação da unidade de velocidade, que foi dada em km/h)
Assim,
2/0,2
12
0
6,3
90
sma
t
V
a
#
�
'
'
Logo,
2 2
0
2 2
2. .
25 0 2.2.
156,25
V V a S
S
S m
� '
� '
'
A resposta mais adequada para o problema é o item C, uma vez que
todas as outras alternativas estão muito longe da resposta obtida.
24. (CESPE/UNB - CEFET ± PA ± 2003) No Manual de Formação de
Condutores, do Código de Trânsito Brasileiro, consta um curso de direção
defensiva que se baseia no seguinte slogan: o bom motorista é aquele
que dirige para si e para os outros. Uma das recomendações importantes
desse curso é que o motorista mantenha seu veículo a uma distância
segura do veículo que vai à sua frente, a fim de evitar colisão em caso de
parada ou mesmo de desvio de percurso repentino. Essa distância segura
é definida tendo como base condições típicas de frenagem. Para avaliar
esse problema, considere a situação representada na figura abaixo.
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Nessa situação, as distâncias indicadas apresentam os seguintes
significados físicos: distância de reação ² é aquela que o veículo percorre
desde o instante em que o motorista percebe a situação de perigo até o
momento em que aciona o pedal do freio; distância de frenagem ² é
aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista pisou
no freio até o momento da parada total do veículo; distância de parada ²
é aquela que o veículo percorre desde o instante em que o motorista
percebe o perigo e decide parar até a parada total do veículo, ficando a
uma distância segura do outro veículo, pedestre ou qualquer objeto na
via. A partir das informações acima e com relação à situação apresentada,
julgue os itens a seguir, considerando que o caminhão mostrado na figura
pare repentinamente.
I - O gráfico abaixo poderia representar corretamente o comportamento
da velocidade do carro ² v ² em função do tempo ² t ² do instante em
que o motorista do carro percebe a parada do caminhão até a sua parada
total.
Comentário:
Item Correto.
No início, de acordo com o enunciado, o carro desenvolve velocidade
constante (movimento uniforme), logo o gráfico é uma reta paralela ao
eixo dos tempos.
Logo após a velocidade do carro diminui com o tempo, pois o movimento
passa a ser retardado e como tal a velocidade deve diminuir em módulo,
uniformemente, portanto, o gráfico é uma reta decrescente em relação ao
eixo dos tempos.
II - Se a velocidade inicial do carro fosse duplicada, a distância de parada
também seria duplicada, caso fossem mantidas as condições de frenagem
típicas.
Item incorreto.
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A distância de reação será o dobro, já que é uma distância calculada por
meio da equação da velocidade constante. O tempo de reação também
será o mesmo, pois as condições de frenagem serão mantidas.
1
2
2 1
0
0
.
2
2.
reação reação
reação reação
reação reação
S V t
S V t
S S
'
'
' '
Até aí o item está correto, pois a distância de reação irá dobrar, com o
aumento da velocidade inicial para o dobro daquilo que era no início.
Calculando a distância de frenagem:
Vamos resolver essa parte da questão usando a equação de Torricelli, já
que apenas a velocidade inicial será alterada, pois a velocidade final será
nula e a aceleração será constante, uma vez que serão mantidas as
condições da frenagem.
2 2
0
2
0
.
2. .( )
2.Frenag
V V a distância de frenagem
VS
a
�
'
� �
1
2
2 1
2
0
.
2 2
0 0
.
. .
2.
2 2.
2.
4.
Frenag
Frenag
Frenag Frenag
VS
a
V VS
a a
S S
'
'
' '
Portanto, nesse ponto o item não satisfaz a condição apontada, pois a
distância de frenagem irá mudar para o quádruplo.
III - Na situação apresentada, a distância de reação independe da
velocidade inicial do carro.
Comentário:
Item incorreto.
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A distância está ligada ao tempo de reação que é praticamente constante,
independe da velocidade. Assim, a distância de reação é calculada de
acordo com a seguinte fórmula:
REAÇÃOtVS ' ' .
Ou seja, dependendo da velocidade que o carro desenvolve no momento
da percepção, a distância de reação é diferente.
IV - Nas condições estabelecidas, a distância de frenagem depende da
velocidade inicial do carro.
Comentário:
Item Correto.
A distância de frenagem é calculada por meio da equação de Torricelli,
veja:
).(.2202 frenagemdedistânciaaVV �
Note que a velocidade final do carro deverá ser no máximo a velocidade
do veículo da frente, para que não
ocorra colisão.
Perceba que a distância de frenagem depende da velocidade inicial do
carro.
Estão certos apenas os itens
A) I e III. B) I e IV. C) II e III. D) I, II e IV. E) II, III e IV.
Resposta: Item B.
25. (PC-MG -2002 ± Perito Criminal) O gráfico abaixo representa o
movimento de uma partícula com aceleração constante ao longo do eixo
x.
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Qual é o valor dessa aceleração em m/s2?
A) 4
B) 2
C) 8
D) 3
Resposta: Item A
Comentário:
Vamos usar a equação da posição do MRUV para descobrir a aceleração.
Lembrando:
2
00 2
1
attVSS ��
Note que S0 = -2m, pois no instante de tempo t = 0, S = -2m (esse é o
ponto no qual o gráfico intercepta o eixo y).
Restam, portanto, duas incógnitas para determinarmos, que são a
velocidade inicial e a aceleração.
Para t = 1s, S = 0m.
Para t = 2s, S = 6m.
Assim:
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2
0
2
00
2
1
.2
2
1
attVS
attVSS
���
��
Para t = 1s, S = 0m.
2
2
2
20
2
1
.2
0
0
2
0
�
���
���
aV
aV
attVS
Para t = 2s, S = 6m.
4
822
2226
2
1
.2
0
0
0
2
0
�
�
���
���
aV
aV
aV
attVS
Resolvendo o sistema:
� �0
0
2
2 1
2
4
2
2
2
2
4 /
aV multiplicando por e somando
V a
a
a
a
a m s
� �
�
�
26. (FCC - 2011 ± SEDUC ± SP ± Professor de Física) De uma
estação A, um trem de metrô parte do repouso com aceleração constante
de 1,0 m/s2 até atingir 10 m/s; segue com esta velocidade por 1,0 minuto
e, finalmente, freia com desaceleração constante de 2,0 m/s2, até sua
chegada à estação B, onde para.
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A distância entre as duas estações, em m, é de
(A) 600
(B) 625
(C) 650
(D) 675
(E) 700
Comentário:
Vamos resolver esse problema graficamente:
No primeiro momento o movimento será acelerado até atingir a
velocidade de 10m/s, o que levará um tempo de 10s para acontecer.
Veja:
101
10
V
a
t
t
t s
' '
'
'
Portanto, durante 10s o gráfico será uma reta crescente.
Durante o movimento uniforme, com velocidade constante o gráfico será
uma reta paralela ao eixo dos tempos.
Daí então o movimento passa a ser uniforme durante 60s, e por fim,
desacelerado a 2m/s2 até o repouso, o que leva um tempo de 5s para
acontecer. Assim, o gráfico fica da seguinte forma:
Durante o processo de frenagem:
0 102( )
5
V
a
t
frenagem
t
t s
' '
�� '
'
Montando o gráfico:
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V(m/s)
t(s)10 70 75
10
A
mS
S
SA
675
10.
2
)6075(
'
� '
'
Tente resolver essa questão algebricamente, calculando o 'S em
cada trecho e ao final somando os valores obtidos.
Resposta: Item D.
27. (CESPE/UNB ± 2003 ± CEFET-PA ± Diversos Cargos)
O gráfico da figura acima mostra a velocidade v de um automóvel em
m/s. Em cada instante t, para 0 d t d 5, a velocidade é expressa pela
função v(t) = 3t + 3. Após 5 s, o automóvel viaja a uma velocidade
constante. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.
I. A velocidade do carro no instante t = 7 s é igual a 18 m/s.
II. O automóvel atinge a velocidade de 50 km/h antes de t = 4 s.
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III. A velocidade média durante os 5 primeiros segundos é igual a 10,5
m/s.
Assinale a opção correta.
A) Apenas o item I está certo.
B) Apenas o item II está certo.
C) Apenas os itens I e III estão certos.
D) Apenas os itens II e III estão certos.
E) Todos os itens estão certos.
Resposta: Item E.
Comentário:
I. No instante de tempo igual a 7s, o móvel está com velocidade
constante, atingida no instante t = 5s, de acordo com a função horária:
V = 3t +3.
V = 3.5 +3 = 18m/s.
Correto.
II. Para t = 4s, a velocidade será:
V = 3.t +3
V = 3.4 + 3 = 15m/s = 15.3,6m/s = 54km/h.
Assim, a velocidade de 50km/h é atingida antes dos 4 segundos, uma vez
que ela vai crescendo uniformemente desde t = 0s até t = 5s.
Correto.
III. Usaremos para o cálculo da velocidade média, a dica que foi dada na
teoria dessa aula, ou seja, a velocidade média em um movimento
retilíneo e uniformemente variado é igual à média aritmética dos valores
das velocidades. Lembre-se que quando o gráfico é uma reta, o
movimento é uniformemente variado e a velocidade vai crescendo de
maneira uniforme.
Vm = (V1 + V2)/2 = (3 + 18)/2 = 10,5m/s.
Perceba que essa dica = bizu que foi dada na parte teórica vale mesmo a
pena.
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Correto.
28. (Polícia Civil ± SP ± Perito Criminal ± FCC) O gráfico qualitativo
da velocidade (v), em função do tempo (t), da figura a seguir representa
o movimento de um carro que se desloca em linha reta.
Considerando que sua posição inicial era o marco zero da trajetória, o
correspondente gráfico horário de sua posição (S), em função do tempo
(t), é
Resposta: Item E.
Comentário:
Não se preocupe com uma questão dessa, pois você não vai precisar
desenhar o gráfico, basta que você saiba que figura teremos em cada
trecho. Vamos verificar por partes cada trecho do gráfico (S x t).
No primeiro trecho a velocidade é crescente e positiva, temos então um
movimento do tipo progressivo e acelerado. Veja no gráfico abaixo o
UDPR�GH�SDUiEROD�TXH�YDPRV�³SHJDU´
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Vamos pegar o ramo azul para esse primeiro trecho.
No próximo trecho do gráfico de velocidade você nota que ela é positiva
porém decrescente, estamos diante de um movimento progressivo, no
entanto, retardado.
9DMD�QD�ILJXUD�DEDL[R�TXDO�UDPR�GH�SDUiEROD�YDPRV�³SHJDU´
Retrógrado
Acelerado
Vamos pegar o ramo verde.
No último trecho do gráfico de velocidade temos ela constante, o que
corresponde a um movimento uniforme, onde o gráfico da posição é uma
reta, e como temos um trecho de velocidade constante positiva, o gráfico
(S x t) será uma reta crescente.
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Gráfico do MRU progressivo.
Assim, vamos marcar a alternativa que corresponde ao gráfico que reúne
todos esses trecho retromencionados, ou seja, a alternativa E.
29. (CESPE/UnB) O gráfico abaixo representa as velocidades em função
do tempo para dois carros, A e B, em uma estrada reta. Em t = 0 eles se
encontram no quilômetro zero.
Julgue os itens abaixo.
29.1 A velocidade média desenvolvida pelo carro A nas primeiras duas
horas da viagem é 70km/h.
Comentário:
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Vamos utilizar a teoria dessa aula por meio da qual foi dito que a
velocidade média em um MRUV (movimento de A nos 2 primeiros
segundos) é a média aritmética das velocidades.
Assim,
Vm = (V1 + V2)/2 = Vm = (80 + 60)/2 = 70km/h.
Portanto o item é correto.
29.2 Ao final das primeiras duas horas de viagem, o carro B ultrapassa o
carro A.
Incorreto.
Ao final das duas primeiras horas a distância percorrida por B é menor
que a distância percorrida por A, basta ver no gráfico que a área sob o
gráfico de B é menor que a área sob o gráfico de A.
Se no início eles estão na mesma posição, então eles deverão percorrer a
mesma distância para que então voltem a se encontrar, conforme visto
nas questões anteriores e na parte teórica.
29.3 Durante as primeiras quatro horas de viagem, cada carro se desloca
em movimento uniformemente acelerado.
Incorreto.
Durante as 4 primeiras horas o movimento de ambos modifica o seu tipo.
Observe que o movimento de A é acelerado durante as duas primeiras
horas e depois é uniforme.
Por outro lado, o movimento de B é acelerado nas três primeiras horas e
depois é uniforme.
Vale a pena memorizar a dica:
x Gráfico (v x t) reta crescente ou decrescente MRUV
x Gráfico (v x t) reta constante MRU
29.4 Nas primeiras duas horas de viagem, a aceleração do carro B é
maior do que a aceleração do carro A.
Correto.
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A inclinação da reta do carro B (aceleração) é maior do que a
inclinação da reta do carro A, portanto a aceleração de B é maior que
a de A.
Lembre-se de que a aceleração numericamente igual à tangente da
inclinação da reta é a inclinação da reta do gráfico (V x t).
29.5 Ao final das primeiras quatro horas de viagem, a distância entre os
dois carros é de 20km.
Incorreto.
Basta calcular as áreas sob os gráficos nas 4 primeiras horas e após
verificar a diferença que existe entre eles.
No calculo das áreas abaixo vamos utilizar a fórmula da área do trapézio
somada com a área de um retângulo
� �
Re
.
2
.
Trapézio
tângulo
B b h
A
A Bh
�
No trapézio vermelho a base maior vale 100 e a base menor vale 40,
enquanto que a altura vale 3, por outro lado o retângulo da parte
vermelha tem base 1 e altura 100.
No gráfico azul, o trapézio possui base maior 80 e base menor 60,
enquanto que a altura vale 2, o retângulo tem dimensões: 80 de altura e
2 de base.
Observe então o cálculo da área total na figura abaixo.
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V(m/s)
t(s)2
60 kmS
S
S
SA
B
B
B
B
310
100210
100.13.
2
)40100(
'
� '
�� '
'
40
3 4
100
kmS
S
S
SA
B
B
A
A
300
160140
80.22.
2
)6080(
'
� '
�� '
'
80
Portanto, o item está incorreto, pois a distância entre os carros é de
310km ± 300km = 10km.
30. (COMVEST ± POLÍCIA CIVIL/PB ± PERITO CRIMINAL) No
instante em que a luz verde do semáforo acende, um carro ali parado
parte com aceleração constante de 2,0 m/s2. Um caminhão, que circula
na mesma direção e no mesmo sentido, com velocidade constante de 10
m/s, passa por ele no exato momento da partida. Podemos, considerando
os dados numéricos fornecidos, afirmar que:
a) o carro ultrapassa o caminhão a 100 m do semáforo;
b) o carro não alcança o caminhão;
c) o carro ultrapassa o caminhão a 200 m do semáforo;
d) o carro ultrapassa o caminhão a 40 m do semáforo.
Resposta: Item A.
Comentário:
A ideia aqui é montar as equações das posições para os dois móveis e
verificar se existe solução para o sistema de equações.
Para o carro, o movimento é do tipo MRUV, com velocidade inicial igual a
zero e aceleração 2,0m/s2, vamos ainda considerar a posição inicial do
semáforo como sendo a origem do sistema de referência.
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2
0 0
2
2
1
. . .
2
1
.2.
2
S S V t a t
S t
S t
� �
Vamos agora montar a equação do caminhão, que está desenvolvendo
velocidade constante, portanto em movimento retilíneo e uniforme.
0 .
10.
S S V t
S t
�
Igualando as equações vamos encontrar o tempo que leva para ocorrer o
encontro.
2
2
10.
10 0
0
10
t t
t t
t s
ou
t s
�
A posição em que os veículos estarão quando ocorrer o encontro será:
10. , 10
10.10 100
S t para t s
S m
Portanto, a resposta correta é o item A, onde consta que o carro
ultrapassará o caminhão no instante t = 4s, quando estiver na posição
igual a 100m.
31. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) A figura representa o gráfico
velocidade versus tempo de uma partícula entre os instantes t=0 e t=t1.
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A velocidade escalar média da partícula entre esses instantes é:
(A) 4,5 m/s
(B) 4,0 m/s
(C) 3,0 m/s
(D) 2,5 m/s
(E) 2,0 m/s
Resposta: Item C.
Comentário:
Olha aí uma questão para fechar a nossa aula abordando mais uma vez a
ideia de que a velocidade média em um movimento do tipo MRUV é dada
pela média aritmética das velocidades inicial e final do movimento.
1 2
2
6 2 3 /
2
m
m
V VV
V m s
�
�
Chegamos ao final da nossa aula de cinemática escalar, que teve 31
questões de concursos anteriores comentadas de forma simples, didática
e com todos os detalhes de que você precisa para atingir o seu objetivo.
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11. Gabarito
01.CCEE 02. B 03. B 04. E 05.D 06.C
07.B 08.C 09.C 10.CCEE 11.A 12.B
13.C 14.C 15.E 16.E 17.E 18.A
19.B 20.D 21.B 22.E 23.C 24.B
25.A 26.D 27.E 28.E 29.CEECE 30.A
31.C
12. Fórmulas mais utilizadas na aula
final inicial média
final inicial
média
média
S S S , S V t
S
t t t , t
V
SV
t
' � ' u'
'' � '
' '
ÁREAStgVtVSS
t
SV ' � '
' ,,., 0 T
0
2 2 2
0 0 0
, . , ,
1
. . . , 2. .
2
V
a V V a t a tg V ÁREA
t
S S V t a t V V a S
T' � ' '
� � r '
Pensamento do dia:
³1XQFD�GHL[H�TXH�ninguém interfira nos seus sonhos, lute por
eles, conquistá-los só depende de você, do tamanho do seu
HVIRUoR��SRLV�'HXV�HVWi�FRP�YRFr�´
Vinícius Silva.
F�sica Aplicada - Aula 00 a 04 + Extra/Aula 02.pdf
Aula 02
Física Aplicada p/ PRF - Policial - 2014/2015 (Com videoaulas)
Professor: Vinicius Silva
Curso de Física para PRF 2014/2015
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AULA 02: Cinemática Vetorial e Movimento Circular: movimento
relativo, lançamento oblíquo e lançamento horizontal, lançamento
vertical e movimento circular.
SUMÁRIO PÁGINA
1. Introdução 2
2. Cinemática Vetorial 2
2.1 Grandezas Cinemáticas Vetoriais 2
3. Movimento Relativo 11
4. Velocidade Relativa 11
4.1 Cálculo da velocidade relativa para dois corpos na
mesma direção
12
4.2. Cálculo da velocidade relativa para velocidades
perpendiculares
14
5. Movimentos Circulares 15
5.1 Conceito 15
5.2 Espaço angular 16
5.2.1 Relação entre S e M 16
5.3 Velocidade angular 17
5.3.1 Relação entre velocidade angular e velocidade
linear
18
5.4 Aceleração centrípeta no movimento circular 18
5.5 Movimento Circular e Uniforme (MCU). 19
5.6 Período 20
5.7 Frequência 21
5.8. Relação entre período e frequência 22
5.9 Relação entre Velocidade Angular e Período. 22
5.10 Relação entre Velocidade Angular e frequência. 23
5.11 Transmissão de movimentos circulares 24
6. Movimento vertical no vácuo 28
6.1 Queda Livre 30
6.1.1 Cálculo do tempo de queda 31
6.1.2 Cálculo da velocidade final 32
6.2 Lançamento vertical para cima 32
6.2.1 Cálculo do tempo de subida: 33
6.2.2 Cálculo da altura máxima 36
6.3. Lançamento vertical para baixo: 38
6.4. Lançamento horizontal no vácuo 39
6.4.1 Cálculo do tempo de queda 41
6.4.2 Cálculo do alcance horizontal 42
6.5. Lançamento Oblíquo 44
6.5.1 A decomposição da velocidade inicial 47
6.5.2 Cálculo do tempo de subida, do tempo de subida
e do tempo total
48
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6.5.3 Cálculo da altura máxima 49
6.5.4 Cálculo do alcance horizontal 50
6.5.4.1 Alcance máximo 52
7. Exercícios Propostos 55
8. Exercícios Comentados 72
9. Gabarito 112
10. Fórmulas mais utilizadas na aula 112
1. Introdução
Nessa primeira parte da aula 2, vamos começar a entender a cinemática
vetorial, naquilo que ela será de fundamental importância para o nosso
concurso, ou seja, o movimento relativo, assunto relevante para qualquer
concurso.
A cinemática vetorial e o movimento relativo são importantes, pois
através deles podemos estudar o movimento de um corpo em relação a
outro e não mais em relação à Terra.
Por exemplo, se um veículo está trafegando em uma rodovia e em certo
instante uma viatura da PRF põe-se em perseguição a esse veículo
suspeito é possível medir a velocidade do veículo perseguido sem estar
dentro dele, observando o seu velocímetro?
No final dessa aula você verá que isso é possível e saberá como fazê-lo.
2. Cinemática Vetorial
A cinemática vetorial é, na verdade, o estudo do movimento dos corpos
do ponto de vista vetorial, e para isso devemos conhecer o bem os
vetores, assunto que vou colocar em uma aula extra nessa mesma aula
02. Abra um parênteses e abra o arquivo da aula extra, onde eu mostro
tudo de vetores.
2.1 Grandezas Cinemáticas Vetoriais
As grandezas da cinemática escalar que são a posição e também a
variação da posição, o que você conheceu como 'S; a velocidade
escalar e a aceleração escalar ganham nova cara aqui no estudo da
cinemática vetorial, uma vez que as grandezas agora terão direção e
sentido, não importando apenas o módulo da grandeza.
Vamos iniciar os estudos conhecendo a primeira grandeza que é o vetor
deslocamento:
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a) Vetor Deslocamento
O vetor deslocamento de um corpo é, na verdade o deslocamento real
que o corpo teve no plano.
Vetorialmente falando, poderíamos dizer que o vetor deslocamento de um
corpo é o vetor que tem como origem o local de partida e liga em
linha reta esse ponto ao ponto de chegada.
Veja na figura abaixo uma trajetória bem maluca, parecida com a de uma
estrada e o vetor deslocamento do corpo.
Note que o deslocamento efetivo do corpo foi apenas de 30km, pois o
vetor que liga o ponto A (apartamento) ao ponto B (casa) tem módulo
igual a 30km, diferentemente do espaço percorrido pelo automóvel na
estrada que liga a casa ao apartamento, que foi de 50km, tendo em vista
que a curva preta é maior que a reta vermelha.
Boa observação Aderbal, mas isso nem sempre é verdade, temos uma
situação em que o vetor descolamento se confunde com o deslocamento
escalar, e essa situação é justamente quando a trajetória do corpo é uma
reta.
Portanto, cuidado com o a banca, quando ela vier com aqueles itens
FOiVVLFRV�� ³HP� toda trajetória é correto afirmar que o deslocamento
vetorial é menor que o deVORFDPHQWR�HVFDODU´�
Professor, eu percebi que o
deslocamento vetorial é menor
que o deslocamento escalar, isso
é sempre verdade?
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Atente para esse tipo de pegadinha! O item acima estaria incorreto, pois
em trajetória retilínea as duas grandezas tem a mesma magnitude.
A unidade do vetor deslocamento, no SI, é o metro (m), pois se
trata de uma grandeza cuja dimensão é o comprimento.
Bom, as principais observações acerca do deslocamento vetorial e sua
distinção em relação ao deslocamento escalar foram feitas acima, agora
você tem de exercitar. A propósito vamos fazer um exemplo.
Exemplo 1: Um veículo, ao deslocar-se dentro da cidade, parte de uma
praça P em busca de uma oficina
Q para verificar o funcionamento do
motor e sofre a seguinte sequência de deslocamentos:
I. 800 m para o Norte;
II. 300 m para o Oeste;
III. 400 m para o Sul.
Sabendo que a duração do movimento é de 8 min 20 s, pode-se afirmar
que o módulo do seu deslocamento vetorial da praça P até a oficina Q é
de 500m.
Comentário: Item correto!
Observe o desenho esquemático abaixo no qual podemos observar o
trajeto completo do veículo em seu movimento descrito acima:
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Observe que podemos afirmar que o vetor deslocamento do corpo foi o
vetor vermelho, enquanto que os vetores pretos compõem o
deslocamento escalar do corpo em sua trajetória completa.
Para determinar o módulo do vetor deslocamento, basta aplicar o
teorema de Pitágoras:
2
2 2
2
300 400
250.000
500
d
d
d m
�
Perceba que o módulo do deslocamento vetorial é bem diferente do
módulo do deslocamento escalar, que no caso será:
800 300 400 1500m m m m� �
b) Velocidade vetorial média
A velocidade vetorial média é outro conceito que você precisa estar de
olho para o seu concurso.
A velocidade vetorial média é um conceito simples, pois leva em conta o
que você acabara de aprender acerca de deslocamento vetorial.
A velocidade vetorial média é a razão (divisão) entre o deslocamento
vetorial e o intervalo de tempo em que esse deslocamento ocorreu.
Assim a fórmula para o cálculo da velocidade vetorial média é:
SV
t
' '
Em módulo:
S
V
t
' '
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A unidade, no SI, será o m/s, lembrando que pode ocorrer de aparecer
uma unidade usual como o km/h, mas você já sabe transformar. Caso
tenha esquecido a tabelinha de transformação, volte para a aula 01, onde
mostramos como transformar de km/h para m/s e vice e versa.
x O módulo será dado pela fórmula acima.
x A direção será dada sempre pela direção do vetor
deslocamento.
x O sentido também será o mesmo do vetor deslocamento.
Compreendida essa ideia inicial de velocidade vetorial média, vamos fazer
uma pequena observação.
OBS.: Como o deslocamento vetorial tem módulo menor ou, no máximo,
igual ao do deslocamento escalar, a velocidade vetorial média obedecerá
também à seguinte desigualdade:
V Vd
Exemplo 2: Um veículo, ao deslocar-se dentro da cidade, parte de uma
praça P em busca de uma oficina Q para verificar o funcionamento do
motor e sofre a seguinte sequência de deslocamentos:
I. 800 m para o Norte;
II. 300 m para o Oeste;
III. 400 m para o Sul.
Sabendo que a duração do movimento é de 8 min 20 s, pode-se afirmar
que o módulo de sua velocidade vetorial média e de sua velocidade
escalar média são iguais a, respectivamente, 3,0m/s e 1,0m/s.
Comentário: Item incorreto!
Veja que a velocidade vetorial média tem módulo sempre menor ou, no
máximo, igual ao da velocidade escalar média.
Assim, o item é incorreto sem necessitar de nenhum cálculo para chegar
a essa conclusão. Fique atento que na sua prova, aparecerão itens dessa
natureza, que permitem ao candidato bem embasado marcar com
tranquilidade sem precisar utilizar fórmulas ou muita matemática.
Mas vamos comprovar os valores das velocidades médias vetorial e
escalar:
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No exemplo 1 foi calculado tanto o deslocamento vetorial, como o escalar,
agora fica fácil determinar as velocidades, basta dividir os respectivos
valores por 't. Vejamos:
500
(8.60 20)
500
500
1,0 /
S
V
t
mV
s
mV
s
V m s
' '
�
Com relação à velocidade escalar, basta calcular de acordo com o
deslocamento escalar:
1500
(8.60 20)
1500
500
3,0 /
S
V
t
mV
s
mV
s
V m s
' '
�
c) Aceleração tangencial ou escalar
A aceleração escalar é a aceleração tangencial e aparece em qualquer tipo
de trajetória, seja ela retilínea ou curvilínea.
Professor, mas por que essa
especificação quanto à aceleração,
ela tem algo de especial?
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Aderbal, a aceleração tangencial serve apenas para aumentar ou
diminuir o módulo da velocidade de um corpo. Portanto, só existe
aceleração tangencial se o corpo aumentar ou diminuir a sua velocidade.
Observe abaixo a representação da aceleração tangencial nos dois tipos
de movimento que vamos considerar:
Assim, podemos caracterizar a aceleração tangencial da seguinte forma:
x Direção: tangente à trajetória.
A favor da velocidade: movimento acelerado.
x Sentido:
Contra a velocidade: movimento retardado.
x Módulo: O módulo da aceleração tangencial será o mesmo módulo
da aceleração escalar.
Assim:
V
a
t
' '
Ou seja, a aceleração que estávamos acostumados a calcular até a última
aula, na verdade era a aceleração tangencial, uma vez que as trajetórias
eram retilíneas, não admitindo outro tipo de aceleração, que veremos
adiante.
A unidade da aceleração tangencial é simples: no SI, m/s2.
d) Aceleração centrípeta:
A aceleração centrípeta, por sua vez, tem uma função diferente da
aceleração tangencial no movimento, a função da centrípeta é manter
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o movimento do corpo em uma trajetória curvilínea, ou seja a
função da aceleração centrípeta é mudar a direção e por consequência o
sentido do vetor velocidade.
Assim, podemos afirmar que sempre que a trajetória for
curvilínea, haverá resultante centrípeta.
Na trajetória retilínea nunca haverá resultante centrípeta, pois
não há curva, portanto não haverá necessidade de manter o corpo
em nenhuma curva.
A resultante centrípeta tem algumas características que passaremos
agora a entender:
x Direção: radial, ou seja, a direção da aceleração centrípeta é a
direção do raio no ponto considerado.
x Sentido: Sempre apontando para o centro da curva.
x Módulo: vamos verificar a fórmula a seguir.
A módulo da aceleração centrípeta pode ser demonstrado para um caso
particular, mas como o nosso objetivo não é descer às minúcias, vou
preferir não mostrar essa demonstração. Vamos ao que interessa que é a
fórmula da aceleração centrípeta e a sua aplicação.
2| || |ctp va R
Onde |ݒԦ| representa o módulo da velocidade do corpo no instante
considerado e R representa o raio da trajetória curvilínea.
Representando a aceleração
centrípeta, poderíamos fazê-lo da forma em
que você observa na figura abaixo:
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Mas também podemos aplicar a fórmula da aceleração centrípeta usando
uma relação que você aprenderá na segunda parte dessa aula, que é o
conceito de velocidade angular. Será mostrado que a velocidade angular é
a velocidade linear dividida pelo raio da trajetória, o que nos permite
escrever:
2
2
2 2
2
| || | , | | .
:
( )| |
| |
| | .
ctp
ctp
ctp
ctp
v
a onde v R
R
assim
R
a
R
R
a
R
a R
Z
Z
Z
Z
Em uma questão em que for fornecido o valor da velocidade angular,
poderemos usar a fórmula acima.
Exemplo 3: Julgue os itens abaixo:
1. Em um movimento circular e uniforme, a aceleração total é nula.
Comentário: Item incorreto.
Apesar de o movimento ser uniforme, a aceleração centrípeta é diferente
de zero, pois o movimento precisa de uma aceleração que o faça mudar a
direção.
2. Em um movimento circular e uniformemente variado a aceleração
tangencial é nula.
Comentário: Item incorreto.
Como o movimento é variado, o módulo da velocidade modifica-se,
aumentando ou reduzindo, o que faz com que a aceleração tangencial
seja diferente de zero.
3. Em um movimento retilíneo a aceleração centrípeta é nula.
Comentário: Item correto.
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Já que a trajetória é retilínea, não pode a aceleração centrípeta ser
diferente de zero, pois a velocidade não muda de direção e nem de
sentido, sendo, portanto, a aceleração centrípeta nula.
4. Em um movimento circular e uniforme a aceleração centrípeta é
constante.
Comentário: Item correto.
Como o movimento é do tipo uniforme, o módulo da velocidade é
constante e diferente de zero. Assim, a aceleração centrípeta, que é dada
por:
2| || |ctp va R , será constante.
3. Movimento Relativo
O movimento relativo ocorre quando estudamos o movimento de um
corpo em relação a outro corpo que também está em movimento.
Geralmente, estudamos o movimento dos corpos em relação a um
referencial parado na Terra, contudo vamos aprender nessa aula a mudar
o referencial da Terra para outro referencial em movimento que pode ser
um veículo ou qualquer corpo que se move com velocidade constante.
O conceito fundamental nessa aula que deve ser entendido para que toda
ela seja bem entendida e todos os conceitos possam ser fixados é o de
referencial. Esse conceito foi visto em a última aula, na qual conceituamos
os principais pontos iniciais relativos à cinemática e um deles foi o de
referencial.
Na oportunidade, em outras palavras, resumidamente, dissemos que
referencial é um ponto de referencial sob o qual um movimento é
estudado.
Esse conceito, vamos continuar adotando, contudo, vamos explorar mais
detalhadamente o movimento relativo.
Em suma podemos dizer que um movimento é relativo, quando mudamos
o referencial da Terra para outro referencial em movimento.
4. Velocidade Relativa
O primeiro conceito que vamos abordar é o de velocidade relativa, que
nada mais é do que a velocidade que um corpo possui em relação a outro,
por isso o seu nome, velocidade relativa.
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4.1 Cálculo da velocidade relativa para dois corpos na mesma
direção
O primeiro caso que vamos analisar é o de velocidades na mesma
direção, muito comum em provas, ou seja, quando os dois automóveis
estão se deslocando na mesma rodovia, por exemplo.
a) Veículos em sentidos opostos:
Na figura abaixo você pode observar dois veículos se movimentando em
uma rodovia plana, na mesma direção e em sentidos opostos.
VA
VB
BAREL VVV �
A velocidade relativa entre eles será dada pela soma dos módulos das
velocidades de cada veículo em relação à Terra.
A velocidade relativa, conceitualmente é a diferença vetorial entre as
velocidades em relação à Terra, e como no caso acima os vetores
velocidade são opostos, a diferença entre eles tem módulo igual à soma
dos módulos de cada um deles.
É isso mesmo Aderbal! Nas colisões frontais é como se um móvel se
movesse com a soma das velocidades enquanto o outro encontra-se
parado.
Professor, é por isso que no manual
de direção defensiva, tem um alerta
para colisões frontais, dizendo que as
velocidades se somam?
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Esse na verdade é o conceito de velocidade relativa, o movimento se
passa como se um dos móveis estivesse parado enquanto o outro está em
movimento com a velocidade relativa.
b) Veículos no mesmo sentido:
Observe agora dois veículos se movimentando no mesmo sentido e na
mesma direção:
VA
VB
ABABREL
BABAREL
VVcaso,VVV
VVcaso,VVV
!�
!�
Nesse caso, os veículos estão se movimentando no mesmo sentido, assim
o movimento se passa como se um veículo tivesse uma velocidade igual à
diferença dos módulos de cada velocidade e o outro estivesse parado.
Boa pergunta Aderbal, e essa também pode ser a pergunta constante na
prova do seu concurso.
No caso dos veículos com mesma velocidade em módulo, direção e
sentido, um está em repouso em relação ao outro, os veículos não se
afastam e nem se aproximam um em relação ao outro.
Professor, e se os veículos
estivessem se
movimentando com o
mesmo valor de
velocidade?
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Perceba que é diferente se os veículos tiverem a mesma velocidade em
módulo, porém em sentidos opostos.
4.2. Cálculo da velocidade relativa para velocidades
perpendiculares
Caso muito comum de movimento relativo é o caso dos veículos em ruas
perpendiculares. Nesse caso as velocidades não estão na mesma direção.
Observe na figura abaixo os veículos em direções perpendiculares:
VA
VB
2
B
2
A
2
rel VVV �
Nesse caso, usamos o famoso teorema de Pitágoras para calcular a
velocidade relativa.
Exemplo 6: (INATEL) Dois corpos A e B se deslocam segundo trajetória
perpendiculares, com velocidades constantes, conforme está ilustrado na
figura adiante.
As velocidades dos corpos medidas por um observador fixo têm
intensidades iguais a: VA = 5,0 (m/s) e VB = 12 (m/s). É correto afirmar
que a velocidade do corpo a em relação ao corpo B vale 17m/s.
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Comentário: Item incorreto.
A velocidade relativa será dada pela fórmula vista acima, ou seja:
2 2 2
2 2 2
2
12 5
144 25 169
13 /
rel A B
rel
rel
rel
V V V
V
V
V m s
�
�
�
O movimento dos corpos se dá em direções perpendiculares, portanto a
velocidade relativa será dada por meio do teorema de Pitágoras.
Antes de passar para os exercícios, vamos responder à pergunta do início
da aula, onde eu perguntei para você se um veículo está trafegando em
uma rodovia e em certo instante uma viatura da polícia põe-se em
perseguição a esse veículo suspeito é possível medir a velocidade do
veículo perseguido sem estar dentro dele, observando o seu velocímetro?
A resposta é afirmativa, pois para isso basta que o veículo da PRF
trafegue na mesma direção e no mesmo sentido, mantendo-se sempre a
mesma distância em relação ao veículo da frente.
Desta forma, haverá repouso relativo entre os móveis e as velocidades
deles serão as mesmas em relação à Terra.
Portanto, basta o veículo perseguidor observar o seu velocímetro quando
não estiver se afastando, nem se aproximando do veículo perseguido, a
velocidade marcada será a velocidade do veículo que está sendo
perseguido.
5. Movimentos Circulares
5.1 Conceito:
O conceito de movimento circular é muito simples. É todo movimento
cuja trajetória é circular.
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Só isso mesmo, o que vai determinar se o movimento é ou não circular é
a trajetória do corpo, e esse conceito de trajetória foi visto na última aula,
na qual foram colocados vários conceitos cinemáticos que dão base para
todo o estudo dos movimentos.
Em trajetória circular, devemos dar às principais grandezas cinemáticas
(deslocamento e velocidade) o enfoque angular, já que na circunferência
não são apenas distâncias que são percorridas, mas também ângulos.
5.2 Espaço angular
O espaço angular é aquele ângulo central percorrido por um corpo quando
em movimento circular. Observe a figura:
Perceba na figura acima alguns conceitos:
x S é a posição linear (na linha da trajetória) do corpo em relação à
origem O do referencial.
x M é a posição angular (ângulo correspondente) em relação à origem
O do referencial.
x C é o centro da circunferência que, por sua vez, é a trajetória do
movimento circular, e R é o respectivo raio.
5.2.1 Relação entre S e M
Existe uma relação entre o espaço linear (S) e angular (M), basta perceber
uma proporção que há na circunferência.
Observe a demonstração no quadro a seguir:
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R
S
ou
R
S
,olog
)rad(S
)rad(2R2
' M' M
®¯ M�
S�S
Assim, podemos descobrir o espaço angular em função do espaço linear,
a depender apenas do raio da circunferência.
O espaço angular é o espaço linear dividido pelo raio.
5.3 Velocidade angular
A velocidade angular tem um conceito muito simples.
A velocidade linear, que você está acostumado, que foi trabalhada por
nós desde a primeira aula, nada mais é do que a rapidez com que os
espaços lineares ('S) são percorridos.
Por outro lado, a velocidade angular é a rapidez com que os ângulos são
percorridos. O próprio nome é autoexplicativo.
Assim, podemos verificar que a velocidade angular será dada de pela
seguinte fórmula, demonstrada no quadro abaixo:
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5.3.1 Relação entre velocidade angular e velocidade linear
Existe uma relação entre velocidade angular e linear, vamos demonstrá-la
a partir de conceitos básicos aprendidos nos itens anteriores, note:
A velocidade angular é a rapidez com que os ângulos são percorridos:
t'
M' Z
Mas acabamos de descobrir uma relação entre a variação do espaço linear
('S) e a variação do espaço angular ('M).
Se substituirmos 'M por �'S/R, chegamos à seguinte conclusão:
R
V
R
V
R
1
.
t
S
t
R
S
Z
'
' '
'
Z
Logo, a velocidade angular é igual à velocidade linear dividida pelo raio da
trajetória.
5.4 Aceleração centrípeta no movimento circular
Outro conceito importante a ser aprendido no movimento circular é que
ele sempre terá um tipo de aceleração, que é a aceleração centrípeta, que
nada mais é do que uma componente do vetor aceleração.
O fato é que nesse tipo de movimento a trajetória circular obriga o corpo
a mudar a direção do movimento constantemente, assim deve haver uma
aceleração responsável por essa mudança.
Essa componente é justamente a componente centrípeta da aceleração.
Essa componente sempre aparecerá em movimentos curvilíneos e tem
seu módulo dado pela fórmula abaixo:
R
v
a
2
ctp
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Mas acabamos de descobrir uma fórmula que relaciona a velocidade linear
V e a velocidade angular Z.
Assim, podemos afirmar que:
Ra
R
R
R
)R(
a
2
ctp
222
ctp
Z
Z Z
5.5 Movimento Circular e Uniforme (MCU).
Esse movimento (MCU) é um tipo particular de movimento circular, pois
nesse caso a velocidade é constante, tanto a angular como a linear.
Assim, os espaços lineares percorridos com o tempo são iguais para
intervalos de tempos iguais, assim como os espaços angulares.
Podemos resumir da seguinte forma:
®¯ M'
''
iguaiss'
iguaiss'S
iguaiss't
As principais características do movimento circular uniforme são:
1. A trajetória é uma circunferência.
2. A velocidade vetorial é constante em módulo e
variável em direção e sentido.
3. A aceleração tangencial é nula.
4. A aceleração centrípeta é constante em módulo e
variável em direção e sentido.
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Na figura acima as velocidades possuem o mesmo módulo durante todo o
movimento. Estão ainda representadas as acelerações centrípetas em
cada ponto, que também possuem o mesmo módulo.
Exemplo:
Um carro faz uma curva de 80 m de raio, com velocidade de módulo
constante igual a 72 km/h. Podemos afirmar que sua aceleração é:
a) zero m/s2
b) 0,5 m/s2
c) 0,9 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
Comentário:
No caso acima a aceleração será a do tipo centrípeta, uma vez que o
movimento do carro se faz com velocidade
constante em módulo.
Assim, bastas aplicar a fórmula da aceleração centrípeta, lembrando de
transformar a velocidade para m/s.
2
2
2
72
4003,6 5 /
80 80
ctp
ctp
V
a
R
a m s
§ ·¨ ¸© ¹
Item E.
5.6 Período
Todo movimento periódico possui um período, sendo um movimento
dessa natureza, aquele que se repete em intervalos de tempos
iguais.
Existem diversos exemplos de movimentos periódicos no nosso dia a dia.
Veja abaixo alguns movimentos que se repetem com o tempo:
1. A duração de uma aula presencial
2. O movimento de rotação da Terra em torno de si.
3. O movimento de translação da Terra em torno do Sol.
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Um movimento importante que é periódico é o movimento circular
e uniforme, que pelo fato de possuir velocidade constante, torna-se
periódico com o tempo, pois um corpo em MCU volta sempre para a
mesma posição após um intervalo de tempo igual a um período.
A unidade no sistema internacional de unidades é a unidade de tempo,
TXH�p�R�³VHJXQGR´��V).
Exemplos:
1. Calcule o período de rotação, em segundos, do movimento do ponteiro
dos minutos de um relógio analógico.
Resolução:
Questão simples, basta perceber que o ponteiro dos minutos leva 60
minutos para completar uma volta em torno do centro do relógio.
Mas como foi solicitado o período em segundos, temos de transformar a
unidade.
Assim, T = 60min.60s/min = 3600s.
5.7 Frequência
A frequência tem um conceito parecido com o de período, mas de maneira
inversa, observe:
³)UHTXrQFLD�GH�XP�PRYLmento periódico é o numero de vezes que
XP�PRYLPHQWR�VH�UHSHWH�QD�XQLGDGH�GH�WHPSR´�
Portanto, o conceito é inverso àquele de período.
A unidade de frequência é o Hz (hertz) ou RPS (rotações por segundo),
mas também é comum aparecer nas questões a unidade usual RPM
(rotações por minuto).
Fique atendo para o quadro abaixo onde consta a tabelinha para
transformação de RPM para Hz e vice versa.
RPMHz
HzRPM
60x
60:
o
o
Exemplo:
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Calcule a frequência de rotação de uma roda de um veículo, sabendo que
o tempo de duração de uma volta corresponde a 25 centésimos de
segundo.
Resolução:
Basta encontrar o número de voltas que a roda dá em um segundo:
Hz4f
s25,0
rotação1f
rotação1s25,0
fs1
®¯ o
o
Portanto a roda executa quatro voltas a cada segundo.
5.8. Relação entre período e frequência
Na teoria dos dois itens anteriores você deve ter notado que os conceitos
são inversos, o que nos permite escrever a seguinte conclusão:
T
1f
e
f
1T
Ou seja, o período é o inverso da frequência e a frequência é o inverso do
período.
5.9 Relação entre Velocidade Angular e Período.
Podemos provar uma relação que existe entre a velocidade angular e o
período, de modo fácil, chegamos à seguinte conclusão:
t.R
S
R
t
S
R
V
'
' '
'
Z
Para um deslocamento de uma volta, onde 'S = 2.S.R e 't = T, temos:
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T
2
T.R
R2
t.R
S
S Z
S '
' Z
5.10 Relação entre Velocidade Angular e frequência.
Podemos também demonstrar uma relação existente entre a velocidade
angular e a frequência de um movimento periódico. Vamos partir da
fórmula que foi demonstrada no item anterior:
f.2
T
1
.2
T
2
S Z
S Z
S Z
Exemplo:
Considere um automóvel cujos pneus, quando novos, têm diâmetro D.
Suponha que os pneus se tenham desgastado e apresentem 98% do
diâmetro original. Quando o velocímetro assinalar 100 km/h, a velocidade
real do automóvel será:
a) 104 km/h.
b) 102 km/h.
c) 100 km/h.
d) 98 km/h.
e) 96 km/h.
Resolução:
Essa questão é muito boa e requer um raciocínio natural muito bom por
parte do candidato. Acredito que uma questão dessas pode ser objeto de
avaliação em uma prova de qualquer concurso que contemple a Física em
seu edital, e o melhor, pouca gente vai saber a saída.
Observe, que o velocímetro do veículo vem calibrado de fábrica para
marcar 100km/h, considerando-se o diâmetro do pneu novo.
Assim, os 100km/h representam uma velocidade linear ('S/'t) a partir de
um raio de fábrica.
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Logo, podemos afirmar que:
.2
, .
,
2 .
n RV onde n é o número de voltas
t
Assim
V R f
S
S
'
Com o pneu desgastado, o raio é de apenas 98% do raio inicial, assim:
' 2 '.V R fS
Como a frequência de rotação do eixo do veículo é a mesma, pois ele está
marcando os mesmos 100km/h, então as velocidades serão proporcionais
aos raios. Logo:
' '
' 100.0,98
' 98 /
V R
V R
V
V km h
Resposta: alternativa D.
5.11 Transmissão de movimentos circulares
Os movimentos circulares podem ser transmitidos de um círculo para
outro, e isso é muito comum na indústria e no dia a dia, pois nem
sempre possuímos um motor com a frequência que desejamos obter.
Professor, ainda bem que existe essa tal
transmissão de movimento circular, já pensou
se toda vez que precisasse de frequência
diferente, fosse necessário comprar um novo
motor?
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Não quero nem pensar Aderbal, iria ser um gasto desnecessário, pois
podemos acoplar polias e conseguir frequências diferentes, por meio da
transmissão de movimentos circulares.
Essa transmissão pode ser de três formas: Por contato, correia e por
eixo. Vamos estudar esses três tipos de transmissão e observar as
particularidades de cada um deles:
a) Por contato:
Ocorre esse tipo de transmissão quando uma engrenagem, por exemplo,
em contato com outra, é capaz de transmitir o seu movimento circular.
Observe a figura abaixo que ilustra esse tipo de transmissão.
Observe que temos dois círculos de raios distintos com velocidades
angulares diferentes, afinal de contas eles descrevem ângulos diferentes
em tempos iguais.
Por outro lado, temos que as velocidades lineares dos dois círculos são
iguais pelo fato de não haver escorregamento. Assim, eles descrevem
espaços lineares iguais em tempos iguais. Logo, podemos montar a
seguinte igualdade:
Z
Z Z
Z
Z
,A B
A A B B
A B
B A
V V comoV R
R R
ou
R
R
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±
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Então, a conclusão é que quanto maior o raio, menor será a sua
velocidade angular, de modo a manter sempre a mesma velocidade
linear.
Podemos ainda trabalhar com mais duas fórmulas, que envolvem o
período e a frequência:
Z
Z
S
2.
A B
B A
R
R
S . . 2.A Af R
. .
. .
1 1
. .
B B
A A B B
A B
A B
BA
A B
f R
f R f R
ou
R R
T T
TT
R R
Esse tipo de transmissão é muito utilizado nas engrenagens que
compõem o motor de um veículo, que trabalham com procedimentos
mecanizados, um exemplo muito comum são as engrenagens dentadas
ou rodas dentadas.
É importante ressaltar que o raio de uma engrenagem é diretamente
proporcional ao número de dentes que ela possui.
.
dentes
R k n
b) Transmissão por correia ou corrente.
Nesse tipo de transmissão, uma polia (círculo) transfere seu movimento
circular por meio de uma corrente ou correia que não sofre
escorregamento e é inextensível, esses dois fatos são muito
importantes, pois é por conta deles que podemos afirmar que os corpos
terão a mesma velocidade linear, assim como o tinham na
transmissão por contato.
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Então, pelos mesmos motivos expostos na alínea anterior, podemos
afirmar que:
,A B
A A B B
A B
B A
V V comoV R
R R
ou
R
R
Z
Z Z
Z
Z
E ainda, pensando do ponto de vista das frequências e períodos:
Z
Z
S
2.
A B
B A
R
R
S . . 2.A Af R
. .
. .
1 1
. .
B B
A A B B
A B
A B
BA
A B
f R
f R f R
ou
R R
T T
TT
R R
Esse tipo de transmissão é muito conhecido e a sua aplicação mais
comum é a bicicleta e a motocicleta.
Quando numa coroa maior o seu movimento é transmitido para uma
catraca acoplada à roda traseira por meio de uma corrente ou correia.
c) Transmissão por meio de eixo.
Na transmissão por meio de eixo, temos um movimento circular sendo
transmitido por meio de um eixo acoplado aos dois corpos, fixo a
eles.
Esse eixo fará com que uma rotação angular 'T no primeiro corpo,
acarrete na mesma rotação 'T no segundo corpo.
Observe as figuras abaixo:
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Então, podemos afirmar que:
,
A B
A B
A B
V
como
R
V V
R R
Z Z Z
Do ponto de vista dos períodos e frequências, podemos dizer que são
idênticas:
A B
A B
f f
T T
Proporcionalmente, quanto maior o raio, maior a sua velocidade linear.
Esse tipo de transmissão também é utilizado na bicicleta. Ao ser
transmitido para roda, o movimento da catraca traseira acoplada à roda
traseira por meio de um eixo.
6. Movimento vertical no vácuo
Esse será o nosso último assunto a respeito do tema cinemática, que,
aliás, você lembra qual é o conceito de cinemática?
Professor, cinemática é a parte da
mecânica que estuda o movimento
sem levar em conta as suas
causas, ou seja, as forças.
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É isso aí Aderbal, estou vendo que você lembra-se bem dos conceitos
iniciais abordados durante a nossa aula 01.
Então, nessa aula vamos encerrar os conceitos relativos à cinemática, ou
seja, a partir da próxima aula, vamos iniciar o estudo da dinâmica, que é
o estudo dos movimentos dos corpos levando em conta as suas causas.
O assunto dessa parte da aula é o movimento vertical, o lançamento
horizontal e o lançamento oblíquo, todos no vácuo.
Nos livros esses assuntos são tratados com nomenclaturas diferentes,
mas os conceitos e as fórmulas envolvidas são as mesmas.
Muita matéria nos espera, portanto, vamos à luta!
Mas antes, vou lançar três perguntinhas básicas para serem respondidas
ao final da aula, acredito que você será capaz de respondê-las
prontamente após a abordagem de todos os conceitos teóricos e da
resolução de alguns exemplos durante a teoria.
Perguntas do dia:
1. No vácuo, quem chega primeiro ao solo, ao ser abandonados de
uma mesma altura, um elefante ou um gato?
2. No vácuo, quem chega primeiro ao solo, um lápis lançado
horizontalmente de uma mesa ou uma borracha que cai
verticalmente da mesma mesa?
3. Para atingirmos um ponto mais longe possível de um ponto de
lançamento de um projétil, qual o ângulo de inclinação que
devemos ter em relação à horizontal para conseguirmos atingir o
nosso objetivo?
O movimento vertical no vácuo é simples de ser entendido, isso porque
ele é, na verdade, um caso particular de movimento retilíneo e
uniformemente variado, vamos constatar esse fato.
Ora, se temos vácuo, a única aceleração presente em qualquer corpo será
a da gravidade, ou seja, g. Assim, todos os corpos estarão sujeitos a
mesma aceleração, que, diga-se de passagem, é constante nas
proximidades da superfície terrestre.
Se todos os corpos estarão sujeitos à aceleração da gravidade, que é
constante, então estamos diante de um movimento retilíneo, afinal de
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contas a trajetória será sempre vertical, o próprio nome já diz, cuja
aceleração é constante, ou seja, será um MRUV.
CONCLUSÃO:
TODO MVV É UM MRUV
Essa conclusão será muito importante para o desenvolvimento
matemático do assunto, pois poderemos fazer uso de todas as equações
do MRUV, já vistas na aula 01.
6.1 Queda Livre
O primeiro tipo de movimento vertical no vácuo que vamos estudar é o
movimento de queda livre, primeiramente precisamos entender qual o
conceito da queda livre para depois partimos para a matemática
envolvida.
A queda livre é um movimento vertical no vácuo no qual algumas
particularidades estão presentes:
x Velocidade inicial nula: V0 = 0.
x Altura inicial diferente de zero: H0 z 0.
Assim, podemos afirmar que toda queda livre tem velocidade inicial nula.
As frases que nos permitem identificar uma queda livre são: ³DEDQGRQD-
VH� XP� FRUSR���´, ³ODUJD-VH� XP� REMHWR���´, ³VROWD-VH� XP� EORFR���´,
etc.
Entendido o conceito e a identificação de uma questão de queda livre,
vamos observar a figura abaixo para que possamos construir o nosso
raciocínio matemático e descobrir algumas importantes fórmulas que
serão relevantes para a resolução das questões.
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A primeira observação a ser feita é a seguinte:
Na queda livre nenhuma variável cinemática depende da massa do
corpo, uma vez que todos os corpos estão sujeitos à aceleração da
gravidade, independentemente de suas respectivas massas.
Na sequência, podemos afirmar que o movimento de queda livre é
³DMXGDGR´ pela aceleração da gravidade, o que nos permite afirmar que
é um movimento acelerado, pois à medida que o tempo passa, a
velocidade aumenta o seu módulo.
Vamos a alguns cálculos importantes para o movimento de queda livre.
6.1.1 Cálculo do tempo de queda
Esse é realmente um dos cálculos mais comuns em questões de provas e
concursos. Vamos calcular o tempo de queda em função da aceleração da
gravidade e da altura inicial de queda.
O tempo de queda será calculado com base nas equações do movimento
retilíneo e uniformemente variado, que são:
1.
2
0 0. 2
atS S V t � � - Equação horária da posição do MRUV.
2. taVV .0 � - Equação horária da velocidade do MRUV
3.
2 2
0 2V V a S � ' - Equação de Torricelli.
Vamos usar uma equação que envolva tempo, portanto, temos duas
opções a equação 1 ou a equação 2, no entanto, a equação 2 carrega em
si a velocidade final do movimento de queda, o que não sabemos ainda.
Assim, temos que usar a equação 1, da seguinte forma
2
0 0
2
2
.
2
0 0.
2
2
2.
q
atS S V t
gtH t
gtH
H
t
g
� �
� �
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Portanto, o tempo de queda depende apenas da altura de queda e da
aceleração da gravidade.
Essa fórmula será muito utilizada nas questões dessa aula, portanto,
memorize-a, ou então aplique a equação horária da posição em seus
cálculos.
6.1.2 Cálculo da velocidade final
A velocidade final do corpo quando chega ao solo é outra variável
cinemática muito perguntada em provas e concursos.
O seu cálculo também segue as equações do MRUV para a queda livre, no
entanto, vamos utilizar a equação de Torricelli. Vejamos:
2 2
0
2
2
2 ( 0)
2
V V a S
V g H
V gH
� '
�
Assim, a velocidade final depende apenas da altura de queda e da
aceleração da gravidade.
OBS.: Esse cálculo pode ser feito também a partir dos conceitos de
conservação de energia, mas esse assunto será dado apenas nas
próximas aulas.
A respeito de queda livre, podemos afirmar que em provas e concursos
são cobradas comumente essas duas fórmulas demonstradas acima. As
demais questões são mais aprofundadas e os seus raciocínios serão
abordados nas questões comentadas.
6.2 Lançamento vertical para cima
O movimento de lançamento vertical para cima é mais um caso particular
de movimento retilíneo uniformemente variado, sujeito à aceleração da
gravidade.
Nesse caso temos algumas particularidades, que poderão ser vistas no
esquema abaixo que o resume:
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Note algumas particularidades em relação ao movimento de lançamento
vertical para cima:
x O corpo pode ser lançado do solo ou de um ponto a certa
altura inicial.
x A velocidade inicial deve ser não nula: V0 z 0.
x O movimento é retardado na subida e acelerado na descida.
Perceba que a segunda observação é de fundamental importância, pois
não haverá lançamento vertical para cima, caso a velocidade inicial seja
nula.
A classificação do movimento como retardado na subida se deve ao fato
de ele ter velocidade e aceleração (gravidade) com sentidos opostos e na
descida ele é acelerado, pois a velocidade inverte seu sentido, sendo,
portanto, acelerado.
O corpo pode ser lançado do solo ou então de um ponto a certa altura do
solo.
6.2.1 Cálculo do tempo de subida:
O tempo de subida é o tempo necessário para que o corpo chegue ao
topo de sua trajetória, momento no qual sua velocidade vertical é
nula.
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Assim, como queremos uma fórmula matemática que relacione o tempo
de subida com a velocidade inicial e a aceleração da gravidade, podemos
fazer uso da equação horária da velocidade, pois nela estão presentes
todas essas variáveis. Vejamos:
taVV .0 �
Lembre-se de que a velocidade final do corpo é nula, pois ao final da
subida ele fica momentaneamente em repouso para daí então iniciar o
movimento acelerado de descida.
Muito bem Aderbal! Assim é que se fala, vejo que você já está pegando o
jeito dos movimentos verticais.
Aplicando então:
x V = 0
x a = g
Temos:
0
0
0
0
.
0 SUB
SUB
SUB
V V a t
V gt
gt V
V
t
g
�
�
Professor, é claro que no ponto mais
alto a velocidade do corpo é zero,
pois se não fosse assim, ele
continuaria subindo e esse ponto não
seria o mais alto da trajetória.
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Portanto, temos acima uma fórmula que relaciona o tempo de subida com
a velocidade inicial e a aceleração da gravidade.
É importante observar que o corpo efetuará uma descida após atingir o
topo da trajetória. E algumas informações sobre essa descida são
fundamentais e devem ser lembradas.
a) O tempo de descida é igual ao tempo de subida:
Existe uma simetria entre a subida e a descida, de modo que a
descida se processa como a subida. Portanto, os tempos devem ser
iguais.
Assim,
b) Simetria entre a subida e descida:
Algumas consequências da simetria podem ser observadas:
x O primeiro segundo de subida é equivalente ao último
segundo de queda.
x O último segundo de subida é equivalente ao primeiro
segundo de descida.
SUB DESCt t
Professor, eu ainda não
entendi a principal
consequência dessa simetria.
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Caro Aderbal, a principal consequência é a distância percorrida em
trechos simétricos, que serão as mesmas. Assim, quando lhe for
perguntado qual a distância percorrida no último segundo de subida, qual
a sua resposta?
Exatamente Aderbal, vamos usar a simetria e também vamos usar essa
pergunta como exemplo.
Exemplo 1: Qual a distância percorrida por um corpo no seu último
segundo de subida?
Resposta: Essa distância é equivalente à percorrida durante
o primeiro
segundo de queda. Assim, basta calcular a altura percorrida por um corpo
em queda livre durante 1s.
2.
2.1
10
1
5
5
q
H
t
g
H
H
H m
Portanto, em um segundo de queda um corpo percorre 5m.
Assim, no último segundo de subida acontece a mesma coisa, ou seja, o
corpo percorre 5m.
6.2.2 Cálculo da altura máxima
A altura máxima também será calculada de acordo com as equações do
movimento uniformemente variado.
A equação ideal para o cálculo dessa altura é a de Torricelli, pois envolve
velocidades, aceleração espaços percorridos.
Professor, realmente é
complicado responder a sua
pergunta, mas eu acho que
podemos usar a simetria.
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x Velocidade inicial: V0
x Velocidade final: VF = 0
x Variação da posição: 'S = HMAX
Aplicando na equação de Torricelli:
0V
0FV
MAXH
2 2
0
2
0
2
0
2
0 2
2
F
MAX
MAX
V V g S
V gH
VH
g
� '
�
g
¨
Logo, a altura máxima atingida depende apenas da velocidade inicial e da
aceleração da gravidade, como previsto.
Exemplo 2: Um policial necessita arremessar um radar móvel para
seu companheiro de turno que se encontra no andar de cima do
posto a fim de que o colega efetuasse uma medida de velocidade
de um veículo suspeito. Sabendo que o piso superior onde se
encontra o colega que efetuará a medição tem 2,45m de altura,
calcule a velocidade mínima com que deve ser arremessado o
equipamento móvel. (g = 10m/s2).
Resolução: Nessa questão, basta que nós calculemos a velocidade inicial
e suponhamos que o radar chega ao piso superior em repouso. Assim,
aplicando a fórmula já vista:
2
0
2
0
2
0
0
2
2,45
2.10
49
7 /
MAX
VH
g
V
V
V m s
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6.3. Lançamento vertical para baixo:
O movimento de lançamento vertical para baixo merece poucos
comentários, pois além de ser incomum em provas, não possui nenhuma
fórmula já pronta para o cálculo de qualquer dado cinemático (alturas,
velocidades, tempos, etc.).
Assim, para o estudo desse movimento vamos adotar as equações do
movimento retilíneo uniformemente variado, com as devidas adaptações.
Acerca do lançamento vertical para baixo podem ser feitas as seguintes
observações:
x O movimento é acelerado. (a velocidade aumenta com o
tempo).
x A velocidade inicial é diferente de zero: V0 z 0.
x Deve ser lançado de certa altura em relação ao solo.
Observe a figura abaixo na qual temos representado esquematicamente
esse movimento:
Ademais, apenas recomendo o uso das fórmulas do movimento retilíneo e
uniformemente variado.
1.
2
0 0. 2
atS S V t � � - Equação horária da posição do MRUV
2. taVV .0 � - Equação horária da velocidade do MRUV
3.
2 2
0 2V V a S � ' - Equação de Torricelli.
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6.4. Lançamento horizontal no vácuo
Bom, chegamos ao segundo assunto dessa parte da aula de hoje. O
lançamento horizontal no vácuo tem como principal diferença, em
relação ao movimento vertical no vácuo visto nos tópicos anteriores, a
direção da velocidade inicial, que neste último caso será exclusivamente
horizontal.
Outro fato importante é a altura inicial, no lançamento horizontal temos
que lançar o corpo necessariamente de uma altura inicial.
Para exemplificar o movimento descrito:
V0
Trajetória
Parabólica
V0
V0
V0
Vy1
Vy1
Vy1
Mesa
Horizontal
H
in
ic
ia
l
g
Algumas observações devem ser feitas acerca desse movimento:
a) O movimento horizontal é uniforme.
Note que a única aceleração presente no movimento é a da gravidade,
que é vertical, portanto, temos um caso de moYLPHQWR�XQLIRUPH�HP�³;´�
$VVLP��R�PRYLPHQWR�HP�³;´�p�XQLIRUPH��FRP�YHORFLGDGH�FRQVWDQWH��R�TXH�
implica que na horizontal a velocidade inicial se conserva, mantendo-se
sempre igual a V0.
0 ( tan )xV V cons te
b) O movimento vertical é uniformemente variado.
Perceba que na vertical temos a presença da aceleração da gravidade,
portando trata-se de um caso de movimento uniformemente variado,
sujeito à aceleração da gravidade.
A principal consequência é o fato de que a velocidade vertical é variável.
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var ( )yV iável crescente
Como a velocidade é crescente, estamos diante de um caso de
movimento uniformemente variado do tipo acelerado.
As equações que vão ditar esse movimento vertical são as equações do
movimento uniformemente variado, ou seja:
1.
2
0 0. 2
atS S V t � � - Equação horária da posição do MRUV
2. taVV .0 � - Equação horária da velocidade do MRUV
3.
2 2
0 2V V a S � ' - Equação de Torricelli.
É exatamente isso Aderbal, o lançamento horizontal é uma composição
de uma queda livre com um movimento uniforme na horizontal.
e�FRPR�VH�WLYpVVHPRV�SHJDGR�XPD�TXHGD�OLYUH�H�³DUUDVWDGR´�HOD�FRP�XPD�
velocidade horizontal V0.
c) A trajetória é parabólica
PRGHPRV� SURYDU� TXH� D� DOWXUD� ³\´� YDULD� GH� DFRUGR� FRP� D� GLVWkQFLD�
horL]RQWDO�³[´�GH�DFRUGR�FRP�D�IXQomR�PDWHPiWLFD�DEDL[R�
2y ax bx c � �
No entanto, a demonstração acima foge do objetivo desse curso, mas
quem quiser pode me enviar e-mail que prontamente eu envio a
demonstração.
Professor, eu estou
percebendo que o
movimento vertical é,
aparentemente, uma
queda livre.
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6.4.1 Cálculo do tempo de queda
O tempo de queda será calculado de acordo com o movimento vertical,
afinal de contas trata-se de uma característica da queda.
Como é um movimento vertical do tipo queda livre, podemos afirmar que
o tempo de queda é idêntico ao tempo de queda caso tivéssemos apenas
abandonado o corpo da mesa.
Assim,
2. inicial
q
H
t
g
Exatamente, Aderbal, parece curioso, pois você vai pensar inicialmente
que o corpo abandonado verticalmente chega mais rápido porque
percorre uma distância menor, no entanto, existe um princípio na Física
chamado princípio de Galileu, e esse nobre colega de ciência disse certa
vez a frase abaixo:
Assim, os tempos são os mesmos, chegando ao solo ambos ao mesmo
tempo.
Observe a figura abaixo onde essa situação
aparece esquematizada de
forma prática.
Professor, quer dizer que se eu
abandonar um corpo
verticalmente e outro
horizontalmente eles vão chegar
ao mesmo tempo no solo ?
³(P�XP�PRYLPHQWR�FRPSRVWR��RV�PRYLPHQWRV�VmR�
independentes, e o tempo não depende do movimento de
DUUDVWDPHQWR´�
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Ambas as bolas de tênis chegam ao solo no mesmo instante de tempo,
caso entrem em movimento no mesmo momento.
6.4.2 Cálculo do alcance horizontal
A primeira coisa que deve ficar clara é: ³R� TXH� p� R� DOFDQFH�
horL]RQWDO"´�
Bom, inicialmente podemos afirmar que se trata de uma distância
horizontal, pois o próprio nome já identifica.
Assim, podemos afirmar que basta calcular a distância horizontal
percorrida pelo corpo durante o intervalo de tempo igual ao tempo de
queda.
Observe o alcance horizontal na figura abaixo:
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O alcance horizontal está representado pela distância D na figura acima.
Como é uma distância horizontal, na verdade é o 'S na horizontal para
um 't igual ao tempo de queda.
Assim, podemos escrever:
0
.
2
.
x
x
q
x q
inicial
SV
t
AV
t
A V t
HA V
g
' '
Portanto, demonstrada está a fórmula do alcance horizontal, que depende
apenas da altura inicial, da velocidade inicial de lançamento e da
aceleração da gravidade.
Exemplo 3: (Vinícius Silva) Uma equipe da PRF designada para
inspecionar um acidente ocorrido na BR116, próximo a um
barranco do qual um veículo lançado horizontalmente, deseja
calcular a velocidade do automóvel quando foi lançado do
barranco, que possui uma altura de 5m em relação ao plano
horizontal em que foi encontrado. Sabendo que o carro caiu em
um ponto distante 25m horizontalmente do ponto de lançamento,
ajude a equipe da PRF a responder no relatório do acidente se o
carro excedia a velocidade máxima da via (80km/h) no momento
que foi lançado. Dado: g = 10m/s2
Resolução: Trata-se de um problema clássico de cálculo de velocidades
de lançamento horizontal, no qual podemos lançar mão da equação
demonstrada acima para avaliar aproximadamente o valor da velocidade
inicial do veículo. Obviamente vamos desconsiderar o efeito do ar e os
eventuais atritos.
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A bolinha acima pode ser considerada como se fosse o carro. A altura h é
a altura do barranco.
Aplicando a fórmula do alcance, que nesse caso foi de 25m:
0
0
0
0
0
2
.
2.525 .
10
25 /
25.3,6 /
90 /
inicialHA V
g
V
V m s
V km h
V km h
Assim, podemos afirmar que o veículo excedia a velocidade máxima da
via quando foi lançado para fora da estrada.
6.5. Lançamento Oblíquo
O lançamento oblíquo possui uma diferença básica em relação aos
movimentos de lançamento horizontal e vertical.
No lançamento oblíquo a velocidade inicial é inclinada em relação à
horizontal, de um ângulo T. Observe as figuras abaixo na qual podemos
observar a velocidade inicial inclinada do corpo, bem como o movimento
desse tipo:
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(velocidade inicial decomposta)
Vamos fazer as devidas observações acerca desse movimento:
D��0RYLPHQWR�KRUL]RQWDO��HP�³[´��
O movimento horizontal é mais uma vez, assim como o era no caso do
lançamento horizontal, um movimento uniforme com velocidade
constante. Não possuímos qualquer tipo de aceleração nessa direção, o
que nos permite afirmar que o movimento não sofre aumento ou redução
de velocidade.
E��0RYLPHQWR�YHUWLFDO��HP�³\´��
O movimento vertical é uniformemente variado, pois na vertical temos a
presença da aceleração da gravidade, vertical e para baixo. Assim, o
movimento vertical assemelha-se a um lançamento vertical para cima,
com as mesmas características de tempo de subida, tempo de descida e
altura máxima.
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Exatamente Aderbal! E lembre-se que, de acordo com o princípio de
Galileu, já explicado anteriormente, esses movimento são independentes.
Observe a figura abaixo na qual podemos ver mais uma vez o movimento
de lançamento oblíquo:
Note na figura acima que a velocidade horizontal mantém-se constante e
sempre igual a Vx, enquanto que a velocidade vertical aumenta e reduz o
seu valor de acordo com instante de tempo considerado.
Perceba que a velocidade vertical no ponto de altura máxima é nula, e
esse fato será muito importante nas demonstrações das fórmulas nos
itens seguintes.
O lançamento oblíquo é muito comum na vida prática, podemos percebê-
lo em um jogo de futebol, quando o goleiro bate um tiro de meta, ou em
balística, quando um projétil é lançado contra o inimigo.
Professor, podemos dizer
então que o lançamento
oblíquo é uma composição de
um lançamento vertical para
cima com um movimento
uniforme na horizontal?
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6.5.1 A decomposição da velocidade inicial
A velocidade inicial pode e deve ser decomposta nas direções vertical e
horizontal. Vamos ver como se faz essa decomposição:
V0
T�
0
0
0 0
cos :
cos
.cos
X
X
calculando o
V
V
V V
T
T
T
V0X
V0y
0
0
0 0
:
.
Y
Y
calculando o sen
V
sen
V
V V sen
T
T
T
x
y
Vamos utilizar a decomposição acima nos cálculos das fórmulas a serem
demonstradas.
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6.5.2 Cálculo do tempo de subida, do tempo de subida e do tempo
total
Note que a subida é um movimento de lançamento vertical, ou seja,
vamos usar as equações do movimento retilíneo e uniformemente
variado.
Vamos pensar um pouco:
Você precisa calcular um tempo, o que nos remete a duas equações:
1.
2
0 0. 2
atS S V t � � - Equação horária da posição
do MRUV
2. taVV .0 � - Equação horária da velocidade do MRUV
Ocorre que a primeira equação envolve espaços, que, a primeira vista,
não é uma tarefa simples determina-los nesse momento da aula. Vamos
preferir utilizar a segunda equação, uma vez que sabemos que ao final da
subida o corpo apresenta velocidade vertical nula.
Assim, aplicando a equação 2 no eixo vertical:
V0
T
V0X
Hmax
V0X
V0y
V0y = 0
0
0
0 0
.
0 :
0
.
y
y
y
y sub
y
sub
sub
V V g t
comoV
V gt
V V sen
t
g g
T
�
�
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Perceba que temos uma equação que depende apenas da inclinação do
lançamento (T), da velocidade inicial e da aceleração da gravidade.
Quanto ao tempo de descida, facilmente podemos afirmar que é igual ao
tempo de subida, pois é um caso clássico de simetria entre a subida e a
descida.
Lembre-se de que para pontos a mesma altura na subida e na descida
podemos afirmar o seguinte:
x Possuem a mesma velocidade, porém em sentidos opostos.
Assim,
0 0
.
.y
desc
V V sen
t
g g
T
O tempo total é simples, pois basta notar que o tempo para subir e descer
é a soma do tempo de subida e do tempo de descida, mas lembre-se de
que são dois tempos iguais:
0 0
. .
0
0
2.
2. .
y y
y
desc sub
total
total
V V
t t
g g
V
t
g
V sen
t
g
T
� �
6.5.3 Cálculo da altura máxima
A altura máxima é uma distância vertical e deve ser calculada mediante a
aplicação de uma das fórmulas do movimento retilíneo e uniformemente
variado.
Observe a figura abaixo onde podemos observar que no movimento
vertical a altura máxima é o 'S vertical enquanto a velocidade vertical
passa de V0y para zero.
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V0
T
V0X
Hmax
V0X
V0y
V0y = 0
Usando a equação de Torricelli para calcular a HMÁX:
2 2
0
2
0
2 2 2
0 0
2
0 2. .
. ( )
2. 2.
Y y MÁX
y MÁX
y
MÁX
V V aH
V g H
V V senH
g g
T
�
�
A altura máxima depende então da velocidade inicial, do ângulo de
lançamento e da aceleração da gravidade.
6.5.4 Cálculo do alcance horizontal
Chegamos a um ponto muito interessante da nossa aula, que é o cálculo
do alcance horizontal, que nada mais é do que a distância horizontal que
um corpo alcança quando regressa ao solo.
Veja na figura abaixo o alcance representado pela letra A:
O alcance horizontal é uma distância horizontal e devemos portanto
utilizar a equação do movimento uniforme (velocidade constante):
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0
0
0
0
0
0 0
.
2.
.
2. .
x
x
x
y
x
x y
total
total
SV
t
AV
t
A V t
V
A V
g
V V
A
g
' '
Essa fórmula é a fórmula base para as demais que vamos demonstrar.
Podemos utilizar as velocidades decompostas em função dos ângulos e
deduzir outra fórmula:
0 0
0 0
2
0
2. .
2. . . cos
.2. .cos
x y
V V
A
g
V sen VA
g
V senA
g
T T
T T
Essa última fórmula envolve a velocidade inicial o ângulo de inclinação e a
aceleração da gravidade.
Podemos ainda modificar essa fórmula, bastando para isso lembrar-se de
uma relação trigonométrica conhecida:
(2. ) 2. .cossen senT T T
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Assim, se aplicarmos essa relação na última equação do alcance
demonstrada, teríamos:
2
0 . (2. )V senA
g
T
Essa última fórmula será interessante para o cálculo do alcance máximo a
ser detalhado no próximo item.
6.5.4.1 Alcance máximo
Para uma mesma velocidade inicial e uma mesma aceleração da
gravidade, pode ser atingido um alcance máximo, para isso basta variar o
ângulo de inclinação da velocidade inicial, para que esse intento seja
atingido.
Você certamente já deve ter se deparado com a seguinte situação: como
faço para atingir um alcance máximo com uma mangueira de jardim
apenas variando a inclinação da mangueira em relação à horizontal?
Essa resposta daremos ao final da análise do alcance horizontal máximo.
Vamos partir da última fórmula demonstrada:
2
0 . (2. )V senA
g
T
Nessa fórmula, para uma mesma velocidade inicial e para um mesmo
campo gravitacional, o alcance será modificado quando da modificação do
ângulo, assim o termo variante será o sen(2T).
O seno de um ângulo possui uma variação, ou seja, possui um valor
máximo e um valor mínimo:
1 (2. ) 1sen Td d
Assim, o valor máximo que o sen(2T) pode assumir é o valor igual a 1.
Assim, substituindo o valor de sen(2T) = 1 na fórmula do alcance
teremos:
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2
0
2
0
. (2. )
(2. ) 1
MÁX
V senA
g
sen
VA
g
T
T
Portanto, o alcance máximo atingido pelo projétil será dado pela fórmula
acima.
Bom, para isso basta analisar a condição que foi imposta para o alcance
máximo.
É isso aí Aderbal!
O seno do ângulo deve ser igual a 1 para que tenhamos o alcance
máximo.
Assim, temos:
Professor, eu ainda não entendi foi
qual o ângulo que tenho que inclinar a
velocidade inicial para que consiga
atingir o alcance máximo.
Professor, essa
condição é a do seno
do ângulo igual a 1?
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(2. ) 1
2 90
45
sen T
T
T
q
q
Lembre-se de que o seno de um ângulo igual a 1 implica dizer que esse
ângulo é igual a 90° ou 90 + n.360°. Como não vamos utilizar os outros
valores, por serem maiores que o próprio 90°, temos que o ângulo de
lançamento igual a 45° implica em alcance máximo.
Para finalizar a teoria de hoje, vou fazer um pergunta básica:
³3RGH� KDYHU� GRLV� DOFDQFHV� KRUL]RQWDLV� LJuais para ângulos de inclinação
GLIHUHQWHV"´
A resposta é afirmativa, para isso basta que tenhamos ângulos
complementares,
ou seja, basta que a soma dos ângulos de lançamento
tenham soma igual a 90°.
90T D� q
Veja abaixo uma figura onde representamos vários alcances horizontais
iguais:
Veja que os alcances iguais são aqueles cuja soma dos ângulos é de 90°.
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7. Exercícios Propostos
x Cinemática Vetorial
01. (CESGRANRIO ± SEED/SP - PROFESSOR) Trabalhando para uma
companhia de vigilância, Pedro, que mora perto da central conforme
indicado no mapa abaixo, é contatado por meio de intercomunicadores
(do tipo walk & talk, de radiofrequência).
O alcance mínimo do aparelho utilizado deve ser
(A) 300 m
(B) 350 m
(C) 400 m
(D) 500 m
(E) 700 m
02. (CESPE-2012 ± SEDUC-ES) Um navio, localizado inicialmente em
um ponto A desloca-se 100 km para o sul e depois 50 km para leste,
chegando a um ponto C. Com base nessas informações, julgue os itens
subsecutivos.
1. A direção do vetor deslocamento entre os pontos A e C forma um
ângulo maior que 120 graus com a direção norte.
2. A distância entre o ponto A e o ponto C é maior que 120 km.
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03. (CESPE ± UNB ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE INSPEÇÃO DE
EQUIPAMENTOS ± 2004)
A figura acima, ilustra um barco atravessando um rio. Considerando que a
velocidade do barco com relação à margem ሬܸԦBM é igual a 2,40 m/s , que a
velocidade da água com relação a margem ሬܸԦAM, ou seja, a velocidade da
correnteza, é igual a 1,2 m/s e que ሬܸԦBA representa a velocidade do barco
com relação à água, julgue os itens subsequentes.
Dado:
130
2
sen q .
1. Para atingir a margem oposta do rio na mesma longitude de partida, o
ângulo T deverá ser igual a 30º.
2. O vetor velocidade VBM pode ser determinado pela soma vetorial
BM BA AMV V V �
3. Se o vetor velocidade BMV apontar no sentido norte, o barco se
deslocará no sentido noroeste devido à direção e ao sentido da
correnteza.
04. (CESPE-UNB ± PETROBRÁS ± OPERADOR ± 2001) Próximo aos
polos da Terra, é comum se encontrar grandes blocos de gelo, chamados
icebergs, flutuando na água do mar. Suponha que um iceberg tenha a
forma de um paralelepípedo, como mostrado na figura abaixo, e que sua
densidade seja de 1.000 kg/m3. Julgue o item a seguir.
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1. Supondo que a corrente marítima empurre o iceberg para o norte, com
velocidade de 0,4 km/h, e o vento empurre o mesmo iceberg para o leste,
com a velocidade de 0,3 km/h, então a velocidade resultante terá módulo
igual a 0,6 km/h, com sentido noroeste.
05. (FGV ± PC-RJ ± PERITO FÍSICO) A figura mostra a posição
ocupada por uma partícula que está percorrendo uma trajetória circular
de centro em C e de raio R, no instante em que sua velocidade ݒԦ e sua
aceleração Ԧܽ fazem um ângulo de 30º. Sendo | ݒԦ | = 4,0m/s e | Ԧܽ|
=40m/s2, o raio R da trajetória vale:
(A) 20cm
(B) 40cm
(C) 50cm
(D) 60cm
(E) 80cm
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06. (CESGRANRIO ± CASA DA MOEDA) A viagem até uma plataforma
petrolífera pode ser feita de helicóptero ou de lancha. Para chegar à
plataforma, o helicóptero percorre uma distância de 50 km com
velocidade média de 120 km/h. O trajeto de lancha tem 40 km, mas a
velocidade média dela é de 80 km/h. Se a lancha e o helicóptero partem
simultaneamente, qual é aproximadamente o intervalo de tempo, em
minutos, entre a chegada do helicóptero e da lancha à plataforma?
(A) 5,0
(B) 10
(C) 15
(D) 25
(E) 30
07. (Polícia Civil ± PE - IPAD) Um barco navegando em linha reta
contra a correnteza de um rio percorreu uma distância de 10 km em 20
min. Na viagem de volta o tempo gasto foi de apenas 15 min. Sabendo
que a velocidade própria do barco (em relação ao rio) foi constante e a
mesma nos dois sentidos, determine a velocidade da correnteza.
A) 3 km/h
B) 4 km/h
C) 5 km/h
D) 6 km/h
E) 7 km/h
08. (TÉCNICO EM LABORATÓRIO ± FÍSICA ± UNIR ± 2009) A figura
a seguir ilustra uma escada rolante com velocidade ascendente VE = 1
m/s e inclinação 60º com a horizontal. Um estudante A desce por esta
escada com o objetivo de encontrar um outro estudante B que está no
solo e caminha em direção ao pé da escada com velocidade VB = 1 m/s.
Supondo que os dois partem da mesma posição horizontal, calcule qual
deve ser a velocidade VA do estudante A, em relação ao solo e ao longo
da escada, para que os estudantes se encontrem ao pé da escada, no
mesmo instante.
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A) 5 m/s
B) 1 m/s
C) 3 m/s
D) 4 m/s
E) 2 m/s
09. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Um projétil é disparado obliquamente
do solo e, sendo a resistência do ar desprezível, descreve a trajetória
representada na figura, na qual A é a posição do projétil em um instante
de sua subida e B, a sua posição em um instante da descida.
O segmento orientado que pode representar o vetor variação de
velocidade entre o instante em que passa por A e o instante em que
passa por B é:
O segmento orientado que pode representar o vetor variação de
velocidade entre o instante em que passa por A e o instante em que
passa por B é:
A) B) C) D) E)
10. (CESGRANRIO ± TRANSPETRO ± TÉCNICO EM OPERAÇÃO
JUNIOR) Um nadador atravessa um rio de 100 m de largura. A
velocidade do nadador em relação ao rio possui direção perpendicular às
margens e módulo 0,5 m/s. A velocidade da correnteza do rio em relação
às margens, é paralela às margens e possui módulo igual a 0,8 m/s. A
figura abaixo é um esquema da situação que mostra a trajetória AB do
nadador vista por um observador parado em uma das margens. As
margens 1 e 2 são paralelas. Se a linha AC é perpendicular às margens,
qual é aproximadamente o valor em metros da distância entre os pontos
C e B?
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(A) 50
(B) 62,5
(C) 100
(D) 160
(E) 250
x Movimentos Circulares
11. (Polícia Civil ±PE - IPAD) Os ponteiros dos minutos e das horas de
um relógio têm comprimentos iguais a Lmin = 2,0 cm e Lhora = 1,5 cm,
respectivamente. Determine a razão Vmin / Vhora entre as velocidades das
pontas destes ponteiros.
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
12. (ELETRONORTE ± NCE) Uma partícula parte do repouso do ponto 1,
no instante t0= 0, e passa a se mover em movimento uniformemente
acelerado ao longo da trajetória circular de centro em C representada na
figura, no sentido anti horário. Os pontos 1, 2, 3, 4 e 5 são os vértices de
um pentágono regular inscrito no círculo-trajetória.
No instante t, a partícula passa pela primeira vez pelo ponto 2. Sendo
assim, no instante 3t ela se encontra no ponto:
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(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
13. (Prefeitura de São Paulo ± Especialista em Meio Ambiente ±
Física ± FCC/2008) Um automóvel percorre uma estrada horizontal com
velocidade escalar constante. O eixo das rodas traseiras desse automóvel
executa 2.400 r.p.m. Nesta situação, a velocidade angular de um ponto
da roda traseira, a 50 cm do eixo, em rad/s, vale
(A) 240 ʌ
(B) 160 ʌ
(C) 120 ʌ
(D) 80 ʌ
(E) 40 ʌ
14. (SESC-2010 ± IPAD) O comprimento do ponteiro dos segundos de
um relógio de parede mede 12 cm. Qual o valor da velocidade escalar do
extremo do ponteiro?
A) 0,26 cm/s
B) 1,26 cm/s
C) 2,26 cm/s
D) 3,26 cm/s
E) 4,26 cm/s
15. (SESC-2010 ± IPAD) A lâmpada do alarme de um carro pisca com
uma frequência igual a 1,2 Hz. Determine a ordem de grandeza do
número de vezes que ela pisca durante um dia.
A) 102
B) 103
C) 104
D) 105
E) 106
16. (FCC ± TRANSPETRO) O texto e a figura seguintes referem-se às
questões de números 34.1 e 34.2. Considere o sistema seguinte formado
por duas polias ligadas por uma correia, sendo que os pontos de contato
GD� FRUUHLD� FRP� DV� SROLDV� IRUPDP� XP� kQJXOR� į� HP� UHODomR� aos eixos
imaginários verticais.
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Se o número de rotações da polia maior for 120 rpm, a rotação da polia
menor será
(A) 480 rpm
(B) 240 rpm
(C) 120 rpm
(D) 80 rpm
(E) 60 rpm
17. (Polícia Civil ± SP ± Perito Criminal ± VUNESP) A polia dentada
do motor de uma motocicleta em movimento, também chamada de
pinhão, gira com frequência de 3 600 rpm. Ela tem um diâmetro de 4 cm
e nela está acoplada uma corrente que transmite esse giro para a coroa,
solidária com a roda traseira. O diâmetro da coroa é de 24 cm e o
diâmetro externo da roda, incluindo o pneu, é de 50 cm. A figura a seguir
ilustra as partes citadas.
Use S = 3, considere que a moto não derrapa e que a transmissão do
movimento de rotação seja integralmente dirigida ao seu deslocamento
linear. A velocidade da moto, em relação ao solo e em km/h, é de
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(A) 72.
(B) 62.
(C) 54.
(D) 66.
(E) 90.
x Movimento Vertical no Vácuo
18. (CESPE ± UNB ± FUB ± FÍSICO)
A figura acima mostra uma criança em um carrinho que se move com
velocidade constante vox, em um plano horizontal. Durante o movimento
do carrinho, a criança joga uma bola para cima com velocidade inicial
igual a voy.
No referencial da criança, a origem do sistema de eixos coordenados está
fixa ao carrinho. Para o observador externo, a origem dos sistemas de
eixos coordenados é identificada por 0 na figura e está fixo ao solo.
Desprezando o atrito com o ar e considerando a aceleração da gravidade
igual a g, julgue os itens de 53 a 58, acerca da situação apresentada.
1. Do ponto de vista da criança, considerando-se um referencial fixo no
carrinho, é correto afirmar que a bola descreve um movimento parabólico
de subida e descida, cuja posição na vertical em função do tempo é
descrita pela equação
2. Do ponto de vista de um observador externo, considerando-se um
referencial fixo ao solo, é correto afirmar que a bola descreve um
movimento parabólico de subida e descida, descrito por uma função
quadrática genérica do tipo y(x) = a + bx + cx2, em que a, b, c
pertencem ao conjunto dos números reais.
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3. As posições sobre o solo na direção horizontal onde a bola estará na
mão da criança são x = 0 e
19. (IBFC ± POLÍCIA CIVIL/RJ ± PERITO CRIMINAL - ADAPTADA)
Uma ocorrência deve ser refeita para que, utilizando as leis da Física,
possa esclarecer um determinado fato. Um perito irá arremessar uma
bola de tênis com uma velocidade inicial de 24,5m/s, e esta faz um
ângulo de 60° com a horizontal. Com base nessas informações julgue as
afirmações a seguir.
1. O tempo que a bola fica no ar é de aproximadamente 2,5s.
2. A distância que a bola percorre na horizontal vale aproximadamente
30,6m.
20. (POLÍCIA CIVIL/SC ± PERITO CRIMINALÍSTICO) Um corpo é
atirado verticalmente para cima, com velocidade de 40 m/s.
Considerando-se a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, a altura máxima
que o corpo atinge, a partir do ponto de lançamento, é:
a) 40 metros
b) 80 metros
c) 60 metros
d) 160 metros
21. (NCE ±RJ ± UFRJ ± FÍSICO) Um projétil é disparado do solo com
velocidade inicial de módulo v0 e kQJXOR�GH�WLUR�LJ0. Despreze a resistência
do ar e considere nula a energia potencial gravitacional no solo. Para que
no ponto mais alto da trajetória metade da energia mecânica total esteja
sob a forma de energiD�SRWHQFLDO��R�kQJXOR�GH�WLUR�LJ0 deve ser:
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(A) 15o
(B) 30o
(C) 45o
(D) 60o
(E) 75o
22. (CESGRANRIO ± TRANSPETRO ± TÉCNICO EM OPERAÇÃO
JUNIOR) Um objeto desliza sobre uma mesa e atingirá o chão após
ultrapassar a borda dessa mesa, descrevendo um movimento parabólico
com relação aos eixos horizontal e vertical arbitrados por um observador
parado. Com relação a esse observador, é correto afirmar sobre o objeto
que sua(s)
(A) velocidade horizontal e sua aceleração vertical são constantes.
(B) velocidade horizontal varia, e sua aceleração permanece constante.
(C) aceleração e velocidades variam.
(D) velocidades horizontal e vertical são variáveis.
(E) velocidades vertical e horizontal são constantes.
23.(CESGRANRIO - DECEA ± 2013 ± CONTROLADOR DE TRÁFEGO
AÉREO) Um helicóptero H se movimenta na descendente com velocidade
inicial ሬܸԦ, de módulo 10 m/s, formando um ângulo de 3° com a horizontal,
conforme mostra a Figura abaixo. A aceleração do helicóptero é
constante, horizontal e contrária ao movimento. Quando o helicóptero
atinge o ponto P, 50 m abaixo da posição inicial, o seu movimento passa
a ser vertical com aceleração zero.
Qual é, aproximadamente, em m, o deslocamento horizontal X do
helicóptero?
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(A) 32
(B) 50
(C) 167
(D) 500
(E)1.000
24. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) O gráfico a
seguir é uma parábola que representa um movimento de lançamento
vertical, ocorrido a partir de um planeta hipotético, cuja gravidade, em
m/s2, é:
(A) 12,4.
(B) 16,2.
(C) 24,4.
(D) 26,0.
(E) 32,0.
25. (VUNESP ± SEED ± SP ± PROFESSOR DE FÍSICA) Um garoto
sentado no último degrau de uma escada lança, do ponto A, uma bolinha,
tentando acertá-la numa cesta presa no ponto B, localizada na base da
escada, conforme representado na figura a seguir.
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Considerando que o garoto lança a bolinha exatamente na direção
horizontal e que o ponto A localiza-se a 0,6 m de altura em relação ao
último degrau da escada no qual o garoto está sentado, a velocidade de
lançamento da bolinha, em m/s, para que ela acerte a cesta, deve ser
igual a
(A) 1,0.
(B) 2,0.
(C) 3,0.
(D) 4,0.
(E) 5,0.
26. (CESGRANRIO ± DECEA ± CONTROLADOR DE TRÁFEGO AÉREO)
Um projétil será lançado obliquamente do solo com velocidade inicial de
80m/s e ângulo de 60° com a horizontal. Desprezando-se a resistência do
ar e considerando-se a gravidade local igual a 10m/s2 e o solo horizontal,
a que distância, em metros, do ponto de lançamento o projétil volta a
atingir o chão?
(A) 3203
(B) 320
(C) 1603
(D) 160
(E) 803
27. (CESGRANRIO ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE OPERAÇÃO
JÚNIOR) Dois corpos de massas m1 = 80,0 kg e m2 = 10,0 kg são
abandonados, simultaneamente, a partir do repouso, de uma altura h em
relação ao solo. Considerando-se desprezível a resistência do ar, a
diferença entre os tempos necessários para que os corpos atinjam o solo
é
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(A) zero
(B) 0,5 s
(C) 1,0 s
(D) 1,5 s
(E) 2,0 s
28. (CESGRANRIO ± REFAP ± OPERADOR I ± 2007) Um corpo foi
abandonado de uma altura de 12,8 metros. Desprezando-se a resistência
do ar e considerando-se a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, a
velocidade, em m/s, com que o corpo atinge o solo é:
(A) 12
(B) 14
(C) 16
(D) 18
(E) 20
29. (CESPE-UNB ± POLÍCIA FEDERAL ± PERITO CRIMINAL ±
FÍSICO - 2004)
Especialistas em tiro ao alvo frequentemente treinam em alvos em
movimento. A figura acima mostra um desses momentos. No instante em
que o atirador disparou o projétil, o alvo (fruta) desprendeu-se da árvore
e ambos, alvo e projétil emitido pela arma, começaram a cair. Com base
nessas informações, julgue os itens seguintes, considerando que: a
resistência do ar é desprezível, a aceleração gravitacional g é constante e
igual a 10 m/s2, a altura do alvo h = 20 cm, a distância horizontal
percorrida pelo projétil d = 100 m e a velocidade inicial horizontal do
projétil v0 = 400 m/s. Despreze o tempo gasto pelo projétil ao se deslocar
no interior da arma.
1. Após um intervalo de tempo t, o projétil percorrerá a mesma distância
vertical que o alvo.
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2. O tempo de queda t da fruta, na vertical, pode ser corretamente
calculado pela relação 2
2.h
g
.
30. (CESPE ± UNB ± POLÍCIA FEDERAL ± PERITO CRIMINAL ±
FÍSICO ± 2004)
A figura acima mostra uma situação em que uma pessoa cai da janela do
quarto andar de um prédio. Na distância de 15,0 m dessa janela, existe
uma rede de salvamento elástica que ficou 1,0 m estendida após capturar
a pessoa e esta ter ficado em repouso. Com base nessa situação
hipotética e nas leis de Newton, julgue os itens subsequentes,
desprezando as forças externas e o atrito com o ar e considerando que a
aceleração gravitacional é constante e igual a 10 m/s2.
1. O módulo da componente vertical da velocidade do corpo da pessoa ao
tocar na rede é igual a 10 m/s.
2. O corpo do indivíduo, ao tocar na rede, sofreu uma desaceleração cujo
módulo é igual a 7,5 m/s2.
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31. (CESPE/UNB - CBM-CE ± SOLDADO ± 2014)
Na figura acima, é mostrada a cena de um bombeiro, que, no plano
horizontal, usa um jato de água para apagar o incêndio em um
apartamento localizado a hm de altura, em relação ao mesmo plano
horizontal. Nessa figura, ሬܸԦi é o vetor velocidade do jato de água ao sair da
mangueira; �Ti é o ângulo de inclinação do bico da mangueira em relação
ao plano horizontal; e d é a distância entre o bombeiro e o edifício. Com
base nessas informações, considerando que sejam nulas as forças de
atrito sobre qualquer elemento do sistema e que o jato de água seja
uniforme, julgue os próximos itens.
1. O jato de água atinge o alcance máximo na horizontal quando Ti = 45º.
2. A forma parabólica do jato de água deve-se exclusivamente à força
gravitacional.
3. A projeção no eixo horizontal do movimento das partículas de água,
após saírem da mangueira, descreve um movimento uniformemente
acelerado.
4. A orientação do vetor velocidade do jato de água e de suas
componentes nos eixos vertical e horizontal do plano cartesiano que
contém a trajetória do jato de água e que apresenta um dos eixos contido
no plano horizontal em que se encontra o bombeiro pode ser
corretamente representada pela seguinte figura, em que xM é o ponto no
qual o jato de água atinge sua altura máxima.
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8. Exercícios Comentados
x Cinemática Vetorial
01. (CESGRANRIO ± SEED/SP - PROFESSOR) Trabalhando para uma
companhia de vigilância, Pedro, que mora perto da central conforme
indicado no mapa abaixo, é contatado por meio de intercomunicadores
(do tipo walk & talk, de radiofrequência).
O alcance mínimo do aparelho utilizado deve ser
(A) 300 m
(B) 350 m
(C) 400 m
(D) 500 m
(E) 700 m
Resposta: Item D.
Comentário:
Questão sobre o assunto de cinemática vetorial, onde devemos calcular o
descolamento vetorial, pois as ondas de rádio sairão da central de
vigilância diretamente para a casa de Pedro, sem precisar respeitar as
ruas e seus sentidos regulamentados.
Vamos ter uma aula sobre ondas e lá comentaremos que as ondas de
rádio propagam-se em todas as direções.
Assim, calculando o deslocamento vetorial (vetor que liga diretamente os
pontos inicial e final da onda de rádio), vamos obter:
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150m
200m
250m
100m
2 2 2
2
2
| | 300 400
| | 160.000 90.000
| | 250.000
| | 500
S
S
S
S m
' �
' �
'
'
300m
400m
Portanto, o alcance mínimo do objeto deve ser de 500m.
Grande Aderbal, você estava sumido! Mas nos agraciou com essa bela
pergunta.
Tem uma dica sim, muito boa para você ganhar tempo. Vejamos.
Observe o triangulo retângulo abaixo:
3
4
5
2 2 2
2
2
3 4
9 16
25
5
X
X
X
X
�
�
Esse triângulo serve de base para qualquer outro triangulo cujos lados.
sejam múltiplos dele.
Então os triângulos:
x 3,4,5
x 6,8,10
x 9,12,15
x 12,16,20
Professor, estou percebendo que
usamos muito o teorema de Pitágoras
nessas questões de cinemática
vetorial, tem alguma dica para
ganhar tempo nessas questões?
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.
.
.
São todos pitagóricos, com os dois primeiros valores sendo os catetos e o
último sendo a hipotenusa.
02. (CESPE-2012 ± SEDUC-ES) Um navio, localizado inicialmente em
um ponto A desloca-se 100 km para o sul e depois 50 km para leste,
chegando a um ponto C. Com base nessas informações, julgue os itens
subsecutivos.
1. A direção do vetor deslocamento entre os pontos A e C forma um
ângulo maior que 120 graus com a direção norte.
Resposta: Item correto.
Comentário:
100km
50km
A
C
2 2 2
2
100 50
12.500
50 5
111,8
AC
AC
AC km
AC km
�
#
N
S
LO
T�
D
Poxa professor! Que legal essa
dica, vou ganhar muito tempo!
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Para saber se o ângulo T é maior que 120°, devemos saber se o ângulo D
é menor que 60°.
Vamos calcular a tangente de D:
50 0,5
100
log : 3 60
, 60
tg
o tg tg
então
D
D
D
� q
� q
Se D é menor que 60°, então o ângulo T é maior que 120°.
2. A distância entre o ponto A e o ponto C é maior que 120 km.
Resposta: Item incorreto.
Comentário:
Veja da figura anterior que o valor de AC é aproximadamente 111,8km,
portanto, menor que 120km.
03. (CESPE ± UNB ± PETROBRÁS ± TÉCNICO DE INSPEÇÃO DE
EQUIPAMENTOS ± 2004)
A figura acima, ilustra um barco atravessando um rio. Considerando que a
velocidade do barco com relação à margem ሬܸԦBM é igual a 2,40 m/s , que a
velocidade da água com relação a margem ሬܸԦAM, ou seja, a velocidade da
correnteza, é igual a 1,2 m/s e que ሬܸԦBA representa a velocidade do barco
com relação à água, julgue os itens subsequentes.
Dado:
130
2
sen q .
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1. Para atingir a margem oposta do rio na mesma longitude de partida, o
ângulo T deverá ser igual a 30º.
Resposta: Item incorreto.
Comentário:
O ângulo T será calculado de acordo com o triângulo abaixo:
BMV
AMV
BAVT
AM
BA
V
tgș
V
1,20m/s
tgș
2,4m/s
1
tgș
2
ș ��z
Note que a condição para que o barco atravesse o rio na mesma
longitude, ou seja, perpendicularmente às suas margens, é tal que o
triangulo da figura acima seja formado.
2. O vetor velocidade VBM pode ser determinado pela soma vetorial
BM BA AMV V V �
Resposta: item correto.
Comentário:
A operação vetorial correta é a seguinte:
BA AM BMV +V =V
A operação vetorial acima é fruto da regra do polígono da soma vetorial
aplicada ao triangulo das velocidades.
3. Se o vetor velocidade BMV apontar no sentido norte, o barco se
deslocará no sentido noroeste devido à direção e ao sentido da
correnteza.
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Resposta: item incorreto.
Comentário:
Vamos calcular a tangente do ângulo de inclinação do vetor velocidade
resultante:
BMV
AMV
Ttanresul teV
1,2 0,5
2,4
0,5
26,5
AM
AM
V
tg
V
arctg
T
T
T
q
Logo, a inclinação revela que a velocidade resultante está direcionada
entre as direções norte e noroeste (45°).
04. (CESPE-UNB ± PETROBRÁS ± OPERADOR ± 2001) Próximo aos
polos da Terra, é comum se encontrar grandes blocos de gelo, chamados
icebergs, flutuando na água do mar. Suponha que um iceberg tenha a
forma de um paralelepípedo, como mostrado na figura abaixo, e que sua
densidade seja de 1.000 kg/m3. Julgue o item a seguir.
1. Supondo que a corrente marítima empurre o iceberg para o norte, com
velocidade de 0,4 km/h, e o vento empurre o mesmo iceberg para o leste,
com a velocidade de 0,3 km/h, então a velocidade resultante terá módulo
igual a 0,6 km/h, com sentido noroeste.
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Resposta: item incorreto.
Comentário:
A velocidade resultante será o resultado da soma vetorial da velocidade
da corrente marítima com a velocidade do vento.
Assim, como elas são perpendiculares entre si, podemos esquematizar o
seguinte:
0,4 /correnteV km h
0,3 /ventoV km h
tan 0,5 / ( 3,4,5)resul teV km h '
Como o vetor vertical, ou seja, o de módulo 0,4km/h aponta para o norte,
então a direção será entre o norte e o nordeste. A direção só seria
noroeste exatamente, caso os vetores tivessem o mesmo módulo e o
vetor azul apontasse para o oeste, o que obrigaria uma inclinação de 45°
e o vetor apontaria para o noroeste, que está na metade do caminho
entre o norte e o oeste.
Assim, o item está incorreto por dois motivos.
05. (FGV ± PC-RJ ± PERITO FÍSICO) A figura mostra a posição
ocupada por uma partícula que está percorrendo uma trajetória circular
de centro em C e de raio R, no instante em que sua velocidade ݒԦ e sua
aceleração Ԧܽ fazem um ângulo de 30º. Sendo | ݒԦ | = 4,0m/s e | Ԧܽ|
=40m/s2, o raio R da trajetória vale:
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(A) 20cm
(B) 40cm
(C) 50cm
(D) 60cm
(E) 80cm
Resposta: Item E.
Comentário:
Vamos decompor o vetor aceleração na direçãoMais conteúdos dessa disciplina
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